华东师大版九年级上册数学第22章复习
华师大版九年级数学上册同步教学课件 第22章单元复习
17．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工 具．某运动商场的自行车销售量自2016年起逐月增加，据统计，该商场1 月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
(1)若该商场前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，问该商场4月 份卖出多少辆自行车？
(2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备投入3万元再购进一批两 种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型 车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验A型车不少于B 型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润 最大，该商场应如何进货？
C．±2
D．±12
3．关于x的一元二次方程5x2－2 5x＋1＝0的根的情况是( C )
A．有两个不相等的实数根
B．无实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
4．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则xx21＋xx12的值为( B ) A．5 B．－5 C．1 D．－1
5．(2015·广州)已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且
解：(1)设月平均增长率为x，根据题意得64(1＋x)2＝100，解得x＝0.25＝
25%或x＝－2.25(舍去).4月份的销量为100(1＋25%)＝125(辆)．答：该商场4月
30000－500a 份卖出125辆自行车 (2)设购进A型车a辆，则购进B型车 1000 辆，根据
30000－500a
这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长
为( B ) A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
6．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a＝1，
第22章 一元二次方程复习和小结-九年级数学上册(华东师大版)
3.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元 二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
第22章 一元二次方程
二、一元二次方程的解法 解法一：直接开平方法 ➢ 变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式； ➢ 开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； ➢ 求解：解一元一次方程，得出方程的根．
， x1x2=
2a 2 a
，
因为
x1
-
x1x2
+
x2
=
1
-
a，所以
3a 1 a
2a a
2
1
a，即 a 1 a
1
a，
解得 a1 = 1，a2 = - 1.当 a = 1 时，原方程有两个相等的
实数根，不合题意，舍去.所以 a = -1.
第22章 一元二次方程
5
∵5k + 20＜0，∴Δ＜0，∴没有实数根.
第22章 一元二次方程
5.已知一元二次方程：①x2 + 2x + 3 =0，②x2 - 2x - 3 = 0，下列说法正确
的是( B ) A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①②都无实数解 D.①有实数解，②无实数解
【解析】选 B.一元二次方程①的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 - 12= - 8 ＜0，所以方程无实数根；一元二次方程②的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 + 12 = 16＞0，所以方程有两个不相等的实数根.
15 ，x2
3 3
15
（5）3x
华东师大版数学九年级上册第22章和23章单元复习测试题附答案(各一套)
华东师大版数学九年级上册第22章单元测试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列方程中，是一元二次方程共有（）①x2−x3+3=0②2x2−3xy+4=0③x2−1x=4④x2=1⑤3x2+x=20．A.2个B.3个C.4个D.5个2.一元二次方程x2−1=0的根为（）A.x=1B.x=−1C.x1=1，x2=−1D.x=23.把方程(2x−1)(3x+2)=x2+2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（）A.5，−4B.5，1C.5，4D.1，−44.方程x2=x的两根分别为（）A.x1=−1，x2=0B.x1=1，x2=0C.x1=−l，x2=1D.x1=1，x2=15.已知2是关于x的方程：x2−x+a=0的一个解，则2a−1的值是（）A.5B.−5C.3D.−36.用配方法解方程x2−2x−6=0时，原方程应变形为（）A.(x+1)2=7B.(x−1)2=7C.(x+2)2=10D.(x−2)2=107.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b)2成立，其中正确的只有（）A.①②④B.②③C.③④D.①④8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（）A.m>0B.m>4C.−4，−5D.4，59.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b=a2+ab，则方程x△(x−2)=12的实数根是（）A.x1=−2，x2=3B.x1=2，x2=−3C.x1=−1，x2=6D.x1=1，x2=−610.关于x的一元二次方程x2−mx+5(m−5)=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+ x2=7，则m的值是（）A.2B.6C.2或6D.7二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.用配方法解方程时，把方程x2−8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m−n=________．12.某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月份产值多10万元，则可列方程为________．13.方程√2x2−√3x−1=0的解为________．14.红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是________．15.若两个连续偶数的积为288，则这两个连续偶数的和为________．16.方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则√αβ+√βα的值为________．17.已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x−6=0的一个根是2，求方程的另一根x1=________和k=________．18.设a、b是方程x2+x−2014=0的两个实数根，则(a+1)2+b的值为________．19.方程√3x−2=x的解是________．20.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________．三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21.解方程：①(2x−1)2=9（直接开平方法）②x2+3x−4=0（用配方法）③x2−2x−8=0（用因式分解法）④(x+4)2=5(x+4)⑤(x+1)(x+2)=2x+4⑥x2+2x−9999=0．22.已知关于x的方程x2−(2m+1)x−(2m−1)=0的一个根为1，求m的值．23.已知m是方程x2−2014x+1=0的一个根，求代数式2m2−4027m−2+2014m2+1的值．24.