正余弦定理专题

解斜三角形（正余弦定理灵活应用） 1.正弦定理： A a sin =B b sin =C

c sin =2R.（关键点“比”）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）

2.余弦定理：

a2=b2+c2－2bccosA ；① b2=c2+a2－2cacosB ；② c2=a2+b2－2abcosC. ③

在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2.

cos A =bc a c b 2222-+； cos B =ca b a c 2222-+； cos C =ab

c b a 22

22-+. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.

判断三角形的形状：

1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（）答案：C

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形 2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（）答案：C

A.sin A +cos A =51

B.AB ·＞0

C.tan A +tan B +tan C ＞0

D.b =3，c =33，B =30° 解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－25

24＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角.

由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.

由

B b sin =

C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3

π2. 3.在△ABC 中，sin A =C

B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 解：a =ab

c b a ca b a c c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.

解斜三角形（求角度和长度）

4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.

解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 答案：3

π 5.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2

1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：在△ABC 中，A ＞30°?0＜sin A ＜1 sin A ＞

21；sin A ＞21?30°＜A ＜150°?A ＞30°答案：B

6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =

1（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______. 解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4

π. 答案：45° 7.△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .

证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）?

sin 2A －sin 2B =sin B sin C ?

22cos 1A -－2

2cos 1B -=sin B sin （A +B ）?21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ?sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），

因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B . 该题若用余弦定理如何解决?

解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得

cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b

b c 2-， cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 22

22-+）2－1=2222c

c b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .

评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷. 8.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为

23，那么b 等于（）答

案：B A.231+ B.1+3 C.

32+ D.2+3 解析：2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422?--b b =4

42-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.

9.已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=5

（1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.

（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=5

1， ∴???????=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ????

????==?=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：

2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43，即B

A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =

62+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CD tan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.

10.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及c

B b sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由

b 2=a

c 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c

B b sin 的值. 解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .

在△ABC 中，由余弦定理得 cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=2

1，∴∠A =60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a

A b sin ， ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴ac b c

B b ?=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△AB

C 中，由面积公式得21bc sin A =2

1ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴

B b sin =sin A =23. 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理. 11.在△AB

C 中，若∠C =60°，则c

a b c b a +++=_______. 解析：c a b c b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bc ac b a ++++++. （*）

∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab .

∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc

ac b a ++++++=1. 答案：1

取值范围题目 12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =B

B B cos sin 2sin 1++的取值范

围.

解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21. ∴0＜B ≤3

π， y =B

B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π） .∵4π＜B +4π≤12

π7， ∴22＜sin （B +4π）≤1. 故1＜y ≤2. 13.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2.

（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.

解：（1）由22

（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）R b 2. 又∵R =2

，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab . ∴cos C =ab c b a 2222-+=2

1.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.

（2）S =

21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ）=23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）

=3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23=3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =

33. 14.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______. 解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴ab

c b a 22

22-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5. ●思悟小结

1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin

2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2

C 2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.

3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .

评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.

正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4， 30,34==A b ，则B 等于（） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（） A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin C A =2， ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0 150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5 ，c=10，A=30°，则B 等于（） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中， 75 6,8,cos 96BC AC C === ，则ABC ?的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（） A.14 B.23 C.23- D.1 4- 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4 ，b=4 ，则B 等于（）

(完整版)必修五正余弦定理习题练习

必修五正余弦定理习题练习一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） A．B．C．D． 2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（） A．B．C． D． 3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或 5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1 二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______． 7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______． 8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______． 9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．

正余弦定理练习题(答案)

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

正余弦定理题型总结(全)

平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（）A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在 ,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→ →b a λλλλ 变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→ →b a //”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（） A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→ →→→=+b a b a _ C. 若→ →→→ =+b a b a _，则存在实数λ，使得 →→ =a b λ D 若存在实数λ，使得→ →=a b λ，则 → →→→ =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。变式一：设→ → 21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（） A. += B. += C. += D. ++= 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（）A. A =

正余弦定理练习题

正余弦定理练习题 1.已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为（） A ．22 B ．8 2 C. 2 D.22 2. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 3. 满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．不确定 4. 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 5. 在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________． 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________. 7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .

8. 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ? ?? ??2A －π4的值． 9. 设△ABC 的角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc . (1)求sin A 的值；(2)求A C B A 2cos 214sin 4sin 2-??? ??++??? ??+ππ的值． 10. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 11. 在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13 . (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．

最全正余弦定理题型归纳.

