北京市东城区2018届高三第二学期综合练习(一)数学(理)试卷(含答案)

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）

数学（理科） 2018. 4

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{}31A x x =-p p ,{}

12B x x x =-f f 或，则A B =I (A) {}

32x x -p p (B) {}

31x x --p p (C) {}

11x x -p p (D)

{}11x x -p p

(2）复数1i

z i

=

-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知,a b R ∈，且a b f ，则下列不等式一定成立的是 (A) 220a b -f (B) cos cos 0a b -f (C)

11

0a b

-p (D) 0a b e e ---p (4)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45

），则 tan()θπ+的值为 (A)

43 (B) 34

(C) 43- (D) 34-

(5)设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是

(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4

(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有

(A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种

(7)设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“d>0”是“{}n S 为递增数列”的 (A ）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件

(C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件

(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 (A)4 (B) 3 (C)2 (D)1

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a 2 +c 2 =b 2 +ac ，则B= . (10)在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为 .

(11)若x ，y 满足041x y x y x -≤??

+≤??≥?

，则2x+y 的最大值为 .

(12)某几何体的三视图如

图所示，则该几何体的表面积为

(13）设平面向量a ,b ,c 为非零向量．能够说明“若a ?b =a ?c a ,b ,c 的坐标依次为 .

(14）单位圆的内接正n(n ≥3)边形的面积记为()f n ，则f(3)= ; 下面是关于()f n 的描述：

①2()sin 2n f n n π= ②

()f n 的最大值为π ③()f n (1)f n +p ④()f n (2)f n p 2()f n ≤

其中正确结论的序号为 ．（注：请写出所有正确结论的序号）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题13分） 已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； (Ⅱ)求()f x 在[0,

]2

π

上的最大值和最小值． (16)（本小题13分）

从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示．

(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率；

(II ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ);

(Ill ）试判断这100名学生数学成绩的方差a 与语文成绩的方差b 的大小．（只需写出结论）

(17)（本小题14分）

如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿 PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为 PB 中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥AB;

(II ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．

(18)（本小题13分）

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b f f ）的离心率为32，且过点A(2,0).

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

(II ）设M,N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线 AM ，AN 斜率之积等于1

4

-，试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

(19)（本小题14分）

已知函数()(1)x f x e a x =-+.

若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值； (Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；

(Ⅲ）求证：当a 0a =时，曲线()y f x = (x>0)总在曲线2ln y x =+的上方． (20)（本小题13分）

在nXn(n ≥2)个实数组成的n 行n 列的数表中，,i j a 表示第i 行第j 列的数，记

12(1)i i i in r a a a i n =+++≤≤K ．12(1)j j j nj c a a a j n =+++≤≤K 若,i j a ∈｛-1,0,1} ((1,)i j n ≤≤)，

且r 1,r 2,…,r n ,c 1,c 2,..,c n ，两两不等，则称此表为“n 阶H 表”，记 H={ r 1,r 2,…,r n ,c 1,c 2,..,c n }.

(I ）请写出一个“2阶H 表”;

(II ）对任意一个“n 阶H 表”，若整数[,]n n λ∈-，且n H λ?，求证：λ为偶数； (Ⅲ）求证：不存在“5阶H 表”.

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）

数学（理科）

本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.【答案】B

【解析】由题易知，{|31}.A B x x =-<<-I 故选B

2.【答案】B

【解析】

(1)111 1(1)(1i)22

2

i i i i

z i

i i

+-

====-+

--+

,所以z在复平面上对应的点为

11

(,)

22

-，在第二象限,故选B

3.【答案】D

【解析】,,

a b a b

>∴-<-

Q由x

y e

=在R上单调递增可知,

,0,

a b a b

e e e e

----

<∴-<故选D

4.【答案】A

【解析】由正切函数定义可知:

4

4

5

tan

33

5

y

x

θ===，

4

tan()tan

3

πθθ

+==，

故选A

5.【答案】C

【解析】在抛物线中, 24.

y x

=焦点(1,0),

F准线 1.

x=-|||||| 1.

PF PH PM

==+P点到y轴的距离为2.|| 2.

PM

∴=即||||||1 3.

