方程与方程组的迭代解法
牛顿迭代法求解方程组
牛顿迭代法求解方程组一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代方法，其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。
具体而言，对于一个方程f(x) = 0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后通过迭代的方式不断更新x 的值，直到满足一定的停止准则为止。
牛顿迭代法的更新公式如下：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}其中，x_n表示第n次迭代得到的近似解，f(x_n)表示方程在x_n处的函数值，f'(x_n)表示方程在x_n处的导数值。
二、牛顿迭代法在求解方程组中的应用牛顿迭代法不仅可以用于求解单个方程，还可以推广到求解方程组的情况。
假设我们要求解一个由m个方程和n个未知数组成的方程组，即F(x) = 0其中，F(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))为方程组的向量函数。
我们可以将该方程组转化为一个等价的非线性方程组：f(x) = 0其中，f(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))。
牛顿迭代法在求解方程组时的更新公式如下：x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n) f(x_n)其中，J(x_n)是方程组在x_n处的雅可比矩阵，其定义为：J(x_n) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_n) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_n) \end{pmatrix}三、牛顿迭代法的收敛性和收敛速度牛顿迭代法在求解方程组时具有较好的收敛性和收敛速度。
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
计算方法3_线性方程组迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
用迭代法求解方程及线性方程组。
实验题目：用迭代法求解方程及线性方程组。
实验问题：函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具。
哪怕是对一个相当简单的函数进行迭代，都可以产生异常复杂的行为，并由此而衍生了一些崭新的学科分支，如分形和混沌。
同时，迭代在各种数值计算算法以及其他学科领域的诸多算法中处于核心的地位。
首先，我们来探讨利用迭代求解方程的近似解。
实验目的：1. 学会基本Mathematica 语句并用其解决实际问题。
2. 了解Mathematica 系统 。
3. 用Mathematica 解决在求方程解的迭代过程。
1.方程求解给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值0x 定义数列,,1,0),(1 ==+n x f x n n （1） ,,1,0, =n x n 称为f （x ）的一个迭代序列。
给定迭代函数f(x)以及一个初值0x 利用（1）迭代得到数列,,1,0, =n x n 如果数列n x 收敛于一个*x ，则有)(**x f x = （2） 即*x 是方程x=f(x)的解。
由此启发我们用如下的方法球方程g(x)=0的近似解。
将方程g(x)=0改写为等价的方程x=f(x), (3) 然后选取一初值利用（1）做迭代。
迭代数列n x 收敛的极限就是方程g(x)=0的解。
用上述方程求方程的根的一个首要问题是迭代是否收敛？经过试验我们知道，使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程g(x)=0的某一解的条件是迭代函数f(x)在解的附近的导数的绝对值近两小。
这启发我们将迭代方程修改成x x f x h x )1()()(λλ-+== (4) 我们需要选取λ使得01)('|)('|=-+=λλx f x h得)('11x f -=λ 于是1)(')()(---=x f xx f x x h特别地，如果f(x)=g(x)+x ,则我们得到迭代公式.,1,0,)(')(1 =-=+n x x n n x g x g n n (5) 2.线性方程组的迭代求解给定一个n 元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++n n nn nn n n b x a x a b x a x a 111111 （6）或写成距阵的形式Ax=b, (7)其中)(ij a A =是n 阶方程，T n x x x ),,(1 = 及T n b b b ),,(1 =均为n 维列向量。
5-2计算方法
x (k+1) 3
=
1 20
x (k) 2
−
1 8
x (k) 3
+
21 10
⎡ ⎢
0
将上式中xj(k) (j=1,2,…,i-1)替换为xj(k+1) (j=1,2,…,i-1)，得到
2.Gauss-Seidel迭代法
i −1
n
∑ ∑ bi − aij x j(k ) −
aij x j (k )
xi (k+1) =
j =1
j =i +1
a ii
, i = 1, , n
将上式中xj(k) (j=1,2,…,i-1)替换为xj(k+1) (j=1,2,…,i-1)，得到
⎧ ⎪
x1
=
−
2 5
x2
−
1 5
−
12 5
⎪ ⎨
x2
⎪
⎪⎩x3 =
= −
1 4
x1
−
1 2
1 5
x1
+
3 10
x3 x2
+5
+
3 10
Jacobi迭代格式为
x (14)
=
⎜⎛ − 3.9997 ⎟⎞ ⎜ 2.9998 ⎟
⎜⎝ 1.9998 ⎟⎠
⎧ ⎪
x1( k +1)
=
−
2 5
x2(k )
−
1 5
x3(k )
−
12 5
⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x2(k x3(k +1)
+1)
=
=
1 4
x1( k
−
1 5
线性方程组的直接解法迭代解法
