3-复合材料力学-细观力学-单层板模量0528
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复合材料力学第11章单层复合材料的细观力学分析
24
11.3.5 面内剪切强度S 面内剪切破坏是由基体和界面剪切损坏引起。面内剪切强度S可用 下式表示：
25
11.4 短纤维复合材料的细观力学分析
11.4.1 应力传递理论
由图示可列出平衡条件： 化简为
积分得 化简为
26
剪应力分布未知，为求解，需对纤维的周围界面和末端材料变形作 假设： （1）纤维长度中点由对称条件得剪应力为零； （2）末端 （3）纤维周围基体是理想刚塑性体，应力-应变关系如图所示。 这样界面剪应力沿纤维长度是常数，其值为基体屈服应力 ，上式 变为：
20
单根纤维在y方向屈曲时位移v用三角级数表示为
21
（1）拉伸型式 经过推导可得，纤维受压时的最小临界应力为：
复合材料最大应力为：
与纤维相比基体基本不受力，即
，则可得：
22
（2）剪切型式 经过推导，
2.横向拉裂理论 横向破坏应变比基体破坏应变小，有经验关系式：
23
即得 11.3.3 横向拉伸强度
11.6 刚度的弹性力学分析方法
11.6.1 弹性力学的极值法 1. E的下限 经过推导得出：
38
2. E的上限
39
11.6.2 精42
2. 的的预测 3.
43
44
11.6.3 接触时的弹性力学解
以后
45
46
11.6.4 Halpin-蔡方程
47
单向纤维增强复合材料的变形： （1）纤维和基体都是弹性变形； （2）基体发生塑性变形，纤维继续弹性变形； （3）纤维和基体都处于塑性变形； （4）纤维断裂或基体开裂导致复合材料破坏；
16
1.等强度分析的纤维
假定纤维应变等于基体应变，则复合材料 的强度为 如果复合材料拉伸强度大于单纯基体强度， 则纤维起增强作用必须超过的临界 值为
11.3.5 面内剪切强度S 面内剪切破坏是由基体和界面剪切损坏引起。面内剪切强度S可用 下式表示：
25
11.4 短纤维复合材料的细观力学分析
11.4.1 应力传递理论
由图示可列出平衡条件： 化简为
积分得 化简为
26
剪应力分布未知，为求解，需对纤维的周围界面和末端材料变形作 假设： （1）纤维长度中点由对称条件得剪应力为零； （2）末端 （3）纤维周围基体是理想刚塑性体，应力-应变关系如图所示。 这样界面剪应力沿纤维长度是常数，其值为基体屈服应力 ，上式 变为：
20
单根纤维在y方向屈曲时位移v用三角级数表示为
21
（1）拉伸型式 经过推导可得，纤维受压时的最小临界应力为：
复合材料最大应力为：
与纤维相比基体基本不受力，即
，则可得：
22
（2）剪切型式 经过推导，
2.横向拉裂理论 横向破坏应变比基体破坏应变小，有经验关系式：
23
即得 11.3.3 横向拉伸强度
11.6 刚度的弹性力学分析方法
11.6.1 弹性力学的极值法 1. E的下限 经过推导得出：
38
2. E的上限
39
11.6.2 精42
2. 的的预测 3.
