高中数学必修二 4.1什么是向量_导学案1-湘教版
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第2章 第1课时 空间向量的概念及其运算
解析 ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它
们不一定相等;
②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同,故1 与1 相等;
④错误,空间四边形 ABCD 中,与的模不一定相等,方向也不相反;
⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向量是
课程标准
1.理解空间向量的有关概念.
2.掌握数乘向量的运算意义及运算法则.
3.理解向量共线定理,并能够解决实际问题.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点1
空间向量的基本概念
1.空间向量的定义:在空间中,把既有 大小 又有 方向
变式训练1(多选题)下列说法正确的是( CD )
A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
C.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有 = 1 1
D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
解析 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两
2
所以 = 5 .
因为 与有公共点 E,所以 E,F,B 三点共线.
规律方法 证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.
(1)存在实数 λ,使=λ成立;
(2)对空间任一点 O,有 = +t (t∈R);
(3)对空间任一点 O,有=x+y(x+y=1).
5
3
3
2 2
湘教版高中数学必修二向量的应用教案(1)
第 12 课时：§ 2.5 向量的应用【三维目标】：一、知识与技能1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力二、过程与方法1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.三、情感、态度与价值观1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.【教学重点与难点】：重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”。
难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用。
用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.向量既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多这样的量，它既有代数特征，又有几何特征；今天，我们就来用向量知识研究解决一些实际问题。
2.研究的方法：用数学知识解决实际问题，首先要将实际问题转化成数学问题，即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量。
高中必修二数学向量教案
高中必修二数学向量教案教学内容：向量的概念、加法、数量积、夹角、共线和共面教学目标：学习向量的基本概念，掌握向量的加法和数量积运算，能够解决实际问题中的向量计算问题。
教学重点：向量的加法和数量积运算，夹角、共线和共面的概念。
教学难点：向量的几何意义和应用问题的解题方法。
教学方法：导入法、示范法、练习法教学准备：黑板、彩色粉笔、教材、课件教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾平面直角坐标系中的向量表示，让学生联想向量的定义和性质。
二、向量的概念（10分钟）1. 向量的定义：向量是有大小和方向的线段。
2. 向量的表示法：用有向线段表示。
3. 向量的模：向量的大小，记作|a|。
4. 向量的方向：向量所在的直线方向。
5. 向量的相等：两个向量大小相等、方向相同时为相等向量。
三、向量的加法（15分钟）1. 向量的加法定义。
2. 向量的几何运算规则。
3. 向量的数量运算规则。
四、数量积（10分钟）1. 数量积的定义。
2. 数量积的性质。
3. 数量积的计算公式。
4. 数量积的应用。
五、夹角、共线和共面（15分钟）1. 向量夹角的概念和计算。
2. 向量共线和共面的判定方法。
3. 实际问题分析和解决。
六、练习与总结（15分钟）1. 练习向量的加法和数量积计算。
2. 完成相关题目。
3. 总结向量的基本概念和运算法则。
教学反馈：学生通过作业和课堂练习进行自我评价，教师巩固学生对向量相关知识的理解，并指导学生解决问题。
1-1 向量(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
高中数学
例5
必修第二册
湖南教育版
［多选题］下列关于零向量的说法正确的是（ CD ）
A.零向量没有大小，也没有方向
B.因为|0|＝0，所以0与0是同一个量
C.零向量的长度为0
D.零向量的方向是任意的
【解析】零向量的长度为0，方向是任意的，A错误，C，D正确；
0表示数量，没有方向，0表示零向量，有方向，它们是两类不同的量，B错误.
又D是BA的中点，∴＝ ＝.∴ 与向量相等的向量是， .
1
2
（2）∵ D，F分别是AB，AC的中点，∴ DF∥BC，且DF＝ BC.
又E是BC的中点，∴＝- ＝- ＝- ，∴ 向量的相反向量是， ，.
（3）∵ D，E，F分别是等边△ABC的边AB，BC，CA的中点，
∴ AD＝DB＝BE＝EC＝CF＝AF＝DF＝DE＝EF，
（1）| |＝3，点A在点O正西方向；
（2）| |＝3 2，点B在点O北偏西45°方向；
（3）| |＝2，点C在点O南偏东60°方向.
