考研真题专题训练 函数连续与极限 答案
考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷23(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷23(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0时，x-sinx是x2的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：B解析：因为所以x-sinx为x2的高阶无穷小，应选(B)．知识模块：函数、极限、连续2．设y=f(x)由cos(xy)+lny-x=1确定，则=( )．A．2B．1C．-1D．-2正确答案：A解析：将x=0代人得y=1，cos(xy)+lny-x=1两边对x求导得将x=0，y=1代入得=1，即f’(0)=1，于是=2f’(0)=2，应选(A)．知识模块：函数、极限、连续填空题3．=__________正确答案：1解析：知识模块：函数、极限、连续4．设f(x)=ax(a＞0，a≠1)，则=_______正确答案：解析：f(1)f(2)…f(n)=a1+2+…+n= 知识模块：函数、极限、连续5．若a＞0，，则a=________正确答案：36解析：知识模块：函数、极限、连续6．=________正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续7．=________正确答案：2ln2-1．解析：知识模块：函数、极限、连续8．=________正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续9．设f(x)=，则f(x)的间断点为x=________正确答案：0解析：当x≠0时，f(x)=当x=0时，f(0)-0，即f(x)=因为，所以x=0为f(x)的间断点，且为第二类间断点．知识模块：函数、极限、连续10．设f(x)在x=0处连续，则A=________正确答案：解析：由知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11．求极限正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续12．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续13．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续14．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续15．求极限正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续16．设f(x)连续，且f(0)=0，f’(0)=2，求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续17．设F(x)=正确答案：方法一涉及知识点：函数、极限、连续18．设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，求正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续19．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续20．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续21．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续22．设正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续23．设f(x)在x=0的某邻域内有连续导数，且，求f(0)及f’(0)．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续24．设f(x)在x=0处连续可导，且，求f’’(0)．正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续25．正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续26．设f(x)在x=x0处可导，且f(x0)≠0，证明：正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续27．设f(x)=，求f(x)．正确答案：f(x)=，则f’(x)=(1+2x)e2x．涉及知识点：函数、极限、连续28．设f(x)=存在，求a．正确答案：f(0-0)=f(0+0)=因为存在，所以f(0-0)=f(0+0)，故a= 涉及知识点：函数、极限、连续29．设f(x)=正确答案：f(0-0)==-1因为f(0-0)≠f(0+0)，所以不存在．涉及知识点：函数、极限、连续30．设f(x)=，求f(x)的连续区间及间断点．正确答案：f(x)=f(x)的连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．因为=+∞，所以x=1为f(x)的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限、连续31．求函数y=的间断点，并进行分类．正确答案：x=0，x=1及x=2为函数的间断点．由得x=0为函数的跳跃间断点；由=0得x=1为函数的可去间断点；由=∞得x=2为函数的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限、连续32．设f(x)在(0，1)内有定义，且exf(x)与e-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．