北京市西城区高三二模数学文科含答案
北京市西城区高三毕业班第二次模拟测试文科数学试题参考答案
北京市西城区高三毕业班第二次模拟测试文科数学试题&参考答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B = （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x =（C ）211y x =+ （D ）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则 （A ）1±（B ）2±（C ）4±（D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为 （A ）43（B ）2 （C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____． 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a 1b =，则c =____．12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值． 16．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 17．（本小题满分13分）设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由． 19．（本小题满分13分）B 餐厅分数频数分布表已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由；（Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．212．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42 注：第13、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分]所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以 ππ3π444β<+<，[ 8分] 所以πsin()04β+>，[ 9分]①式化简为π1cos()42β+=． [10分]所以 ππ43β+=，[12分]所以π12β=． [13分] 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． [ 3分]（Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ；对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分]其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%． 所以会选择B餐厅用餐． [13分]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 21n a n =-．[ 2分]因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列， 所以1n n b q -=．[ 4分]所以121n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分] 因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，[ 6分]即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．[ 7分]经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n q n -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分]当1q =时，2n S n n =+．[11分]当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分]又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分]所以//AD 平面FBC ．[ 7分] 又因为平面ADMN 平面FBC MN =，所以//AD MN ．[ 8分]（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分]连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥．因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN 平面BCF MN =， 若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分]在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以12FM FC =．[14分] 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x x x '=-+-．[ 2分]当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解．令2110(2)x x -+=-，整理得2540x x -+=，解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x xx '=-+-．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <．由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分]2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >，所以21022a a x x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分]20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ． 因为椭圆C ， 所以 2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =．[ 1分] 由22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分] （Ⅱ）将y x m =+代入22142x y +=， 消去y 整理得2220x m +-=．[ 5分]令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<．设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB ==[ 6分]点P 到直线0x -=的距离为d ==． [7分]所以PAB △的面积12S AB d =⋅=，[ 8分]当且仅当m =时，S =．所以PAB △的面积的最大值是．[ 9分]（Ⅲ）||||PM PN =．证明如下：[10分]设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，则12k k +==[11分]由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x -+--0=，所以直线PA ，PB 的倾斜角互补．[13分]所以12∠=∠，所以PMN PNM ∠=∠．所以||||．[14分] PM PN。
北京市西城35中2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析
北京市西城35中2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．9402．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(B ．)+∞C ．(D ．)+∞3．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．104．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．145．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}6．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 7．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．23288．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种9．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=10．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同11．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m12．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市西城区2022届高三数学二模试题含解析版
西城区高三模拟测试试卷数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}42A x x =-<<，{}29B x x =≤，则A B ⋃=（ ）A. (]4,3- B. [)3,2-C. ()4,2- D. []3,3-【答案】A 【解析】【分析】先求B ，再求并集即可【详解】易得{}3|3B x x =-≤≤，故(]4,3A B ⋃=-故选：A2. 已知双曲线的焦点分别为1F ，2F ，124F F =，双曲线上一点P 满足122PF PF -=，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出a 和c 的值，进而可求离心率.【详解】因为1224F F c ==，所以2c =，又因为122PF PF -=，所以由双曲线的定义可知22a =，解得1a =，则双曲线的离心率2ce a==，故选：C .3. 已知{}n a 为等差数列，首项12a =，公差3d =，若228n n a a ++=，则n =（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；【详解】解：因为首项12a =，公差3d =，所以()1131n a a n d n =+-=-，因为228n n a a ++=，所以()()3132128n n -++-=，解得4n =故选：D4. 下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ln y x =C. sin y x =D. y x x=【答案】D 【解析】【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性.【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D5. 已知直线2y kx =+与圆C ：222x y +=交于A ，B 两点，且2AB =，则k 的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k 值.【详解】由题设(0,0)C 且半径r =，弦长2AB =，所以C 到2y kx =+的距离1d ==，1=，可得k =.故选：B6. 已知e 是单位向量，向量a 满足112a e ≤⋅≤，则a r 的取值范围是（ ）A. ()0,∞+ B. (]0,1C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据向量数量积的定义即可求解.【详解】依题意，cos ,cos ,a e a e a e a a e ==，1cos ,12a a e ≤≤ ，cos ,0a e ∴> ，112cos ,cos ,a a e a e ≤≤ ，又∵0cos ,1a e <≤ ，12a ∴≥ ，故选：C.7. 已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，k Z ∈, ()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6π=ϕ时, ()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时, ()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.8. 已知()lg f x x a =-，记关于x 的方程()1f x =的所有实数根的乘积为()g a ，则()g a （ ）A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，也有最小值D. 既无最大值，也无最小值【答案】D 【解析】【分析】求出方程()1f x =的实数根，从而可得()g a ，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】解：由()1f x =，得lg 1x a -=，所以110a x +=或110a -，故()210ag a =，所以函数()g a 既无最大值，也无最小值.故选：D .9. 若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ）A. (]0,1 B. ()0,1C. ()1,4 D. ()2,4【答案】B 【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >，当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤，当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣，则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B10. 如图为某商铺A 、B 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元.图中点1A 、2A 、3A 的纵坐标分别表示A 商品2022年前3个月的销售量，点1B 、2B 、3B 的纵坐标分别表示B 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（ ）①2月A 、B 两种商品的总销售量最多；②3月A 、B 两种商品的总销售量最多；③1月A 、B 两种商品的总利润最多；④2月A 、B 两种商品的总利润最多.A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；对③④，根据A 利润是B 的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可【详解】对①②，根据统计图可得，3B ，3A 的纵坐标之和显然最大，故3月A 、B 两种商品的总销售量最多；故②正确；对③④，因为A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元，根据统计图，若用对应的点表示对应点的纵坐标，则易得131232210100201020A B B B A A +>+>+，故③正确综上②③正确故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 二项式()()*1nx n +∈N 的展开式中2x的系数为21，则n =__________.【答案】7【解析】【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有2C 21n =，即可求n 值.