解：（1）（2）（3）如图所示.
高中数学
2-3
必修第二册
湖南教育版
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C
点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
（1）作出向量， ，；
（2）求| |.
解：（1）∵ B点在A点的正西方向，且两点相距100 km，∴ 可画出，且| |＝100 km.
∵ C点在B点的北偏西40°方向，且两点相距200 km，∴ 可画出，且| |＝200 km.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
【方法总结】用有向线段表示向量的方法
湘教版高中数学必修二向量教案
湘教版高中数学必修二向量教案教案范本
第一课：向量的基本概念
一、教学内容
1. 向量的定义及性质
2. 向量的表示法
3. 向量的加法和减法
二、教学目标
1. 了解向量的定义及性质
2. 掌握向量的表示法
3. 掌握向量的加法和减法的运算规则
三、教学重难点
1. 向量的定义及性质
2. 向量的加法和减法
四、教学方法
1. 讲解结合示例分析
2. 练习巩固
五、教学过程
1. 引言：向量的概念和应用
2. 向量的定义及性质的讲解
3. 向量的表示法的介绍
4. 向量的加法和减法的运算规则
5. 练习演练
6. 总结与拓展
六、教学资源
1. 课件
2. 教材
3. 练习册
七、作业布置
1. 完成练习册上的习题
2. 自主搜索相关资料，了解更多关于向量的知识
八、教学反馈
1. 老师及时批改作业
2. 学生可以提出问题进行解答
九、教学评价
1. 通过练习册中的题目检测学生对向量的掌握程度
2. 学生的提问反映出他们对向量的理解情况
十、教学延伸
1. 可以拓展向量在几何图形中的应用
2. 可以引导学生进行探究性学习，了解更深层次的向量知识。
高中数学向量的概念导学案
NO.1 平面向量的实际背景及基本概念【课标要求】由平面向量的实际背景引出其基本概念，让学生理解向量的模及向量的共线.【学习目标】（1）平面向量的基本概念；（2）向量的模及向量的共线.【重难点】向量的模与向量共线的判定.【知识回顾】1、我们把既有大小又有方向的量叫做向量，把那些只有大小，没有方向的量叫做数量.2、带有方向的线段叫做有向线段，例如以A为起点，B为终点的有向线段记作AB，起点写在终点的前面，这就是向量的表示方法，同时，我们也可以用一个小写字母来表示向量AB，例如a、b、c等.3、有向线段，即向量包括三个要素：起点，方向，长度。
向量的长度也就是有向线段的长度。
向量是可以平行移动的，所以当我们用有向线段表示向量的时候，起点可以随意取，一旦确定了向量的起点，方向和长度，它的终点就唯一确定了.4、向量AB的大小，也就是向量AB，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，与向量a同向的单位向量可表示a==，且两5、长度相等且方向相同的有向线段表示相等向量，例如b向量的方向相同.6、我们把通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线，如果向量的基线平行或重合，a∥.那么就称这这些向量共线或平行，例如向量a与b平行，则记作b7、规定：零向量与非零向量都是平行的.【随堂练习】1、把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是()A．一条线段B．一段圆弧C．两个孤立的点D．一个圆2、把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在()A．同一个圆上B．同一个点上C．同一条直线上D．以上都有可能3、如图，在菱形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )A ．DA →与BC →B ．DC →与AB → C ．DC →与BC →D ．DC →与DA →4、在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤5、四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形6、若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤7、如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线 8、若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形9、如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是( )A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线10、若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________．11、等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________．12、如图所示，如果小正方形的边长为1，则|AB →|＝________，|CD →|＝________，|EF →|＝________.13、给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a ＝b .其中正确命题的序号是________．14、如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？15、如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF→＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．。