正确答案：对任意的c∈(0，1)，当x＜c时，由exf(x)≤ecf(c)及e-f(x)≤e-f(c)得f(c)≤f(x)≤ec-xf(c)，令x→c-得f(c-0)=f(c)；当x＞c时，由exf(x)≥ecf(c)及e-f(c)≥e-f(c)得f(c)≥f(x)≥ec-xf(x)，令x→c+得f(c+0)=f(c)，因为f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在x=c处连续，由c的任意性得f(x)在(0，1)内连续．涉及知识点：函数、极限、连续33．设f(x)=，若F(x)=f(x)+g(x)在R上连续，求a，b．正确答案：F(-1)=f(-1)+g(-1)=1-1=0，F(-1-0)=f(-1-0)+g(-1-0)=a-1，F(-1+0)=f(-1+0)+g(-1+0)=1-1=0，由F(x)在x=-1处连续，所以a=1；F(1)=f(1)+g(1)=-1+b，F(1-0)=f(1-0)+g(1-0)=-1+1=0，F(1+0)=f(1+0)+g(1+0)=-1+b，由F(x)在x=1处连续得b=1，故a=1，b=1．涉及知识点：函数、极限、连续。
考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛．B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛．C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛．D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B解析：若{xn)单调，则{f(xn)}单调，又f(x)在(－∞，＋∞)内有界，可见{f(xn)}单调有界，从而{f(xn)}收敛．故应选(B)．知识模块：函数、极限、连续2．设an＞0(n＝1，2，3，…)，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件．B．充分非必要条件．C．必要非充分条件．D．既非允分也非必要条件．正确答案：B解析：由an＞0(n＝1，2，3，…)，数列{Sn}单凋增加，若{Sn}有界，则{Sn}收敛，且即{an}收敛，故充分性成立．但必要性不一定成立，即若an＞0(n＝1，2，3，…)，且数列{an2}收敛，则数列{Sn}不一定有界．例如，an＝1(n＝1，2，3，…)，则数列{an}收敛于1，但数列{Sn}＝{n}无界．故应选(B)．知识模块：函数、极限、连续3．设x→0时，etanx－ex与xn是同阶无穷小，则n为A．1．B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为知，n＝3．故应选(C)．知识模块：函数、极限、连续4．设当x→0时，(1－cosx)ln(1＋x2)是比xsinxn高阶的无穷小，xsinxn是比(ex2－1)高阶的无穷小，则正整数，n等于A．1．B．2C．3D．4正确答案：B解析：[分析] 直接按无穷小量的定义进行讨论．[详解] 由题设，有知，n ≤2；又由知n≥2．故n＝2．故应选(B)．知识模块：函数、极限、连续5．把x→0＋时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．α，γ，βC．β，α，γ．D．β，γ，α．正确答案：B解析：[分析] 先两两进行比较，再排出次序；也可先求出各无穷小量关于x的阶数，再进行比较．[详解1]，可排除(C)，(D)选项，又可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B)．[详解2] 由存在且不为零，知n＝1；存在且不为零，知n＝3；存在且不为零，知n＝2；故应选(B)．知识模块：函数、极限、连续6．当x→0＋时，与等价的无穷小量是A．B．C．D．正确答案：B解析：[分析] 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案．[详解] 当x→0＋时，有；利用排除法知应选(B)．[评注] 本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案．事实上，知识模块：函数、极限、连续7．当x→0时，f(x)＝x—sinax与g(x)＝x2ln(1－bx)是等价无穷小，则A．a＝1，B．n＝1，C．a＝－1，D．a＝－1，正确答案：A解析：[详解] f(x)＝x—sinax，g(x)＝x2ln(1－bx)为等价无穷小，则由洛必塔法则只需因为，从而a＝1再由，故应选(A)．[评注]本题主要考查等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必塔法则及重要结论：知识模块：函数、极限、连续8．已知当x＝0时，函数f(x)－3sinx＝sin3x与cxk是等价无穷小，则A．k＝1，c＝4．B．k＝1，C＝－4．C．k＝3，c＝4．D．k＝3，C＝－4．正确答案：C解析：[分析] 由等价无穷小的定义及泰勒公式或洛必塔法则可得，属基本题型．[详解1]用泰勒公式由题意所以k＝3，c＝4．故应选(C)．[详解2]欲使，由洛必塔法则，只需，和差化积得所以k＝3，c＝4．故应选(C)．知识模块：函数、极限、连续9．设cosx－1＝xsina(x)，其中，则当x→0时，a(x)是A．比x高阶的无穷小．B．比x低阶的无穷小．C．与x同阶但不等价的无穷小．D．与x等价的无穷小．正确答案：C解析：由cosx—1＝xsina(x)，有因此sina(x)是与x同阶但不等价无穷小，又sina(x)与a(x)是等价无穷小，所以，a(x)是与x同阶但不等价的无穷小．故选(C)．知识模块：函数、极限、连续10．设函数在(－∞，＋∞)内连续，且，则常数a，b满足A．a＜0，b＜0．B．a>＞0，b＞0．C．a≤0，b＜0．D．a≥0，b＜0．正确答案：D解析：[分析] 根据f(x)的连续性和条件确定常数．[详解] 由题设f(x)在(－∞，＋∞)内连续，因此对任意的x∈(－∞，＋∞)，有a＋ebr≠0，这只需a≥0即可；另外，由，所以必有b＜0．故应选(D)．[评注] 事实上，本题由a≥0即可选择正确答案为(D)．知识模块：函数、极限、连续11．设函数，则A．x＝0，x＝1都是f(x)的第一类间断点．B．x＝0，x＝1都是f(x)的第二类间断点．C．x＝0是f(x)的第一类间断点，x＝1是f(x)的第二类间断点．D．x＝0是f(x)的第二类间断点，x＝1是f(x)的第一类间断点．正确答案：D解析：[分析] 显然x＝0，x＝1为间断点，其分类主要考虑左、右极限．[详解] 由于函数f(x)在x＝0，x＝1点处无定义，因此是间断点．且，所以x＝0为第二类间断点．，所以x＝1为第一类间断点，故应选(D)．[评注] 应特别注意：。