PF PH PM

==+=故选C

6.【答案】C

【解析】法一：22

42

10

A A

-=种

法二：112

2222

210A A A A ??+=种.故选C

7.【答案】D

【解析】充分条件的反例，当14a =-，1d =时，114S a ==-，2127S a a =+=-，充分不成立.

必要条件的反例，例n S n =，11n n n S S a --==，0d =，必要不成立. 故选D. 8.【答案】D

【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题，5位“学习能手”则最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多1道.故选D.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.【答案】3

π

【解析】

2221

cos 222

a c

b a

c B ac ac +-===,3B π∴=

10.【答案】1

【解析】即求2220x y x +-=圆心到直线1y =的距离，

()2

211x y ∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.

11.【答案】6

【解析】可行域如右图所示：

设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值，所以6z =. 12.【答案】23+12 【解析】

该几何体如图所示：

可知2AB AC BC ===,ABC V 为等边三角形, 所以1

2332

ABC

S =??=V ,所以四边形11ACC A 的面积为 11224ACC A S =?=Y ,所以11232312ABC ACC A S S S =+=+V Y 表.

13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯一） 【解析】

设(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =,则3?a b =，3?a c =，所以??a b =a c 但≠b c ，

所以若??a b =a c ，则b =c 为假命题。

14. 【解析】内接正n 边形可拆解为n 个等腰三角形，腰长为单位长度1，顶角为

2n π

.每个三角形的面积为12sin 2n π，所以正n 边形面积为

2

()sin 2n f n n π=.323(3)sin 23224

==f π=?，①正确；

正n 边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；

随着n 的值增大，正n 边形面积也越来越大，所以③正确；

当且仅当3n =时，有2(3)(6)f f =，由几何图形可知其他情况下都有

(2)2()f n f n <，所以④正确.

解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明. 15. 【解析】

(Ⅰ)由题意得：()sin 2cos 2)4

f x x x x π

=-=-,

22

T π

π∴=

= (Ⅱ)当0,2x π??

∈????时，32,444x πππ??

-∈-????

当24

2

x π

π

-

=

时,即38

x π

=

时,()f x

. 当24

4

x π

π

-=-时,即0x =时,()f x 取得最小值1-.

所以()f x 在0,2π??

????

和1-.

【解析】

（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随

机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为9

100

.

（Ⅱ）由题可知,ξ的可能取值为0,1,2

26210151

(0)=453

C P C ξ===

11642

10248

(1)4515

C C P C ξ?==== 2421062

(2)=4515

C P C ξ===

1824

()012315155

E ξ=?+?+?=

（Ⅲ）a b > 17.【解析】

（Ⅰ）由图1知,PD AD PC CB ⊥⊥

由图2知,C D 重合于点O .则,PO AO PO BO ⊥⊥

AO BO O =Q I AO ?面AOB BO ?面AOB

PO ∴⊥面AOB ,又AB ?Q 面AOB PO AB ∴⊥

（Ⅱ）由题知1OP = 2OA OB AB === ABO ?为等边三角形

过O 取1OF = 延长作OF AO ⊥ 建立如图空间直角坐标系

则()()()()0,0,02,0,0,0,0,13,0O A P B ，，

易知面POA 的法向量为()0,1,0OF =u u u r

()

13,1BP =-u u u r 设BP 与平面POA 夹角为θ

则sin cos ,OF BP OF BP

OF BP

θ?====?u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r ∴ 直线BP 与平面POA

所成角正弦值为5

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面POA 的法向量为()0,1,0OF =u u u r

设面EOA 法向量为(,,)m x y z =u r

易知E 为PB 中点 11

()22

E ∴，，11()22OE =u u u r ，，(200)OA =u u u r ，

， 00

OE m OA m ??=?∴??=??u u u r u r u u u r u r

即022220x z y x ?+

+=???=?

