数格点算面积
“数格点算面积”活动课教学案例评析
中学 数学 月 刊
２ ０ １ ４年 第 ２期
“ 数 格 点 算 面积” 活动课 教 学案例 评 析
孙 洁梅 （ 江 苏省镇 江 市第四 中学 ２ １ ２ ０ ０ １ ） “ 数格 点算 面积 ” 为八 年 级 （ 上） 《 数 学 综 合 与
实 践活 动 》 中 的一个 课 题 ． 选择 这 个 课 题 ， 一 是 源
式 之一 ， 体 现 了文化 的 时代 性 ； 将 五位 同学 的站位
用 五个 点表 示 ， 想 知 道顺 次连 结 这 五 个 站位 点 所 得 到 的多边 形 的 面积 ， 进 而判 断 这 个 最 后 造 型是
于《 义务 教育数学课 程标 准 （ ２ ０ １ １年 版 ） 》 （ 下 称
《 标准 （ ２ ０ １ １版 ） 》 ） 一 个 十 分 明显 的 变 化 ， 即 由过
否符 合舞 台要 求 ， 体 现 了文化 的学 习性 ； 由于是不 规则 的多 边形 ， 这 类 图形 面 积 常常 借 助 于 方 格 纸 （ 将 动画 中 的 同学 隐去 ， 留下 图 １ ） ， 介绍格点 、 格
判 断这个 最 后造 型 是 否 符 合 舞 台要 求 ． 由 于是 不 规 则 的多边 形 ， 这 类 图形 面积常 常借 助 于方格 纸 ， 介 绍格 点 、 格 点 多边形 等相 关概 念 ， 并请 同学 们借
助 于方 格纸 ， 想 办法求 出该 格点 多边 形 的面 积．
探究 Ｎ ， Ｌ和 Ｓ三 者之 间 的关 系． 由于 Ｎ， Ｌ和 Ｓ都 是变 量 ， 想 同时探 究 这 三个 量 之 间 的关 系 是 比较 困难 的 ， 下面先 给 出两组 图形 请 同学 观察． 组图１ 三个 格点 多 边 形 ， Ｌ均为 ５ ， 但 内部
格点法求面积的公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。
1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。
这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。
2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。
高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。
初中数学综合实践活动教案
数学活动课题：数格点算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律；(2) 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识（3）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。
三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念认识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.二．自主探究1．求下列多边形的面积2．我们设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，写出下图中3．仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同．．1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S第二阶段课内活动一．对第一阶段活动的再认识1．认识格点多边形2．识别凹、凸多边形3．归纳格点多边形面积的求法4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=0的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？活动二探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=1的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系？活动三探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）活动四自主探究N=3时S与L之间的关系1．示范引领：画N=3的格点多边形2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S与L之间的关系活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L之间的关系活动六归纳分析S、N、L三者关系三．规律的应用求下列多边形的面积四．共同交流课内活动体会第三阶段课后活动活动一填写活动评价报告数学综合实践活动评价报告。
数学实践活动教案10数格点算面积
初中数学实践课教案10 课题数格点算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律；(2) 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识（3）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。
