行程问题的画图方法与技巧
小学思维数学：行程问题之发车间隔问题-带详解
发车间隔教学目标1、熟练运用柳卡解题方法解多次相遇和追及问题2、通过左图体会发车间隔问题重点——发车间隔不变（路程不变）3、能够熟练应用三个公式解间隔问题知识精讲发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的。
可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离前进。
还要理解参照物的概念有助于解题。
接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程，是寻找比例和解题的关键。
一、常见发车问题解题方法间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。
（一）、在班车里——即柳卡问题不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
（二）、在班车外——联立3个基本公式好使（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（三）、三个公式并理解汽车间距=相对速度×时间间隔二、综上总结发车问题可以总结为如下技巧（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？【考点】行程问题之发车间隔【难度】2星【题型】解答【解析】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．【答案】15艘【例2】甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。
六年级奥数行程问题专题：走走停停的要点及解题技巧
六年级奥数行程问题专题：走走停停的要点及解题技巧六年级奥数行程问题专题：走走停停的要点及解题技巧一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做1。
画出速度和路程的图。
2。
要学会读图。
3。
每一个加速减速、匀速要分清楚,这有利于你的解题思路。
4。
要注意每一个行程之间的联系。
二、学好行程问题的要诀行程问题可以说是难度最大的奥数专题。
类型多：行程分类细,变化多,工程抓住工作效率和比例关系,而行程每个类型重点不一,因此没有一个关键点可以抓题目难：理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学,动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度,需要不断的复习巩固来加深理解、夯实基础那么想要学好行程问题,需要掌握哪些要诀呢？要诀一：大部分题目有规律可依,要诀是"学透"基本公式要诀二：无规律的题目有"攻略",一画（画图法）二抓（比例法、方程法）竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想（比如：假设法、比例、方程）等的熟练运用,而这些方法和思想,都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。
奥数行程：走走停停的例题及答案（一）例1。
甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行驶,甲100米/分,乙80米/分,两人每跑200米休息1分钟,甲需多久第一次追上乙？【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上。
很显然首先考虑在休息结束时的时间最少,如果不行再考虑在休息过程中被追上,最后考虑行进中被追上。
其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休息点追上的。
由此首先考虑休息800÷200－1＝3分钟的情况。
甲就要比乙多休息3分钟,就相当于甲要追乙800＋80×3＝1040米,需要1040÷（100－80）＝52分钟,52分钟甲行了52×100＝5200米,刚好是在休息点追上的满足条件。
行程问题解题技巧(相遇问题)
行程问题解题技巧行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系,求第三种量的问题，叫做“行程问题”。
此类问题一般分为四类:一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题;四、过桥问题等。
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。
相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题,如果他们的运动方向相同，则为追及问题.相遇问题两个运动物体作相向运动,或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展,必然面对面地相遇。
这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇,实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝（甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有：两地距离=速度和×相遇时间相遇时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇,相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇.则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍.相遇问题的核心是“速度和”问题。
利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。
相离问题两个运动着的动体,从同一地点相背而行。
若干时间后,间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。
它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。
解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离(速度和)。
基本公式有:两地距离=速度和×相离时间相离时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相离时间相遇(相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇(相离）时间＝相遇(相离）路程在相遇（相离）问题和追及问题中,必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。
第27讲 画图解行程问题(一)
第27讲画图解行程问题（一）【培训提示】1.画线段图分析解答行程问题。