有关极限考研试题及答案
有关极限考研试题及答案1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以求导数来计算极限。
对于本题，我们有：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 在 \(x = 1\) 处的左极限和右极限。
答案：- 左极限 \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\) - 右极限 \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\)由于左极限等于右极限，所以函数在 \(x = 1\) 处的极限存在，且为 \(-2\)。
3. 判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) 是否在 \(x = 0\) 处连续。
答案：函数 \(g(x)\) 在 \(x = 0\) 处的左极限和右极限都等于1，即：\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\]同时，\(g(0) = 1\)，因此函数在 \(x = 0\) 处连续。
4. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)。
答案：这是一个标准积分形式，其积分结果为：\[\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]其中 \(C\) 为积分常数。
5. 求函数 \(h(x) = \ln(x)\) 在 \(x = e\) 处的导数。
答案：函数 \(h(x)\) 的导数为 \(h'(x) = \frac{1}{x}\)，因此在 \(x = e\) 处的导数为：\[h'(e) = \frac{1}{e}\]6. 判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。
考研数学三(函数、极限、连续)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷8(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0时，变量是A．无穷小．B．无穷大．C．有界的，但不是无穷小．D．无界的，但不是无穷大．正确答案：D 涉及知识点：函数极限连续2．设数列xn与yn满足，则下列断言正确的是A．若xn发散，则yn必发散．B．若xn无界，则yn必无界．C．若xn有界，则yn必为无穷小．D．若为无穷小，则yn必为无穷小．正确答案：D 涉及知识点：函数极限连续3．设x→0时，etanx一ex是与xn同阶的无穷小，则n为A．1B．2C．3D．4正确答案：C 涉及知识点：函数极限连续4．设其中a2+c2≠0，则必有A．b=4dB．b=一4dC．a=4cD．a=一4c正确答案：D 涉及知识点：函数极限连续5．当x→1时，函数的极限A．等于2．B．等于0．C．为∞．D．不存在但不为∞．正确答案：D 涉及知识点：函数极限连续6．设函数则常数a、b满足A．a＜0，b＜0．B．a＞0，b＞0．C．a≤0，b＞0．D．a≥0，b＜0．正确答案：D 涉及知识点：函数极限连续7．设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则A．φ[f(x)]必有间断点．B．[φ(x)]2必有间断点．C．f[φ(x)]必有间断点．D．必有间断点．正确答案：D 涉及知识点：函数极限连续8．设则当x→0时A．f(x)是x的等价无穷小B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C．f(x)是比x更高阶的无穷小D．f(x)是比x较低阶的无穷小正确答案：B 涉及知识点：函数极限连续9．设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且，则必有A．an＜bn对任意n成立．B．bn＜cn对任意n成立．C．极限不存在．D．极限不存在．正确答案：D 涉及知识点：函数极限连续填空题10．设，则f(x)的间断点为____________．正确答案：x=0 涉及知识点：函数极限连续11．当x→0时，a(x)=kx2与是等价无穷小，则k=_____________．正确答案：涉及知识点：函数极限连续12．曲线y=x+sin2x在点处的切线方程是___________．正确答案：y=x+1解析：y’=1+2sinxcosx，该曲线在点处的切线方程是知识模块：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。
