流体力学第十章 相似原理和因次分析
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vmlm
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm l
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm l
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能 的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fm mVm vm tm 3 1 2 2 l v t l v Fp pVp v p t p
也可写成：
F 1 2 2 l v
令：
F
l v
2 2
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与 惯性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性 力的比值，是无量纲数。由此可知，模型 与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必 相等。
qv g H f
f const 2 时， 2
当重力加速度 g 不变时，三角堰流量与堰
顶水头 H 的关系为：
qv CH ~ H
5 2 5 2
其中 c 只能用实验方法或其他方法确定。
【例】 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道 的压强降 p 与管道长度 L ，内径 d ，绝对粗糙度 ，流体的平均 流速 v ，密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表 达式。 【解】 按照瑞利法可以写出压强降 p kLa d a a v a a a （b）
第三节
动力相似的准则(模型率)
一.相似准则的提出
相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、 运动相似和动力相似三个方面都得到满足。 但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相 似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问
题：有什么其它办法能保证两个流动相似呢？
二.相似准则的推导
流体的运动必须符合牛顿第二律 F ma ，对模型和原型 流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并根据动力相似， 各种力大小的比例相等，可得：
注： 作用在流体微团上的力有各种性质的力， 如重力、粘滞力、压力、弹性力等。但不论何 种性质的力，要保证两种流场的动力相似，它 们都要服从牛顿相似准则。由此可导出单项力 相似的准则。
1.粘滞力相似准则
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。 F m m dvm d ym Am F v l F p p dv p d yp Ap
-3
表面张力：dim =MT -1 -2 体积模量：dim K =ML T -1 -1 动力粘度：dim =ML T 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
p
v
-2
2、方程因此一致性
E它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的弹 性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
F 1 代入 2 2 l v
l g
v
12
1
vp vm Fr 12 12 g mlm g pl p
Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。
想一想 设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则， 如果模型流量为100 cm3/s ，则原型流量为 多少 cm3/s ? A：0.01 C：10 答案: c B：1000 D：10000
L v 2 p d 2
h f p 令
g ，则得单位重量流体的沿程损失为
L v2 hf d 2g
这就是计算沿程损失的达西-魏斯巴赫 （Darcy-Weisbach） 公式。
三、 定理： 定理可以解决瑞利中方程的 个数等于待定系数的缺点.内容如下 (一)内容
1. 2.
③ 表面力相似准则
在表面张力作用下相似的流动，其表面张力 分布相似。（We——韦伯数，惯性力与张力 的比值）。
三.完全相似和不完全相似
动力相似可以用相似准则数表示，若原型和 模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等， 如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上， 不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了 甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因 素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。
量纲分析法
选取影响流动的 n 个物理量写出下述函数关 系如 F ( x1 x2 .....xn ) 0 (1) 选择 m 个独立变量，原则是要既相互独立， 又包含三个基本量纲. 一般选 : 几何尺度 xn L l 速度 xn 1 LT 1 v 质量 xn 2 ML3
第九章
量纲分析及相似理论
概述
一.相似理论的提出
1.对流动规律的试验结果的推广
对于大多数粘性流体流动的工程问题难以用 微分方程加以描述，或者即使能够建立微分方程 式，由于初始条件和边界条件不能用数学方法给 定，目前还不能求得精确解，只能作出一些假设 和推断求得近似解，这些近似解是否合理，只能 依靠试验验证。但这些结果只能应用于与试验条 件相同的流动现象，有很大的局限性。
Vp
二.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场所有对应点上对 应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比例 相等，即它们速度场相似。
速度场相似
速度比例系数：
un1 un 2 v vm1 vm 2
l 时间比例系数： t v v l v2 加速度比例系数： 2 a t t l
代入
kF
2 2 l v
1
v l v l vm l m v p l p Re 1 m p Re－雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。
u
算一算：
如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力 相似，采用模型中流体与原型中相同， 模型中流速为50m/s，则原型中流速 为多少？
1 2 3 4 5 6
如果用基本量纲表示方程中的各物理量，则有
ML1T 2 La1 La2 La3 LT 1
ML ML
a4 3 a5
1
T 1
a6
根据物理方程量纲一致性原则有 1 a1 a 2 a3 a 4 3a5 a6 对L 对T 对M
2 a 4 a6
2.流体力学的模型实验
随着工业的发展，涉及流体动力学的整机和部件都 很 大，很复杂。比如，飞机的设计，大坝的设计 等。这些设计方法都要依赖于试验，但这些试验又 无法在实物上进行只能通过模型试验进行。
飞机图例 大坝图例
思考：
如何做模型试验？
二.模型试验要解决的问题 1.如何根据实物正确的设计和布置模 型实验，例如：模型尺寸如何确定？介 质如何选取?