正弦定理和余弦定理一、题型归纳〈一>利用正余弦定理解三角形【例1】在△AＢC中，已知a=3,b=2,Ｂ=４5°,求Ａ、C和c。【例2】设ABC ?的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b＋32c-32a2b c. (Ⅰ）求ｓiｎA的值;（Ⅱ)求2sin()sin() 44 1cos2 A B C A ππ +++ - 的值。【练习１】 (201１·北京)在△ABＣ中,若b＝５,∠Ｂ＝错误!，tan A=2，则ｓin A=_______＿；ａ=___＿＿___. 【练习２】在△ABC中,a、ｂ、ｃ分别是角A、B、C的对边，且＼f（cｏs Ｂ，coｓC）=－错误!. (1）求角B的大小;

（2)若b ＝错误!,a ＋c =4,求△AB Ｃ的面积．〈二〉利用正余弦定理判断三角形的形状【例3】1、在△ＡＢC 中，若（ａ2＋b 2）sin （A -B )=(a 2－ｂ２)sin C ,试判断△AB Ｃ的形状. ２、在△ＡB Ｃ中，在ABC ?中,a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，ｂｃosA=a c ｏs Ｂ,则ABC ?三角形的形状为___＿____＿___＿_____ ３、在△ＡBC 中,在ABC ?中,a,b,c 分别是角A 、Ｂ、C 所对的边，若c ｏs ＡcosB =＼f(b,a ），则ABC ?三角形的形状为＿___＿__＿______＿＿___ 【练习】1、在△ABC 中,2cos 22A b c c +=（,,a b c 分别为角,,A B C 的对边),则△AB Ｃ的形状为（ ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形或直角三角形Ｄ、等腰直角三角形 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是(）Ａ、直角三角形Ｂ、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形 3、在△ABC 中,2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+,则△ＡBC 的

正弦定理余弦定理习题及答案[精选.]

正余弦定理 1．在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45? 求A 、C 及 c . 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- A B 3 23 π

正余弦定理专题

解斜三角形（正余弦定理灵活应用） 1.正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin =2R.（关键点“比”）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理： a2=b2+c2－2bccosA ；① b2=c2+a2－2cacosB ；② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. cos A =bc a c b 2222-+； cos B =ca b a c 2222-+； cos C =ab c b a 22 22-+. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”. 判断三角形的形状： 1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（）答案：C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（）答案：C A.sin A +cos A =51 B.AB ·＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0 D.b =3，c =33，B =30° 解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－25 24＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由 B b sin = C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3 π2. 3.在△ABC 中，sin A =C B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 解：a =ab c b a ca b a c c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形. 解斜三角形（求角度和长度） 4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.

(完整版)正余弦定理综合习题及答案

正余弦定理综合 1.（2014天津）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1 4 b c a -= ，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______. 2.（2014广东）.在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知 b B c C b 2cos cos =+，则 =b a . 3.已知ABC ?的内角 21)sin()sin(2sin ,+ --=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是。 5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值。（仰角为直线AP 与平面ABC 所成角） 7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD, 2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( ) A.33 B.36 C.63 D.66 8.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B = （I ）求角C 的大小；（II ）若4 sin 5 A = ，求ABC ?的面积.

(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ，由ABC △为锐角三角形得π6B = ．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ??? 1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<，所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ，所以60C =o ．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

正余弦定理综合习题及答案

正余弦定理综合 1.（2014天津）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为_______. 2.（2014广东）.在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b a . 3.已知ABC ?的内角21 )sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+ ,则C cos 的最小值是。 5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值。（仰角为直线AP 与平面ABC 所成角） 7． (2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD, 2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( ) A.33 B.36 C.63 D.66 8.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .

(完整版)正余弦定理习题加答案详解超级详细

正余弦定理高中数学组卷一．选择题（共9小题） 1．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（） A．B． C． D． 2．（2016?潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2016?岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1 4．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（2016?河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（） A．B．C．D． 6．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或 7．（2016?岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c， asinAsinB+bcos2A=a，则=（） A．2 B．2C．D． 8．（2016?新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（） A．B．C．D． 9．（2016?江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（） A．B．C．D．二．填空题（共7小题）

10．（2016?上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=． 11．（2016?丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于． 12．（2016?焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016?潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 a?cosB+b?cosA=3c?cosC，则cosC=． 14．（2016?抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为． 15．（2016?长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于． 16．（2016?湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=．三．解答题（共4小题） 17．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 18．（2016?安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积． 19．（2016?平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围． 20．（2016?鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c （Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．

正弦与余弦定理练习题及答案

正弦定理练习题 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.1 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )

A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1， c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则 a ＋ b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

高考数学题型全归纳：正余弦定理常见解题类型典型例题含答案

正余弦定理常见解题类型 1．解三角形正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．例1 已知在ABC △中，452A a c ∠===，，解：由余弦定理得22cos 454b +-=，从而有1b =±．又222222cos b b C =+-?，得1cos 2 C =±，60C ∠=或120C ∠=． 75B ∴∠=或15B ∠=．因此，1b =+，60C ∠=，75B ∠= 或1b =-，120C ∠=，15B ∠=．注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做． 2．判断三角形的形状利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：A B C ++=π；利用余弦定理公式 222222 cos cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==，， 222 cos 2a b c C ab ++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状．解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，为ABC △外接圆的半径，可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =， sin sin 0B C ≠∵， sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=． 90B C ∴+=，即90A =，故ABC △为直角三角形．