即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).A．存在且等于零B．存在但不一定为零C．一定不存在D．不一定存在正确答案：D解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．A．a=1，b=－1／6B．a=1，b=1／6C．a=－1，b=－1／6D．a=－1，b=1／6正确答案：A解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续6．[2010年]若则a等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．A．a=0B．b=1C．c=0D．正确答案：D解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续填空题8．[2012年]设函数则正确答案：解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续9．[2012年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．[2009年]正确答案：3e/2解析：知识模块：函数、极限、连续11．[2015年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续12．[2002年]设常数则正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续13．[2005年]正确答案：2解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续14．[2007年]正确答案：0解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2003年)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有( )A．an＜bn对任意n成立B．bn＜cn对任意n成立C．极限不存在D．极限不存在正确答案：D解析：由于则由极限的保号性可知，存在N＞0，使得当n＞N时，an＜bn，但不是对任意的n都成立。
例如bn=1，n=1，2时不满足an＜bn，所以选项A错误。
类似地，选项B也是错误的。
例如bn=1，n=1，2时不满足bn＜cn。
由于因此是0·∞型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项C是错误的。
例如极限证明发散，可采用反证法。
假设是收敛的，由于可知也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即是发散的。
由此唯一正确的选项是D。
知识模块：函数、极限与连续2．(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )A．若u1＞u2，则(un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散正确答案：D解析：方法一：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；设则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但收敛．排除B；设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnn}发散，排除A。
故应选D。
方法二：由拉格朗日中值定理，有un+1一un=f(n+1)一f(n)=f′(ξn)(n+1—n)=f′(ξn)，其中n＜ξn＜n+1(n=1，2，…)。
由f”(x)＞0知，f′(x)单调增加，故f′(ξ1)＜f′(ξ2)＜…＜f′(ξn)＜…，所以于是当u2一u1＞0时，有故选D。
考研数学二(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是( )．A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B解析：题设中给出数列单调、有界等条件，这自然想到利用命题1．1．4．1确定正确选项，也可以用反例排错法确定之．解一若{xn}单调，则{f(xn)}单调．又f(x)在(一∞，+∞)内有界，可见{f(xn)}单调有界，由命题1．1．4．1知{f(xn)}收敛．仅(B)入选．解二举反例排错法确定正确选项．若取f(x)=arctanx，{xn)={n}，则可排除(C)、(D)．若取f(x)=和xn=，则=0且f(xn)={f(xn)}不收敛，排除(A)．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续2．[2007年] 设函数f(x)在(0，+∞)内具有二阶导数，且f＂(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )．A．若u1＞u2，则{un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散.正确答案：D解析：由于含有抽象函数，利用赋值法举反例判别．依据函数f(x)的性质可判断数列{un=f(n))的敛散性．举反例排除错误选项．设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＜u2，但{un)={n2}发散，排除(C)．设f(x)=1／x，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＞u2，但{un}={1／n)收敛，排除(B)．设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnx}发散，排除(A)．仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续3．[2004年]等于( )．A．∫12 ln2dxB．2∫12 lnx dxC．2∫12 ln(1+x)dxD．∫12 ln2(1+x)dx正确答案：B解析：将所给极限变形为其对应一函数在一区间上的积和式．分别使用式(1．1．4．1)或式(1．1．4．3)化为定积分，后者还必须作一代换才能化为四选项之一．=2∫12lnx dx (利用式(1．1．4．1))．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续4．[2010年]=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：将所给积和式可改写为下述两种形式：因而本题有下述两种解法．解一仅(D)入选．因解二记D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}，它是正方形区域，f(x，y)=，将D的长与宽n等分(见图1．