2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：7.1.2
第七章复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
教学设计
1、教学目标
1.了解复数的几何意义。
2.了解共轭复数的概念。
2、教学重难点
1.教学重点
复数的向量表示。
2.教学难点
复数的几何意义。
3、教学过程
1.新课导入
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。
复数有什么几何意义呢？根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对。
由此你能想到复数的几何表示方法吗？
2.探索新知
因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对(a,b)是一一对应的。
而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z (a,b)表示。
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系，这是复数的一种几何意义。
OZ OZ
由图可知，显然向量由点Z唯一确定；反之，点Z也可以由向量唯一确定。
因此，复数集C
中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数OZ
z=a+bi与平面向量一一对应，这是复数的另一种几何意义。
OZ
我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数。
OZ|z||a+bi|a2+b2图中向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。
即==，其中a,b∈R。
|a|
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于（a的绝对值）。
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于
z z
0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi，那么=a-bi。
3.课堂练习
1．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模| |等于( )
5513
A.B．2C．4 D.
13
2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
a2＋45
解析：选A ∵|z1|＝，|z2|＝，
a2＋45
∴<，∴－1<a<1.
5
3．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为( )
55
A.-＋2i
B.－－2i
55
C.＋2i
D.－2i
5
解析：选A 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－，
5
由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.
∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.
5
∴z＝－＋2i.
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( )
A．一个圆B．线段
C．两点D．两个圆
解析：选A ∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．
1＋cos α 2＋sin2α2＋2cos α
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1<cos α<1.
∴0<2＋2cos α<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
6．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
x2＋y2
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
x2＋y2
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的充要条件，得Error!
解得Error!∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
|z|－1 2＋12
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
4.小结作业
小结：本节课学习了复数的几何意义、复数的模以及共轭复数的概念。
作业：完成本节课课后习题。
4、板书设计
7.1.2 复数的几何意义
复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系
OZ
复数z=a+bi与平面向量建立了一一对应关系
OZ|z|
图中向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。
即=
|a+bi|a2+b2
=，其中a,b∈R。
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
高中数学人教A版2019必修第二册 7-2-1 复数的加、减运算及其几何意义(教学课件)
探究一
探究二
(1)答案:1+i
1
1
探究三
4 3
解析: 3 + 2 i +(2-i)- 3 - 2 i
1
4
1
3
= 3 + 2- 3 + 2 -1 + 2 i=1+i.
(2)解:(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),
因为z+1-3i=5-2i,
所以x+yi+(1-3i)=5-2i,
即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,
过解方程组,求得x,y的值,也就求得了复数z.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3若复数z满足|z|-1-3i=z,则z=
答案:4-3i
随堂演练
.
解析:设 z=x+yi(x,y∈R),依题意有 2 + 2 -1-3i=x+yi,于是
= 4,
2 + 2 -1 = ,
解得
于是 z=4-3i.
所以z=4+i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 复数加减运算的方法技巧
1.可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若
没有括号,可以从左到右依次进行.