【详解】由题设，展开式通项为1C r rr n T x +=，而2x 的系数为21，所以2C 21n =，即(1)212n n -=且*N n ∈，可得7n =.故答案为：712. 已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()1,2-，则5z为__________.【解析】【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解.【详解】由题意，12i z =-+ ，则()512i 5512i 12i 5z --===---+ ，5z==；13. 已知抛物线24y x =的焦点为F，准线为l ，则焦点到准线的距离为___________；直线y =P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），过点P 作直线PQ 的垂线交准线l 于点H ，则PFPH=__________.【答案】 ①2②.【解析】【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作PP l '⊥交准线l 于点P '，易.得直线y =-过焦点，则PF PP PH PH'=从而可得出答案.【详解】解：抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线l 为1x =-，，所以焦点到准线的距离为2，如图，作PP l '⊥交准线l 于点P '，因为直线y =F ，则PF PP '=，因为PP l '⊥，所以PP x '∥轴，又直线y =-的倾斜角为60︒，所以60FPP '∠=︒，所以30HPP '∠=︒，则cos30PF PP PHPH'==︒=.故答案为：214. 已知数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，{}n b 是公差为2的等差数列.若集合{}*n n A n N a b =∈>中恰有3个元素，则符合题意的1b 的一个取值为__________.【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】易得数列{}n a 逐项递减，可先确定集合{}*n n A n N a b =∈>中的3项再列式求1b 的范围即可【详解】易得数列{}n a 逐项递减，{}n b 逐项递增，故可考虑112233,,a b a b a b >>>，(),4,n n n N a b n +≥∈≤，此时只需3344a b a b >⎧⎨≤⎩即可，即21311164211662b b ⎧⎛⎫⨯>+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得140b -≤<，故符合题意的1b 的一个取值为1-（答案不唯一）故答案为：1-（答案不唯一）15. 已知四棱锥P ABCD -的高为1，PAB △和PCD的等边三角形，给出下列四个结论：①四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥；②空间中一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点；③可能有平面PAD ⊥平面ABCD ；④四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】对①，分析当四棱锥P ABCD -为正四棱锥时是否满足条件即可；对②，设四棱锥P ABCD -的高为PO ，分析可得点O 满足；对③，假设平面PAD ⊥平面ABCD ，再推导得出矛盾即可判断；对④，设BOC θ∠=，得出四棱锥P ABCD -的体积表达式再求解即可【详解】根据题意，设PO ABCD ⊥，则1PO =，又因为PAB △和PCD的等边三角形，易得1OA OB OC OD ====，且2AOB COD π∠=∠=对①，当AB BC CD AD ====时，底面为正方形，且O 为底面中心，此时四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥，故①正确；对②，1O A O B O C O D O P =====，故一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点O ，故②正确；对③，当平面PAD ⊥平面ABCD 时，因为PO ABCD ⊥，故PO ⊂平面PAD ，此时A O D π∠=，又因为2AOB COD π∠=∠=，此时,B C 重合，不满足题意，③错误；对④，设BOC θ∠=，则13P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅()()111111sin sin 1sin 322223OA OB OC OD OB OC OA OD θπθθ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅-=+ ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，故(]sin 0,1θ∈，所以()1121sin ,333P ABCD V θ-⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，故④正确故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，22sin cos 222B B B+=.（1）求B 的大小；)2a c b +=，证明：a c =.【答案】（1）2π3； （2）证明见解析.【解析】分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tan B 即可求出B ；(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．【小问1详解】【在ABC 中，∵22sin cos 222B B B+=∴1cos sin 2BB ++=sin 0B B +=，∴tanB =，∵()0,πB ∈，∴2π3B =；【小问2详解】∵2π3B =，∴1cos 2B =-．由余弦定理得222b a c ac =++①，)2a c b +=，∴)b a c =+②，将②代入①，得()2222324a ac c a c ac ++=++，整理得2()0a c -=，∴a c =．17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳概率；（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小.（结论不需要证明）【答案】（1）8105（2）0.32 （3）12μμ>【解析】【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；（3）根据平均数公式分别求出12,μμ，即可得解.【小问1详解】解：样本中男生的人数为110010%110⨯=人，样本中女生的人数为10005%50⨯=人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A ，则该学生选考乒乓球的概率()11050811001000105P A +==+；【小问2详解】解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ，从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ，由题意()()0.4,0.5P B P C ==，则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为()()12222C 0.410.40.5C 0.410.50.32⨯⨯-⨯+⨯⨯-=；【小问3详解】的解：11008407.5207311604μ⨯+⨯+⨯==，2608407.51078511011μ⨯+⨯+⨯==，所以12μμ>.18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的菱形，AB BC ==，点D 为棱AC 上动点（不与A ，C 重合），平面1B BD 与棱11A C 交于点E .（1）求证：1BB DE //；（2）若34AD AC =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值.条件①：平面ABC ⊥平面11AA C C ；条件②：160A AC ∠=︒；条件③：1A B =.【答案】（1）证明见解析 （2）913【解析】【分析】（1）由棱柱的性质可得11//AA BB ，即可得到1//BB 平面11ACC A ，再根据线面平行的性质证明即可；（2）选条件①②，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，即可得到1A O AC ⊥，根据面面垂直的性质得到1A O ⊥平面ABC ，即可得到1A O OB ⊥，再由BO AC ⊥，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；选条件②③，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，依题意可得1A O AC ⊥，再由勾股定理逆定理得到1A O OB ⊥，即可得到1A O ⊥平面ABC ，接下来同①②；选条件①③，取AC 中点O ，连接BO ，1AO ，即可得到BO AC ⊥，由面面垂直的性质得到BO ⊥平面11ACC A ，从而得到1BO OA ⊥，再由勾股定理逆定理得到1A O AO ⊥接下来同①②；【小问1详解】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，又1BB ⊄平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ，所以1//BB 平面11ACC A ，又因为平面1B BDE 平面11ACC A DE =，所以1//BB DE .【小问2详解】解：选条件①②.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，所以1A AC 为等边三角形.又因为O 为AC 中点，所以1A O AC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，所以1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以1A O OB ⊥.又因为AB BC =，所以BO AC ⊥.以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,2,0)A -，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D .所以(3,1,0)BD =-u u u r，1=(0,2,DE AA =.设平面1B BDE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00n BD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以11113020x y y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =13y =，11x =，故(1,3,n =.又因为(3,2,0)AB =u u u r，设直线AB 与平面1B BDE 所成角为θ，所以9sin cos ,13AB n AB n AB n θ⋅=〈〉==u u u r r u u u r r u uu r r .所以直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值为913.选条件②③.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，所以1A AC 为等边三角形.又O 为AC 中点，故1A O AC ⊥，且1AO =.又因为3OB =，1A B =.所以22211AO OB A B +=，所以1A O OB ⊥.又因为AC OB O = ，所以1A O ⊥平面ABC .以下同选①②.选条件①③取AC 中点O ，连接BO ，1AO .在ABC 中，因为BA BC =，所以BO AC ⊥，且2AO =，3OB =.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，所以BO ⊥平面11ACC A .因为1OA Ì平面11ACC A ，所以1BO OA ⊥.在1Rt BOA △中，1OA =又因为2OA =，14AA =，所以22211OA OA AA +=，所以1A O AO ⊥.以下同选①②.19. 已知函数ln ()1x af x x +=+.（1）若()114f '=，求a 的值；（2）当2a >时，①求证：()f x 有唯一的极值点1x ；②记()f x 的零点为0x ，是否存在a 使得21x x ≤e ？说明理由.【答案】（1） 1.a =（2）①证明见解析，②不存在，详细见解析.【解析】【分析】（1）求得导函数，由()114f '=，代入计算即可.(2) ①求得211ln (),(1)x a x f x x +--'=+设1()1ln g x x a x =+--, 由函数性质可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.进而由(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，可得()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，进而利用导数可判断()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，可得0e ,ax -=假设存在a ，使21x x ≤e ，进而可知21e e ,a ax --<≤由()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )0a g ->，则2(e )0a g -≤，求得2a ≤，与已知矛盾，则假设错误.【小问1详解】因为ln (),01x af x x x +=>+，所以211ln (),(1)x a x f x x +--'=+因为21(1)44a f -'==，所以 1.a =【小问2详解】①()f x 的定义域是(0,)+∞，211ln (),(1)x a x f x x +--'=+令()0,f x '=，则11ln 0x a x+--=.设1()1ln g x x a x=+--,因为1,ln y y x x ==-在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.因为(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一的零点，|所以()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，不妨设为11,(e ,1)ax x -∈.()'f x 与()f x 的情况如下,x 1(0,)x 1x 1(,)x +∞()'f x +0-()f x 增极大值减所以()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，0ln x a =-，则0e ,ax -=若存在a ，使21x x ≤e ，则21e 1a x -≤<，所以21e e ,a a x --<≤因()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )1e 0a a g -=+>，则需22(e )e 10a a g --=-≤，即2a ≤，与已知矛盾.