广东金融学院实验报告课程名称：数值分析实验目的及要求实验目的：题一：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向最的微小变化对解向最的影响。
比较各种直接接法在解线性方程组中的效果；题二：认识齐种迭代法收敛的含义、影响齐迭代法收敛速度的因素。
实验要求：题一：(1)在MATLAB中编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述方程组，输出曲b中矩阵A 及向量b和A二LU分解中的L及U, detA及解向量X.(2)将方程组中的2. 099999改为2. 1, 5. 900001改为5. 9,用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向最x及detA,并与(1)中的结果比较。
(3)用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵，再输入命令x=inv(A)*b,即可求出方程组的解。
请与列主元高斯消公法和LU分解法求出的解进行比较，体会选主元的方法具有良好的数值稳定性。
用MATLAB的内部曲数det求出系数行列式的值，并与(1)、(2)中输出的系数行列式的值进行比较。
(4)比较以上各种直接解法在解线性方程组中的效果。
题二：(1)选取不同的初始向M：X(0)及右端向最b,给泄迭代误差要求，用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。
列岀算法清单。
(2)用SOR迭代法求上述方程组的解，松弛系数血取1<69<2的不同的三个值，在< 10"5时停止迭代，记录迭代次数，分析计算结呆与松弛系数血的关系并得出你的结论。
(3)用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵.再输入命令^inv(A)*b>即可求出上述各个方程组的解.并与上述三种方法求出的解进行比较。
请将比较结果列入卜表。
方程组的解X1 Xr■迭代次数误差楮确解Jacibi解法Gause・seidel 解法SOR 解法00= 60= 60=实验环境及相关情况（包含使用软件、实验设备、主要仪器及材料等）1. Win72. Mat lab 7.0实验内容及步骤（包含简要的实验步骤流程） 实验内容：题一：解卜列线性方程组'10 -7‘X 】、(8、-3 2.099999 62Xr5.9000015-1 5 -15、12> 0< 1 >题二研究解线性方程组 做=b 迭代法的收敛性、收敛速度以及SOR 方法中/佳松弛因子的选取问题, 用迭代法求解做二b,其中・4 -1r■7 A=4 -81 ,b =-21-2 ■1515实验结果（包括程序或图表、结论陈述.数据记录及分析等，可附页）题一：直接解法解线性方程组（1）列主兀高斯消去法与LU 分解求解列主元高斯消去法:编写matalab 程序（见附录gaosi.m ）,输出矩阵10.000 -7.000 0.000= 0.000 2.5000-5.000一 0.000 0.0006.0000020.000 0.000 0.000向量8 b =1 8.300 L5.0800J解向量:X = （0 ・-1 , 1 r I ）7 其中系数行列式的值det （A ）=762.00009LU 分解求解：编J matalab 程序（见附录zhjLU. m 和LU ・m ）,执行输出：-1.5 2.300 5.080-3.0001.000000.00000.5000 -25000001.0000 0.2000 -24000000.9600 10.0000 -7.0000 0.0000 1.0000n = 0.0000-0.0000010.0000 2.3000 —0.0000 0.000015000000 57500000.0000 0.0000 0.0000 5.0800在matlab 命令窗II 输入L*U ,可以得到A 二L*U ，即分解结果正确。
线性方程组的迭代解法及收敛分析
1.9583
0.8468
0.2974
9
1.0975
2.0954
2.8217
1.9788
0.8847
0.2533
10
1.0850
2.0738
2.8671
1.9735
0.8969
0.2041
11
1.0673
2.0645
2.8802
1.9843
0.9200
0.1723
12
1.0577
2.0509
2.9077
1.9828
0.9303
0.1400
13
1.0463
2.0437
2.9191
1.9887
0.9448
0.1174
14
1.0392
2.0350
2.9363
1.9886
0.9527
0.0959
15
1.0318
2.0297
2.9451
1.9920
0.9620
0.0801
16
1.0267
2.0241
Keywords：MATLAB,Mathematical model,Iterative method,ConvergenceSystem of linear equations
1
在实际生活中，存在着大量求解线性方程组的问题。这些方程组具有数据量大，系数矩阵稀疏，在一定精度保证下，只需要求解近似解等特点。线性方程组的迭代解法特别适合于这类方程组的求解，它具有程序设计简单，需要计算机的贮存单元少等特点，但也有收敛性与收敛速度问题。因此，研究线性方程组的迭代解法及收敛分析对于解决实际问题具有非常重要的作用。
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x≈1.32480 f=3.6990*10^(-4)
6.1.2 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式
如： x3 x 1 0 x 3 x 1 x x3 1
x cosx 0 x cosx
迭代法及收敛性
考察方程 x (x)。这种方程是隐式方
程，因而不能直接求出它的根，但如果
(2) if f (a) f (b) 0 then 返回第1步,重新 输入a, b值else转第3步;
(3)while | a b | 时做
1)令x 1 (a b),计算f (x); 2
2)if f (a) f (x) 0 then [a,b] [a, x];
else [a,b] [x,b].