43
44
11.6.3 接触时的弹性力学解
以后
45
46
11.6.4 Halpin-蔡方程
47
单向纤维增强复合材料的变形： （1）纤维和基体都是弹性变形； （2）基体发生塑性变形，纤维继续弹性变形； （3）纤维和基体都处于塑性变形； （4）纤维断裂或基体开裂导致复合材料破坏；
16
1.等强度分析的纤维
假定纤维应变等于基体应变，则复合材料 的强度为 如果复合材料拉伸强度大于单纯基体强度， 则纤维起增强作用必须超过的临界 值为
第6章 复合材料细观力学PPT
物理关系
G , G , G Ⅱ
12
12 12 f 12
f 12 f m12
m12 m
于是
GⅡ 12
Gf
f
Gm m
6.3.3 植村-山胁的经验公式
E1 EⅠ1 E1Ⅱ
E2 (1 c)EⅠ2 cEⅡ2
1 (1 c)Ⅰ1 c1Ⅱ
2
E2 E1
1
G12 (1 c)GⅠ12 cG1Ⅱ2
(3)泊松比
I 1
,
I 2
当正轴σ1方向受力作用时，纵向泊 松比的定义为
I 1
2 1
单元的横向变形量Δb为 b b 2 b1I 1
从细观来看，单元的横向变形量应等于纤维与基 体的横向变形量之和,即
bbf 2 bm2 bff 2 bmm2 bfff1bmmm1
3
因为
1 f 1 m1
所以
E f 1 Em f 3(1 f )
（拉压 型）
Xc
Gm 1 f
（剪切 型）
7
练习题
• 用材料力学方法证明单向纤维复合材料中纤维所承受
载荷Pf与纵向总裁荷P之比为
Pf 1/(1 Em m )
P
Ef f
• 已知某纤维Xft=2000MPa,Ef1=90GPa,基体树脂 Xmt=220MPa,Em=3.5GPa.若基体的延伸率大于纤维，试 求由以上基体和纤维制得的复合材料单向板的临界纤
X ft
X mt
X ft
Em Ef1
vfmin称为纤维控制的最小体积含量
6.4.2 纵向压缩强度Xc
拉压型微屈曲引起破坏的纵向压缩强度
X c 2 f
E f Em f 3(1 f )
复合材料细观力学
总应变ij必须是相容的
ij
1 2
ui, j u j,i
(2-2)
弹性应变与应力通过Hooke’s law联系在一起
ij Cijklekl Cijkl
kl
* kl
或者
(2-3)
ij Cijkl
uk ,l
* kl
(2-4)
2. 弹性问题的基本方程
边界条件为
ij 0
lim x 0
(2-12)
2. 弹性问题的基本方程
将方程（2.4）代入方程（2.10）和（2.11）中可得
C u C ijkl k,lj
ijkl kl, j
和
(2-13)
Cijkluk,l n j
Cijkl
kl
n
j
(2-14)
由方程（2.13）和（2.14）可以看出，本征应变对 平衡方程和边界条件的贡献相当于体积力和面力。
对于给定的本征应变*ij，所要求解的基本方程为
C u C ijkl k,lj
ijkl kl, j
(3-1)
Fourier积分变换
三维空间内函数的Fourier积分变换及反变换分别为
F ξ
1
8 3
f
xexp
iξ
xdx
f
x
F
ξ
expiξ
(3-11)
对方程（3.6）进行Fourier反变换，并根据几何方
程和本构关系，我们有
ui x
i
C
jlmn mn
复合材料力学与结构设计：第2章 单层板细观力学
• 这些最大的纤维体积含量实际上是不可 能达到的，因为纤维紧密接触，基体不 可能进入纤维方向润湿纤维，因而不可 能形成复合材料。
• 实验结果： • 差异较大
3 主泊松比 12
单向板在纤维方向受力拉伸，主泊松比
12
2 1
• 仍以矩形块代表纤维和基体，纵向拉伸时，横 向变形是纤维和基体变形之和。即：
wc: 复合材料重量 ws: weight of sinker when immersed in water ww: weight of sinker and specimen when immersed in water
2 复合材料进行燃烧或酸解
(1)玻璃复合纤维材料用燃烧法
(2) carbon-and aramid-based composites are digested in solutions
m
tm tc
f
Vf
m Vm
4 面内剪切模量 G12
对于相同的材料模量，施加面内剪切力
剪切变形：c f m
c c tc, f f t f , m m tm
c
c
G12
,
f
f
Gf
,
m
m
Gm
c
G12
tc
f
Gf
tf
m
Gm
tm