2.当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利
2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
复数的加法、减法运算
人教A版高中数学必修第二册练习：7.1.2 复数的几何意义
[A 基础达标]1．已知复数z ＝a ＋a 2i(a <0)，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.因为a <0，所以复数z ＝a ＋a 2i 对应的点(a ，a 2)位于第二象限．2．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i 和1－3i 对应的点之间的距离是( ) A. 5 B.10 C ．5D ．25解析：选C.由于复数－2＋i 和1－3i 对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.3．在复平面内，复数z 对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为5，则复数z ＝( )A ．3－5i B.5－3i C ．2－5iD.5－2i解析：选D.由题意可设复数z ＝5＋y i(y ∈R ，y <0)，则（5）2＋y 2＝3，所以y ＝－2，复数z ＝5－2i.故选D.4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋25i|＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．5 B.13 C ．2 2D ．2解析：选A.由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选A.5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z ＝12＋32i 对应的点为Z ，将点Z 绕原点逆时针旋转90°后得到点Z ′，则Z ′对应的复数是( )A ．－12＋32iB.12－32i C ．－32＋12i D.32－12i 解析：选C.|OZ |＝|z |＝1，故Z 点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z ′，所以Z ′(cos 150°，sin 150°)＝⎝⎛⎭⎫－32，12，则Z ′对应的复数是－32＋12i.6．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是____________． 解析：|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 7．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝____________．解析：依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.答案：1＋2i 或－1－2i8．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________．解析：设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：59．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点： (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线y ＝x 上．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，解得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎪⎨⎪⎧m －3<0，m 2－5m －14<0.所以m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3， 所以m 2－6m －11＝0， 所以m ＝3±25，此时复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．10．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．解：(1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知，x 2＝－2，y 2＝－1， 故z 2＝－2－i.[B 能力提升]11．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，所以cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<0，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.12．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7D ．3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.13．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．解析：因为z 1＝2－3i 在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z 2在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i14．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时， (1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称； (2)|z 2|< 2.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎨⎧θ＝k π＋π6，θ＝2k π＋7π6或2k π＋11π6或k π＋π2，(k ∈Z )，所以θ＝2k π＋7π6(k ∈Z )．(2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2＋cos 2 θ<2， 即3sin 2 θ＋cos 2 θ<2， 所以sin 2θ<12，所以k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．[C 拓展探究]15．设z ∈C ，则满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ (1)|z |＝2； (2)|z |≤3.解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， (1)|z |＝2，所以x 2＋y 2＝2，所以点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． (2)|z |≤3，所以x 2＋y 2≤9.所以点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．。
2019-2020年高中数学平面教案新课标人教版必修2(A)
2019-2020年高中数学平面教案新课标人教版必修2（A）一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。
与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母a、B、丫等表示，如平面a、平面3等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCC等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）•B课本P41图2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
人教A版高中数学必修第二册全册学案
人教A版高中数学必修第二册全册学案人教A版高中数学必修第二册全册学案一、学案概述本学案是以人教A版高中数学必修第二册全册教材为基础，为学生提供全面的学习指导。
旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。
二、知识梳理本学案按照教材章节顺序，对各章节知识点进行了梳理。
对于每个知识点，学案提供了相关例题和解析，以便学生加深对知识点的理解和掌握。