2.理解行程问题中的数量关系，拓展解题思路。
行程问题是小学数学学习的重要内容，也是数学竞赛中争相涉及的内容。
这不仅因为行程问题本省所含内容丰富、变化多端，而且它还与很多相关知识关系密切，所以单独设立章节，供大家学习研讨。
这一讲“画线段图解行程问题”着重介绍如何画线段图帮助理解题意，怎样通过线段图来模拟问题情景，在分析与解答的过程中，又怎样结合线段图使隐蔽的数量关系显现，使抽象的内在联系形象具体，以作为化难为易的一种辅助手段。
希望大家在学习研讨时，将例题示意图仅作参考，启发你画出更利与分析解答的线段图来。
【培训示例】例1甲车速度是每小时60千米，乙车速度是每小时40千米，两车虽然都从A地出发同路驶向B地，但因乙车提前出发，所以能使两车同时到达。
甲车是在乙车出发后行驶到全程的什么位置时才出发的？例2甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的2。
二人相3遇后继续前进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回。
已知二人第二次相遇的地点相距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地相距多少千米？例3A、B、C三人都要从甲地到乙地，如果步行，每人的速度都是每小时5千米，如果骑自行车，速度都是每小时20千米。
现在只有一辆自行车，要求三人同时出发又要用最短的时间同时到达，请设计行进方案。
如果已知甲、乙两地相距12千米，那么，从甲地到乙地他们用了多少时间？例4A、B两船同时从甲、乙两港相对开出，第一次在距乙港48千米处相遇；相遇后两船继续航行，各自到达甲、乙两港后，立即由原道返回，第二次在距乙港16千米处相遇。
甲、乙两港相距多少千米？例5甲、乙二人分别从A、B两地同时出发。
已知甲的速度比乙快，8小时后二人在途中C点处相遇。
如果二人的速度每小时都增加2千米，那么相遇时间即可缩短2小时，且相遇点D距离C点3千米。
甲每小时行多少千米？例6甲。
巧用图形法解决行程相关问题
数形结合是数学里非常重要的思想方法。
将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的定性分析、数形转化，可以对复杂问题，尤其是行程相关问题，进行估算，以提高解题速度。
正如著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非。
”这里所说的行程相关问题，不止包括我们通常意义上所理解的行程类问题，还包括一些钟表类问题以及年龄问题等。
因为从某种意义上来讲，一些钟表类问题不过是圆周上的相遇追及问题，而年龄问题不过同方向、同速度的行程问题。
下面就通过几个例子讲一下如何使用图形法来解决行程相关类问题。
例1：小明8点8分从家里出发，走了8分钟后，爸爸去追他。
走了4千米追上小明。
爸爸返回家中再次去追小明，走了8千米再次追上小明。
问现在几点了?A.8点16分B.8点24分C.8点32分D.8点40分【编者分析】题目中出现多次追及和多个相遇地点，数量关系比较多，将数据和数量关系对应起来有一定的困难，可以考虑使用作图法，使这些复杂的关系清晰明了。
【解题思路】根据题意，可做图如下，其中C点、D点是小明和爸爸第一次、第二次相遇点。
爸爸返回家中并再次追上小明，所走路程为CA+AD=4+8=12千米，这段时间小明所走的路程为CD=4千米，故爸爸的速度为小明的3倍。
小明走4千米，比爸爸走4千米多用时8分钟，为爸爸用时的3倍，故爸爸走4千米用时4分钟，小明走8千米用时24分钟，现在的时间是8点32分。
例2：两个游泳运动员在长为30米的游泳池内来回游泳，甲的速度为1米/秒，乙为0.6米/秒，他们分别从两端出发，来回共游了5分钟。
转身时间不计，这段时间内他们相遇多少次?A.8B.9C.10D.11【编者分析】这段时间内，甲乙所做的运动既有相遇又有追及，过程比较复杂，考虑使用作图法。
【解题思路】根据题意，甲一个来回要60秒，乙要100秒，在5分钟内，甲乙在泳池中的路线如图所示，共相遇10次，因此，选C。
行程-图示解法(柳卡图)
行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。
横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。
图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。
如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。
规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。
其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。
可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。
在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。
图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。
我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。
二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。
另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。
有关行程问题的图象信息题的解法课件
行程问题在生活中的应用
交通工具的运动
如汽车、火车、飞机的行 驶，涉及到速度、时间和 距离的计算。
体育比赛
如田径、游泳、球类比赛 等，需要计算运动员的运 动成绩。
日常生活
如走路、骑自行车等，涉 及到速度和时间的计算。
02
行程问题图象信息解析
图像信息在行程问题中的作用
直观呈现问题情境
图像
THANKS
感谢观看
行程问题涉及的是物体在空间中 的移动，通过已知条件计算出物 体的运动距离、速度和时间。
行程问题的分类
01
02
03
直线行程问题
物体在直线上运动，涉及 匀速运动和匀加速运动。
曲线行程问题
物体在曲线或折线上运动 ，涉及匀速圆周运动和变 速运动。
综合行程问题
涉及多种运动形式和力的 作用，如重力、摩擦力等 。
03
行程问题图象信息题解 法
匀速直线运动问题
总结词
速度恒定，方向不变，路程与时间成正比。
详细描述
匀速直线运动是速度保持不变的直线运动，其路程与时间成正比。在图象上， 匀速直线运动的线是一条斜率为常数的直线，表示速度的大小和方向。通过图 象可以直接读出速度、路程和时间等物理量。
匀加速直线运动问题
04
实际应用案例解析
生活中的行程问题解析
总结词：生活实例
详细描述：通过生活中的实际例子，如上学、上班、旅游等场景，展示行程问题 的常见性和实用性。
物理实验中的行程问题解析
总结词：物理实验
详细描述：结合物理实验，如自由落体、匀速圆周运动等，解释行程问题在物理学中的应用和解决方 法。
数学题目中的行程问题解析
详细描述