c f m
1 V f Vm G12 G f Gm
wc
ce
( ct ce ) ct
空洞体积分数
Vv
vv vc
ct ce ct
例: 一碳纤/环氧长方体试件尺寸a*b*c，质
量 M，c 当把试件放入硫酸(sulfuric acid)和双氧 水（hydrogen peroxide)的混合物中，剩下的碳
• 实验结果： • 差异较大
3 主泊松比 12
单向板在纤维方向受力拉伸，主泊松比
12
2 1
• 仍以矩形块代表纤维和基体，纵向拉伸时，横 向变形是纤维和基体变形之和。即：
wc: 复合材料重量 ws: weight of sinker when immersed in water ww: weight of sinker and specimen when immersed in water
2 复合材料进行燃烧或酸解
(1)玻璃复合纤维材料用燃烧法
(2) carbon-and aramid-based composites are digested in solutions
m
tm tc
f
Vf
m Vm
4 面内剪切模量 G12
对于相同的材料模量，施加面内剪切力
剪切变形：c f m
c c tc, f f t f , m m tm
c
c
G12
,
f
f
Gf
,
m
m
Gm
c
G12
tc
f
Gf
tf
m
Gm
tm
c f m
1 V f Vm G12 G f Gm
wc
ce
( ct ce ) ct
空洞体积分数
Vv
vv vc
ct ce ct
例: 一碳纤/环氧长方体试件尺寸a*b*c，质
量 M，c 当把试件放入硫酸(sulfuric acid)和双氧 水（hydrogen peroxide)的混合物中，剩下的碳
复合材料细观力学56页PPT文档
V
ij
1 2 1 2 1 2
V
V
ij d V
s (
i0
x n
j
1 2
s (u
0 j
x
in ni
j
) ds
u
jn i
V [ (
i0
x
),
j (
0 j
x
), i
] dV
V
(
i0
0 i
dV
x
,j
V
0
3D knitted composites for bicycle helmets
(a) cylinder and flange; (b) egg crate structures; (c) turbine rotors woven by Techniweave Inc.;
and (d) various
利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是
ij eij i*j
第二章 复合材料有效性能
第一节 Eshelby等效夹杂理论
1957年Eshelby在英国皇家学会会刊 发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性 场问题的文章，证明了在均匀外载作用时， 椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积分 形式）
复合材料性能和损伤破坏规律取决于
组分材料性能 微细观结构特征
u
i
(
s
)
0 ij
x
j
Ti
(
s
)
0 ij
n
j
复合材料结构设计
复合材料本身是非均质、各向异性材料， 因此复合材料力学在经典非均匀各向异性 弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅 是材料，更确切的说是结构
05力学
增强相：主要承受绝大部分载荷、增强、增韧。
功能体：赋予一定功能。 界面相：复合材料产生组合力学及其它性能，复合效应产生的根源。
PMC界面区域示意图
1.外力场
2.树脂基体
3.基体表面区
4.相互渗透区
5.增强材料表面区
6.增强材料
1.外力场
2、复合材料的复合效应
固有性质，如密度、模量、 混合效应：线性加合 比热 非固有性质，如强度、泊松 比等
的纤维使材料具有明显的各向异性。纤维采用正交编织，相互垂直
的方向均具有好的性能。纤维采用三维编织，可获得各方向力学性 能均优的材料。
纤维增强复合ห้องสมุดไป่ตู้料
通常用碳纤维、玻璃纤维和芳纶纤维增强高分子材料。
这类复合材料的性能较环氧树脂等基体有大幅度的提高，比强 度也高得多。 材料种类 环氧树脂 环氧树脂 / E级玻璃纤维 环氧树脂 / 碳纤维（高弹性） 环氧树脂 / 芳纶纤维（49） 环氧树脂 / 硼纤维（70 % Vf ） 纵向抗拉强度 纵向弹性模量 MPa GPa 69 1020 1240 1380 1400-2100 6.9 45 145 76 210-280