第一章集合与函数1.1 集合及其表示方法 1.2 集合之间的关系 1.3 函数及其表示方法 1.4 函数的性质第二章三角函数2.1 正弦、余弦、正切函数的定义与性质 2.2 三角函数的图像及变换方法 2.3 三角函数的应用第三章数列3.1 数列的概念与分类 3.2 等差数列和等比数列的通项公式 3.3 数列的前n项和公式 3.4 数列的应用第四章平面几何4.1 点、线、面的基本概念和性质 4.2 三角形、四边形的性质和判定方法 4.3 多边形、圆、扇形、弓形的性质和面积计算方法 4.4 几何图形的作图方法第五章概率与统计5.1 概率的基本概念和计算方法 5.2 统计的基本概念和方法 5.3 中心极限定理的应用三、学习建议1、学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，逐步掌握各章节知识点。
2、对于每个知识点，学生应通过多种方式进行练习，例如课堂练习、课后作业、自主解题等，加深对知识点的理解和掌握。
3、学生应注意知识点的归纳和总结，形成自己的知识体系。
4、学生应积极参加课堂讨论和提问，与老师和同学交流学习心得，提高学习效果。
四、总结归纳本学案对人教A版高中数学必修第二册全册教材进行了全面的知识梳理和学习指导，旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。
学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，通过多种方式进行练习，注意知识点的归纳和总结，积极参加课堂讨论和提问，提高学习效果。
外研版高中英语必修3全册学案版本外研版高中英语必修3全册学案版本外语教学与研究出版社出版的《高中英语必修3》是一本针对高中英语教学的教材，旨在帮助学生掌握英语语言知识，提高英语应用能力。
高中人教版数学必修二教案
高中人教版数学必修二教案
第一课时：直线与圆的位置关系
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握直线与圆的位置关系，能够解决相关问题。
2. 过程与方法：通过讲解、示范、练习等方式，培养学生的逻辑思维和解题能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
二、教学重难点：
1. 重点：直线与圆的位置关系。
2. 难点：如何判断直线与圆的位置关系，如何运用相关知识解决实际问题。
三、教学过程：
1. 导入新知：通过引入一个实际问题，让学生思考直线与圆的位置关系。
2. 教学内容：讲解直线与圆的位置关系的相关概念和判断方法。
3. 案例分析：结合具体案例，让学生运用所学知识解决问题。
4. 小结归纳：总结本节课的重点内容，强化学生的学习效果。
四、课堂练习：
1. 练习题：判断直线与圆的位置关系，并解决相关题目。
2. 作业布置：布置相关练习题，巩固学生的学习成果。
五、教学反思：
本节课通过引入实际问题和案例分析的方式，让学生更加深入理解直线与圆的位置关系，提高他们的解题能力和运用知识的能力。
在今后的教学中，可以多结合实际问题，引导学生灵活运用所学知识解决问题，更好地掌握数学知识。
2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 教案
【教学目标】1. 通过比较实数和复数的概念，了解二者之间的区别；2. 了解复数平面直角坐标系，并掌握其性质；3. 熟练掌握复数的模和幅角的概念及其计算方法，并能应用于解决实际问题。
【教学重点】1. 复数的几何意义；2. 复数的模和幅角的概念及计算方法。
【教学难点】1. 复数的几何意义；2. 复数模和幅角的物理意义。
【教学过程】【Step 1】引入（5分钟）请学生举出一些实数的例子，引导学生思考实数和复数的区别，从而引出本节课的主题：复数的几何意义。
【Step 2】复数与实数（10分钟）讲解复数和实数的概念、区别和联系；通过实数到复数的转换，引出复数的虚部。
【Step 3】复数平面直角坐标系（15分钟）1. 结合图形介绍复数平面直角坐标系的概念；2. 探究复数平面直角坐标系的性质及其几何意义；3. 解释实数部分和虚数部分在复数平面直角坐标系中的位置。
【Step 4】复数的模和幅角（25分钟）1. 定义复数的模和幅角的概念；2. 推导计算复数模和幅角的公式；3. 运用示例讲解计算方法；4. 通过示例引导学生理解复数模和幅角的物理意义。
【Step 5】应用与实践（15分钟）给出一些实际问题，通过解题来让学生运用所学知识。
如：1. 已知点 $A(2,3)$，求以点 $A$ 为中心，长为 $4$ 的正方形对角线上的点坐标；2. 如图，已知 $\overline{OB}=1$，PO 是单位圆外一点，$\angle BOP=\theta$，求用$B,O,P$ 点组成的三角形面积。
【Step 6】归纳总结（5分钟）总结本节课所学内容，并强调复数的几何意义和复数模和幅角的物理意义。
【板书设计】复数和实数的区别：复数：由实数和虚数叠加而成。
实数：只包含实部的复数。
复数平面直角坐标系：横坐标为实数部分，纵坐标为虚数部分。
复数的模和幅角：$z=a+b\mathrm{i}=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$【教学反思】本节课通过引导学生思考实数和复数的区别，讲解复数平面直角坐标系，以及定义和计算复数的模和幅角等环节，进行了系统的教学。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册课件：7.2.2
D 1.若i(x＋yi)＝3＋4i，x、y∈R，则复数x＋yi的模是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，
A 则z1z2＝( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
3.设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点
A P(a，b)在( ) A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B 4.复数(．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
5.已知复数z1＝(a－4)＋i，z2＝a－ai(a为实数，i为虚数单位)， 且z1＋z2是纯虚数．
((12))求 求复zz12 数的z共1，轭z2复；数．
本节课学习了复数代数形式 的乘法和除法运算法则以及 乘法的运算律。
第七章 复数 7.2复数的四则运算
7.2.2复数的乘、除运算
学习目标：
1.能进行复数代数形式的乘法和 除法计算。 2.理解复数乘法的交换律、结合 律和乘法对加法的分配律。
设z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）
z1z2 =(a+bi)( c+di) =ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
【人教A版】高中数学必修第二册第七章：7.1.2复数的几何意义 教学设计
【人教A版】高中数学必修第二册第七章7．1.2 复数的几何意义教学设计(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [跟踪训练1] 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线y＝－x上．题型二复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数． [跟踪训练2] (1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．题型三复数的模例3 设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(多选)若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点Z在虚轴上，则a的值可以是( )A．0 B．1C．2 D．33．若复数z1＝2＋b i与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝____，b＝____.4．已知复数z＝3＋a i，且|z|<5，则实数a的取值范围是____.5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．一、选择题1．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于( )A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称2．当23<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( ) A．－1<a<1 B．a>1C．a>0 D．a<－1或a>04．(多选)若|4＋25i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则( )A．x＝3 B．y＝4C．