所以，不存在2a >,使得21x x ≤e .20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，圆O ：221x y +=经过椭圆C 的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程和焦距；（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 不在坐标轴上），且直线PQ 与x 轴平行，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点M ，圆O 在点Q 处的切线与y 轴交于点N .求线段MN 长度的最小值.【答案】（1）2214x y +=，（2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,a b ，写出椭圆C 的方程并计算焦距作答.（2）设出点P ，Q 坐标，求线段AP 中垂线方程得点M ，求圆O 在点Q 处的切线方程得点为N ，再借助均值不等式求解作答.【小问1详解】依题意，2,1a b ==，由c ==2c =所以椭圆C 的方程为：2214x y +=，焦距为【小问2详解】设00(,)P x y 00(0)x y ≠，则220014x y +=，依题意，设101(,)(0)Q x y x ≠，且22101x y +=，因()2,0A -，则线段AP 的中点为002(,)22x y -，直线AP 的斜率002AP y k x =+，则线段AP 的中垂线方程为：000022(22y x x y x y +--=--， 令0x =得点M 的纵坐标220000000(2)(2)4222M y x x x y y y y +-+-=+=，而220044x y -=-，则032M y y =-，即03(0,)2M y -，直线OQ 的斜率01OQ y k x =，因此，圆O 在点Q 处的切线斜率为10x y -，切线方程为1010()x y y x x y -=--，令0x =得点N 的纵坐标22210100001N x y x y y y y y +=+==，即01(0,)N y ，则有00001313||||||||2||2N M MN y y y y y y =-=+=+≥=0013||||2y y =，即0y ==”，所以线段MN.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.21. 已知数列A ：1a ，2a ，…，2m a ，其中m 是给定的正整数，且2m ≥.令{}212min ,i i i b a a -=，1,,i m =⋅⋅⋅，{}12()ma ,x ,,m X b b A b = ，{}212max ,i i i c a a -=，1,,i m =⋅⋅⋅，{}12()min ,,,m Y A c c c = .这里，{}max 表示括号中各数的最大值，{}min 表示括号中各数的最小值.（1）若数列A ：2，0，2，1，-4，2，求()X A ，()Y A 的值；（2）若数列A 是首项为1，公比为q 等比数列，且()()X A Y A =，求q 的值；（3）若数列A 是公差1d =的等差数列，数列B 是数列A 中所有项的一个排列，求()()X B Y B -的所有可能值（用m 表示）.【答案】（1）()1X A =，()2Y A =； （2）1q =；（3）所有可能值为1,1,2,...,23m --.【解析】【分析】（1）根据函数定义写出()X A ，()Y A 即可.（2）讨论数列A 的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设,i i b c 定义判断1212{,,...,}{,,...,}m m b b b c c c ⋂=∅，当存在相等项，由等比数列通项公式求q ，进而确定q 的值；（3）利用数列A 的单调性结合（2）的结论求()()X B Y B -的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证()()X B Y B -对应所有可能值均可取到，即可得结果.【小问1详解】由题设，10b =，21b =，34b =-，则()max{0,1,4}1X A =-=，12c =，22c =，32c =，则()min{2,2,2}2Y A ==，所以()1X A =，()2Y A =.【小问2详解】若数列A 任意两项均不相等，的当1,...,i m =时i i b c ≠；当,{1,...,}i j m ∈且i j ≠时，212212{,}{,}i i j j a a a a --⋂=∅，又212212min{,}{,}i i i i i b a a a a --=∈，212212max{,}{,}j j j j j c a a a a --=∈，此时i i b c ≠；综上，1212{,,...,}{,,...,}m m b b b c c c ⋂=∅，故()()X A Y A ≠，不合要求；要使()()X A Y A =，即存在i j ≠且,{1,...,2}i j m ∈使i j a a =，即11i j q q --=，又0q ≠，则1q =±，当1q =-，则()1,()1X A Y A =-=，不合要求；当1q =，则()()1X A Y A ==，满足题设；综上，1q =.【小问3详解】由题设数列A 单调递增且121211......21m a a a a a m <=+<<=+-，由（2）知：()()X B Y B ≠，根据题设定义，存在i j ≠且,{1,...,2}i j m ∈，(),()i j X B a Y B a ==，则()()i j X B Y B a a i j -=-=-，由()X B 比数列A 中1m -个项大，()m X B a ≥，同理1()m Y B a +≤，所以1()()1m m X B Y B a a +-≥-=-；又()X B 至少比数列A 中一项小，21()m X B a -≤，同理2()Y B a ≥，所以212()()23m X B Y B a a m --≤-=-；综上，()(){1,1,2,...,23}X B Y B m -∈--.令数列122:,,...,m B x x x ，下证1,1,2,...,23m --各值均可取到，ⅰ、当212,,1,2,...,i i i m i x a x a i m -+===，而数列A 递增，212min{,}min{,}i i i i m i i b x x a a a -+===，212max{,}max{,}i i i i m i m i c x x a a a -++===且1,...,i m =，此时，11()max{,...,}max{,...,}m m m X B b b a a a ===，1121()min{,...,}min{,...,}m m m m Y B c c a a a ++===，则()()1X B Y B -=-；ⅱ、当1,2,...,1k m =-时，2122122,,,k k k m m m k m m x a x a x a x a --+====，则2,,,k k k m m m k m m b a c a b a c a +====，当1,...,i m =且,i k m ≠时，令212,i i i m i x a x a -+==，则11,i i m i m i m b a a c a a -++=≤=≥，所以111()max{,...,}max{,...,,}m m m k m k X B b b a a a a -++===，11112()min{,...,}min{,...,,,,...,}m m m k m m k m m Y B c c a a a a a a ++-++===，此时()(){1,2,...,1}m k m X B Y B a a k m +-=-=∈-；ⅲ、给定{1,2,...,2}t m ∈-，令2121,i i i i x a x a -+==(1,...,i t =)且212122,i i i i x a x a --==(1,...,i t m =+)，则212min{,}i i i i b x x a -==(1,...,i t =)，21221min{,}i i i i b x x a --==(1,...,i t m =+)，又数列A 递增，121()max{,...,}m m X A b b a -==，212max{,}i i i t i c x x a -+==(1,...,i t =)，2122max{,}i i i i c x x a -==(1,...,i t m =+)，所以11()min{,...,}m t Y A c c a +==，此时211()()22m t X B Y B a a m t -+-=-=--且{1,2,...,2}t m ∈-，故()()X B Y B -∈{,1,...,23}m m m +-，综上，()(){1,1,2,...,23}X B Y B k m -=∈--.【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求()()X B Y B -的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.。
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北京市西城区 高三抽样测试数学试题（文科）20xx ．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{2,3,4}A =，{2,4,6}B =，若x A ∈且x B ∉，则x 等于A ．2B ．3C ．4D ．62. 已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则A ． :,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ． :,cos 1p x x ⌝∃∈>RD ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R3. 设变量,x y 满足约束条件3,1,x y x y +≥⎧⎨-≥-⎩ 则目标函数2z y x =+的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. “ln 1x >”是“1x >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为AB． C． D ．46. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥D ．11i ≥7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是正（主）视图ABCA 1B 1C 1A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >8. 给出函数()f x 的一条性质：“存在常数M ，使得()f x M x ≤对于定义域中的一切实数x 均成立.”则下列函数中具有这条性质的函数是 A ．1y x=B ．2y x = C ．1y x =+D ．sin y x x =二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 是虚数单位，i2i=+_____. 10. 函数sin cos y x x =+的最小正周期是_________，最大值是________.11. 在抛物线22y px =上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p =________. 12. 圆心在x 轴上，且与直线y x =切于(1,1)点的圆的方程为________. 13. 设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则⋅+⋅a c b c 的最大值为________.14. 我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时，为偶数时（n ∈*N ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3cos 4A =，2C A =. （Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）若24ac =，求,a c 的值.16.（本小题满分13分）在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，（Ⅰ）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.17.（本小题满分13分）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱1BB ⊥底面ABCD ，E 是侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BDD B ； （Ⅱ）求证：//AC 平面1B DE .ABDA 1B 1C 1D 1E C18.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:2l y kx =-与椭圆C 交与,A B 两点，点(0,1)P ，且PA PB =，求直线l 的方程.19.（本小题满分14分）设函数2()f x x a =-.（Ⅰ）求函数()()g x xf x =在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）当0a >时，记曲线()y f x =在点11(,())P x f x （1x >l ，l 与x 轴交于点2(,0)A x ，求证：12x x >>.20.（本小题满分14分）如果由数列{}n a 生成的数列{}n b 满足对任意的n ∈*N 均有1n n b b +<，其中1n n n b a a +=-，则称数列{}n a 为“Z 数列”.（Ⅰ）在数列{}n a 中，已知2n a n =-，试判断数列{}n a 是否为“Z 数列”；（Ⅱ）若数列{}n a 是“Z 数列”，10a =，n b n =-，求n a ；（Ⅲ）若数列{}n a 是“Z 数列”，设,,s t m ∈*N ，且s t <，求证：t m s m t s a a a a ++-<-.北京市西城区 抽样测试参考答案 高三数学试卷（文科） 20xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDABCCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 12i 55+ 10. 2π11. 2 12. 22(2)2x y -+=13.14. 28,640注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15、解：（Ⅰ）因为3cos 4A =， 所以2cos cos 22cos 1C A A ==- …………………3分2312()148=⨯-=. …………………5分（Ⅱ）在ABC ∆中，因为3cos 4A =，所以sin 4A =， …………………7分因为1cos 8C =，所以sin 8C ==， …………………9分根据正弦定理sin sin a cA C=， …………………10分 所以23a c =， 又24ac =，所以4,6a c ==. …………………12分 16、解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为1(0.00520.0150.0200.045)100.1-⨯+++⨯=， …………………3分所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为400.14⨯=（人）.