把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)5x2=3x；(2)(√2−1)x+x2−3=0；(3)(7x−1)2−3=0；(4)(x2−1)(x2+1)=0；(5)(6m−5)(2m+1)=m2．25.设x1、x2是关于x的方程x2−4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立，请说明理由．26.已知：关于x 的方程x 2+(2m +4)x +m 2+5m 没有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若关于x 的一元二次方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；(3)设(2)中方程的两根分别为α、β，若α:β=1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．参考答案：1.B2.C3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.A 10.B 11.−1712.70(1+x)2=70(1+x)+10 13.x 1=√6+√3√2+84，x 2=√6−√3√2+8414.√2−1 15.34或−34 16.317.−3−2 18.201419.x 1=1，x 2=220.(30−2x)(20−x)=6×78 21.解：①(2x −1)2=9，开方得：2x −1=3或2x −1=−3， 解得：x 1=2，x 2=−1； ②x 2+3x −4=0，方程变形得：x 2+3x =4， 配方得：x 2+3x +94=254，即(x +32)2=254，开方得：x +32=±52，解得：x 1=1，x 2=−4；③x 2−2x −8=0，分解因式得：(x −4)(x +2)=0， 解得：x 1=4，x 2=−2；④方程整理得：(x +4)2−5(x +4)=0， 分解因式得：(x +4)(x +4−5)=0， 解得：x 1=−4，x 2=1；⑤方程整理得：(x +1)(x +2)−2(x +2)=0， 分解因式得：(x +2)(x +1−2)=0，解得：x1=−2，x2=1；⑥方程移项得：x2+2x=9999，配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，开方得：x+1=100或x+1=−100，解得：x1=99，x2=−101．22.解：把x=1代入x2−(2m+1)x−(2m−1)=0得1−2m−1−2m+1=0，解得m=14．23.解：∵m是方程x2−2014x+1=0的一个根，∴m2−2014m+1=0，∴m2=2014m−1，m2+1=2014m，∴原式=2(2014m−1)−4027m−2+20142014m=m+1m−4=m2+1m−4=2014mm−4=2014−4=2010．24.解：(1)方程整理得：5x2−3x=0，二次项系数为5，一次项系数为−3，常数项为0；(2)x2+(√2−1)x−3=0，二次项系数为1，一次项系数为√2−1，常数项为−3；(3)方程整理得：49x2−14x−2=0，二次项系数为49，一次项为−14，常数项为−2；(4)方程整理得：14x2−1=0，二次项系数为14，一次项系数为0，常数项为−1；(5)方程整理得：11m2−4m−5=0，二次项系数为11，一次项系数为−4，常数项为−5．25.解：∵方程有实数根，∴b2−4ac≥0，∴(−4)2−4(k+1)≥0，即k≤3．∵x=4±√(−4)2−4(k+1)2=2±√3−k，∴x1+x2=(2+√3−k)+(2−√3−k)=4，x1⋅x2=(2+√3−k)⋅(2−√3−k)=k+1若x1⋅x2>x1+x2，即k+1>4，∴k>3．而k≤3，因此，不存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立．26.解：(1)∵关于x的方程x2+(2m+4)x+m2+5m没有实数根，∴△=(2m+4)2−4×1×(m2+5m)<0，∴m>4，∴m 的取值范围是m >4；(2)由于方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有两个实数根可知m ≠0， 当m >4时，m−3m>0，即方程的两根之积为正，故方程的两根符号相同． (3)由已知得：m ≠0，α+β=−n−2m，α·β=m -3m．∵α:β=1:2， ∴3α=−n−2m，2a 2=m−3m．(n−2)29m 2=m−32m，即(n −2)2=92m(m −3)． ∵m >4，且n 为整数，∴m 为整数；当m =6时，(n −2)2=92×6×3=81．∴m 的最小值为6．华东师大版数学九年级上册第23章单元测试题一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cm B ．1cm ，2cm ，3cm ，5cm C ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm D ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm2．如果x 2＝y 3，那么x ＋yx －y的值是（ ）A ．5B ．1C ．－5D ．－13．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为（ ）A ．1∶25B ．1∶5C ．1∶2.5D ．1∶ 54．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ） A ．4 B ．7 C ．3 D ．12第4题图5．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为（ ）A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)第5题图6．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(2，0)，点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等)，则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第6题图7．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米第7题图8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A.22B.32C．1 D.62第8题图二、填空题(每小题3分，共30分)9．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB 的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是m.第9题图10．如图，是象棋棋盘的一部分，若位于点(1，－2)上，位于点上，则位于点(－2，1)上．第10题图11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，DE ＝6，则BC 的长是.第11题图12．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件，使△ABC ∽△ACD (只填一个即可)．13．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度得到的，如果图形a 中的点A 的坐标为(4，－2)，则图形b 中与点A 对应的点A ′的坐标为．第12题图14．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是．第14题图第15题图15．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE 为Rt △CDB 的斜边BC 上的高．若BE ＝6，CE ＝4，则CD ＝.16．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D 、E 、F 在三角形的边上)，则此正方形的面积是.第16题图第17题图第18题图17．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB ，AB 与地面平行，当支点O 在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米，那么当支点O 在AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将B 端的人跷高米．18．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD .E 为四边形ABCD 内一点且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°，使BC 与DC 重合，得到△DCF .