x＋y i＝－3＋4i D．|x＋y i|＝55．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z－2＝____.7．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是____.8．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的值是____.三、解答题9．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．(1)若m＝1，且|z－|＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；(2)当m为何值时，|z－|最小？并求|z－|的最小值．1．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C，求平行四边形的ABCD的点D对应的复数．2．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.(1)当x为何值对，复数z的模最小？(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．7．1.2 复数的几何意义(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.答案(1)－3i (2)四(3) 3 (4)5－6i题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．[跟踪训练1] 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线y ＝－x 上． 解 (1)由题意得m 2－2m －15>0， 解得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由题意，得m 2－2m －15＝－(m 2＋5m ＋6)，整理，得2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或m ＝－3.所以当m ＝32或m ＝－3时，复数z 对应的点在直线y ＝－x 上.题型二 复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)点B 对应的复数．[解] 由题意得O 为原点，OA →＝(3,2)，OC →＝(－2,4)． (1)∵AO →＝－OA →＝－(3,2)＝(－3，－2)∴AO →表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)， ∴CA →表示的复数为5－2i.(3)∵OB →＝OA →＋OC →＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)， ∴OB →表示的复数为1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．[跟踪训练2] (1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数．答案 (1)－6－8i (2)见解析解析 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.(2)记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3)． 设OD →＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5)． 由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎨⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i. 题型三 复数的模例3 设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是什么图形？[解] 由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．巧用复数的模的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O 间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离．也就是向量OZ→的模，|z|＝|OZ→|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括圆环的边界．(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.∴满足|z－i|＜1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．故选D.2．(多选)若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点Z 在虚轴上，则a 的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 AC解析 由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.故选AC.3．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝____，b ＝____. 答案 2 4解析 因为z 1与z 2互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝4.4．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<5，则实数a 的取值范围是____. 答案 －4<a <4解析 |z |＝32＋a 2<5，解得－4<a <4.5．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 因为复数z 对应的点在第一象限， 所以⎩⎨⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3>0，解得m <－1－52或m >32.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.一、选择题1．复数z 1＝1＋3i 和z 2＝1－3i 在复平面内的对应点关于( ) A ．实轴对称B ．一、三象限的角平分线对称C ．虚轴对称D ．二、四象限的角平分线对称 答案 A解析 复数z 1＝1＋3i 在复平面内的对应点为Z 1(1，3)，复数z 2＝1－3i 在复平面内的对应点为Z 2(1，－3)，点Z 1与Z 2关于实轴对称．2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 ∵23<m <1，∴2<3m <3，∴0<3m －2<1且－13<m －1<0，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．∵一对共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．a >1 C ．a >0 D ．a <－1或a >0答案 A解析 依题意有a 2＋22<－22＋12，解得－1<a <1.4．(多选)若|4＋25i|＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则( )A ．x ＝3B ．y ＝4C ．x ＋y i ＝－3＋4iD ．|x ＋y i|＝5答案 BCD解析 由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ， 所以⎩⎨⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选BCD.5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆答案 A解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆．二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z －2＝____.答案 －2－3i解析 复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2，3)．所以z 2＝－2＋3i ，z －2＝－2－3i.7．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是____.