1 a5 a 6
六个指数有三个代数方程，只有三个指数是独立的、待定的。例 如取 a1 , a 3 和 a6 为待定指数，联立求解，可得
a 4 2 a 6 , a5 1 a6 , a 2 a1 a 3 a 6
代入式（b） ，可得
1 3 L v 2 p k d d vd
一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相同。
1 2 s V0t at 2
L L LT 1T L LT 2 T 2 L
-----方程两端具有相同量纲
量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。
二、因次分析法 （一）瑞利法
1.定义： 根据量纲量一致性原则，确定相关 量的函数关系。 假定物理量y是x1、x2等的函数。则
vp vm Fr 12 12 g mlm g pl p
3.压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场相似。 Fpm Pm Am F p l2 Fpp Pp Ap
代入
F 1 2 2 l v
p 1 2 v
pp pm Eu 2 2 m vm p v p
a a a y kx1a1 x2 2 x3 3 ......xn n
关键的问题是怎么根据量纲一致性原则确 定各个x的指数。
2. 举例：
【例】 已知三角堰流的流量 qv 主要与堰顶水头 H 、三角堰 堰角 、流体密度 和重力加速度 g 有关，试用瑞利法导出三 角堰流量的表达式。
三角堰
【解】 按照瑞利法可以写出体积流量
第四节 因此分析法
一、因次分析的概念和原理
1、 因次 因次是物理量的性质和类别，是同一物理量各种不同单位 的集中抽象。单位除表示物理量的性质外还表示物理量的 大小。因次又称为量纲。 如： s单位：km，m，cm，mm 等 t单位：hour，min，second 等 s-----具有长度的量纲[L] V-----具有速度的量纲 t-----具有时间的量纲[T] [L] [V] [T]
解：由粘滞力相似准则知模型与原型中的雷诺数 应相等： Re m Re p
由题意知：
vmlm
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm kl
因为： 所以：
l 1 20
vm 50m / s
v p 2.5m / s
2.重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。 Fgm mVm g m F l3g Fgp pV p g p
２.怎样整理模型试验的结果并将整理 的结果还原到实物，并进行应用推广？
第一节 力学相似的原理
两流动的相似是指： 一个流动某点的运动参数由另一个流动相应
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[研究生入学考试]相似性原理和因次分析
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9.1 相似理论基础
流动相似概念： 在两个几何相似的空间中的流动系
统，若对应点的同名物理量之间有 一定的比例关系，则这两个流动系 统相似。 几何相似
流动相似包括
运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
9.1.2 几何相似
指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和 模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。
问题： 雷诺数的物理意义表示： A. 粘滞力与重力之比； B. 重力与惯性力之比； C.惯性力与粘滞力之比； D.压力与粘滞力之比
2.量纲分析法 瑞利方法 前提条件：影响流动现象的变量之间的函数关系
是幂函数乘积形式。
具体步骤：
确定影响流动的重要物理参数，假定它们之间的关系 为幂函数乘积形式； 根据量纲和谐原理，建立各物理参数指数的联立方程 组； 求解方程组得各物理参数得指数值，代入所假定得函 数关系得无量纲数之间的函数关系； 通过模型实验确定待定系数；
p p
2 v pz 2 v pz 2 v pz 2 2 x 2 y z p p p
模型系统 vmz vmz vmz vmz 1 pm （模型)： tm vmx xm vmy ym vmz zm = - g m m zm
l Sr t
9.3 模型实验
模型研究方法的实质：在相似理论的指导下， 建立与实际问题相似的模型，并对模型进行实 验研究，把所得的结论推广到实际问题。 模拟相似条件 几何相似 物理相似 定解条件相似
9.4 量纲分析法
对未建立微分方程的问题，根据影响流动过程的物理参数 通过量纲分析导出相似准则；
重点内容 授课内容 课堂练习 思考题 作业
第十章 相似性原理和因次分析
重庆大学853流体力学考点勾画
重庆大学2022年城市建设与环境学院《流体力学》考研大纲第一章绪论：表面张力不考。
流体的内摩擦阻力计算题要考。
第二章流体静力学：浮体，潜体不考，本章的一些证明不考(如压强公式的证明)第三章*（重点章）一元流体动力学：1、考试重点章节，动量方程为重点。
