上海市徐汇区2017届高三一模数学精彩试题+问题详解

2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2016．12一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对得4分（或5分），否则一律得0分． 1. 25lim1n n n →∞-=+____________．【解答】25lim 1n n n →∞-=+52n lim 11n n→∞-=+2010=+=2． 2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为____________．【解答】由题意可知：由焦点在x 轴上，若C 经过点M （1，3）， 则图象经过第一象限， ∴设抛物线的方程：y 2=2px ， 将M （1，3）代入9=2p ，解得：p=92， ∴抛物线的标准方程为：y 2=9x ， 由焦点到准线的距离d=p=2p ， 3. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 1020，解为21x y =⎧⎨=⎩，则=+b a ____________． 【解答】解：由题意知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2ax y b =⎧⎨=⎩的解，即，则a+b=1+1=2， 故答案为：2．4. 若复数z满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则z =______．【解答】解：由iz=+i ，得z==1﹣i ， 故|z|==2， 故答案为：2．5. 在622()x x +的二项展开式中第四项的系数是____________．（结果用数值表示） 【解答】解：在（x+）6的二项展开式中第四项：=8Cx ﹣3=160x ﹣3．∴在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160． 故答案为：160．6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，若11,2AB BC AA ===，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为____________．【解答】解：如图，连接D 1B 1；∵CC 1∥BB 1；∴BD 1与CC 1所成角等于BD 1与BB 1所成角； ∴∠B 1BD 1为异面直线BD 1与CC 1所成角； ∴在Rt △BB 1D 1中，cos ∠B 1BD 1=；∴异面直线BD 1与CC 1所成角的大小为． 故答案为：．7. 若函数22,0(),0x x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞，则实数m 的取值围是____________．【解答】解：x ≤0时：f （x ）=2x≤1． x ＞0时，f （x ）=﹣x 2+m ，函数的对称轴x=0，f （x ）在（﹣∞，0）递增，∴f （x ）=﹣x 2+m ＜m ， 函数f （x ）=的值域为（﹣∞，1]， 故m ＜1，故答案为：（﹣∞，1]8. 如图：在ABC ∆中，若13,cos ,22AB AC BAC DC BD ==∠==，则AD BC ⋅=____________．【解答】解：根据条件： ===； ∴= ==．9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为___________个．【解答】解：当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2﹣3x+3），函数的零点由：lg （x 2﹣3x+3）=0，即x 2﹣3x+3=1，解得x=1或x=2． 因为函数是定义在R 上的偶函数y=f （x ），所以函数的零点个数为：4个． 故答案为：4．10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个，其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有____________种？（结果用数值表示）【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有A 22A 86=40320种． 故答案为40320．11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ．设*()2nn nS b n N n =∈⋅，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值围是____________． 【解答】解：S n =n+×2m=mn 2+（1﹣m ）n ． ∴b n ==，∵数列{b n }是递减数列， ∴b n+1＜b n ，∴＜，化为：m ＜n ，对于∀n ∈N *，即可得出． 因此m ＜1．则实数m 的取值围是（﹣∞，1）． 故答案为：（﹣∞，1）．12. 若使集合{}2|(6)(4)0,A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值围是_______________．【解答】解：集合A={x|（kx ﹣k 2﹣6）（x ﹣4）＞0，x ∈Z}，∵方程（kx ﹣k 2﹣6）（x ﹣4）=0， 解得：，x 2=4，∴（kx ﹣k 2﹣6）（x ﹣4）＞0，x ∈Z 当k=0时，A=（﹣∞，4）；当k ＞0时，4＜k+，A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）； 当k ＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．∴当k ≥0时，集合A 的元素的个数无限； 当k ＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．集合A 的元素的个数有限，此时集合A 的元素个数最少． 则有：，解得：k ＜0． 故答案为：（﹣∞，0）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．13. “()4x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件【解答】解：∵tanx=1，∴x=k π+（k ∈Z ） ∵x=k π+（k ∈Z ）则tanx=1， ∴根据充分必要条件定义可判断： “x=k π+（k ∈Z ）“是“tanx=1”成立的充分必要条件 故选：C14. 若12i -（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）（A ）2,3b c == （B ）2,1b c ==- （C ）2,1b c =-=- （D ）2,3b c =-= 【解答】解：∵1﹣i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根， ∴1+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根， ∴，解得b=﹣2，c=3． 故选：D ．15. 已知函数()x f 为R 上的单调函数，()x f1-是它的反函数，点()3,1-A 和点()1,1B 均在函 数()x f 的图像上，则不等式()121<-x f 的解集为（ ）（A ）()1,1- （B ）()1,3 （C ）()20,log 3 （D ）()21,log 3 【解答】解：∵点A （﹣1，3）和点B （1，1）在图象上， ∴f （﹣1）=3，f （1）=1，又f ﹣1（x ）是f （x ）的反函数， ∴f ﹣1（3）=﹣1，f ﹣1（1）=1，由|f ﹣1（2x ）|＜1，得﹣1＜f ﹣1（2x）＜1，即f ﹣1（3）＜f ﹣1（2x ）＜f ﹣1（1），函数f （x ）为R 的减函数，∴f ﹣1（x ）是定义域上的减函数，则1＜2x＜3，解得：0＜x ＜log 23．∴不等式|f ﹣1（2x）|＜1的解集为（0，log 23）． 故选：C ．16. 如图，两个椭圆221259x y +=，221259y x +=部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：① P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值；② 曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称； ③ 曲线C 所围区域面积必小于36.上述判断中正确命题的个数为（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 【解答】解：对于①，若点P 在椭圆+=1上，P 到F 1（﹣4，0）、F 2（4，0）两点的距离之和为定值、到E 1（0，﹣4）、E 2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆+=1，+=1关于直线y=x 、y=﹣x 均对称，曲线C 关于直线y=x 、y=﹣x 均对称，故正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形部，所以面积必小于36，故正确． 