三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念认识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.二．自主探究12．我们设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数ab为L ，写出下图中格点多边形的N 、L3．仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同．．格点多边形 1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S第二阶段 课内活动一．对第一阶段活动的再认识1．认识格点多边形2．识别凹、凸多边形3．归纳格点多边形面积的求法4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一 探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=0来吗？活动二 探究N=1满足N=1活动三 探究N=2的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）观察上表，你又有了什么发现？活动四 自主探究N=3时S 与L 之间的关系1．示范引领：画N=3的格点多边形2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S 与L 之间的关系活动五 猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L 之间的关系活动六 归纳分析S 、N 、L 三者关系121-+=N L S三．规律的应用求下列多边形的面积四．共同交流课内活动体会。
正方形格点面积公式
正方形格点面积公式
正方形格点面积公式是指由正方形边界内部的格点组成的正方形
的面积。
在平面直角坐标系中，我们可以用数学语言来表示这一面积
公式。
假设正方形的边长为a，则其内部共有(a-1)个正方形，其中边
长为1的正方形共有a×a个。
因此，正方形格点面积公式可以表示为：(a-1)²+a² = 2a²-2a+1
这个公式的由来可以通过计数方法来理解。
我们可以把正方形边
界内的格点看作是坐标平面中的整数点，因为它们的坐标为(a, b)，
其中a与b都是整数。
在正方形的边界上各有a个格点，因此正方形
上的格点数量为4a-4。
由于四个角上的点被计算了两次，所以我们需
要减去4，得到正方形边界内部的点的数量2a-2。
因此，若正方形的
内部共有(a-1)个正方形，则正方形内部的点的数量为2a-2+a^2-1，即
2a^2-2a。
然而，需要注意的是，正方形的四个角也被计算了两次，所
以必须再加上1个点，即得到上述的公式。
在实际应用中，正方形格点面积公式可用于计算正方形网格的面积。
例如，当我们需要确定一块土地的面积时，可以先将其划分成若
干个小正方形，然后使用上述公式计算每个正方形的面积，再将所有
小正方形的面积相加即可得到该土地的面积。
此外，该公式还可用于
计算物体的体积等其他方面。
数数格点算出面积
数数格点算出面积一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。
如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。
这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。
如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。
由于这个缘故，我们又叫格点为整点。
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。
有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
设格点多边形的面积为S，多边形内部有N个格点，多边形边线上有 L个格点。
为了寻求公式，我们从简单的图形（如图2，图3，图4）考虑起，并列成一表，探求它们之间的关系。
图1图2 图3图4图形 S N L S-N L/2OABC 1 0 4 1 2OPQR 4 1 8 3 4OQB 1/2 0 3 1/2 3/2OPC 1 0 4 1 2OLMR 8 3 12 5 6EFG 9/2 1 9 7/2 9/2HIJKXY 10 7 8 3 4看过上表的前四行，我们可能感到很失望，S，N，L之间看不出有什么联系来，不过，我们在前面已经看到，当S很大时，S和N的差(相对地说)是很少的。
因此，我们在表上添了一列，包含S-N，这行数字是随着L而增大的。
如果用2去除L，列到最后一刻，我们立刻得到下面的有趣的关系：S－N=－1,即 s=n+＝－1。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
我们这里并不想对皮克定理给予严格的证明，同学们可以通过不同的格点多边形验证它的正确性。
不过，通常我们需要计算的图形，往往并不是格点多边形。
因此，首先需要通过割补的办法，化为面积相近的格点多边形，然后再用皮克公式进行计算。
同学们，当你亲自算出一些图形的实际面积时，你一定会为科学的胜利而感到无限的欣慰。
数格点算面积(教案)
课题：数格点算面积活动目标：1、通过这次活动，让学生经历画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理；2、让学生在“活动”中学，通过实际操作获得亲自体验，积累直接经验.强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动；3、通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，理解解决问题的过程和方法：让学生经历从特殊到一般，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的思维方法.活动准备：网格纸若干张.活动内容：一、概念介绍网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻的平行线之间的距离相等.这样两组平行线的交点称为格点.水平线和垂直线围成的每个小正方形的边长称为“一个单位长度”，图中每个小方格就是一个面积单位.假如一个多边形的顶点都在格点上，则这种多边形叫做格点多边形.活动：计算右图中格点五边形ABCDE的面积S并说说你的计算方法.还有其他简捷的方法计算格点五边形ABCDE的面积吗？假设格点多边形的面积为S，点数为L，试用N、L的代数式表示S.三：探究活动活动一：(1)如图①②③都是满足N=0的格点多边形，请你在图④中再画出一个N=0的格点多边形.(2)思考：N=0时，S与L有什么关系？活动二、三、四：分三大组分别完成探究S、L、N的关系. 活动二：研究N=1的格点多边形，探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=1的格点多边形.活动三：研究N=2的格点多边形，探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=2的格点多边形.活动四：研究N=3的格点多边形，探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=3的格点多边形.四、总结规律五、公式应用：计算以下格点多边形的面积.（看谁算得快）备用网格六、小结与质疑今天我学到了. 我还有疑问.。
