导数研究报告函数零点问题

利用导数研究方程的根

函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,x f x x =∈R .

(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线211

y x x =++有唯一公共点.

【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.

1(1)g'x

(x)g'==?=

k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线12

2++=x x y 有唯一公共点,过程如下.

则令,,121

121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---=

0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数因此,

单调递增

时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =?>>=?<<0)(,0)0(')('===≥=?x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以

所以,曲线y=f(x)与曲线12

++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x

f x x e =-+

(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值;

(2)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. (1)()1x

a f x e '=-

, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.

(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.

所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,

故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.

综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;

当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. (2)当1a =时,()11x f x x e

=-+

. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程1

11x

kx x e -=-+

在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x

k x e -=

(*)

在R 上没有实数解.

①当1k =时,方程(*)可化为

0x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为1

x xe k =-.

令()x

g x xe =,则有()()1x

g x x e '=+.

令()0g x '=,得1x =-,

当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:

当1x =-时,()min g x e

,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值围为1,e ??-+∞????

所以当

11,1k e ?

?∈-∞- ?-??

时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1. 3、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=

，kx x g -=3

)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）数k 的取值围；

（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，数k 的取值围．解：（1）由题意x k x x f )1()(2

+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，

∴0)1()(2

>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立

即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值围为1≤k

（2）设3

12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，

①当1=k 时，0)1()(2

≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当时，，'随x 的变化情况如下表：

x ),(k -∞ k

)1,(k 1 ),1(+∞ )(x h ' + 0 — 0 + )(x h ↗ 极大值3

12623-+-

k k ↘ 极小值21-k ↗ 由于02

<，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，

故需031

2623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴???>--<0

2212k k k ，解得31-

4、已知函数()()

ln ()x f x e a a =+为常数是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[一1，1]上的减函数． (I)求a 的值；

(II) 若()2

1g x t t λ≤++在x ∈[一1，1]上恒成立，求t 的取值围．

(Ⅲ) 讨论关于x 的方程

2ln 2()

x ex m f x =-+的根的个数。

解：（I ）)ln()(a e x f x +=是奇函数，则(0)0f =恒成立.0

ln()0.e a ∴+= 0

1,0.e a a ∴+=∴=（II ）又)(x g 在[－1，1]上单调递减，,1sin )1()(max --=-=∴λg x g ,11sin 2

++≤--∴t t λλ只需

.)1(011sin )1(2恒成立其中-≤≥++++∴λλt t 令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h

则???≥+++--≤+,

011sin 10

t t t ,

01sin 01sin 122恒成立而≥+-???≥+--≤∴t t t t t 1-≤∴t . （III ）由（I ）知,2ln ,)(2m ex x x

x x f +-=∴=方程为令m ex x x f x x x f +-==2)(,ln )(221，2

1ln 1)(x

x f -=' ，

当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数；

),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数，

当e x =时，.1

)()(1max 1e

e f x f =

=而222)()(e m e x x f -+-=， )(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，

∴①当e e m e e m 1,122

+>>

-即时，

方程无解. ②当e e m e e m 1,12

2+==-即时，方程有一个根. ③当e

e m e e m 1,12

2+<<-即时，方程有两个根.

5、.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-

∈且在,0,2π??

????

上的最大值为

32π-，（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）的零点个数，并加以证明。（I ）33()sin 22

f x ax x π-=-

≤

在]2,0[π

上恒成立，且能取到等号 ()sin 2g x x x a

?=≤在]2

0[π上恒成立，且能取到等号

max ()2g x a

()sin cos 0()g x x x x y g x '=+>?=在]2

0[π

上单调递增

()1222g a a πππ==?=3()sin 2

f x x x ?=-

（II ）3

()sin ()()sin cos 2f x x x h x f x x x x '=-?==+

①当x ∈]2,0[π时，()0()f x y f x '≥?=在(0,]2π

上单调递增 33(0)()0()222f f y f x ππ-=-?

上有唯一零点

②当x ∈[

,]2π

π时，()2cos sin 0()h x x x x f x ''=-

π上单调递减 2

()()02

2f f πππ'=-

x π

π∈使0()0f x '=

00()0,()02

f x x x f x x x π

π''>?≤<>?<< 得：()f x 在0[

,)2

x π上单调递增，0(,]x π上单调递减

()0,()02

f f π

π>=-

得：x ∈0[

,]2

x π时，()0f x >，

x ∈0[,]x π时，0()()0f x f π<，()y f x =在0[,]x π上有唯一零点

由①②得：函数)(x f 在),0(π有两个零点。

6、已知函数3

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值围为(1,3)，求：

（1）()f x 的解析式；

（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，数m 的取值围．解：（1）由题意得：2

'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<

∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-

∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③

由①②③联立得：1

69a b c =-??=??=-?

，∴32

()69f x x x x =-+-

（2）设切点Q (,())t f t ，,

()()()y f t f t x t -=-

232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=

令2

'()66126(2)0g t t t t t =--=--=，求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。

需：(1)0(2)0g g ->??

???--+-

11m m

>-? 故：1116m -<<；因此所数m 的围为：(11,16)-

7、已知32

()4f x x ax x =--（a 为常数）在2x =时取得一个极值，（1）确定实数t 的取值围，使函数()f x 在区间[,2]t 上是单调函数；

（2）若经过点A （2，c ）（8c ≠-）可作曲线()y f x =的三条切线，求c 的取值围．解：（1）∵函数()f x 在2x =时取得一个极值，且2

()324f x x ax '=--，

(2)12440f a '∴=--=，2a ∴=

2()344(32)(2)f x x x x x '∴=--=+-． 23x ∴=-或2x =时，2()0,3f x x '=<-或2x >时，2

()0,23

f x x '>-<<时，

()0f x '<， ()f x ∴在2(,],[2,)3

-∞-+∞上都是增函数，在2

[,2]3-上是减函数． ∴使

()f x 在区间[,2]t 上是单调函数的t 的取值围是2

[,2)3

（2）由（1）知32

()24f x x x x =--．设切点为00(,)P x y ，则切线的斜率

2000()344k f x x x '==--，所以切线方程为：322

000000(24)(344)()y x x x x x x x ---=---．将点(2,)A c 代人上述方程，整理得：32

0028880x x x c +++=-．

∵经过点(2,)(8)A c c ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程32

00028880x x x c -++-=有三个

不同的实根．设32

0000()2888g x x x x c =--++，则

000002()6168023

g x x x x x '=-+=?==或，0()g x 在2(,)3-∞上单调递增，在2(,2)3上单调递

减，在(2,)+∞上单调递增，故2()0,3

(2)0,

g g g g ?=>???=

极大

极小得：280827c -<<-．