2、水头线不考，气体部分的总压线和全压线不考。
气体能量方程（供暖，供热，供燃气，通风及空调工程考）。
3、恒定平面势流问题：关于应力和应变率的关系不考，关于微团的流动只需了解，需知道液体微团运动的意义，恒定平面势流中势流的叠加不考，流函数，势函数的关系重点(必考)。
4、不可压缩流体运动微分方程:方程的意义要会写，紊流的基本方程，要知道平均值，切应力如何产生要知道。
第四章流动阻力的能量损失：1、只考普朗特假设，粗糙雷诺数，层流底层厚度，局部阻碍相互干扰要了解比较透彻。
水击不考。
2、切应力计算公式(层流圆管切应力τ)需了解，紊流运动中了解概念，普朗特假设不考。
3、绕流阻力:什么叫绕流阻力，如何产生的？边界层分离的概念要考。
第五章孔口，管嘴，管路闸孔：计算一般不考(非重点，但需了解)1、孔口，管嘴环状管网，闸孔不考，但枝状管网，串，并联要考。
2、管网的水力计算:环状管网的水力计算不考，枝状管网需了解。
3、堰流、闸孔出流不考，水击不考。
4、气孔射流(稳定射流)计算不考，概念要考（如什么叫质量流速）。
第六章射流与扩散：重点掌握射流特征，其余不考。
1、射流计算不考（市政工程，供暖，供热，供燃气，通风及空调工程不用看射流，其他专业要了解它的概念）。
扩散不用看。
第七章不可压缩流体动力基础：1、微团运动不考，但微团的运动分为平动和转动和变形运动要记牢。
应力表示的运动方程不考，应力不考，应变率不考第八章绕流，平面势流*（重点章）：涡流运动的性质不考。
掌握判断势流的叠加，流函数和势函数必考计算题。
差分法不考。
第九章气体动力基础（除供暖，供热，供燃气，通风及空调工程，其他专业不用看）：等温管路不考，绝热管路不考，只考可压缩气体方程。
相似理论与因次分析 29页PPT文档
第五章 相似理论与 因次分析
流体力学的研究方法中实验研究既 是理论分析的依据，同时也是检验理论 的准绳，具有很重要的作用。
本章将探讨其理论基础： 相似理论 因次分析
§10.1 力学相似性原理 §10.2 相似准数 §10.3 模型率 §10.4 因次分析法
§10.1 相似理论
为使模型流动能表现出实型流动的 主要现象和特性，并从模型流动上预测 出实型流动的结果，就必须使两者在流 动上相似，即两个互为相似流动的对应 部位上对应物理量都有一定的比例关系。
要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解 决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用 的流动，选用Froude准数为主要相似准数（决定性相 似准数），满足Frm=Frp ，此外 管道流动，流体机械中的流动 ：Rem=Rep，Re数为决 定性相似准数
非定常流动：Srm=Srp，Sr数为决定性相似准数 可压缩流动：Mam=Map，Ma数为决定性相似准数
(1) v tx m m v x m v x x m m v y m v y x m m v z m v z x m m fx m 1 p x m m m v xm
(2) v tx p pv x p v x x p pv y p v y x p pv z p v z x pp fx p1 p x p pp v xp
动力相似（受力相似）用相似准则（相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流 动和原型流动动力相似，需要这两个流动 在时空相似的条件下各相似准则都相等。
§10.2 相似准数
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随 时间变化的情况
2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的 影响程度
流体力学的研究方法中实验研究既 是理论分析的依据，同时也是检验理论 的准绳，具有很重要的作用。
本章将探讨其理论基础： 相似理论 因次分析
§10.1 力学相似性原理 §10.2 相似准数 §10.3 模型率 §10.4 因次分析法
§10.1 相似理论
为使模型流动能表现出实型流动的 主要现象和特性，并从模型流动上预测 出实型流动的结果，就必须使两者在流 动上相似，即两个互为相似流动的对应 部位上对应物理量都有一定的比例关系。
要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解 决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用 的流动，选用Froude准数为主要相似准数（决定性相 似准数），满足Frm=Frp ，此外 管道流动，流体机械中的流动 ：Rem=Rep，Re数为决 定性相似准数
非定常流动：Srm=Srp，Sr数为决定性相似准数 可压缩流动：Mam=Map，Ma数为决定性相似准数
(1) v tx m m v x m v x x m m v y m v y x m m v z m v z x m m fx m 1 p x m m m v xm
(2) v tx p pv x p v x x p pv y p v y x p pv z p v z x pp fx p1 p x p pp v xp
