工程流体力学第五章 相似原理和量纲分析

弹性力比： k F 'e dp' A' K ' A' dV ' V ' k k 2 K l F
Fe
dp A
KAdV V
K－体积模量 kK－体积模量比例尺
k k kK
K'
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
也可写成:
' '2
2
2
K
柯西数 是惯性力与弹 性力的比值
2 2
推导过程
角速度比例尺:
' ' l ' k k l kl
注：确定了长度比例尺和速度比例尺，一切运动相似比例尺都可以推导出来。
注：*运动粘度比例尺的推导
d F A dy

F ma V a dy 1 则： A d dy m V A d dy A d 1
相似原理
如何去做模型？
第五章 相似原理和量纲分析
数学 分析 理论分析 数值计算 模型实验
解决流体 力学问题 的方法
实验研究
基础：相似原理 相似原理与模型试验研究方法不仅广泛应用于流体力 学，而且广泛应用于传热、燃烧过程机理等的研究中。
第一节 流动的力学相似
表 征 流 动 过 程 的 物 理 量
第五章 相似原理和量纲分析
xcli@
L/O/G/O
相似原理
相似原理 实物 模型
相似理论：
模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中
本章内容
1 2 3 4 1 5 流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似模型实验 Click to add title in here 量纲分析法 连续方程
上述的牛顿数Ne、弗劳德数Fr、雷诺数Re、欧拉数Eu、斯特劳哈 尔数Sr、柯西数Ca、马赫数Ma、韦伯数We 统称为相似准则数。
说明：牛顿第二定律表述的是最简单、最基本的运动微分方程， 由该方程可导出各种性质单项力作用下的相似准则。
若已知某种流动的运动微分方程，（含多项力作用）可由该方程 直接导出相似准则。方法：令方程中有关力项同惯性力项相比。 对于不可压缩流体，一般认为只要同时满足雷诺准则、弗劳德 准则和欧拉准则即可实现动力相似。其中雷诺准则和弗劳德准则为 独立准则，欧拉准则为导出准则。
3
力的比例尺（由牛顿第二定律可知）：
力矩（功，能）比例尺：
M ' F 'l' 3 2 k F kl kl k k kM M Fl
压强（应力）比例尺：
p ' Fp ' A' k F 2 kp k k p Fp A k A
功率比例尺：
CP
P' F'' 2 3 kF k kl k k P F
5. 非定常性相似准则——斯特劳哈尔准则
对于非定常流动模型试验，必须保证模型与原型的流动随时间的变化相似。
由当地加速度引起的惯性力之比：
' Fit' 'V ' x t ' kF k kl3k kt1 Fit V x t
kl 1 k kt
也可写成:
kF 1 2 2 k kl k
k k
l g
k
1
1
2
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
'
1
g ' l ' 2 gl 2
1


即要保证模型与原型的重力相 似，则要求两者对应的弗劳德 数必须相等Fr’=Fr，反之亦 然。这就是重力相似准则（弗 重力相似准则 劳德准则）。
弗劳德数
令:

重力场中 则
g' g, kg 1
令:

c
马赫数
Ma
是惯性力与弹 性力的比值
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等Ma’=Ma， 反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则） 。 弹性力相似准则
5. 表面张力相似准则——韦伯准则
表面张力作用下的相似流动，其表面张力分布必须相似。
表面张力比：
F' 'l ' kF k kl F l
Fp
F W Fi kF Fp F W Fi
切 向 力 重 力 惯 性 力 力 的 比 例 尺
总 压 力
密度比例尺：
Fi aV k F kF k 2 2 Fi aV k a kV kl k
' 3 k F ' l ' l k kl2 k2 t ' t
模型 原型
l' kl l
——长度比例尺（相似比例常数）
Hale Waihona Puke 如：圆柱的直径d，管道的长度l，翼型的翼弦长b，管壁的绝对粗糙度ε
面积比例尺: 体积比例尺:
A' l '2 2 k A 2 kl A l V ' l '3 3 kV 3 kl V l
（5-2） （5-3）
满 足 这 些 条 件 流 动 才 能 几 何 相 似
弗劳德准则 Fr 雷诺准则 Re 欧拉准则 Eu 柯西准则 Ca (马赫准则Ma) 韦伯准则 We 斯特劳哈尔准则 Sr
1. 重力相似准则——弗劳德准则
重力作用下相似的流动，其重力场必相似。 重力比： k F
W ' 'V ' g ' 3 k kl k g W Vg
得 到： 或:
k k kl k 1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
' ' l ' l '
l l Re
' l ' l '
雷诺数 是惯性力与黏 滞力的比值
当模型与原型的粘性力相似， 则其雷诺数必定相等Re’=Re， 反之亦然。这就是粘性力相似 准则（雷诺准则） 。 准则
令:
当模型与原型用 同一种流体时：
k k 1
k 1
kl
3. 压力相似准则——欧拉准则
压力作用下相似的流动，其压力场必相似。
压力比：
kF
Fp ' Fp

p' A' 2 k p kl pA
kp
也可写成:
k k p' p '2 ' 2
2
2
1
kF 1 2 2 k kl k
描述几何形状的
如长度、面积、体积等 按性 质分
几何 相似
应
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量
运动 相似
流 动 相 似
满 足 的 条 件
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
动力 相似
第一节 流动的力学相似
1. 几何相似（空间相似）
定义： 就是模型流场和原型流场的“边界”几何形状要求相似，即对 应角度相等，对应边长成比例。
力的比例尺
l' l ' t ' t
令:
l Sr t
斯特劳哈尔数 是当地惯性力与迁 移惯性力的比值
当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等 Sr’=Sr，反之亦然。这就是非定场相似准则（斯特劳哈尔准 非定场相似准则 则）。
思考题 为什么每个相似准则都要表征惯性力？
作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状 态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用 在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这 个力多边形的合力，即牛顿定律 F ma ，流动的变化就 是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之 间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。
模型与原型的几何相似、运动相似和动力相似是 两个流场完全相似的重要特征。
第二节 动力相似准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的 条件或准则 。 kF 2 2 1 由力的比例尺 k F k kl k 可得： 2 2 k kl k 也可以写成
F' F ' l '2 '2 l 2 2
当模型与原型的弹性力相似， 则其柯西数必定相等Ca’=Ca， 反之亦然。这就是弹性力相似 准则（柯西准则） 。 准则
令:

K
Ca
当压强用压差来代替时：
Eu
p

2
欧拉相似准则：
p'

' '2

p
2
4. 弹性力相似准则（续）——马赫准则
若流体为气体，有
弹性力比：
K－体积模量 C－当地声速

－表面张力系数
k kl k k
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
韦伯数
'2 ' 2 ' l l 令: 也可写成: '
2l We
是惯性力与 张力的比值
当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等We’=We， 反之亦然。这就是表面张力相似准则（韦伯准则） 。 表面张力相似准则
2 k 1 v' V ' a ' dy ' A d 3 kv ' kl kl 2 ' v Va dy A d kl kl k
kl k
x
3、动力相似
定义：模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此 方向相同，大小成比例，即动力场相似。