…………………5分（Ⅱ）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90,100]内”，由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人， 记这四个人分别为,,,a b c d ，成绩在区间[90,100]内的学生有2人， …………………7分 记这两个人分别为,e f ， 则选取学生的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e b f (,),(,),(,)c d c e c f ，(,),(,),(,)d e d f e f基本事件数为15， …………………9分 事件“至少一人成绩在区间[90,100]之间”的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，基本事件数为9， …………………11分 所以93()155P A ==. …………………13分17、证明：（Ⅰ）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为1BB ⊥底面ABCD ，所以1BB AC ⊥， …………3分 所以AC ⊥平面11BDD B . …………5分（Ⅱ）设AC ,BD 交于点O ，取1B D 的中点F ，连接,OF EF ，ABDA 1B 1C 1D 1E COF则1//OF BB ，且112OF BB =， 又E 是侧棱1CC 的中点，112EC CC =，11//BB CC ，11BB CC =，所以1//OF CC ，且112OF CC =, …………………7分所以四边形OCEF 为平行四边形，//OC EF ， …………………9分 又AC ⊄平面1B DE ，EF ⊂平面1B DE ， ………………11分 所以//AC 平面1B DE . ………………13分 18、解：（Ⅰ）由已知26a =，3c a =， …………………3分 解得3a =，c =所以2223b a c =-=， …………………4分所以椭圆C 的方程为22193x y +=. …………………5分 （Ⅱ）由221,932x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，22(13)1230k x kx +-+=， 直线与椭圆有两个不同的交点，所以2214412(13)0k k ∆=-+>， 解得219k >. …………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=+，122313x x k =+， …………………8分 计算121222124()441313k y y k x x k k k +=+-=⋅-=-++， 所以，,A B 中点坐标为2262(,)1313k E k k-++， …………………10分 因为PA PB =，所以PE AB ⊥，1PE AB k k ⋅=-，所以2221131613k k k k --+⋅=-+， …………………12分 解得1k =±， …………………13分经检验，符合题意，所以直线l 的方程为20x y --=或20x y ++=. …………………14分19、（Ⅰ）解：3()g x x ax =-，2()3g x x a '=-， …………………2分当0a ≤时，()g x 为R 上的增函数，所以()g x 在区间[0,1]上的最小值为(0)0g =； …………………4分 当时， '的变化情况如下表：所以，函数()g x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减. …………………6分1<，即03a <<时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为g = ……………7分1≥，即3a ≥时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为(1)1g a =-. ……8分 综上，当0a ≤时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为(0)0g =；当03a <<时，()g x 的最小值为；当3a ≥时，()g x 的最小值为1a -.（Ⅱ）证明：曲线()y f x =在点11(,())P x f x （1x ）处的切线方程为2111()2()y x a x x x --=-，令0y =，得21212x ax x +=， …………………10分所以212112a x x x x --=，因为1x >21102a x x -<，21x x <. ………11分因为1x 1122x ax ≠，所以211211222x a x ax x x +==+> …………………13分所以12x x > …………………14分20、解：（Ⅰ）因为2n a n =-，所以221(1)21n n n b a a n n n +=-=-++=--，n ∈*N ， …………………2分所以12(1)1212n n b b n n +-=-+-++=-，所以1n n b b +<，数列{}n a 是“Z 数列”. …………………4分 （Ⅱ）因为n b n =-，所以2111a a b -==-，3222a a b -==-，…，11(1)n n n a a b n ---==--， 所以1(1)12(1)2n n na a n --=-----=-（2n ≥），…………………6分 所以(1)2n n na -=-（2n ≥）， 又10a =，所以(1)2n n n a -=-（n ∈*N ）. …………………8分（Ⅲ）因为 111()()s m s s m s m s s s m s a a a a a a b b +++-++--=-++-=++， 111()()t m t t m t m t t t m t a a a a a a b b +++-++--=-++-=++，………………10分又,,s t m ∈*N ，且s t <，所以s i t i +<+，s i t i b b ++>，n ∈*N ，所以1122,,,s m t m s m t m s t b b b b b b +-+-+-+->>>， …………………12分所以t m t s m s a a a a ++-<-，即t m s m t s a a a a ++-<-. …………………14分。
高三数学文科试卷西城区二模试卷试题
2021年西城区5月抽样测试二高三数学文科试卷(西城区二模试卷)本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
一共150分。
考试时间是是120分钟。
第一卷〔选择题 ，一共40分〕一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合要求的.1．设全集为R ，假设集合}50|{},1|{<≤=≥=x x N x x M ，那么N ( )等于 〔 〕A ．}5|{≥x xB ．}10|{<≤x xC ．}5|>x xD ．}51|{<≤x x2．函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是〔 〕A ．π,13--B ．π,13+-C ．π,3-D ．π2,13-- 3． 函数)0(12>+=x x y 的反函数是〔 〕A ．)0(12>-=x x yB ．)0(12>--=x x yC ．)1(12>-=x x yD ．)1(12>--=x x y3．等差数列6427531,4,}{a a a a a a a a n ++=+++则中= 〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．64．设命题p ：假设001:;11,<⇔<<>ab bq b a b a 则. 给出以下四个复合命题： ①p 或者q ；②p 且q ；③ p ；④ q ，其中真命题的个数有〔 〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数])5,2[)(1(log )(21∈-=x x x f 的最大值与最小值之和是〔 〕A ．－2B ．－1C ．0D ．2 6．直线21,l l 与平面α. 那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．假设A l l =⊂αα 21,，那么21,l l 为异面直线.B ．假设α//,//121l l l ，那么α//2l .C ．假设,,121α⊥⊥l l l 那么.//2αlD ．假设,,21αα⊥⊥l l ，那么21//l l .7．直线02=-y x 与圆9)1()2(:22=++-y x C 交于A ，B 两点，那么△ABC 〔C 为圆心〕的面积等于 〔 〕A ．52B ．32C ．34D ．548．某人上午7:00乘汽车以匀速1υ千米/时〔30≤1υ≤100〕从A 地出发到距300公里的B 地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速2υ千米/时〔4≤2υ≤20〕从B 地出发到距50公里的C 地，方案在当天16:00至21:00到达C 地。
北京市西城区高三数学第二次模拟试题 文 (西城二模)北师大版
北京市西城区高三二模试卷 数 学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ） （A ）1i22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）（A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2xy =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）4y x =±（C ）12y x =±（D ）2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x <，12s s < （C ）12x x >，12s s < （D ）12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A ）7层 （B ）8层 （C ）9层 （D ）10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =，其中0(1,2,,20)k a k >=，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）（A ）210个（B ）200个（C ）190个（D ）180个AD C BE第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△ABC 中，3BC =，2AC =，π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=+++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-． （Ⅰ）求ω与ϕ的值； （Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N ，则称12n a a a ⨯⨯⨯为N 的一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()N k a k ∈中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =，使得N 的分解积最大．北京市西城区高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准.5 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，{|12}x x <<； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++． ………………10分从而当1=c 时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分设()f x 的最小正周期为T ．GFOADCB E 由图可得πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω． ………………4分 由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=，因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． ………………8分由 5542cos 2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分所以 5312cos 2cos 2=-=αα． ………………11分 所以 2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分 17．（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ． 因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分 因为 AB ∥CD ，CD AB 2=， 所以 BO ∥CD ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形， 所以DO AB ⊥．………………4分因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，AB FG 21=． 因为AB ∥CD ，AB CD 21=，所以FG ∥CD ，CD FG =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分 所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分（Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分 ① 当0a =时，22()1xf x x '=+． 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a+∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………13分x 1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x ' - 0 + 0 - ()f x ↘ 1()f x ↗ 2()f x ↘x 2(,)x -∞ 2x21(,)x x1x1(,)x +∞()f x '+- 0+()f x↗ 2()f x↘1()f x↗综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a +∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解： 由 222222213a b b e a a -==-=， 得 13b a =． ① ………………2分 由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b+=． ② ………………3分 联立① ②，解得 1b =，3a =． …………4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． …………5分 （Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ………………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k=+． ……………9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ………………10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设 21(0)k t t -=>， 则 21223636363()16(34)4169242924t x x t t t t t-==≤=+++⨯+． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23．………………14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ………………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ………………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． ………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =中可以有2个2． ………………4分当(1,2,,)k a k n =有3个或3个以上的2时，因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()N k a k ∈中至多有2个2． ………………7分（Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =中有1时，因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ② 由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =中至多有2个2．③ 当(1,2,,)k a k n =中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大．因此，(1,2,,)k a k n =中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分 ④ 当(1,2,,)k a k n =中有大于4的数时，不妨设4i a >，因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++个使得分解积最大； …………12分当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++个个使得分解积最大； ………………13分当32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++个使得分解积最大．………………14分。