动力相似（受力相似）用相似准则（相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流 动和原型流动动力相似，需要这两个流动 在时空相似的条件下各相似准则都相等。
§10.2 相似准数
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随 时间变化的情况
2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的 影响程度
第十章 相似性原理和因次分析
2
这个相似条件，称为弗诺得模型律。按照上述比例关系调整原型 流动和模型流动的长度比例和速度比例， 除了在研究新的流动问题时，我们需探求其模型律外，在学习 相似理论时，也应该掌握常见流动的模型律。
1、水在管中受两端水头差的作用而流动，水流的平均流速，根据连续 性方程，只受断面大小及其沿程变化的制约。 断面流速分布和沿程水头损失，在同一水头差的条件下，与 管道本身是否倾斜，与倾斜大小无关，这说明重力不起作用，影响流速 分布的因素是黏性力，因此采用雷诺模型律。 管中流动，由于管壁摩擦作用成为重要因素，在几何相似的设计中，还要 注意管壁粗糙度的相似。管壁绝对粗糙度K也应保持同样的长度比例关 系常数，即：
un1 un 2 vn v，v 称为速度比例常数。 um1 um 2 vm 有了速度比例常数，和长度比例常数，显然可以根据简单t l / v的关系， 得出时间比例常数t l / v 即时间比例常数是长度比例常数和速度比例常数之比，这个比例常数表 明，原型流动和模型流动实现一个特定流动过程时间之比。 不难证明，加速度比例常数是速度比例常数除以时间比例常数，即
d n ln l d m lm 这个比例常数，称为长度比例常数。显然，两相应面积之比， A 为长度比例的平方，即 n A l2 Am 而相应体积之比，为长度比例的立方，即 几何相似，是力学相似的前提。 Vn v l3 Vm
二、运动相似
两流动运动相似，要求两流动的相应流线几何相似，或说，相应点的流 速大小成比例，方向相同。有：
F n Fpn FGn FIn FEn F m Fpn FGm FI m FEm 式中，、P、G、I、F 分别表示黏性力、压力、 重力、惯性力、弹性力。 动力相似在力学相似中起着什么作用呢？两惯性 力相似是其他合力作用相似的结果。所以动力相 似是运动相似的保证。
流体力学 第10章 相似性原理与因次分析
所以上式写为
可写成: 可写成:
除以上式, 用 ρg 除以上式, λ 并令 f ( , Re) = d 2 则 或:
l 2 p = f ( , Re) ρv d d
p l v = hf = λ ρg d 2g
2
p
l v = hf = λ d 2g γ
2
第二节
流动相似的基本概念
力学相似性原理) (力学相似性原理) 模型——研究题目,状态,过程的简化表述. 研究题目,状态,过程的简化表述. 模型 研究题目 模型试验成果要用于原型, 模型试验成果要用于原型,故原型与模型两液流 动相似,即原型(prototype)与模型 与模型(model)上同名 动相似,即原型 与模型 上同名 物理量( 对应成比例. 物理量( v, p, F ....... )对应成比例. 6.2.1 几何相似 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 长度比尺: 面积比尺: 长度比尺: λ = l p 面积比尺: λ = λ2
λT = λI
λν = λu λl
ul ul = ν p ν m
λρ λν λu λl = λρ λ λ
2 u
2 l
λu λl =1 λν
Re p = Re m
原型雷诺数=模型雷诺数 原型雷诺数 模型雷诺数 雷诺相似准数) (雷诺相似准数)
2. 重力相似准则(弗劳德准则) 重力相似准则(弗劳德准则)
研究,解决, 研究,解决, 发现, 发现,发明 模型试验的理论与方法是工程师必备知识! 模型试验的理论与方法是工程师必备知识! 是工程师必备知识
量纲分析法(因次分析法)(第四节) )(第四节 第一节 量纲分析法(因次分析法)(第四节) 10.1.1 量纲
流体力学 第10章 相似性原理与因次分析
x3+1 π 3+1 = α β γ x1 x2 x3
共写出 (n 3) 个有效
π 式,此物理过程可写为
F (π 4 , π 5 , π 6 π n ) = 0
通过量纲和谐原理建立其物理量之间的关系, 通过量纲和谐原理建立其物理量之间的关系,此乃 π 定理. 定理. 例:有压管道两测点压强降 p 与管长 l ,管径 d ,绝 对粗糙度 ,管断面平均流速 v ,流体密度 ρ , 有关, 流体动力粘性系数 有关,应用 π 定理建立压强降 的表达式. 的表达式. :(1 解:(1)依题意写出
Re = vd
ν
10.1.2 量纲和谐原理
(1)物理方程由物理量组成,一个理论上成熟的物理方程一 物理方程由物理量组成, 定是量纲和谐的(量纲齐次). 定是量纲和谐的(量纲齐次). 如:能量方程
z1 +
p1
γ
+
α1v12
2g
= z2 +
p2
γ
+
2 α 2 v2
2g
+ hl