故选：C三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，2==BC AP ，︒=∠30CBA ，D 是AB 的中点．（1）求PD 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留π）．18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数2sin ()1x xf x x-=． （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）已知ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()4,52A f a b c ==+=，求ABC ∆的面积．19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图：双曲线Γ：2213x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ． （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上．．．是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？若存在， 求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A B 、，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++=（其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2,*k k N ≥∈，k a 是1k a -与1k b -的等差中项，kb 是1k a -与1k b -的等比中项．（1）若222,1a b ==，求11,a b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是{}n a 为常数数列； （3）记||n n n c a b =-，当*2()n n N ≥∈时，指出2n c c ++与1c 的大小关系并说明理由．参考答案一、填空题：(共54分，第1题至第6题每小题4分；第7题至第12题每小题5分)1. 22.92 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4π7. 01m <≤ 8. 32- 9. 4 10. 4032011. 01m ≤< 12. []3,2--二、选择题：(共20分，每小题5分)13. C 14. D 15. C 16. C三、解答题17、解：（1） ⊥PA 平面ABC ，AB PA ⊥，又 AB AC ⊥，⊥∴AB 平面PAC ，所以DPA ∠就是PD 与平面PAC 所成的角.………4分在PAD Rt ∆中，23,2==AD PA ，………………………………………6分 所以43arctan=∠DPA ， 即PD 与平面PAC 所成的角的大小为43arctan.………………………8分 （2）PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是以AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个以AD 为底面半径、AP 为高的小圆锥. ………10分所以体积πππ232)23(312)3(3122=⋅⋅-⋅⋅=V . ……………14分.18、解：（1）由条件得：21cos 21()sin cos sin 222x f x x x x x +=+⋅=+，即1()cos 2sin 22f x x x =++………2分sin(2)32x π=++，………3分因为[0,]2x π∈，所以sin(2)[32x π+∈-因此()sin(2)3f x x π=++1]+………6分（2）由()2Af =sin()3A π+=因为(0,)A π∈，所以4(,)333A πππ+∈，所以233A ππ+=，即3A π=.………8分 由余弦定理得：2216b c bc +-=，所以2()316b c bc +-=， 又5b c +=，解得3bc =，………12分所以1sin 2ABC S bc A ∆==.………14分19、解：（1）1()(0)4f x x x =≥.……3分，()0)g x x =≥.………6分（2）设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为（10x -）万元，创业团队获得的利润为y 万元，则1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+-=-≤≤.………10分t =，()1002545412≤≤++-=t t t y ，即21565()(04216y t t =--+≤≤，当52t =，即 6.25x =时，y 取得最大值4.0625………13分答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625万元.……14分20、解：（1）易得1(2,0)F -，2(2,0)F ，Γ的渐近线方程为3y x =±，由对称性，不妨设:(2)3l y x =-,即20x --=，------------------2分 所以，1(2,0)F -到l的距离2d ==.-----------------------------4分（2）当直线l 的斜率为1时，l 的方程为2y x =-，------------------------5分 因此，(0,2)Q -， -----------------------------6分 又1(2,0)F -，故1(2,2)FQ =-， 设Γ右支上的点P 的坐标为(,),(0)x y x >，则1(2,)F P x y =+， 由110F P FQ ⋅=，得2(2)20x y +-=，-----------------------8分 又2213x y -=，联立消去y 得2212150x x ++=，由根与系数的关系知，此方程无正根，因此，在双曲线Γ的右支上不存在点P ，满足110F P FQ ⋅=. --------------------10分（3）设1122(,),(,) A x y B x y ，则1212(,)44x x y y M ----， ----------------11分 由M 点在曲线上，故212212()4()134x x y y -----=(*)设:(2) l y k x =-联立l 与Γ的方程，得2222(13)121230k x k x k -+--=---------------------------12分由于l 与Γ交于不同两点，所以，k ≠. 所以，21221213k x x k -+=-，因此，12121224(2)(2)()413ky y k x k x k x x k k -+=-+-=+-=-. ------------14分从而(*)即为22222124()3()481313k k k k ---=--，解得2k =±.即直线l 的方程为20x -= . -------------------------------------------16分21、解：（1）由条件得1122a b +==，11a =2，1b =2.----------4分 （2）充分性：当{}n a 为常数数列时，{}n a 是公差为零的等差数列；--------------5分 必要性：当{}n a 为等差数列时，1120m m m a a a -++-=对任意2,*m m N ≥∈恒成立，----------------------------------------------------------------------6分 而112m m m a a a -++-=1m a -+1211()()m m m m a b a b --+-+ =121()m m m a b b -+-=1111(22m m m a b b ---++-，0>0=，即11m m a b --=，-------------9分 从而1111122m m m m m m a b a a a a -----++===对2,*m m N ≥∈恒成立, 所以{}n a 为常数列.------------------------------------------------------------------------10分（3）因为任意*,2n N n ∈≥，112n n n n a b a b --+=≥=，--------------12分 又已知11a b ≥，所以n n n c a b =-.从而11n n a b ++-=111((2)()2222n n n n n n n n n a b a b a b b a b +=+-≤+-=-， 即112n n c c +≤， ----------------------------------------------------------------------------------14分则n c ≤121n c -≤2212n c - ≤…≤1112n c -，----------------------------------------------16分 所以2n c c ++≤112c ++1112n c -=11(1)2n --1c <1c .-------------------18分。