2024届北京西城区高三二模数学试卷及答案
2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是1)−，则⋅=z z （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)−=−a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b（D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=−A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1 （B ）0 （C ）1−（D ）2−（4）设443243210(21)−++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1− （B ）0 （C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则 （A ）30−=m n （B ）30−=m n （C ）30+=m n（D ）30+=m n（7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan −x （B ）1tan −−x （C ）tan (1)−−x（D ）tan (1)−+x（8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为 （A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm（D ）348cm（9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0−−⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)− （B ）[2,1)− （C ）3(3,)2−（D ）3[2,)2−（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是 （A ）5 （B ）6 （C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题525分。
高考西城二模数学试卷答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 答案：B解析：由题意可知，等差数列的前三项为a-3d, a, a+3d，且a+3d=2a-d，解得d=a。
代入a-3d+a+a+3d=3a，得a=0，故选B。
2. 答案：A解析：由题意可知，函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=0。
又因为f(x)在x=0处可导，所以f'(0)存在。
由导数的定义可知，f'(0)=lim(x→0) [f(x)-f(0)]/x=0，故选A。
3. 答案：D解析：由题意可知，直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+b。
由直线l过点(1,2)和(2,4)，可得方程组：$$\begin{cases}2=k+b \\4=2k+b\end{cases}$$解得k=2，b=0，故直线l的方程为y=2x，即x=0。
故选D。
4. 答案：C解析：由题意可知，函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。
又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x=0处取得极值。
由于f'(x)在x=0的左侧为正，右侧为负，故f(x)在x=0处取得极大值。
故选C。
5. 答案：B解析：由题意可知，圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4。
点P到圆C的距离等于圆的半径，即|OP|=2。
设OP与圆C的交点为A，则OA=√(2^2-1^2)=√3。
故选B。
6. 答案：D连续，所以f(x)在x=0处取得极值。
由于f'(x)在x=0的左侧为负，右侧为正，故f(x)在x=0处取得极小值。
故选D。
7. 答案：A解析：由题意可知，函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。
又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x=0处取得极值。
由于f'(x)在x=0的左侧为正，右侧为负，故f(x)在x=0处取得极大值。
故选A。
8. 答案：C解析：由题意可知，函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。
年西城区二模数学试题及答案(文科).doc
北京市西城区201X 年高三二模试卷数 学（文科） 201X.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ） （A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2xy =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）4y x =± （C ）12y x =±（D ）2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x <，12s s < （C ）12x x >，12s s < （D ）12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A ）7层 （B ）8层（C ）9层（D ）10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =，其中0(1,2,,20)k a k >=，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）（A ）210个 （B ）200个（C ）190个（D ）180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△ABC 中，3BC =，2AC =，π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}， 那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．ADCBE三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=+++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．（Ⅰ）求ω与ϕ的值； （Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N ，则称12n a a a ⨯⨯⨯为N 的一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()N k a k ∈中2的个数不超过2；（Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =，使得N 的分解积最大．北京市西城区201X 年高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准201X.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，{|12}x x <<； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++．………………10分 从而当1=c 时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分GF OADCB E设()f x 的最小正周期为T ． 由图可得πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω． ………………4分 由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=，因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． ………………8分由 5542cos2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分 所以 5312cos 2cos 2=-=αα． ………………11分 所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 AB ∥CD ，CD AB 2=， 所以 BO ∥CD ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． ………………4分 因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，AB FG 21=． 因为AB ∥CD ，AB CD 21=，所以FG ∥CD ，CD FG =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分所以 DF // 平面BCE ． ………………13分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分 由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………13分 综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a+∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．x 1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x '- 0+ 0- ()f x↘1()f x↗2()f x↘x2(,)x -∞ 2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞()f x '+- 0+()f x↗ 2()f x↘1()f x↗19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解： 由 222222213a b b e a a -==-=， 得 13b a =． ① ………………2分 由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b+=． ② ………………3分 联立① ②，解得 1b =，3a =． …………4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． …………5分 （Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ………………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k=+． ……………9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ………………10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设 21(0)k t t -=>， 则 21223636363()16(34)4169242924t x x t t t t t-==≤=+++⨯+． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23．………………14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ………………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ………………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． ………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =中可以有2个2． ………………4分当(1,2,,)k a k n =有3个或3个以上的2时，因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()N k a k ∈中至多有2个2． ………………7分（Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =中有1时，因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ② 由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =中至多有2个2．③ 当(1,2,,)k a k n =中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大． 因此，(1,2,,)k a k n =中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分 ④ 当(1,2,,)k a k n =中有大于4的数时，不妨设4i a >，因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++个使得分解积最大； …………12分当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++个个使得分解积最大； ………………13分 当32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++个使得分解积最大．………………14分。