硼纤维：以钨丝或碳纤维为芯、表层为硼的皮芯型复合纤维。
5. 复合材料力学分类
复合材料力学
材料力学 细观力学
结构力学
叠层力学 或 粗观力学
宏观力学
◆细观力学-----是以复合材料中各相材料的性能及相几何作为已知 条件，把复合材料视为均匀材料（即等效均匀体） 计算的平均性能的数值 以纤维和基体为均质连续相为基础 ◆粗观力学-----是以纤维增强基体单层为均相，并利用其性能计算 复合材料的性能 ◆宏观力学-----以叠层复合材料的性能，设计复合材料的结构
复合材料细观力学性能
陶瓷纳米复合材料细观力学性能分析一.弓I言纳米材料是指尺度为I 一100nm的超粒，经压制、烧结或溅射而成的凝聚态固体。
它是80年代刚刚发展起来的先进材料，被美国材料科学会誉为“21世纪最有前途的材料”。
因此受到发达国家的高度重视，并且都在其发展高技术的计划中瞄准了这一新的材料领域，投人了相当的人力和物力⑴。
陶瓷材料是一种很有发展前途的结构材料，具有高的硬度，耐磨性，耐高温性，耐腐蚀性等其他材料无法比拟的优异性能，但脆性问题大大限制了陶瓷材料的应用发展，为进一步改善其断裂韧性和强度而进行陶瓷复合材料的研究。
陶瓷纳米复合材料是新近发展起来的一种陶瓷复合材料，复合系中至少一相为纳米尺寸［2,3］。
二.纳米陶瓷复合材料的分类在新型的纳米陶瓷复合材料中，其中的各相或至少其中某一相在一维上为纳米级，根据弥散相的不同和基体尺寸可分为晶内型，晶界型，晶内/晶界混合型，纳米/纳米型，如图1。
纳米弥散相分布在基体相晶粒内部为晶内型；纳米弥散相分布在基体晶界上为晶界型；实际制备中往往很难获得单纯一种纳米相处于晶内或者纳米相处于晶界上的纳米复合材料，多为晶内/晶间复合型；而在纳米/纳米复合陶瓷材料中所有各相晶粒均为纳米级。
纳米/纳米复合陶瓷材料在制备上对粉体性能以及烧结等工艺过程要求严格，使材料具有新的性能，如超塑性⑷。
图2-1纳米陶瓷复合材料的分类三.纳米陶瓷复合材料的力学性能分析3.1 AI2O3粉末对纳米陶瓷复合材料的影响为了改善纳米陶瓷复合材料的力学性能，探讨添加不同粒径和含量的Al 2O3粉末对纳米陶瓷复合材料微观结构和力学性能的影响。
实验采用真空热压烧结工艺来制备ZrO2纳米陶瓷复合材料，添加相包括AI2O3等金属粉末。
混合粉末经球磨48h和真空干燥24h后备用•在烧结温度为1450E、压力为30MPa、保温1h的条件下，采用真空热压烧结工艺，将干燥后的混合粉末制备成样品。
制得的样片厚度约为5mm，并经过切割、粗磨、精磨、研磨和抛光后，制成3mm x 4mm x 30mm的标准试样。
复合材料力学第03章单层复合材料的宏观力学]分析PPT课件
![复合材料力学第03章单层复合材料的宏观力学]分析PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/c52a0d02312b3169a551a45c.png)
11
平面应变状态(4)
0 0 S013 0 0
S0 023 1 2 S0 033
0 S44 0
0 0 03
S55 0
S 13
03
S 33 0
0
0
S 23
S 33 0
0
1 2
12S66 12 12
平面应变状态(5)
1
2
12
S11
S123 S33
§3.2 单向板的偏轴应力 应变关系
• 应力转轴公式 • 应变转换公式 • 偏轴应力—应变关系 • 偏轴工程常数 • 主应力与主应变
18
§3.2.1
• 应力转轴公式
(a)
(b)
图3-2 单元体平衡 19
§3.2.1
（a）X方向平衡:
x 1c2 o s2s2 in 2 1s2 ic n os
mn mn m2 n2
22
§3.2.2
• 应变转换公式
转换公式的获得与上述相似，但稍繁
12
m2 n2
n2 m2
mmnnxy
12 2mn2mnm2n2xy
23
应变转换公式（1）
0 0
12 0 0 0 0 0 S6612
10
平面应变状态(3)
1 2 S S1 12 1
S S1 22 2 1 2 S S1 23 3
0 0
0 0 0 03
利用：3c311c322
12S1S211S1SSS3133S233323
S1S222S1SSS33S3223332312
Pl.和Pl. 下的柔度矩阵和刚度矩阵
[S],[Q],[C],[R].