连接EF 交CD 于M ，已知BC ＝10，CF ＝6，则ME ∶MF 的值为.三、解答题(共66分)19．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°. (1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．20．(6分)如图所示，AD 、BE 是钝角△ABC 的边BC 、AC 上的高，求证：AD BE ＝ACBC.21．(6分)如图，M 、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米、AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22．(7分)已知：△ABC在平面直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；(2分)(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．23．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．25．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．26．(12分)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP 的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．(1)∠PBD的度数为45°，点D的坐标为(t，t)(用t表示)；(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？参考答案：1．D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A8．C 解析：作MH ⊥AC 于H ，如图.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH ＝45°，∴△AMH 为等腰直角三角形，∴AH ＝MH ＝22AM ＝22×2＝2. ∵CM 平分∠ACB ，∴BM ＝MH ＝2，∴AB ＝2＋2，∴AC ＝2AB ＝(2＋2)×2＝22＋2，∴OC ＝12AC ＝2＋1，CH ＝AC －AH ＝22＋2－2＝2＋2. ∵BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴ON MH ＝OCCH ，即ON 2＝2＋12＋2， ∴ON ＝1.故选C.9．64 10.(－2，1) 11.1812．∠B ＝∠ACD (答案不唯一) 13.(4，－5) 14．(3，3) 15.210 16.25 17.118．3∶4 解析：由题意知△BCE 绕点C 顺时转动了90°，∴△BCE ≌△DCF ，∠ECF ＝∠DFC ＝90°，∴CD ＝BC ＝10，DF ∥CE ，∴∠ECD ＝∠CDF .∵∠EMC ＝∠DMF ，∴△ECM ∽△FDM ，∴ME ：MF ＝CE ：DF .∵DF ＝CD 2－CF 2＝8，∴ME ：MF ＝CE ：DF ＝6：8＝3：4.19．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1、∠D 和∠D 1、∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(4分)(2) ∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)20．解：∵AD 、BE 是钝角△BAC 的高，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°.(2分)又∵∠DCA ＝∠ECB ，∴△DAC ∽△EBC .(5分)∴AD BE ＝AC BC.(6分) 21．解：在△ABC 与△AMN 中，∠A ＝∠A ，AC AB ＝3054＝59，AM AN ＝10001800＝59， ∴AC AB ＝AM AN ，即AC AM ＝AB AN，∴△ABC ∽△ANM ，(3分) ∴AC AM ＝BC MN ，即301000＝45MN，∴MN ＝1.5千米．(5分) 答：M 、N 两点之间的直线距离是1.5千米．(6分)22．解：(1)(2，－2)(2分)(2)(1，0)(4分)(3)10(7分)22．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(2分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠EDC .(5分)∴△ABD ∽△DCE .∴AB DC ＝BD EC .∴84＝2EC.∴EC ＝1.(7分) 23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，(3分)∴BP CD ＝AB CP ，∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP ；(5分)(3) 解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP .∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C .∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BP BA .(8分)∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.(10分) 24．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∴∠DMN ＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴MD CB ＝DN BN.(2分)∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12， ∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN . 设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1， ∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3，∴BD ＝2x ＝6；(5分)(2) ∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2，(3) ∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，(4) ∴S △MND ＝12S △CND ＝1，S △BNC ＝2S △CND ＝4. (5) ∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △BCN ＋S △CND ＝4＋2＝6，(8分)(6) ∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.(10分)26．解：(1)45° (t ，t )(4分)(2)由题意，可得AP ＝OQ ＝1×t ＝t ，∴AO ＝PQ .(5分)∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ，∴AB ＝PQ .∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BPA ＝90°－∠DPQ ＝∠PDQ .又∵∠BAP ＝∠PQD ＝90°，∴△PAB ≌△DQP .(7分)∴AP ＝DQ ＝t ，PB ＝PD .显然PB ≠PE ，分两种情况：若EB ＝EP ，则∠EPB ＝∠EBP ＝45°，此时点P 与O 点重合，t ＝4； 若BE ＝BP ，则△PAB ≌△ECB .∴CE ＝PA ＝t .(9分)过D 点作DF ⊥OC 于点F ，易知四边形OQDF 为正方形，则DF ＝OF ＝t ，EF ＝4－2t .∵DF ∥BC ，∴△BCE ∽△DFE ，∴BC DF ＝CE EF ，∴4t ＝t 4－2t.解得t ＝－4±42(负根舍去)． ∴t ＝42－4.(11分)综上，当t ＝42－4或4时，△PBE 为等腰三角形．(12分)。
华东师大版数学九年级上册22章一元二次方程复习课件(第二课时共23张)
（2）有两个不等实根；m-1≠0且Δ＞0
（3）有两个实数根； △≥0且m-1≠0
（4）无实数根；
△＜0且m-1≠0
（5）只有一个实数根； m-1=0
（6）有实根.