'(x) L 1,
则对任意初值x0 [a,b]，由迭代xk1 (xk )产生 的数列收敛于方程x (x)在[a,b]的唯一根。
迭代收敛定理
证明：不失一般性，不妨设
(a) a,(b) b
否则 a或b为方程的根。 首先证明根的存在性
令 g(x) (x) x
迭代收敛定理
则 g(a) (a) a 0，g(b) 0 即 g(a) g(b) 0
xk1 xk3 1 k 1, 2,L L
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显然结果越来越大，{xk } 是发散序列
迭代法的收敛性
迭代收敛定理：设迭代函数 ( x)满足条件： 1)当x [a,b]时，(x) [a,b]；
2)存在正数L 1，使对任意x [a,b]，有
例题 试用迭代法求方程f (x) x3 x 1 0 在区间(1,3)内的实根。
解：由x 3 x 1建立迭代公式 xk 1 3 xk 1, k 0,1, 2,L L
计算结果如下：
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
例题
但如果由 x x3 1建立迭代公式
给出根的某个猜测值
x
，
0
代入x
(x)
中
的右端得到 x1 (x0 ) ，再以 x1为一个猜
测值，代入 x (x) 的右端得 x2 (x1)
反复迭代得 xk1 (xk ) k 0,1,L L
迭代法及收敛性
若
{xk } 收敛，
即
lim
k
xk
Q
lim
n
xn1
lim
n
(
xn
)
(lim n
xn )
end while; (4)输出x 1 (a b).
2
例题
例 设方程 f (x) x3 x 1,[a,b] [1,2]
解：取h=0.1,扫描得：
f (1.3) 0.61 0 f (1.4) 0.344 0
方程的有根区间为[1.3,1.4].
又 Q f '(x) 3x2 1 0, x [1.3,1.4] 即 f (x) 0在 [1.3,1.4]有唯一根。
()
故 是 x (x) 的一个根
xk1 (xk ) k 0,1,L L
迭代法的几何意义
x
(x)
y
y
x
(x)
交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
简单迭代法
将f (x) 0变为另一种等价形式 x (x)。
选取 的某一近似值 x0 [a,b] ，则按递推 关系 xk1 (xk ) k 0,1,L L 产生迭代序列 {xk } 。这种方法称为简单迭代法。
由条件2）(x) 是 [a,b] 上的连续函数 所以 g(x) 是[a,b]上的连续函数。 故由零点定理 g(x) 0 在 [a,b] 上至少有一根
引言
本章重点介绍求解非线性方程f (x) 0 的几种常见和有效的数值方法，同时也对 线性方程组Ax b及非线性方程组 fi (x1, x2,L , xn ) 0 (i 1, 2,L , n) 的求解介绍一些最基本的解法。 这些方法是对经典的解析方法的突破性开拓和补充， 数值方法可借助计算机完成。
设所求的根为x*，则 x [an,bn ], n 1，2，L 即 an x bn，n 1，2，L
可取
x
cn
1 2
(an
bn )
lnim(bn
an )
lim
n
1 2 n 1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
求方程 f(x)=0的根的二分法算法
(1) 输入 : 有根区间[a,b]的a,b值及精度控制量 ;
有根区间：
[1.300000000, 1.400000000] [1.300000000, 1.350000000] [1.300000000, 1.325000000] [1.312500000, 1.325000000] [1.318750000, 1.325000000] [1.321875000, 1.325000000] [1.323437500, 1.325000000] [1.324218750, 1.325000000] [1.324609375, 1.325000000]
试探法
任取正整数n, 令h
b-a n
, xi
a
ih(i
0
n), 顺次
计算f (x0 ), f (x1),L ，f (xn ).
1.若发现f (xk ) 0，则取xk为；
2.若发现f
( xk
1 )
f
(
xk)0，则取 Nhomakorabea1 2
(
xk
1
xk
)为。
所得的近似值误差不超过h。
二分法（区间平分法）
先确定有根区间 [a,b]
6.1 方程求根法
本节讨论求解方程 f (x) 0的近似解法。 试探法与二分法 迭代法及其收敛条件 迭代法收敛速度 加速收敛技术 牛顿迭代法 弦割法
6.1.1 试探法和二分法
理论依据：
零点定理：如果函数y f (x)在区间[a,b]
连续且f (a) f (b) 0,则在区间(a,b)内必定存在， 使f ( ) 0。称为函数（f x）的零点或f (x) 0的根。
令a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1)
1. 若f (c1) 0,则根 c1
2. 若f (a1) f (c1) 0,则 [a1,c1]为有根区间，
否则 [c1,b1]为有根区间.
记新的有根区间为
[a2,b2 ],且b2 a2
1 2
(b1
a1).
3. 对于[a2,b2 ]重复上述过程.
于是 [a1,b1] [a2,b2 ] L [an,bn ] L bn an (b a ) 2n1