2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学质量检测模拟试题(二模)含答案
2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学模拟试题（二模）一、单选题1．设集合{|2,}M x x x =<∈Z ，{2,1,0}N =--，则M N ⋃=（）A ．MB ．NC ．{2,1,0,1}--D ．{2,1,0,1,2}--【正确答案】C【分析】先求集合M ，然后由并集运算可得.【详解】因为2x <，且x ∈Z ，所以{}1,0,1M =-，又{}2,1,0N =--，所以{}2,1,0,1M N ⋃=--.故选：C 2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【正确答案】B【分析】先化简复数z ，然后根据实部为0可解.【详解】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-，因为复数z 对应点在虚轴上，所以202a -=，解得2a =.故选：B3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（）A ．0x =B 0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=【正确答案】B【分析】求出b 的值即得解.【详解】解：由题得21+4,b b =∴=，所以双曲线的渐近线方程为1y x =±=0y ±=.故选：B4．已知{}n a 是等比数列，则“124a a a <<”是“{}n a 是增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列{}n a 是等比数列，可假设12,2a q =-=-，则12342,4,8,16a a a a =-==-=，可知124a a a <<，但数列{}n a 不是递增数列，若数列{}n a 是递增等比数列，由定义可知，124a a a <<，故“124a a a <<”是“{}n a 是递增数列”的必要不充分条件故选：B5．已知1021001210(1)-=++++ x a a x a x a x ，则1210a a a +++= （）A ．102B ．0C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】根据赋值法，分别令0,1x x ==可解.【详解】令0x =得：()10011a =-=,令1x =得：()1001210110a a a a ++++=-= ，所以12101a a a +++=- .故选：D6．已知圆22:20C x y x +-=，过直线:2l y x =+上的动点M 作圆C 的切线，切点为N ，则MN 的最小值是（）A ．B ．2CD 【正确答案】D【分析】根据题意易知当圆心C 到直线l 上点的距离最小时，MN 最小，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】圆22:20C x y x +-=，圆心()1,0C ，半径1r =，设圆心C 到直线l ：20x y -+=的距离为d ，则d CM ≤，易得⊥CN MN ，则222MN CM r =-，故当圆心C 到直线l 上点的距离最小时，即圆心到直线的距离d ，此时MN 最小，因为d =，所以MN ===故MN ．故选：D.7．将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则下列说法错误的是（）A ．函数()()f x g x 是奇函数B ．函数()()f x g x 的图象的一条对称轴方程为8x π=-C ．函数()()f x g x +的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()()f x g x +在()0,π上单调递减区间是5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】由题可得()cos 2f x x =，进而可得()()1sin 42f x g x x =，()()24f x g x x π⎛⎫++⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质即得.【详解】由题可得()sin 2cos 24f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()()1cos 2sin 2sin 42f xg x x x x ==，为奇函数，故A 正确；当8x π=-时，42x π=-，所以函数()()f x g x 的图象的一条对称轴方程为8x π=-，故B 正确；∴()()cos 2sin 2sin 24f x g x x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，当8x π=时，242x ππ+=，所以,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()()f x g x +的图象的一个对称中心，故C 错误；由3222,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈，可得5,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈，又()0,x π∈，所以函数()()f x g x +在()0,π上单调递减区间是5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：C.8．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）近似地满足关系t v a b =⋅（其中a ，b ，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月（参考数据：lg 20.3≈）A ．20B ．28C ．32D ．40【正确答案】C【分析】先由题给条件求得正常数a ，b 的值，得到分解率v 与时间t （月）近似地满足关系60.0252tv =⋅，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数.【详解】由题意得，1260.10.05a b a b ⎧=⋅⎨=⋅⎩，解之得16=20.025b a ⎧⎪⎨⎪=⎩，则60.0252t v =⋅则由610.0252t =⋅，可得6240t=，两边取常用对数得，lg 2lg 4012lg 26t==+，则61232lg 2t =+≈故选：C9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为线段11,,BC CC BB 上的动点（不含端点），①异面直线1D D 与AF 所成角可以为π4②当G 为中点时，存在点E ，F 使直线1A G 与平面AEF 平行③当E ，F 为中点时，平面AEF 截正方体所得的截面面积为98④存在点G ，使点C 与点G 到平面AEF 的距离相等则上述结论正确的是（）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【正确答案】C【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对①：因为1D D //1A A ，故1D D 与AF 的夹角即为1A A 与AF 的夹角1A AF ∠，又当F 与C 重合时，1A AF ∠取得最大值，为π2；当F 与点1C 重合时，1A AF ∠取得最小值，设其为α，则111tan A C A A α==，故π4α>；又点F 不能与1,C C 重合，故1ππ,,24A AF αα⎛⎫∠∈> ⎪⎝⎭，故①错误；对②：当G 为1B B 中点时，存在,E F 分别为1,BC C C 的中点，满足1A G //面AEF ，证明如下：取11B C 的中点为M ，连接1,A M MG ，如下所示：显然1A M //AE ，又AE ⊂面1,AEF A M ⊄面AEF ，故1A M //面AEF ；又易得MG //EF ，EF ⊂面,AEF MG ⊄面AEF ，故MG //面AEF ；又11,,A M MG M A M MG ⋂=⊂面1A MG ，故面1A MG //面AEF ，又1AG ⊂面1A MG ，故1A G //面AEF ，故②正确；对③：连接11,,AD D F AE ，如下所示：因为EF //1BC //1AD ，故面1AEFD 即为平面AEF 截正方体所得截面；又1D F AE ==2EF =，1AD =，故截面面积()111922248S EF AD ⎛=+=⨯⨯= ⎝，故③正确；对④：连接GC ，取其中点为H ，如下所示：要使得点G 到平面AEF 的距离等于点C 到平面AEF 的距离，只需EF 经过GC 的中点，显然当点E F 、分别为所在棱的中点时，不存在这样的点G 满足要求，故④错误.故选：C.10．{}n a 是各项均为正数的等差数列，其公差0d ≠，{}n b 是等比数列，若11a b =，10121012a b =，n S 和n T 分别是{}n a 和{}n b 的前n 项和，则（）A ．20232023S T >B ．20232023S T <C ．20232023S T =D ．2023S 和2023T 的大小关系不确定【正确答案】B【分析】分析可知等比数列{}n b 为正项单调数列，利用等差数列的求和公式以及基本不等式可得出2023S 与2023T 的大小.【详解】因为{}n a 是各项均为正数的等差数列，其公差0d ≠，则()1202320231012202320232a a S a +==，且1012111011a a d a =+≠，则10121b b ≠，设等比数列{}n b 的公比为q ，则1011101210b q b =>且10111q ≠，即0q >且1q ≠，又因为10b >，所以，等比数列{}n b 为正项单调数列，由基本不等式可得1202310122b b b +>，2202210122b b b +>=，L ，1011101310122b b b +>，所以，202312202310121012202320232023T b b b b a S =+++>== ，故选：B.二、填空题11．函数()()ln 2f x x =-的定义域为__________．【正确答案】[)1,2-【分析】根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域.【详解】对于函数()()ln 2f x x =-，有1020x x +≥⎧⎨->⎩，解得12x -≤<.故函数()f x 的定义域为[)1,2-.故答案为.[)1,2-12．己知抛物线()20y ax a =>，焦点F 到准线的距离为1，若点M 在抛物线上，且5MF =，则点M 的纵坐标为__________．【正确答案】92【分析】由抛物线的焦点F 到准线的距离为1求出a 的值，可得出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得点M 的纵坐标.【详解】抛物线的标准方程为21x y a =，其焦点为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y a =-，抛物线的焦点F 到准线的距离为1，则112a=，可得12a =，所以，抛物线的标准方程为22x y =，其准线方程为12y =-，设点()00,M x y ，由抛物线的定义可得0152MF y =+=，解得092y =.故答案为.92三、双空题13．己知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的中点，则DE CB ⋅的值为__________，若点E 是AB 边上的动点，则||DE AC ⋅的最大值为__________．【正确答案】11【分析】分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，得出向量DE ，CB，AC 的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出答案.【详解】如图分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ，()0,1CB =-uu r ,()1,1AC =u u u r，若点E 是AB 边上的中点，则1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r 所以()()101112DE CB ⋅=⨯+-⨯-=uuu r uu r ；若点E 是AB 边上的动点，设()(),001E x x ≤≤，所以(),1DE x =-uuu r，所以1DE AC x ⋅=-uuu r uuu r，由01x ≤≤，可得01DE AC ≤⋅≤uuu r uuu r，所以当0x =时，DE AC ⋅的最大值为1故1；114．已知函数()()21,,22,.x x a f x x x x a a R ⎧≥⎪=⎨⎪-<∈⎩.若()f x 在R 上是单调函数，则=a _________；若对任意实数k ，方程()0f x k -=都有解，则a 的取值范围是_________.【正确答案】[]0,2.【分析】（1）作出函数21||,22y x y x x ==-的图象，由单调性的定义，结合图象可得a 的值；（2）由题意可得()f x 的值域为R ，结合图象，讨论a<0，02a ≤≤时，2a >时，函数()f x 的图象和值域是否为R ，即可得到所求范围．【详解】作出21||,22y x y x x ==-的图象，如图，因为函数()f x 在R 上是单调函数，所以1||2y x =在[,)a +∞上单调，由图象知1||2y x =在[,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在R 上是单调递增函数，故201122a a a a a ⎧⎪≥⎪≤⎨⎪⎪≥-⎩，解得0a =；对任意实数k ，方程()0f x k -=都有解，即()k f x =恒有解，即直线y k =和()y f x =的图象恒有交点，可得()f x 的值域为R ，当a<0时，x a ≥时，()1||02f x x =≥，x a <时，()f x 递增，且()220f x a a <-<，故()f x 的值域不为R ，故不成立；因为当1x =时，由2max 1)(2x x -=，令1||12x =解得2(0)x x =>，由图象可知，当02a ≤≤时，()f x 的值域为R ，当2a >时，由图象可得()f x 的值域不为R ，综合可得a 的范围是[]0,2.故0；[]0,2.四、填空题15．关于函数()sin cos e e x xf x =+，下列说法中正确的有__________．①()f x 的最小正周期是π；②π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③()4f x =在区间[]0,π上恰有三个解；④()f x 的最小值为2e 【正确答案】②④【分析】利用特殊值法可判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；利用导数分析函数()f x 在区间[]0,π上的单调性，可判断③；利用函数的对称性、周期性以及单调性求出函数()f x 的最小值，可判断④.