15
习题（1）
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理想代表体积元f m截面相等
实际的代表体积元f m截面不相等
24
25
子区域划分法：
B子区域应用 逆混合法则
26
再对ABA三个子区域应用混合法则：
式3.54称横向模量的“子区域法”
27
弹性力学方法： 数值模拟（有限差分）方法： 数值模拟（有限元）方法：
28
半经验公式： The Halpin–Tsai equation
composite, fiber, and matrix properties are known
18
an E-glass/epoxy composite
we find that a1 = 2.0884, b1 = 0.1093, 通过能量方法验证说明该材料符合应变相等的假设！
19
确定图示钢筋混凝土的E1 其中混凝土Em=17GPa, Ef=200 解：
逆混合： 子区域法 method of subregions
30
For the Halpin–Tsai Equation 3.63 For the Tsai–Hahn Equation 3.66
31
Summary: the inverse rule of mixtures prediction for the transverse modulus is considerably lower than experimentally determined values. However, the higher values given by the method of subregions, Spencer’s equation, the Halpin–Tsai equation, and the Tsai–Hahn equation are in good agreement with each other and with experimental values, and so these equations are recommended for design use!
12
（预测单层板的工程常数） 1、纵向模量E1
13
A representative volume element (RVE)代表体元及其应力表示
体积比等于截面的 面积比！
14
纵向加载可分析截面平均应力。根据静力平衡有：
两边除以总截面面积，得所谓“混合法则” 只考虑“1”主方向，有一维胡克定律： 代入式（3.23）： 假设纤维基体牢固结合，即应变相等，可约去，得：
15
16
小弹性应变能
U=1/2σε×V=1/2Eε2×V=1/2σ2/E×V
应变相等，约去
17
若应变相等假设不相等会怎样？
可以设：
a1=
where a1 and b1 are constants.
b1=
由应变能密度： ν=U/V=1/2×σ2/E以Leabharlann 应变能关系：“应力混合法则”
3.31 and 3.32 can be solved simultaneously for a1 and b1 when
5
确定孔隙含量： 单层板的体积组成：纤维、基体、孔隙； 单层板的质量组成：纤维、基体 单层板的密度： 孔隙体积比the void fraction
6
纤维体积分数计算： 类似地，基体体积分数计算：
7
例题3.2 A carbon/epoxy composite specimen has dimensions of 2.54 cm × 2.54 cm × 0.3 cm and a weight of 2.98 g. After “resin digestion” in an acid solution, the remaining carbon fibers weigh 1.863 g. From independent tests, the densities of the carbon fibers and epoxy matrix materials are found to be 1.9 and 1.2 g/cm3, respectively. Determine the volume fractions of fibers, epoxy matrix, and voids in the specimen.
其中ξ=2时，与体积0.55的圆形纤维复材吻合良好 the Tsai–Hahn equation
其中η表示基体与纤维的横向应力比，η=0.5式，与实验吻合良2好9
例题3.8 某复合材料vf=0.506; vm=0.482; vv=0.0122 Ef1 = 32.0 × 106 psi (220 GPa), Ef2 = 2.0 × 106 psi(13.79 GPa), and Em = 0.5× 106 psi; Compare Estimated E2
复合材料力学与结构
3-细观力学-单层板有效模量
曾盛渠 湖南工学院 高分子复合材料教研室 2020.5
1
感谢以下参考教材
• [1]《复合材料力学基础》Principles of Composite Material Mechanics by Ronald F. Gibson, 张晓晶等翻译，2019（中译版以及 原版）
the volume fraction of the steel rods is only 5.5%, the steel contributes about 40% of the longitudinal composite modulus because of the high modulus of steel (200 GPa) relative to that of concrete (17 GPa).
• [2]Stress-Analysis-of-Fiber-Reinforced-Composite-Materials,1998（英 文原版）Hyer著，弗吉尼亚理工.
2
细观力学： 根据纤维和基体的材料性能、相对体积含量、几何排列等， 预测 连续纤维增强板的有效模量
3
4
关键要素之一： 相对体积和相对质量 预测模型的方程使用相对体积（如何测量？） 但是，相对质量更容易测量（想一想，如何测量？）
20
21
如图横向加载，不能采用纵向加载时的 截面平均应力来分析， 只能用应变进行分析： 首先，2方向总伸长有：
各个伸长量：
代入上式有：
22
The 1D Hooke’s laws for this case are
假设横向各部分的应力相等， 可得“逆混合法则”
23
逆混合公式：
各部分应力相等的假设，不符合实际 实际纤维和基体的力与面积不相等
32
本章完！
33
Solution The composite density is
8
From Equation 3.9, the void fraction is Then, from Equation 3.6
9
10
11
实际的纤维不是完美的圆形！ 充填在基体的方式也是随机的，如图 实际的纤维体积分数：0.5-0.8