高中数学：平面向量定义及性质导学案
平面向量定义及性质一、知识回顾1、向量的定义:既有大小，又有方向的量叫向量，记作→a 2、模：向量的长度称为I →a I3、零向量：，模长为零的向量，记作0→4、单位向量：长度为1个单位的向量。
同→a 共线的单位向量→→→=aa e 或→→→-=aae 5、共线向量：若向量→a 与→b 共线，记作→a =→b λ)0(≠λ ①λ>0，→a 与→b 方向相同。
λ<0，→a 与→b 方向相反。
6、两个向量相等：方向相同，模长相等。
7、向量的运算法则（1）向量加法→a +→b平行四边形法则：⇒（作图）：（2）向量减法三角形法则：a-bab8、数乘→a λ①→→=a a λλ ②→→→+=+a a aμλμλ)(9、数量积 ><=→→→→→→b a b a b a .cos .①θ=0⇒两向量方向相同 ②θ=π ⇒两向量方向相反 ③θ=π21⇒两向量垂直，其数量积 0.=→→b a （ 0.=→→b a ⇔→→⊥b a ）10、投影（1）向量→a 在→b 的投影为→→→⋅b ba （2）向量→b 在→a 投影为→→→⋅aba二、课堂练习1、在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是 ( ) (A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形2、已知正方形ABCD 的边长为1, = a,= b,= c,则| a+b+c|等于（ ）A ．0B ．3C ．2D ．22 . 3、如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ） (A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 22≠a b (D) =a b 三、课后必练1．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ）A ． BCB ． ABC ． ACD ．AM 2． a 、b 为非零向量，且｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜则（ ）A ． a ∥b 且a 、b 方向相同B ． a =bC ． a =-bD ．以上都不对3.设a ·b ＝4，若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于( )A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π34.设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，并且向量a ＝3e 1＋2e 2，b ＝xe 1＋3e 2，如果a ⊥b ，那么实数x 等于( )A ．－92B.92 C ．－2D ．2平面向量的坐标表示一、知识回顾1、平面向量基本定理如果向量→1e 与→2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任意向量→a ，有且只有一对实数1λ、2λ使得→→→+=211e e a λλ。
1.1 向量教学设计-2023-2024学年高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册
1.1 向量教学设计-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册一、教学内容分析本节课的主要教学内容为向量及其运算。
向量是描述物体位置和方向的一种数学工具，广泛应用于物理学、工程学等领域。
根据湘教版（2019）必修第二册的安排，本节课的内容包括向量的概念、向量的表示、向量的运算以及向量的应用。
教学内容与学生已有知识的联系：1. 向量的概念：学生已经学习了实数和数轴，可以利用数轴的概念来理解向量的概念。
2. 向量的表示：学生已经学习了函数和坐标系，可以利用函数和坐标系的概念来理解向量的表示方法。
3. 向量的运算：学生已经学习了实数的运算，可以利用实数的运算来理解向量的运算。
4. 向量的应用：学生已经学习了物理中的力，可以利用力的概念来理解向量的应用。
二、核心素养目标培养学生运用向量描述物体位置和方向的能力，发展学生的数学思维，培养学生的抽象思维能力。
三、学习者分析1. 学生已经掌握了哪些相关知识：- 学生已经学习了实数和数轴，能够理解向量的概念。
- 学生已经学习了函数和坐标系，能够理解向量的表示方法。
- 学生已经学习了实数的运算，能够理解向量的运算。
- 学生已经学习了物理中的力，能够理解向量的应用。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：- 学生对数学概念和应用有一定的兴趣，能够积极参与课堂讨论和练习。
- 学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，能够理解和掌握向量的概念和运算。
- 学生学习风格多样，有的喜欢通过直观的图像和例子来理解概念，有的喜欢通过公式和推导来掌握方法。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：- 学生可能对向量的概念和表示方法感到抽象和难以理解，需要通过具体的例子和直观的图像来帮助学生建立直观的认识。
- 学生可能对向量的运算感到复杂和难以掌握，需要通过逐步引导和练习来帮助学生理解和掌握向量的运算规则。
- 学生可能对向量的应用感到不熟悉和不感兴趣，需要通过实际问题的引入和解决来激发学生的学习兴趣和提高学生的应用能力。