【详解】对于①，因为ππsin cos 44πe e 4f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，5π5πsin cos 445πe e 2e 4f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，π5π44f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，①错；对于②，令()))ππsin cos cos sin cos sin 44πe e 4x x x x x x g x f x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，函数()g x 的定义域为R ，()()()()()cos sin cos sin x x x x g x -+----⎤⎤⎦⎦-=+))()cos sin sin x x x x g x -+=+=，所以，函数()g x 为偶函数，即函数π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，②对；对于③，()sin cos e e x xf x =+，则()sin cos sin cos cos sin cos sin e cos e sin e e e x x x x x x x x f x x x +⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()e x xg x =，其中11x -≤≤，则()10ex x g x -'=≥且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在[]1,1-上单调递增，当[]0,πx ∈时，ππ3π444x -≤-≤，若ππ044x -≤-<时，即当π04x ≤<时，πsin cos 04x x x ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即sin cos x x <，此时()()()sin cos sin cos cos sin cos sin e e cos sin 0e e x x x x x x x x f x g x g x ++⎛⎫'=-=->⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；若π3π044x <-≤时，即当ππ4x <≤时，πsin cos 04x x x ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，即sin cos x x >，此时()()()sin cos sin cos cos sin cos sin e e cos sin 0e e x x x x x x x x f x g x g x ++⎛⎫'=-=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭.所以，函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，方程()4f x =在区间[]0,π上至多两个解，③错；对于④，因为函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin 2πcos 2πsin cos 2πeee e x x x xf x f x +++=+=+=，所以，函数()f x 为周期函数，且2π为函数()f x 的一个周期，由①可知，函数π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，即ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的图象关于直线π4x =对称，要求函数()f x 的最小值，只需求函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，当π5π44x ≤≤时，π0π4x ≤-≤，则πsin cos sin 04x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，即sin cos x x ≥，所以，()()()sin cos e cos sin 0x xf xg x g x +'=-≤⎡⎤⎣⎦，且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()5π5πsincos 44min 5πe e 2e4f x f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故②④.方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、()f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.五、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin cos b A B =．(1)求角B 的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：4a =，3b =；条件②：1c a -=，b =；条件③：3c =，cos C =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)π3B =(2)见解析【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出角B 的大小；（2）选①：由余弦定理以及判别式求解即可；选②：由余弦定理得出,a c ，进而求出面积；选③：由正弦定理得出b ，进而由余弦定理得出a ，即可得解..【详解】（1）因为sin cos b A B =，所以sin sin cos B A A B =，又sin 0A ≠，所以tan B =因为(0,π)B ∈，所以π3B =.（2）选①：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得，2191682c c =+-⨯.即2470c c -+=，此时16280∆=-<，无解，不合题意.选②：由余弦定理可得2271a c acc a ⎧=+-⎨-=⎩，整理得260+-=a a ，解得2a =或3a =-（舍），即3c =.满足ABC 存在且唯一确定，则ABC的面积为11sin 232222ac B =⨯⨯⨯=.选③：321sin 14C ==，由正弦定理可得3sin sin 14c B b C ===由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得，2793a a =+-，即2320a a -+=.解得1,2a a ==，当1a =时，cos C ==所以2a =，满足ABC 存在且唯一确定，则ABC的面积为11sin 232222ac B =⨯⨯=17．人工智能()AI 是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了A 、B 两个研究性小组，分别设计和开发不同的A I 软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”和“民族音乐”．为测试A I 软件的识别能力，计划采取两种测试方案．方案一：将100首音乐随机分配给A 、B 两个小组识别．每首音乐只被一个A I 软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首音乐，A 、B 两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．(1)若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中，A 组占23；在错误识别的音乐数中，B 组占12．（i ）用频率估计概率，两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？（ii ）利用（i ）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率：(2)若方案一的测试结果如下：音乐类别A 小组B 小组测试音乐数量正确识别比例测试音乐数量正确识别比例古典音乐1040%2450%流行音乐1040%2050%民族音乐2080%1687.5%在A 小组、B 小组识别的歌曲中各任选3首，记1X 、2X 分别为A 小组、B 小组正确识别的数量，试比较()1E X 、()2E X 的大小（直接写出结果即可）．【正确答案】(1)（i ）A 、B 研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为23、12；（ii ）49(2)()()12E X E X =【分析】（1）（i ）根据题意计算出A 、B 两个研究性小组识别音乐正确和错误的数量，即可求得两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率；（ii ）利用独立重复试验的概率公式、独立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知()1~3,24,40X H ，()2~3,36,60X H ，根据超几何分布的期望公式可得出()1E X 、()2E X 的值，即可得出结论.【详解】（1）解：（i ）对于方案一，设A 、B 两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为1P 、2P ，100首音乐中，正确被识别的数量为3100605⨯=首，错误被识别数量为1006040-=首，其中A 组识别正确的数量为260403⨯=首，B 组识别正确的数量为604020-=首，其中A 组识别错误的数量为140202⨯=首，B 组识别错误的数量为140202⨯=首，故140240203P ==+，220120202P ==+；（ii ）记事件:D 方案二在一次测试中获得通过，则()22222112221121214C C 32332329P D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⋅⋅⋅+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）解：由题意可知，A 小组识别正确的歌曲数量为24102202455⨯⨯+⨯=首，B 小组识别正确的歌曲数量为11724201636228⨯+⨯+⨯=，由题意可知，1X 、2X 均服从超几何分布，且()1~3,24,40X H ，()2~3,36,60X H ，根据超几何分布的期望公式可得()1243 1.840E X =⨯=，()2363 1.860E X =⨯=，因此，()()12E X E X =.18．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 、E 分别为棱11A C 、11B C 的中点，点F 是线段1BB 上的点（不包括两个端点）.(1)设平面DEF 与平ABC 交于直线m ，求证：11A B m //；(2)是否存在一点F ，使得二面角1C AC F --的余弦值为13，如果存在，求出1BF BB 的值；如果不存在，说明理由；(3)当F 为线段1BB 的中点时，求点B 到平面1AC F 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，且112BF BB =(3)23【分析】（1）证明出//DE 平面ABC ，11//DE A B ，利用线面平行的性质可证得//m DE ，利用平行线的传递型可证得结论成立；（2）以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,F a ，其中02a <<，利用空间向量法求出a 的值，即可得出结论；（3）利用空间向量法可求得点B 到平面1AC F 的距离．【详解】（1）证明：因为点D 、E 分别为棱11A C 、11B C 的中点，则11//DE A B ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，所以，11//A B AB ，则//DE AB ，因为DE ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以，//DE 平面ABC ，因为DE ⊂平面DEF ，平面DEF ⋂平面ABC m =，所以，//m DE ，故11//m A B .（2）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点()2,0,0A 、()10,0,2C 、()0,2,0B ，设点()0,2,F a ，其中02a <<，设平面1AC F 的法向量为(),,n x y z = ，()12,0,2AC =- ，()10,2,2C F a =-，则()11220220n AC x z n C F y a z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取2z =，可得()2,2,2n a =- ，易知平面1ACC 的一个法向量为()0,1,0m =，因为二面角1C AC F --的余弦值为13，则1cos ,3m n m n m n ⋅==⋅ ，解得1a =或3（舍），此时，112BF BB =，因此，在线段1BB 上存在一点F ，使得二面角1C AC F --的余弦值为13，且112BF BB =.（3）解：当F 为线段1BB 的中点时，即当1a =时，平面1AC F 的一个法向量为()2,1,2n =，()2,2,0AB =-，所以，点B 到平面1AC F 的距离为23AB n d n⋅== .19．已知椭圆2222:1(0),x y E a b c a b+=>>=，且过(2,0),1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求椭圆E 的方程和离心率e ；(2)若经过(1,0)M 有两条直线12,l l ，它们的斜率互为倒数，1l 与椭圆E 交于A ，B 两点，2l 与椭圆E 交于C ，D 两点，P ，Q 分别是AB ，CD 的中点试探究：OPQ △与MPQ 的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【正确答案】(1)2214x y +=(2)4【分析】（1）由条件列关于,,a b c 的方程，解方程可得,,a b c ，由此可得椭圆方程；（2）设直线:1AB x my =+，（0m ≠且1m ≠±），联立直线AB 与椭圆E 的方程利用设而不求法求P 的坐标，再求点Q 的坐标，证明直线PQ 过定点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，再证明OPQ △与MPQ 的面积之比为定值.【详解】（1）由题意可得22222224111a e a b ce a a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则E 的方程2214x y +=；（2）由已知可得直线AB 的斜率存在，且不为0，也不为1±，设直线:1AB x my =+，（0m ≠且1m ≠±），联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()224230m y my ++-=，方程()224230m y my ++-=的判别式()2241240m m ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+.所以102224y y my m +-==+，002414x my m =+=+，所以224,44m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为两直线斜率互为倒数，则1:1CD x y m=+，用1m 代换P 点坐标中的m 得2224,1414m m Q m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.所以()222222444111443144PQ m m m m m m k m m m -+++==---++，所以直线()222414:434m m PQ x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭即()241433m x y m +=+所以PQ 恒过定点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，设点O 、M 到直线PQ 的距离分别是1d ，2d ，则11224132414123OPQ MPQPQ d S ON dS d MN PQ d =====-△△.OPQ △与MPQ 的面积之比是定值，定值为4.20．