《数格点算面积》课件
实例三：三角形格点算面积
总结词
通过三角形格点计算面积的方法
详细描述
三角形格点算面积是通过数三角形的底和高以及格点数来计算面积的一种方法。首先，确定三角形格点的底和高 ，然后数格点的数量，最后将格点数乘以底和高的乘积的一半即可得到面积。
04
数格点算面积的应用场景
土地测量与规划
土地面积测量
通过数格点的方法，可以快速准 确地测量土地面积，为土地规划
计和成本预算提供依据。
室内装修设计
在室内装修设计中，通过数格点 算面积的方法可以精确计算出各 个区域的面积，为材料选择和预
算制定提供参考。
房地产销售
在房地产销售过程中，利用数格 点算面积的方法可以精确计算出 房屋的建筑面积和使用面积，为
购房者提供准确信息。
05
数格点算面积的注意事项与技巧
格点选取的原则与技巧
专业的地理信息系统软件 ，具有强大的数据处理和 分析功能。
QGIS
开源的地理信息系统软件 ，适用于各种操作系统。
GRASS GIS
同样是一款开源的地理信 息系统软件，具有广泛的 用途和强大的功能。
06
总结与展望
数格点算面积的重要性和意义
数学教育意义
通过数格点算面积的练习，有助于培养学生的逻辑思维和空间想 象力，提高他们的数学素养。
数格点算面积的原理
原理
基于格点的可数性和均匀性，通过将平面图形划分为若干个小正方形，然后数出这些小正方形中的格点数，最 后根据格点数和正方形面积的对应关系计算出整个图形的面积。
应用
数格点算面积的方法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如计算几何形状的面积、求解微积分问题等 。
03
数格点算面积的实例分析
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数格点算面积
一．活动目标
(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理；
(2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验,积累直接经验。
强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动；
(3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法。
二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。
网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻的平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点称为格点。
如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形。
(如下图中的五边形ABCDE)。
有趣的是：这种称为格点多边形的面积可以根据图形内部及它的边上的格点的数目来计算，算法十分简捷。
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，下面我们来探究S与N、L三者之间的关系。
问题的研究应该从简单的图形入手。
1．如图①②③都是N=0的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。
2．根据以上图形以及你画的图形填表：
图形序号S N L
① 1 0 4
② 2 0 6
③
3
0 8
④
3．观察图表可以发现：1
2
1
-
=L
S。
判断一下在你画的图中这个关系式是否成立？
4．如图⑤⑥⑦都是N= 1的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。
5．根据以上图形以及你画的图形填表：
图形序号S N L
⑤ 2 1 4
⑥ 2.5 1 5
⑦ 4.5 1 9
⑧
6．观察上表，你有什么发现？怎样用N、L的代数式来表示S ？
7．如图⑨⑩都是N= 2的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。
8．根据以上图形以及你画的图形填表：
图形序号S N L
⑨ 6 2 10
⑩ 4 2 6
3 2 4
9．观察上表，你有什么发现？怎样用N、L的代数式来表示S？
10．如图、、都是N= 3的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。
11．根据以上图形以及你画的图形填表：
图形序号S N L
5 3 6
4 3 4
4.5 3 5
12．观察上表，你有什么发现？怎样用N、L的代数式来表示S？
13．综合分析与归纳：格点多边形的面积S与多边形内部的格点数N、它的
边上的格点数L之间的数量关系式是1
2
1
-
+
=L
N
S。
14．这个公式是由奥地利数学家皮克(Georg Pick)在1899年给出的，所以这个
公式1
2
1
-
+
=L
N
S被人称为皮克定理。
这是一个实用而且有趣的定理。
不过通常我们需要计算的图形往往并不都是格点多边形。
因此，在实际应用时，仍需要用割补的方法，将问题转化为面积相等的格点多边形，然后再用皮克定理进行计算。