(2)将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变. (2)将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变. 将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变 如:
1 2 s = gt 通过量纲和谐原理分析得: 通过量纲和谐原理分析得: 2
s = f ( g , t, G)
定理—布金汉 Buckingham)定理 布金汉( (2) π 定理 布金汉(Buckingham)定理 任一物理过程, 个物理量, 任一物理过程,存在有 n 个物理量,总可以写成函数
f ( x1 , x2 , x3 .....xn ) = 0
ρu 2l ρu 2l ( )p = ( )m σ σ
7_相似性原理和因次分析
• 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对 应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； • 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解， 即流动满足单值条件； • 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流 动相似也必须满足的条件。
2008-12-4
4
第一节 力学相似性原理（流动相似）
• 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 • 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放 大）的代表物，称为模型。
–水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑 物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的 水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应 用到原型中，分析判断原型的情况。 –试验目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 –关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
λQv = λv λl2 = λl
λQv = λv λl2 = λl
2 λF = λρ λ2 λ v l
52
−1 λt = λl λv = λl2
−1 2 λt = λl λv = λ1 l
λF = λ ρ λ λ
2 2 v l
若 λρ = 1，则 λF = 1
2008-12-4
若λρ = 1，则λF = λ3 l
• 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、 压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这 两个 流动就是相似的。 2008-12-4 5
流动的力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
按性 质分
如长度、面积、体积等
几何 相似 运动 相似 动力 相似
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
2008-12-4
4
第一节 力学相似性原理（流动相似）
• 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 • 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放 大）的代表物，称为模型。
–水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑 物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的 水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应 用到原型中，分析判断原型的情况。 –试验目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 –关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
λQv = λv λl2 = λl
λQv = λv λl2 = λl
2 λF = λρ λ2 λ v l
52
−1 λt = λl λv = λl2
−1 2 λt = λl λv = λ1 l
λF = λ ρ λ λ
2 2 v l
若 λρ = 1，则 λF = 1
2008-12-4
若λρ = 1，则λF = λ3 l
• 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、 压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这 两个 流动就是相似的。 2008-12-4 5
