双曲线的渐近线方程ppt课件
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双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)
o
x
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
X
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距
离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常
数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B)，
解:
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x
轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680，
y
A
P B
即 2a=680，a=340. 又 AB 800，
所以 2c=800,c=400,
b2 c 2 a 2 44 400，
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M
|||MF1
| - | MF2|| = 2a },
即
( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a .
2
4.化简 代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 a 2 ), 得
x2 y2 2 1. 2 2 a c a
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
《双曲线方程》课件
直接代入法： 将已知条件 代入方程求 解
消元法：通 过消去一个 未知数求解
换元法：通 过引入新的 未知数求解
待定系数法： 通过设定未 知数的系数 求解
数值方法： 通过数值计 算求解
图解法：通 过画图求解
确定双曲线方程的形式，如 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
确定双曲线的焦点位置，如 (c,0)
双曲线方程的离 心率：e = c/a
双曲线方程与 椭圆方程的联 系：都是二次 曲线方程，具 有相似的几何
性质
双曲线方程与 抛物线方程的 联系：都是二 次曲线方程， 但几何性质不
同
双曲线方程与 圆方程的联系： 都是二次曲线 方程，但几何
性质不同
双曲线方程与 直线方程的联 系：直线与双 曲线的交点问 题，需要运用 双曲线方程进
确定双曲线的焦点位 置
确定双曲线的顶点位 置
确定双曲线的渐近线 方程
确定双曲线的离心率
确定双曲线的标准方 程
确定双曲线的渐近线 方程
标准双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 焦点在x轴上的双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 焦点在y轴上的双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 焦点在原点的双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1
确定双曲线的渐近线方程，如 y = ±b/a * x
利用双曲线的性质，如离心率、 渐近线等，求解双曲线方程
双曲线的定义： 平面内到两个 定点的距离之 差的绝对值等 于常数的点的
轨迹
双曲线的性质： 对称性、周期Байду номын сангаас性、渐近线等
双曲线的方程： x^2/a^2-
y^2/b^2=1 或y^2/a^2x^2/b^2=1
第三章3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
4.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
A.12
√B.
2 2
C.1
D. 2
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0) 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则双曲线 C 的渐近线方
∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－41，故选 C.
12345
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲
线的方程是
√A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
解析 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝21c2＝21×16＝8，故选 A.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程为 y＝±bax＝±23x.
延伸探究 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为xm2－yn2＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长 a＝ m，
所以双曲线的离心率为 1＋ 2.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√A.实轴长为 8 2
√B.虚轴长为 4
C.焦距为 6
√D.离心率为3 4 2
解析 双曲线方程 x2－8y2＝32 化为标准方程为3x22 －y42＝1， 可得 a＝4 2，b＝2，c＝6，
双曲线及其标准方程课件
双曲线及其标准方程ppt 课件
欢迎来到本次ppt课件，将带您深入了解双曲线及其标准方程。让我们一起探 索这个有趣而美丽的数学概念！
什么是双曲线？
双曲线是数学中的一种曲线，它的形状类似于一个张开的双金属圆弧。它具有很多独特的特性和 性质。
图形特征
形状
双曲线的主轴长度大于副轴 长度，呈现出独特的开口形 状。
双曲线的图像与性质
焦点与准线
双曲线有两个焦点和两条 准线，这些元素决定了曲 线的位置和形状。
双曲线的离心率
离心率是衡量曲线弯曲程 度的指标，对于双曲线而 言，离心率大于1。
双曲线的对称性
双曲线具有对称性，关于 焦点、顶点、中心和原点 都存在对称性。
双曲线的应用
天文学
双曲线在行星轨道和彗星轨道的描述中发挥着重要作用。
渐近线
双曲线具有两条渐近线，可 以帮助我们更好地理解其形 状和趋势。
顶点
双曲线有两个顶点，它们是 曲线的最近点和最远点。
双曲线的标准方程
1 横轴标准方程
x²/a² - y²/b² = 1
2 纵轴标准方程
y²/a² - x²/b² = 1
3 参数方程
x = a*cos(θ), y = b*sin(θ)
通信技术
双曲线广泛应用于卫星通信和雷达系统中。
工程建模
双曲线在工程建模、电子设计和信号处理等领Leabharlann 具有广泛的应用价值。练习题
1
问题1
找到双曲线的焦点和准线。
问题2
2
计算给定双曲线的离心率。
3
问题3
应用双曲线方程解决实际问题。
结论和要点
1 双曲线是一种独特的数学曲线。
它具有特殊的形状、标准方程和性质。
欢迎来到本次ppt课件，将带您深入了解双曲线及其标准方程。让我们一起探 索这个有趣而美丽的数学概念！