已知函数()()e 1sin R xf x a x a =--∈．(1)若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =-，求实数a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在[0,π]上的最大值；(3)若对任意的[0,π]x ∈，恒有()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2a =(2)πe 1-(3)(],1a ∈-∞【分析】（1）直接求导得出()01f '=-，解a 的值即可；（2）利用导函数判断()f x 在[0,π]上的单调性即可得出最大值；（3）利用导函数结合区间端点，分类讨论函数的单调性即可.【详解】（1）由()()e 1sin e cos x x f x a x f x a x -'=--⇒=，所以()01f a '=-，又曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =-，即()011f a '=-=-，所以2a =；（2）当2a =时，()()e 12sin ,e 2cos x xf x x f x x '=--∴-=，由e cos x y y x ==、在[0π]，上分别单调递增、单调递减可得：()e 2cos x f x x '=-在[0π]，上单调递增，而()()π010,πe 20f f ''=-<=+>，即()00,πx ∃∈，使得()00f x '=，故()f x 在()00,x 上单调递减，()0,πx 上单调递增，且()()π00πe 1f f =<=-，即()f x 在[0,π]上的最大值为πe 1-；（3）∵[0π]x ∈，，()e cos xf x a x '=-，令()()()e sin xg x f x g x a x ''=⇒=+，①当0a <时，sin 0,e 10x a x ≤-≥，易知()e 1sin 0xf x a x =--≥在[0,π]x ∈上恒成立，当0x =时取得等号，符合题意；②当01a ≤≤时，易知sin 0a x ≥，则()e sin 0xg x a x '=+>在[0,π]x ∈上恒成立，即()f x '在[0,π]x ∈时单调递增，又()010f a '=-≥，故()f x 在[0,π]上单调递增，∵()00f =，∴恒有()0f x ≥，符合题意；③当1a >时，由②知()f x '在[0,π]x ∈时单调递增，而()()π010πe f a f a ''=-<<=+，即()00,πx ∃∈，使得()00f x '=，故()f x 在()00,x 上单调递减，()0,πx 上单调递增，又()00f =，则()()000f x f <=，不满足题意；综上当(],1a ∈-∞，能满足任意的[0,π]x ∈，恒有()0f x ≥.21．在2n n n ⨯≥（）个实数组成的n 行n 列的数表中，ij a 表示第i 行第j 列的数，记12(1)i i i in r a a a i n =+++≤≤ ，12(1).j j j nj c a a a j n =+++≤≤ 若ij a ∈{}1,0,1(1,),i j n -≤≤，且1212,,,,,,,n n r r r c c c 两两不等，则称此表为“n 阶H 表”，记{}1212,,,,,,,.n n n H r r r c c c = (1)请写出一个“2阶H 表”；(2)对任意一个“n 阶H 表”，若整数[],,n n λ∈-且n H λ∉，求证：λ为偶数；(3)求证：不存在“5阶H 表”.【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据定义列出2阶H 表即可;(2)对“n 阶H 表”，整数[],,n n λ∈-应用110nni j i j r c λ==++=∑∑结论得证;(3)应用反证法结合定义可证.【详解】（1）11-1（2）对任意一个“n 阶H 表”，i r 表示第i 行所有数的和，j c 表示第j 列所有数的和()1,i j n ≤≤，11n niji j r c==∑∑与均表示数表中所有数的和，所以11.n ni j i j r c ===∑∑因为{}1,0,1ij a ∈-，所以1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，n c 只能取[-n ，n ]内的整数.又因为1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，n c 互不相等，[],n n n H λλ∈-∉且，所以{λ，1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，}{,1,n c n n =--+，……，-1，0，1，……，1}n n -，，所以11nni j i j r c λ==++=∑∑()()()110110.n n n n -+-+++-++++-+= 所以12ni i r λ==-∑偶数.（3）假设存在一个“5阶H 表”，则由（2）知5，-5，3，53H -∈，且54H ∈和54H -∈至少有一个成立，不妨设54H ∈设1255r r ==-，，则()121115j j a a j ==-≤≤，，于是()315j c j ≤≤≤，因而可设33132333435410r a a a a a ======，，①若3是某列的和，由于52c ≤，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即41511a a ==.现考虑-3，只能是4r 或5r ，不妨设43r =-，即424344451a a a a ====-，由2c ，3c ，4c 两两不等知52a ，53a ，54a 两两不等，不妨设525354101a a a =-==，，，若551a =-则530r c ==；若550a =，则541r c ==；若551a =，则530c c ==，均与已知矛盾.②若3是某行的和，不妨设43r =，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设4142431a a a ===，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设511a =-，525301a a ==，，则343c r ==，矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设41424344450a a a a a =====，1，所以53r =-，第五行只能是2个，3个-1或1个1，4个-1，则51a ，52a ，55a 至少有两个数相同，不妨设5152a a =，则12c c =，与已知矛盾.综上，不存在“5阶H 表”.。
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北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科） 2013.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数 i (1i)⋅-= （A ）1i + （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i --2．已知向量(=a ，)=λb ．若a 与b 共线，则实数=λ （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）33．给定函数：①2y x =；②2xy =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．若双曲线221y x k+=的离心率是2，则实数k = （A ）3 （B ）3- （C ）13（D ）13-5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）(1,)+∞（C ）(1,0)-（D ）(,1)-∞-8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是 （A ）8 （B ）7（C ）6（D ）5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m =______．10．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”）11．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是______．13．已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅．若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是______．14．在直角坐标系xOy 中，已知两定点(1,0)A ，(1,1)B ．动点(,)P x y 满足01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点P 构成的区域的面积是______；点(,)Q x y x y +-构成的区域的面积是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设4log n n b a =．证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ； （Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩ 对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列； （Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．6-； 10．>； 11．3，2； 12．59； 13．(1,)+∞； 14．2，4． 注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >． ………………1分 因为 28a =，3448a a +=，两式相除得 260q q +-=， ………………3分解得 2q =， 舍去 3q =-． ………………4分所以 214a a q==． ………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为 1112n n n a a q -+=⋅=． ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 41log 2n n n b a +==． ………………9分 因为 1211222n n n n b b +++-=-=， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为12d =的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin ==α． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos20=α． ………………11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα， 所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 △BFC 的面积为 12121=⋅⋅=S ．………………1分 因为⊥PA 平面ABCD ， ………………2分 所以四面体PBFC 的体积为 PA S V BFC BFC P ⋅=∆-31………………3分 322131=⋅⋅=． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ． ………………5分由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，CD EQ 21=． ………………6分 又因为AF ∥CD ，CD AF 21=， 所以AF ∥EQ ，EQ AF =．所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ． ………………8分 因为 ⊄AE 平面PFC ，⊂FQ 平面PFC ，所以 直线AE ∥平面PFC ． ………………9分 （Ⅲ）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．所以 ⊥CD 平面PAD ． ………………11分 因为 ⊂AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥． 因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．所以 ⊥AE 平面PCD ． ………………12分 因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面PCD ． ………………13分 因为 ⊂FQ 平面PFC ， 所以 平面PFC ⊥平面PCD . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=． ………………4分 （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式80a =>∆， ………………5分令 ()0f x '=，得 112x =-，或212x =+． ………………6分 ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1-+．………………9分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =--． ………………12分 ③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-． ………………13分 综上，当02a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以 点M 的坐标为2(5． ………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ………………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………7分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………8分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………9分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………11分 所以00111622(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分 当且仅当02x =-时，上式等号成立． 所以 m的取值范围是1(0,24-． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-． ………………3分 （Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''． 从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列12,,,n a a a 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． ………………10分 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．………………13分。