令1y =-

则(0,m =-u r

则11cos ,21

2m OF m OF m OF ?-===-??u r u u u r

u r u u u r u r u u u r 由图知二面角为锐角，∴ 二面角P AO E --为

3

π 18．【解析】

（Ⅰ）e =Q

，c a

∴=，

Q 过()2,0，2a ∴=

，c =

2

2

2

1b a c =-=，2

214

x y ∴+=

（Ⅱ）①当MN 斜率不存在时，设()00,M x y ，则()00,N x y -，

00001

224AM AN y y k k x x -?=

?=---，()2200124

y x =-， 又()00,M x y Q 在椭圆上，

2

20014

x y ∴+=， 解得00x =，01y =±，

:0MN l x ∴=．

②当MN 斜率存在时，设:MN

l y kx m =+，与椭圆联立，由2

21

4x y y kx m ?+=???=+?

得

()2

2

2148440k x

kmx m +++-=，

0?>，即22410k m +->，

设()11,M x y ，()22,N x y ，

则12221228144414km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=

?+?

，()()22

12122414m k y y kx m kx m k -=++=+， ()1212

1212122224

AM AN y y y y k k x x x x x x ?=

?=---++ 22

222222222

2441144416416416164

141414m k m k k m km k m km k k k k --+===--++++++++， 2222444m k m km k ∴-=---， 220m km +=，

0m ∴=或2m k =-，

当2m k =-时，():2MN l y k x =-，

恒过()2,0不符合①， 当0m =时，:MN l y kx =， 结合①，恒过()0,0， 综上，直线MN 恒过()0,0． 19.【解析】

（Ⅰ）()x f x e a '=-，由题可得(0)0f '=，即10a -=，故1a = （Ⅱ）()x f x e a '=-

①当0a =时，()0x f x e =>恒成立，符合题意。

②当0a <时，()0f x '>恒成立，则()f x 在R 上单调递增，当1

1x a

=-时，

111

(1)10a f e a

--=-<，不符合题意，舍去； ③当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a = 当x 变化时，()f x 和()f x '变化情况如下

min ()(ln )(ln 1)f x f a a a a ==-+，由题意可min ()0f x ≥，即ln 0a a -≥，

解得01a <≤。

综上所述，a 的取值范围为[0,1]

（Ⅲ）由题可知要证()f x 的图像总在曲线2ln y x =+上方，即证2ln x e x >+恒

成立，即要证明ln 2x e x ->恒成立，构造函数()ln x g x e x =- 1()x g x e x

'=-，令1()x h x e x

=-，故21

()0x h x e x

'=+

>，则()h x 在(0,)+∞单调递增，则'()g x 单调递增.因为(1)10g e '=->，1

21

()202

g e '=-<，由零点存在

性定理可知，()g x '在(0,)+∞存在唯一零点，设该零点为0x ，

令()0g x '=，即00

1x

e x =

，且0

1(,1)2

x ∈ 当x 变化时，()g x 和()g x '变化情况如下

则000()()ln x g x g x e x ≥=-，因为00

1x e x =

，所以00ln x x =-，所以

000

1

()()2g x g x x x ≥=

+≥，当且仅当0

1x =时取等，因为01

(,1)2

x ∈，故

0()()2g x g x ≥>，即ln 2x e x ->恒成立，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x

=+的上方. 20.【解析】 （Ⅰ）

（Ⅱ）若11,n n r r c c ??????共2n 个数, ,n n Z λλ-≤≤∈，共21n +个数，

1212++=+n n r r r c c c +???+???+，121212++++=2(++)=0-n n n r r r c c c r r r λ+???+???++???

所以λ为偶数.

（Ⅲ）设整数[5,5]λ∈-，且5H λ?，λ可取420±±，

，. 当4λ≠±时，设12345,5,4,4r r r r ==-==-. 此时22j c -≤≤，3±不能同时取到，所以无解.

当4λ=-时, 设1235,5,4r r r ==-=,则1234545123+++++r +r (+r +r )4c c c c c r +=，

12345123454

++++=+r +r +r +r =22

c c c c c r =

， 45r +r 2=-，由题2j c ≥- 所以设4531r r =-=，，当411100r =---++时，2j c ≠.所以无解.

411111r =----+时，12345,,,,c c c c c 中至少三组数据分别为0,1,1-，

与51r =矛盾，不成立.

同理当4λ=时,无解，所以不存在“5阶H 表”.