匀减速直线运动是加速度保持不变的直线运动，其速度随时间均匀减小。在图象上，匀减速直线运动的线是一条 斜率逐渐减小的直线，表示速度随时间的变化规律。通过图象可以直接读出初速度、加速度、路程和时间等物理 量。
行程问题常用思想之图解法、综合分析
张 王
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1
探索
如图可知，小张3点到7点的4个小时比小王3点到4点的 一个小时多走15千米，从出发到2点比小王的1点到2点 也多走15千米，所以出发到2点用4个小时，出发时间是 早晨10点。
【例3】（★★★★★）迎春杯复赛 一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时 出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行， 当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时 ，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有 20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇( )千米
加油站
③比例线段图 目的：寻找速度比与路程比的关系 【例4】（★★★） 甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间 不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙 车的速度是25千米/小时，甲乙两车第三次相遇地点 与第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离 是多少千米？
【例5】（★★★） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地 之间不断往返行驶.甲、乙两车的速度比为3：7，并 且甲、乙两车第1996次相遇的地点和第1997次相遇的 地点恰好相距120千米(注：当甲、乙两车同向时，乙 车追上甲车不算作相遇)。那么，A、B两地之间的距 离是多少千米？
行程问题常用思想 之图解法、综合分析
加油站
加油站
画图技巧： ①不同人，分开画 ②时间点，要标清 ③不同速，不同型
①一般线段图 主要目的：寻找路程和或差的关系 小升初热点应用题盘点—复杂工程、比例应用题
【例1】（★★★） 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发， 相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相 遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为_______千米。
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行程问题画图分析的方法与技巧
————向量构图法
列方程解应用题可简单概括为“审、析、列、算、查”五个步骤。
即“审题、分析、列式、计算、检查”。
其中找等量关系式就是解题的关键,然而较复杂的行程应用题的等量关系式就是很难一下子找出来的,这就需要我们在“审题”的基础上认真分析,通过不断地把未知量用含未知数的代数式表示出来,即不断地扩大已知,使等量关系“水到渠成”。
在解行程应用题时,采取画图分析的方法不仅能有利的协调学生左、右脑(科学用脑),锻炼学生分析问题的能力,而且能激发学生的学习兴趣,培养学生的创新能力。
此外,通过对物体运动、联系、发展、变化的分析与再现,也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下良好的基础。
⒈图的构成:
行程问题都与物体的位移有着直接的关系,而速度就是既有大小,又有方向的量,所以图的主要构成就是向量。
此外,一幅完整的图还应包括图标、数据、文字、注解等,其中构成向量的有向线段有虚实、粗细及不同颜色的变化。
⒉绘图原则:
在画图过程中应坚持的原则有:
⑴要坚持认真审题。
审题就是解答应用题的第一步,能否顺利、准确的分析,审清题目的已知条件与问题就是基础。
⑵在认真审题基础上,“边读边画,兼顾协调”的原则。
即:在审清题目的已知条件与问题后,边读边画,并兼顾题中数据的比例关系、前后联系及隐含条件等,展开联想,合理安排。
⑶画图力求简洁与清晰明了,防止混淆不清。
在画图时要坚持画彩色图并利用有向线段的粗细与虚实等合理区分,防止混淆不清。
⑷根据题目的特点,灵活创新。
⒊绘图技巧
⑴“速度、路程(数值型)”分别标在对应向量的“上、下”。
一般情况下,含未知数的代数式所表示的路程标在它们中间。
⑵用同种颜色表达同一事物及变化。
⑶用“粗细”搭配来区分物体的“同时性”与否。
同时运动的物体,用较粗的有向线段来表示。
⑷用虚、实来区分物体的“假设运动”与“真实运动”等。
1.5·V 甲 千米 1·V
甲千米 2、5 V 甲千米/时
30千米
说明:通过运用相同较粗的有向线段表示同时性,不仅表达出了题目中的隐含条件
(同时的路程),而且有利于我们联想出“相同时间内,路程比=速度比”,为
解答此题提供依据。
“虚”向量准确表达了“乙比甲早到1小时”的含义
即:当乙到达B 地后,假设甲继续前进,还需走1小时才能到达。
显然,
合理利用向量的“粗细”、“虚实”等使问题更加一目了然,便于分析。
能几乎为零。
而且清晰可辨的数据等能帮助学生顺利地列出含有未知数的
代数式,扩宽了学生发现“相等关系”的空间。
的相遇及离开过程,观察“一红一绿”两个车尾轱辘可以发现,此题实际就是在描述两个尾轱辘从相距两个车长到相遇的过程,两车身长即总路程。
抽象图“以点带面”的简化了运动的实质,显示了“向量构图法”简洁、明了等优势。
因此,在这样灵活的处理下,学生会真正理解运动的全过程及实质。
在实际教学中,“向量构图法”发挥了明显的优势,尤其在解数量关系较复杂的行程应用题时,借助分析图互相探讨,变抽象为具体,促进了良好的学习氛围的形成,大大地提高了学生们分析问题的能力。
显然向量构图法的优势在于:有利地开发了学生的右脑,激发了学生的学习兴趣,为提高学生分析问题的能力与创新能力提供帮助。
同时,也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下了良好的基础。
练习题:
1.甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米与40千米,它们同时出发到乙地去,出发后6小时,甲车遇到一辆迎面开来的卡车,又过一小时后,乙车也遇到了这辆卡车,求这辆卡车的速度。
2.甲、乙二人都以每分钟60千米的速度同时、同地、同向步行出发,走15分钟后,甲返回出发地取东西,乙继续前进。
在出发地甲耽误了5分钟时间后,改骑自行车,以每分钟360米的速度追乙,骑车多少分钟才能追上乙。
3.甲、乙两车从A地同时相背而行,甲速40km/h,乙速30km/h,一段时间后,甲到
达C地并休息15分,后立即追乙,结果在距A地300千米的B地追上乙,求B、C 两地路程？。