正弦定理余弦定理超经典练习题

正弦定理、余弦定理练习题一、选择题 1.已知在△ABC中,sin A:sin B：sin C＝3:２:４,那么ｃos C的值为 A.－ B.Ｃ.- D. 3.在△ABＣ中，ｂcos A＝a cos B,则三角形为Ａ.直角三角形B.锐角三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ.等边三角形４.已知三角形的三边长分别为x２+x+1,x2-1和2x+1(ｘ＞1),则最大角为 A.15０°Ｂ．120° C.60° D.7５° 5.在△ABC中，=1，=2,(＋)·（+）＝5+２则边｜|等于 A.B．5－２Ｃ.Ｄ． 6.在△AＢＣ中，已知B=30°,b=5０,c=１5０,那么这个三角形是 A．等边三角形 B.直角三角形Ｃ．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形 7.在△ABC中，若b２sin2C＋c2siｎ2Ｂ=2ｂc cos B coｓC，则此三角形为 A.直角三角形Ｂ．等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8.正弦定理适应的范围是Ａ.Rt△Ｂ.锐角△Ｃ．钝角△Ｄ.任意△ 9.已知△ABＣ中,a＝10,B=６０°,C=45°,则c= A.１０+ B.10(-1) C.（+1) D.10 1０.在△AＢC中,bｓin A

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 1４.在△AＢC中，a＝2,Ａ=３０°,C=４5°，则△ABC的面积S△ABＣ等于 A.B.2 C.+1 D.(＋1） 15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C,则sin A sｉn C 等于 A.cos2B B.1－cos2B C．1+coｓ2B D.１+sin２B 16.在△AＢC中，ｓｉn A＞sin B是A＞Ｂ的 A.充分不必要条件B．必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.在△ＡBＣ中，b CoｓＡ=a cos B，则三角形为 A.直角三角形B．锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 1８.△ＡBC中,sin２A=sin２B+sin2C,则△ABC为Ａ.直角三角形 B.等腰直角三角形C．等边三角形 D.等腰三角形 19.△ABＣ中,A＝60°,b＝1,这个三角形的面积为，则△ABC外接圆的直径为 A. B.C． D. ２0．在△ABC中,,则k为 A.2R B.R C．4R D.（R为△AＢC外接圆半径) 二、填空题 1.在△ＡBC中，A=６0°，C＝45°，b＝２，则此三角形的最小边长为． 2．在△AＢC中,＝. ３.在△ABC中，a∶ｂ∶c=（＋1）∶∶2,则△ＡBＣ的最小角的度数为. 4.在△AＢC中,已知sｉn A∶sinＢ∶siｎＣ＝６∶5∶4，则ｓec A=. 5.△ABC中，，则三角形为＿________. 6.在△AＢＣ中，角A、Ｂ均为锐角且cｏs A>sｉn B,则△ＡBC是_＿_＿______＿.

正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理 7斥 6.已知心ABC 中，BC =6, AC =8,cosC =— ,^U 心ABC 的形状是（） 96 A. 锐角三角形 B ?直角三角形 C.等腰三角形 D ?钝角三角形 7.在|MBC 中，内角代B,C 的对边分别为a,b,c ，且B = 2C ,|2bcosC — 2ccosB = a ，则角A 的大小为（ A. JI B . JI C . 31 D . 1 2 3 4 6 2 2 2 ________________________________________ &在△ ABC 中，若sin A + sin Bv sin 。，则厶ABC 的形状是（） B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 11. 在△ ABC 中，cos 2 =—二，则△ ABC 为（）三角形. 2 A.正 B .直角 C .等腰直角 D .等腰 12. 在△ ABC 中，A=60° , a=4 I:, b=< :?:，则 B 等于（） A. B=45° 或 135° B. B=135 C. B=45° D. 以上答案都不对 A. 30° B .30° 或 150° C .60° D . 60° 或 120° 2. 已知锐角厶 ABC 的面积为 3品,BC=4, CA=3 则角C 的大小为（） A. 75° B .60° C .45° D .30° 3.已知右ABC 中，a,b, c 分别是角A, B,C 所对的边，若（2a + c ）cosB + bcosC = 0,则角B 的大小为（ A. JI 6 2 ■: 4. 在 ABC 中, a 、b 、 c 分别是角A 、B 、 A. 300 B. 60° C. 1200 D. 1500 5. A. 在厶ABC 中, 105° B, C 的对边分别是 B . 60° C . 15° D . 105° 或角A , a , b , c . 已知 a=5g ：l |, c=10, A=30°，贝U B 等于( 15° A. 9. A. 锐角三角形在AABC 中, 1 ，那么cosC = .不能确定） B. 4 10 .在 ABC 中，等腰直角三角形 , 分别为角, , 所对边，若a =2bcosC ，则此三角形一定是 A. 1 已知△ ABC 中，a=4, b=4j3, A=30$ 贝U B 等于( ) C 的对边?若— a = 3ac ，则三 B =() sin A:sin B :sin C B .直角三角形 C .钝角三角形 D （

正余弦定理练习题含答案

高一数学正弦定理综合练习题 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则 a ＋ b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？ 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2 ，求A 、B 及b 、c .