流动的力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
按性 质分
如长度、面积、体积等
几何 相似 运动 相似 动力 相似
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
流体力学 - 相似理论
Lm U 1 1 = ( m )2 = ( )2 = L U 6 36
6. 缩尺比为 1：64 的船模，模型试验测得兴波阻力 10N，求原船的兴波阻力。 解：由兴波阻力系数相等： Cw =
Fwm 1 ρU 2 m Am 2
U Lg
=
Fw 1 ρU 2 A 2
佛鲁德数相等 Fr =
Um Lm g
=
速度之比：
迁移惯性力 粘性力 迁移惯性力 局部惯性力
Fr =
迁移惯性力 重力
Eu =
压力 迁移惯性力
Se =
4.相似理论的应用 完全相似：满足两流动现象相似的全部动力相似准则，但在工程实际中难于做到。 部分相似：对某一具体问题，只考虑对流动起主导作用的动力相似准则，忽略次要因素的相 似准则。 5.自动模拟 当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺 数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应 的雷诺数也不同。
−1 导出量纲：导出单位的量纲称为导出量纲，例如流体运动粘性系数 [ν ] = ⎡ ⎦ 等。 ⎣ LT ⎤
量纲齐次性原理：一个具有物理意义的方程中各项的因次必须相同称量纲齐次性。有量纲
的方程可以用无量纲形式表示。 无量纲数：又称无因次数，例如压力系数 C p =
p 1 ρV 2 A 2
Π定理：描述某物理现象的有量纲参数，可以转化为无量纲参数。 设某个物理现象与n个物 理量 α1 , α 2 ,"" , α n 有关，可以由函数关系式 f (α1 , α 2 ,"" , α n ) = 0 表示。如果n个物理 量中有P个基本量纲, 则可将n个物理量组合成n-p个独立的无量纲数Π1，Π1，Πn-p，因而该物 理现象可以由无量纲关系式 F (Π1 , Π 2 ,"" , Π n − p ) = 0 所描述。 在不可压缩流体流动中，p=3, 则有 F (Π1 , Π 2 ,"" , Π n −3 ) = 0 不可压缩流体流动中Π定理的运用： 1） 在 n 个物理量中选 3 个基本量（循环量） ，基本量选取的一般原则： 为保证几何相似，选取一个与长度直接相关的量， 为保证运动相似，选取一个与速度直接相关的量， 为保证动力相似，选取一个与质量直接相关的量。 2）用所选定的 3 个基本量与其余 n-3 个物理量依次组合成无量纲数。 3. 相似准则 两流动现象相似的充分必要条件是： 两力学现象应满足同一微分方程式， 且具有相似的 边界条件及初始条件。 应用量纲分析法，由 N-S 方程得到如下相似准数： 1）雷诺数 Re =
相似原理与因次分析
′ t2 ′ t′ t1 t′ = = 3 = L = n = Ct t1 t 2 t 3 tn
式中：Ct 称为温度相似倍数。
(7－5)
4．浓度相似：浓度相似是指两现象的浓度分布相似，即浓度场的几何相似。如图 7－7 示出了 CH4 气体向空气中喷射时形成的浓度分布情况。如果两现象的浓度场相似，则对应空 间部位在对应的时刻上气体的浓度对应成比例，即
第七章
相似原理与因次分析
第一节 概 述
人类为了生存和发展，必须不断地了解自然，深入探索自然界的客观规律，并运用这些 规律为自身服务。人们在征服自然的长期斗争中，积累了丰富的经验，但根据研究对象的不 同，采用的方法和手段也各异，概括起来可归纳为两大方面：数学分析法和实验法。 数学分析法是以数学作为探索自然规律的主要手段，根据所研究的物理现象的特点，分 析与该现象相关各物理量之间的依变关系， 列出描述该现象的微分方程组， 再根据边界条件， 对方程组进行求解。如描述流体运动的纳维—斯托克斯方程，描述热传导过程的付立叶方程 等。数学分析法得出的精确解或近似解，揭示了某一现象的内在规律，为我们解决科学、技 术问题提供了理论依据。 随着计算科学的不断发展， 数学作为探索自然规律的一种有力工具， 正在发挥着越来越大的作用。 但是，根据现象复杂程度的不同，数学分析法在某种程度上总要受到一定限制。例如， 当某一现象是由多种因素相互交织在一起发生时，涉及的物理参量及过程如此复杂，一时难 以列出描述该现象的微分方程，或者，虽然列出微分方程，但难以求得通解及特解。这时， 数学分析法就无能为力了，人们不得不依赖于实验方法。既使是数学分析法，也得先通过实 验观察，构成概念，方能进行数学分析，分析的结果是否正确，还需要通过实验来检验。 实验法是指对某一正在发生的现象或正在进行的过程进行系统的观察和参量的测定，再 通过对取得的数据进行加工、分析，以找出各参量的分布规律及其相互间的依变关系。如对 锅炉炉膛内正在燃烧的火舌进行速度场、浓度场和温度场的测定，找出速度场与混合及燃烧 过程的规律；对工业炉窑内的速度场、压力场和温度场的测定，找出气流运动、燃烧及传热 过程与生产率和热效率的关系。 