1．4．1)，则D分成n2个小正方形，每个小正方形的面积为．于是σn可看成f(x，y)在D上的一个二重积分的积和式：仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续5．[2007年] 当x→0+时，与√x等价的无穷小量是( )．A．l—e√xB．lnC．一1D．1一cos√x正确答案：B解析：用等价无穷小量定义判别．为此可使用等价无穷小代换、洛必达法则求之．解一使用等价无穷小定义，用排错法确定正确选项．因当x→0+时，有1一e√x=一(e√x一1)～一√x，排除(A)；一1～√x／2，排除(C)；1一cos√x～(√x)2／2=x／2，排除(D)．因而仅(B)入选．解二仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续6．[2013年] 设cosx一1=xsina(x)，其中∣a(x)∣＜，当x→0时，a(x)是( )．A．比x高阶的无穷小量B．比x低阶的无穷小量C．比x低阶的无穷小量D．与x等价的无穷小量正确答案：C解析：因∣α(x)∣＜，故sinα(x)的反函数存在，且因sinα(x)=→0(x→0)，故α(x)为无穷小量，且x(x)=arcsin．于是所以α(x)与x是同阶但不等价的无穷小量．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续7．[2016年]设α1=x(cos√x一1)，α2=√xln(1+)，α3=一1，当x→0+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )．A．α1，α2，α3B．α2，α3，α1C．α2，α1，α3D．α3，α2，α1正确答案：B解析：先分别求出α1，α2，α3关于x的无穷小量的阶数，再利用无穷小量阶的定义比较之．当x→0+时，α1=x(cos√x—1)=一x(1一cos√x)～一x α2=√xln(1+)～x1/2．x1/3=x5/6，α3=一1～,由无穷小量阶的定义易看出，从低阶到高阶的排列次序为α2，α3，α1．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续8．[2004年] 把x→0+时的无穷小量α=∫0x cost2dt，β=∫0x2 tan√tdt，γ=∫0√xsint3dt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是( )．A．α，β，γB．α，γ，βC．β，α，γD．β，γ，α正确答案：B解析：使用无穷小量的阶的定义求之，也可利用命题1．1．5．1(2)求之．解一分别求出α，β，γ关于x的阶数，然后再比较．由=1知，α是x的l阶无穷小量．由即β为x的3阶无穷小量．由即γ为x的2阶无穷小量，故正确的排列次序为α，γ，β．仅(B)入选．解二两两比较它们的阶的大小．因=0.因而β是α的高阶无穷小量．可排除(C)，(D)选项．同法可求得=∞，则β是γ的高阶无穷小量，排除(A)．=0，则γ是α的高阶无穷小量，因而仅(B)入选．解三利用命题1．1．5．1观察求之．仅(B)入选．因cost2为t→0时的零阶无穷小量，故α=∫0x cost2dt为(1+0)×1=1阶无穷小量，β为x的(1／2+1)×2=3阶无穷小量，γ为(3+1)×(1／2)=2阶无穷小量，故正确的排列次序为α，γ，β．知识模块：函数、极限与连续9．[2010年] 设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有( )．A．g(x)＜h(x)＜f(x)B．h(x)＜g(x)＜f(x)C．f(x)＜g(x)＜h(x)D．f(x)＜g(x)＜h(x)正确答案：C解析：x→+∞时，利用无穷大量阶的定义或利用命题1．1．5．3先比较无穷大量的阶，再判别选项．由x→+∞时，由命题1．1．5．3(2)知，无穷大量由低阶到高阶的排列顺序为ln10x，ex/10，因而有(ln10x／x)=0，于是当x充分大时有x＞ln10x，(ex/10／x)=+∞，因而当x充分大时，有ex/10＞x，故当x充分大时有f(x)=ln10x＜g(x)=x＜h(x)=ex/10．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续10．[2009年] 当x→0时f(x)=x—sinx与g(x)=x2ln(1－bx)为等价无穷小，则( )．A．a=1，b=一1／6B．a=1，b=1／6C．a=一1，b=－1／6D．a=1，b=1／6正确答案：A解析：用等价无穷小代换或洛必达法则求之．解一由题设有故必有1一a=0，即a=1．于是有一a3／(6b)=1，即b=一1／6，仅(A)入选．解二由题设有,因而存在，而(－3bx2)=0，故(1一a cosax)=0，即a=1．于是有,即b=一1／6．仅(A)入选．知识模块：函数、极限与连续填空题11．[2018年]x2[arctan(x+1)－arctanx]=___________．正确答案：函数y(t)=arctant在[x，x+1]上可导，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(x，x+1)，使得arctan(x+1)一arctanx=，ξ∈(x，x+1)，从而＜x2[arctan(x+1)一arctanx]＜不等式两边取极限可得：=1.故由夹逼准则知：x2[arctan(x+1)一arctanx]=1．涉及知识点：函数、极限与连续12．[2012年]=__________.正确答案：利用定积分定义求上述积和式的极限．=arctanx∣01 =arctanl 一arctan0=arctanl=π／4．涉及知识点：函数、极限与连续13．[2002年]=__________.正确答案：利用定积分的定义式(1．1．4．3)或式(1．1．4．2)计算．解一原式：解二原式涉及知识点：函数、极限与连续14．[2016年] 极限=___________.正确答案：积和式的极限可利用定积分定义式(1．1．4．3)求之．=∫01 sinxdx=一∫01 xdcosx=一[(xcosx)∣01 一∫01 cosx dx]=一cos1+∫01 d(sinx)=一cosl+sinl=sinl一cosl．涉及知识点：函数、极限与连续15．[2003年] 若x→0时，(1一ax2)1/4一1与xsinx是等价无穷小，则a=_________．正确答案：利用等价无穷代换及等价无穷小定义求之．当x→0时，利用命题1．1．3．1(8)得到(1一ax2)1/4一1～一ax2／4，xsinx～x2．于是，根据题设，有=l，故a=一4．涉及知识点：函数、极限与连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