什么是双曲线？
双曲线是数学中的一种曲线，它的形状类似于一个张开的双金属圆弧。它具有很多独特的特性和 性质。
图形特征
形状
双曲线的主轴长度大于副轴 长度，呈现出独特的开口形 状。
双曲线的图像与性质
焦点与准线
双曲线有两个焦点和两条 准线，这些元素决定了曲 线的位置和形状。
双曲线的离心率
离心率是衡量曲线弯曲程 度的指标，对于双曲线而 言，离心率大于1。
双曲线的对称性
双曲线具有对称性，关于 焦点、顶点、中心和原点 都存在对称性。
双曲线的应用
天文学
双曲线在行星轨道和彗星轨道的描述中发挥着重要作用。
渐近线
双曲线具有两条渐近线，可 以帮助我们更好地理解其形 状和趋势。
顶点
双曲线有两个顶点，它们是 曲线的最近点和最远点。
双曲线的标准方程
1 横轴标准方程
x²/a² - y²/b² = 1
2 纵轴标准方程
y²/a² - x²/b² = 1
3 参数方程
x = a*cos(θ), y = b*sin(θ)
通信技术
双曲线广泛应用于卫星通信和雷达系统中。
工程建模
双曲线在工程建模、电子设计和信号处理等领Leabharlann 具有广泛的应用价值。练习题
1
问题1
找到双曲线的焦点和准线。
问题2
2
计算给定双曲线的离心率。
3
问题3
应用双曲线方程解决实际问题。
结论和要点
1 双曲线是一种独特的数学曲线。
它具有特殊的形状、标准方程和性质。
标准方程离心率及双曲线的渐近线通用课件
提高习题2
已知双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{4} - frac{x^2}{3} = 1$， 且渐近线方程为$y = pm frac{4}{3}x$，求rac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：$a^2 = b^2 - c^2$。
03 双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的两个分支无限接近，但永 远不相交。
渐近线的位置由双曲线的标准方程决 定，不同的双曲线有不同的渐近线。
渐近线的求法
根据双曲线的标准方程，可以求出渐近 线的方程。
对于标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 的双曲线，其渐 近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。
综合习题2
已知双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：焦点到渐近线的距离等于$frac{bc}{sqrt{a^2 + b^2}}$。
定义公式
$e = frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦 点到中心的距离， $a$ 是顶点到 中心的距离。
离心率与双曲线的关系
01
双曲线的离心率 $e > 1$ ，表示 双曲线与中心的距离大于其顶点 到中心的距离。
02
随着离心率 $e$ 的增大，双曲线 的开口会变得更开阔，反之则会 变得更狭窄。
已知双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{4} - frac{x^2}{3} = 1$， 且渐近线方程为$y = pm frac{4}{3}x$，求rac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：$a^2 = b^2 - c^2$。
03 双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的两个分支无限接近，但永 远不相交。
渐近线的位置由双曲线的标准方程决 定，不同的双曲线有不同的渐近线。
渐近线的求法
根据双曲线的标准方程，可以求出渐近 线的方程。
对于标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 的双曲线，其渐 近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。
综合习题2
已知双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：焦点到渐近线的距离等于$frac{bc}{sqrt{a^2 + b^2}}$。
定义公式
$e = frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦 点到中心的距离， $a$ 是顶点到 中心的距离。
离心率与双曲线的关系
01
双曲线的离心率 $e > 1$ ，表示 双曲线与中心的距离大于其顶点 到中心的距离。
02
随着离心率 $e$ 的增大，双曲线 的开口会变得更开阔，反之则会 变得更狭窄。
双曲线的性质课件(PPT 15页)
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1
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• 5、双曲线
x 2 y上2 一点P到左焦点距离18，则点P到 1
54
• 右焦点距离_____.
x2 y2 1
64 36
；.
2
二、几何性质 • 1、对称性： • 2、顶点： • 实轴 • 3、离心率： • 4、渐近线：
虚轴
• 等轴双曲线：
；.
x
y
•
F1
0 F2
Y F1
M
0
X
F2 3
三、应用 • 例1、求双曲线
，其 离心率和
F1,F 2
14 5
；.
6
五、综合练习
• 1、双曲线 9x216y214的4实轴长_____,虚轴长___,焦点______,渐
• • 近线方程_____
• 2、知双曲线的离心率 ，2 过点P（-3,5），其标准方程______.
• 3、双曲线的渐近线方程 x y 0，且过点（2，-6），其标准方程 23
5x2 4的y2顶点20虚轴、顶点、离心率、渐近线
•
• （1）
（2）
x2 y2 1 81 9
y2 4x2 1
；.
4
例2：求实轴长12，离心率 ，2 焦点在横轴上的双曲线标准方程
练： 1、求焦距10，离心率
，焦点在y轴上的双曲线
2、知等轴双曲线的一个焦点（e-6,0）5，求标准方程和渐近线 3
• ______________
• 4、知双曲线 x 2 y 的离心率是方程 1
• 实数m的值是_3____m
的根，则
2x211x50
• 5、知
为双曲线与椭圆
的公共焦点，左焦点 到
• 双曲线渐F近1 F线2 距离为
,求（1）x2双曲4y线2 标4准方程 （2）设P是双曲F 1
• 线与椭圆在第一象限的交点2 ，求
的值
；.
7
cosF1PF2
；.
8
放映结束 感谢各位批评指导！ 谢 谢！
让我们共同进步
；.
9
顶点、离心率、渐近线
；.
1
一、知识回顾 • 1、椭圆的定义、标准方程、几何性质？
• 2、双曲线的定义、标准方程？
• 3、知椭圆
，则其长轴长_____，短轴长___,
y2 x2 1 • 焦点坐标____3_6_,顶1点6坐标____，离心率____.
• 4、双曲线
的焦点坐标_______,焦距______.
3、求焦距26，过点（0，-12）的双曲线标准方程
；.
5
四、提高 1、求 a 2 3，且与双曲线
x2
y
2
有公1 共焦点的双曲线标准方程
16 4
2、求焦点在x轴上，渐近线方程为 程
y ，3 且x 过点N（2,1）的双曲线标准方 4
3、求知双双曲曲线线的与标椭准圆方程x、2 渐y近2 线有1方公程共焦点 9 25