就实验法而言，可分为原型测试和模型实验两类。 对正在运行的设备及过程进行实际测试，掌握第一手资料，从而可为设备及过程的最优 化提出改进依据。 如对工业炉窑进行热工测试， 可为改善炉型结构及热工操作制度提供依据。 但是， 对实际设备和真实过程进行测试受到很大限制， 因为对实际设备和真实过程进行测试， 其参量的变化幅度不允许超过安全限度。而且，如果设备太大、太小或是密封体系，就难以 进行实际测试，甚至无法进行测试。况且，实际测试只能在已建成并运行的设备上进行，对 一些正在研制或设计中的新型设备，是不可能进行实际测试的。科技人员为了探索新工艺和 新设备，并在其投产或投入运行之前，就能找到各参量间最佳的依变关系，以提出最优化设 计，必须依靠模型实验法。 模型实验法是以相似原理为指导，对所研究的现象建立模型，通过模型实验，定性地或 定量地探索各物理参量间的依变关系，找出其内在规律，以这些规律为指导，进行新工艺或 新设备的计算及设计。为了便于研究，模型尺寸的大小及过程参量变化的幅度，原则上是不 受限制的，这样不仅能节约投资，而且可以加快研究工作的进程。因此，近年来模型实验研 究方法越来越受到科技人员的重视，并得到较快的发展。
第十章_相似原理和量纲分析
0、 0、 0 几何学量纲 x L , t , M 0、 0、 0 运动学量纲 0、 0、 0 动力学量纲
§10.4 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 3.量纲公式:
问题： 速度v, 长 度l,时间t的无量 纲集合是：（ ）
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 对于作用在流体上的作用力，一般从流体的物理性质进 行分类，如万有引力特性产生重力，流体的粘滞性产生的 粘滞力，压缩性产生的弹性力以及表面张力等。另外还有 惯性产生的惯性力。 除惯性力外，其他各力都是企图改变流体的运动状态， 而惯性力则是去尽量维持流体的原有运动状态，所以流体 运动状态的变化和发展是惯性力和其他各种作用力相互作 用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力 为一方来相互比较。 在两种相似的流动里，这种比例关系应当保持不变。
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则
动力相似准数：在两相似的流动中，各种力与惯性力 之间保持固定不变的比例关系。
l 4 2 2 2 F ma l . l t l v 惯性力： I 2 t
3
则 一般称
FI
l v l v
2 2 2 2
适用范围：流体流动以动水 压差为主要作用力的情况。
当弹性力起主要作用时， 如水击，空气动力学中的亚 音速或超音速运动等，动力 相似有： M n M m或 v ＝ 1 c
例1：有一直径为15cm的输油管，管5m，管 中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型 试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃ （原型中油的运动粘度ν n=0.13cm2/s），问 水的模型流量应为多少时才能达到相似？
§10.4 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 3.量纲公式:
问题： 速度v, 长 度l,时间t的无量 纲集合是：（ ）
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 对于作用在流体上的作用力，一般从流体的物理性质进 行分类，如万有引力特性产生重力，流体的粘滞性产生的 粘滞力，压缩性产生的弹性力以及表面张力等。另外还有 惯性产生的惯性力。 除惯性力外，其他各力都是企图改变流体的运动状态， 而惯性力则是去尽量维持流体的原有运动状态，所以流体 运动状态的变化和发展是惯性力和其他各种作用力相互作 用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力 为一方来相互比较。 在两种相似的流动里，这种比例关系应当保持不变。
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则
动力相似准数：在两相似的流动中，各种力与惯性力 之间保持固定不变的比例关系。
l 4 2 2 2 F ma l . l t l v 惯性力： I 2 t
3
则 一般称
FI
l v l v
2 2 2 2
适用范围：流体流动以动水 压差为主要作用力的情况。
当弹性力起主要作用时， 如水击，空气动力学中的亚 音速或超音速运动等，动力 相似有： M n M m或 v ＝ 1 c
例1：有一直径为15cm的输油管，管5m，管 中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型 试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃ （原型中油的运动粘度ν n=0.13cm2/s），问 水的模型流量应为多少时才能达到相似？