第3章线性系统的时域分析习题答案

第3章 线性系统的时域分析

3.1 学习要点

1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用；

3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法；

5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。

3.2 思考与习题祥解

题3.1 思考与总结下述问题。

（1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。

（2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响？

（5）系统误差与哪些因素有关？试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。

（6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关？

答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图3.1所示。

图3.1 二阶系统特征根在复平面上的分布

当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。

当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是

以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。

当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。

（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。

ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。

当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。

当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差；

ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超

调量由ξ值唯一确定，即001_

100%2

?=-π

ξξ

σe

。在工程设计中，对于恒值控制系

统，一般取 ξ＝0.2～0.4；对于随动控制系统ξ＝0.6～0.8。

n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的

时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34

s n

t ξω≈。

（3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。

（4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。

（5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。

因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。

无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。

（6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。

题3.2系统特征方程如下，试判断其稳定性。

（a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s

解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。

题3.3 系统结构如题3.3图所示。控制器)1

1()(s

T K s G i p c +

=，为使该系统

稳定，控制器参数p K 、i T 应满足什么关系？

题3.3图

解：闭环系统特征方程为：

025.0)25.01(152=+++p p i i K s K T s T 所以系统稳定的条件是

??

?>>00

p

i K T ； ?

?

?<<-<040

p i K T

题3.4 设单位反馈系统的开环传递函数为()(10.2)(10.1)

K

G s s s s =++，要求闭

环特征根的实部均小于-1，求K 值应取的范围。

解：系统特征方程为

0)1.01)(2.0.1(=++K s s s

要使系统特征根实部小于1-，可以把原虚轴向左平移一个单位，令1+=s w ，即 1-=w s ，代入原特征方程并整理得

072.046.024.002.02

3

=-+++K w w w 运用劳斯判据，最后得

24.672.0<

题3.5 设单位反馈系统的开环传递函数为

1

2 )

1()(23++++=

s s s s K s G α

若系统以2rad/s 频率持续振荡，试确定相应的K 和α值

解：可以利用Routh 判据或其它方法解答。 系统的闭环传递函数

()32(1)

()2(1)

K s s s as K s K +Φ=

+++++

闭环特征方程()322(1)0s as K s K +++++=

利用Routh 判据。作Routh 表如下： 3

s 1 K +2

2

s a K +1 1

s

[(2)1]/a K K a +--

0s K +1 系统持续振荡的条件是

1[(2)1]/02K

a K K a a K

++--=→=

+ 210410as K a K ++=→-++=

所以

2=K ， 75.0=α

题3.6 单位反馈系统的开环传递函数)

5(4

)(+=s s s G ，求单位阶跃响应()c t 和

调节时间t s 。

解：依题，系统闭环传递函数

)

1)(1(4)

4)(1(4

454)(2

12T s T s s s s s s ++=

++=++=Φ

其中 121,0.25T T ==。

4

1)4)(1(4

)()()(210++++=++=

Φ=s C s C s C s s s s R s s C

1)

4)(1(4

lim

)()(lim 000=++=Φ=→→s s s R s s C s s 3

4

)4(4lim

)()()1(lim 011-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s 3

1

)1(4lim

)()()4(lim 042=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s 单位阶跃响应

441

()133t t c t e e --=-+

42

1=T T

， ∴3.33.3111==???

? ??=T T T t t s s 。

题3.7机器人控制系统结构如题3.7图所示。试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调量%2%=σ。

题3.7图

解：依题，系统闭环传递函数为

2

22

12121211

2)1()

1()1(1)

1()(n n n s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωξωωΦΦ++=+++=+++

+= 由 ??

???=-=≤=--5.0102.0212n p o

o t e ωξπσξπξ 联立求解得

??

?==1078

.0n

ωξ 比较)(s Φ分母系数得

??

?

??=-===146.0121001221K K K n n ξωω

题3.8 系统结构如题3.8图所示。

（1） 当025,0f K K ==时，求系统的动态性能指标%σ和s t ；

（2） 若使系统0.5ξ=，单位速度误差0.1ss e =时，试确定0K 和f K 值。

题3.8图

解：按题3.7思路合方法，可解得

（1）%25.4%1.75

ts σ==

（2）0100,6f K K ==

题3.9 已知质量-弹簧-阻尼器系统如题3.9 (a) 图所示，其中质量为m 公斤，弹簧系数为k 牛顿/米，阻尼器系数为μ牛顿秒/米，当物体受F = 10牛顿的恒力作用时，其位移y (t )的的变化如图(b)所示。求m 、k 和μ的值。

F

)

t

图(a) 图(b)

题3.9图

解：系统的微分方程为 ：()()()()m y t y t ky t F t μ++=

系统的传递函数为 ：221

()1()()Y s m G s k F s ms s k s s m m

μμ===

++++ 因此 221

110(()()m G Y s F s k ms s k s s s m m

μμ==?++++

利用拉普拉斯终值定理及图上的稳态值可得：

2110

()lim ()lim 0.06s s m y sY s s

k s

s s m

m

μ

→→∞==?