近30年数学考研真题高数极限连续部分
当
时，用“
”表示比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：D
（2013302）
函数
的可去间断点的个数为：（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：C
（2014201）
当
时，若
，
均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：B
（2014301）
f
x 的间断点,其结论为
(
)
(A) 不存在间断点
(B) 存在间断点 x 1
(C) 存在间断点 x 0
(D) 存在间断点 x 1
【答案】：B
（1999209）
“对任意给定的 e 0,1，总存在正整数 N ，当 n N 时，恒有 | xn a | 2 ”是数列 xn
收敛于 a 的（ ）
（A）充分条件但非必要条件 （C）充分必要条件 【答案】：C
()
(C) 1 x2 1
【答案】：D
(D) x tan x
（1993202）
当
x
0时，变量
1 x2
sin
1 x
是 则（
）
（A）无穷小
（C）有界的，但不是无穷小
【答案】：D
（B）无穷大 （D）有界的，但不是无穷大
（1994102）
设 lim x0
a tan x b(1 cos x) c ln(1 2x) d (1 ex2
【答案】：B
（2008301）
设函数 在区间
上连续，则
是函数
的：（ ）
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2017考研真题专项训练(2)函数、极限与连续一、选择（1~8题，每题4分,共32分）1、(2003.I,II,2.2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【解析】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21 ==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D)2. (2014.III,1)．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【解析】因为||||||lim 0lim 0,2n n n n a a a a a →∞→∞=≠⇒=>> 所以当时,有0,,2a N n N ε∀=>∃>2||a a a n <-， 即||||22n a a a a a -<≤+，所以选择（A ） 3、(2002.II,八)、（本题满分８分）设103x <<，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．则对数列｛n x ｝下列说法错误的是(A) 23<n x 对任意2n ≥成立. (B) 1n n x x +≥对任意2n ≥成立. (C) 极限n n x ∞→lim 不存在. (D) 极限23lim =∞→n n x【分析】递推数列的极限，首先应利用极限的单调有界准则证明【解析】有界性:由题设知103x <<，11,3x x -均为正数，故112(3)3022x x x +-<=≤=假设302k x <≤，则1(3)3022k k k x x x ++-<=≤= 从而数列｛n x ｝有界； 单调性: 又当1n >时，10n n n x x x +-=-==≥从而当1n >时数列｛n x ｝单增。
由单调有界准则可得数列｛n x ｝的极限存在。
求极限:设lim n n x l →∞=，在)3(1n n n x x x -=+两端取极限得：l =3,02a a ==（舍去），故3lim 2n n x →∞= 4、(2005.I,II.7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则)(x f 在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.【分析】 先求出)(x f 的表达式，再讨论其可导情形.【解析】13331,||1,||1()1lim ||(1)||,||1||nn n n x x f x x x x x →∞<=⎧⎪==⎨+=>⎪⎩.1,11,1,,1,33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x 可见)(x f 仅在1±=x 时不可导，故应选(C).5、(2014.II,5)．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则22limx x ξ→=（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31【解析】211x x f +=)('，∴()'()21()arctan '()1f x xf f x x f x x ξξξ========+，∴2arctan arctan x x x ξ-=3322231()()arctan 13limlimlim3(arctan )x x x x x x o x x xx x x x ξ→→→--+-=== 【类似】(2009.II,15)求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+. 