答案 －12<k <0或1<k <2解析 根据题意，有⎩⎨⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k >0，即⎩⎨⎧－12<k <2，k <0或k >1，所以实数k 的取值范围是－12<k <0或1<k <2.8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA→＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是____.答案 5解析 由已知，得OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，OC →＝(3，－2)，∴xOA →＋yOB →＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )．由OC →＝xOA→＋yOB →， 可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴x ＋y ＝5.三、解答题9．已知复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )．(1)若m ＝1，且|z －|＝|x ＋(x －1)i|，求实数x 的值；(2)当m 为何值时，|z －|最小？并求|z －|的最小值． 解 (1)由m ＝1，得z ＝3＋4i ，z －＝3－4i ， 则由|z －|＝|x ＋(x －1)i|， 得32＋－42＝x 2＋x －12，整理得x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3. (2)|z －|＝1＋2m2＋[－3＋m]2＝5m 2＋10m ＋10＝5m ＋12＋5≥ 5，当且仅当m ＝－1时，|z －|取得最小值，最小值为 5.1．在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形的ABCD 的点D 对应的复数．解 解法一：由已知条件得点A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知点E 也是边BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即D (3,3)，∴点D 对应的复数为3＋3i.解法二：由已知得向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)，其中O 为坐标原点．∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)， ∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)，即点D 对应的复数为3＋3i. 2．已知x 为实数，复数z ＝x －2＋(x ＋2)i. (1)当x 为何值对，复数z 的模最小？(2)当复数z 的模最小时，复数z 在复平面内对应的点Z 位于函数y ＝－mx ＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．解(1)|z|＝x－22＋x＋22＝2x2＋8≥22，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2 2.(2)当复数z的模最小时，Z(－2,2)．又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.又mn＞0，所以1m＋1n＝⎝⎛⎭⎪⎫1m＋1n⎝⎛⎭⎪⎫m＋n2＝32＋mn＋n2m≥32＋2，当且仅当n2＝2m2,2m＋n＝2时等号成立．所以m＝2－2，n＝22－2.所以1m＋1n的最小值为32＋2，此时m＝2－2，n＝22－2.。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：8.4.1
第八章立体几何初步8.4.1 平面教学设计一、教学目标1.了解平面及平面的表示法。
2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题。
3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。
二、教学重难点1.教学重点平面的基本性质。
2.教学难点符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。
三、教学过程1.新课导入在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的。
生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等。
几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的。
类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延伸的。
2.探索新知我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。
我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。
下面，我们来研究平面的基本性质。
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
基本事实1给出了确定一个平面的依据，也就是说，不共线的三点确定一个平面。
直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合。
点A在直线l上，记作；点B在直线l外，记作；点A在平面内，记作；点P在平面外，记作。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
利用基本事实2，可以判断直线是否在这个平面内。
平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合。
如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，记作；否则，就说直线l不在平面内，记作。
基本事实2也可以用符号表示为且。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线。
2019_2020学年新教材高中数学第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版必修第二册
【解析】 (1)①错误，若 z＝i，则 z2＝－1<0；②错误，当 a ＝－1 时，(a＋1)i＝0∈R；③错误，两个虚数不能比较大小．
(2)①复数由实数和虚数组成，虚数中包含着纯虚数，故①错； ②形如 a＋bi 的数不一定是虚数，也可能是实数，故②错；③中两 个复数并非不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大
ห้องสมุดไป่ตู้
① ④
由①②得x＝52， y＝4，
代入③④得ab＝＝12
确定实部与虚部，列方程组求解．
方法归纳
1．一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小． 2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复 数问题实数化的桥梁纽带． 3．必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．若 a＋bi＝ c＋di 则 a＝c 且 b＝d
2．教材 P69 思考 复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系？ 提示：
显然，实数集 R 是复数集 C 的真子集，即 R C. 这样，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 复数实 虚数 数bb＝ ≠00，当a＝0时为纯虚数. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示．
(2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否 则不是代数形式．
2．复数代数形式的应用 (1)从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数，若 z 是纯虚 数，可设 z＝bi(b≠0，b∈R) 若 z 是虚数，可设 z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若 z 是复数，可设 z＝a＋bi(a，b∈R) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或 不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
[基础自测]