=+

+

所以 10/ k =0.06 ，从而求得k = 166.7 N/m

由系统得响应曲线可知，系统得超调量为0.02/0.0633.3%σ==，由二阶系统性能指标的计算公式

100%33.3%e ξπσ-== 解得 0.33ξ=

由响应曲线得，峰值时间为3s ，所以由

3p t =

=

解得 1.109/n rad s ω= 由系统特征方城

22

220n n k

s s s s m

m

μ

ξωω++=+

+

= 可知

2n m

μ

ξω=

2

n

k m

ω= 所以

22

166.7

135.51.109

n k

m kg ω=

== 220.33 1.109135.599.2/(/)n m N m s μξω==???=

题3.10 已知一控制系统的结构如题3.10图，

1）确定该系统在输入信号()1()r t t =下的时域性能指标：超调量%σ，调节时间s

t 和峰值时间p t ； 2）当()21(),()4sin3r t t n t t =?=时，求系统的稳态误差。

题3.10图

解：

1）系统的开环传递函数为：288

()(4)(2)68G s s s s s =

=++++

系统的闭环传递函数为28

()616

G s s s =++

比较 二阶系统的标准形式222

()2n

n n G s s s ωξωω=++，可得 4n ω=

而26n ξω=，所以0.75ξ=

1.795p t s =

=

100% 2.8%e

ξπσ-==

3

1(5%)s n

t s ξω=

=?= 2）由题意知，该系统是个线性系统，满足叠加原理，故可以分别求取，()21()r t t =?和()4sin 3n t t =分别作用于系统时的稳态误差1ess 和2ess ，系统的稳态误差就等于12ess ess ess =+。

A ） ()21()r t t =?单独作用时，

由系统的开环传递函数知，系统的开环增益1k K =，所以系统对()21()

r t t =?的稳态误差1ess 为：11

211k

ess K =?=+ B ） ()4sin 3n t t =单独作用时，系统的方块图为图3.2。

图3.2 题3.10用图

系统的闭环传递函数为：28(4)

()616e s W s s s +=++

频率特性为：2

8(4)

()616e j W j j ωωωω+=+-

当系统作用为()4sin 3n t t =时，3ω=，所以

28(34)3224(3) 2.0763163718e j j

W j j j

++=

==?+-+

2418

(3)arctan arctan -0.5564327

e W j ∠=-=

系统的输出为：24(3)sin(3(3))

8.56sin(30.5564)

e e ess W j t W j t =?+∠=-

所以系统的误差为：18.56sin(30.5564)ess t =+-

题3.11 已知一个n 阶闭环系统的微分方程为

r b r b y a y

a y a y a y a n n n n 0101)2(2)1(1)(+=+++++-- 其中r 为输入，y 为输出，所有系数均大于零。 (1). 写出该系统的特征方程； (2). 写出该系统的闭环传递函数；

(3). 若该系统为单位负反馈系统，写出其开环传递函数；

(4). 若系统是稳定的，求当)(1)(t t r =时的稳态误差ss e （误差定义为)()()(t y t r t e -=）

； (5). 为使系统在t t r =)(时的稳态误差0=ss e ，除系统必须稳定外，还应满足什么条件？

(6). 当10=a ，5.01=a ，25.02=a ，0=i a )2(>i ，01=b ，20=b ，)(1)(t t r =时，试评价该二阶系统的如下性能：ξ、n ω、%σ、s t 和)(∞y 。 解：根据微分方程与传递函数的对应关系，可得

1）系统的特征方程：11100n n n n a s a s a s a --++++=

2）系统的闭环传递函数 10

1110()n n n n b s b s a s a s a s a --+Φ=++++

3）开环传递函数

101

11010

()

()1()n n n n b s b s G s s a s a s a s a b s b --+Φ=

=-Φ++++-+ 4）误差传递函数111010

1

110

()1()n n n n e n n n n a s a s a s a b s b G s s a s a s a s a ----++++--=-Φ=++++ 稳态误差

0000

11101011100lim 1

)(lim a b a a s a s a s a b s b a s a s a s a s s sG e n n n n n n n n s e s ss -=++++--++++==----→→ 5）由稳态误差和系统稳定条件，可得

11000

a b a b -=+=

6）此时系统的闭环传递函数

2

222

()110.250.51142

s s s s s Φ==++++ 与二阶系统闭环传递函数比较，得

242n n ωω=→=

1

2/0.52

n ξωξ=→=

所以

33s n

t s ξω==

0010

1002

ζπξ

δ

--=e

200012

()lim ()lim ()lim 20.250.51

b s s s y Y s sG s s s s →→→∞====++