【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim lim sin x x x x x x x x xx →→-+--+= 2200sec 11ln(1tan )11tan lim lim 222x x x x x x x x →→--++== 200111tan sec 1tan (1tan )1lim lim 21tan 2224x x x x x x x x x →→+--===+6、(2013.II,1)．设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 【解析】因为200sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→-==-， 所以00()sin ()1limlim2x x x x xx αα→→==-，故()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。
【答案】（C ） 【类似】(2007,I--III,1) 当0x +→等价的无穷小量是(A)1- (B)ln. (C)1-. (D)1-.【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【解析】 当0x +→时，有(A)1(1)~-=--；(B)ln(11)1=--= (C)1~-；(D)2111~.22x -= 故应选(B).7、(2010.III,4) 设()()()1010ln,,x f x x g x x h x e ===,则当x 充分大时有( )(A) ()()()g x h x f x <<. (B) ()()()h x g x f x <<. (C) ()()()f x g x h x <<. (D) ()()()g x f x h x <<.【解析】因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞,所以,当x 充分大时,()()h x g x >.又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x x x x g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim 10!lim 01x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅== . 所以当x 充分大时,()()f x g x <,故当x 充分大,()()()f x g x h x << 【答案】(C).【同类】(2010.I,1.1)极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A)1. (B)e . (C)a be-. (D)b ae-.【知识点】求1∞型极限和重要公式()lim ()()()()0lim 1()x A x B x B x x A x A x e →*→*→+=【解析】()()()()()()22ln lim n 2l lim lim x x x x xx x x a x b x a x b x e x x x b e a →∞⋅⋅-+→∞-+→∞⎛⎫ ⎪ -=⎝⎭=⎪+ ()()()()2()lim 1lim x x x a b x abx xx a x b x a x b a b e ee →∞→∞⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭===【答案】C8、(2013.III,2)．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【解析】)(x f 的间断点0,1,1,x =-而)1,0(,ln ~11ln ±→-=-x x x ex xx x，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx x x xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点．∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x xx x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以1-=x 不是)(x f 的可去间断点．故应该选（C）．【类似】(2013.II,3)．设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ） （A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导【解析】0sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x xxtdt x x F x f t dt tdt dt x x ππππππ⎧=-≤<⎪==⎨⎪+=-+≤≤⎩⎰⎰⎰⎰， 由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-→+==，所以()F x 在x π=处连续；又()()1cos ()limlim 0x x F x F xF x x ππππππ-→-→+---'===--， ()()2()()limlim 2x x F x F x F x x πππππππ+→+→+--'===--故【答案】（C ） 【类似】(2001.II,四)、（本题满分7分）求极限sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→ ，记此极限为()f x ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型．【分析】考查极限的计算、间断点概念及分类。
【解析】由于sin sin lim sin sin sin sin sin sin sin sin ()lim(1)sin t x x t x x xt x x t x xt x t x f x e e x→-⋅--→-=+==， 从而函数间断点为x k π=，k 为任意整数。