△≥0或者m-1=0
*知识点二：一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) 的两个根为：
x1 b
数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与
系数的关系.
3.可以通过一元二次方程的系数判断方程根 的情况.
课后巩固
1、下列方程无实数根的是
。
①x-2＝3+x；②x2+x+1＝0；
③x2+bx-1＝0；④ax2+bx+1＝0(a＞0)；
⑤ 2 x2+ 6 x+1＝0.
2、若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0 没有实数根,求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)
3、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根， 求下式的值: (1)(x1-3)(x2-3)；(2)|x1-x2|；
11 (3) x12 x22
4、不解方程，判断下列方程根的情况： ① x²-4x-1=0 ② x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
5、k取何值时，方程4x²-(k+2)x+(k-1)=0 ①有一个根是-1; ②有两个相等的实根.
配方法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
求根公式法 x b b2 4ac 0
2a
九年级数学上册 第22章 一元二次方程复习课件 (新版)华东师大版
方 程 (3) 配方法 的
当二次项系数为1的时候，
方程两边同加上一次项系数 一半的平方
适应于任何一个一元 二次方程
解
法
(4)公式法
b b2 4ac
当 b2 4ac 时0 x
2a
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
适应于任何一个一 元二次方程
第三页，共6页。
随堂 练习 用适当方法(fāngfǎ)解下列方程 （1） ( x 1)2 0
（2） x2 4x 5 0 (3) 5x2 x 0 （4） 3x2 6x 2 0
（5） 3x 22 4x2 0
第四页，共6页。
随堂 练习
不解方程，判断(pà nduà n)下列方程根的情况：
（1）5(x2-1)-x=0; （2）9x2+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx+1=0; （3）6x2+8x=-3.
22章 一元二次方程
第一页，共6页。
选择适当的方法求解(qiú jiě)下
列方程
(1) (x 10)2 3
-----直接(zhíjiē)开平
方法
(2) x2 6x 3 0
-----配方法 (fāngfǎ)
（3） 9x2 10x 4 0 -------公式法
(4) 2x2 5x 0
第五页，共6页。
思考题
1、 m取什么(shén me)值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程（k+1)x2-2(k-1)x+k=0有两 个不相等实数(shìshù)根，求k的取值范围.
第六页，共6页。
----------因式分解法
第二页，共6页。
华东师大版数学九年级上册22章一元二次方程复习课件(第一课时共30张)
及时反馈
1、下列方程是不是一元二次方程，若不是 一元二次方程，请说明理由：
(1) (x-1)2=4 (2) x2-2x=8 (3) x2=y+1
(4) x3-2x2=1 (5) ax2+bx+c=0 (6) 32x+x=1 (7) x2-3x+4=x2-7 (8) 3x2 1 2 0
华东师大版九年级上册
第22章 一元二次方程 章末复习 第一课时
学而不疑则怠，疑而不探则空
全章知识结构
一元二次方程 方程两边都是整式
的定义
只含有一个未知数
一 ax²+bx+c=0(a0) 未知数的最高次数是2
元
直接开平方法 (x a)2 b b 0
二
次 一元二次方程
方
的解法
程
因式分解法 (x a)(x b) 0
⑤(x-3)2=2(3-x) ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0
⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2-16=0 ⑩x2-6x-9991=0
合适运用直接开平方法的
；
合适运用因式分解法的
；
合适运用公式法的
；
合适运用配方法的
.
3、将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加
一条竖线记成 a
c
b ，定义 a
一元二次方程，则( C )
A、m=±2
B、m=2
C、m=-2
D、m≠ ±2
4、若 m 2x2 m 2x 2 0是关于x的一元
二次方程，则m 。
5、若方程 (m 2)xm2 2 (m 1)x 2 0 是 关于x的一元二次方程，则m的值为 。
华东师大版第22章《一元二次方程》章节知识汇编与习题
华东师大版九年级上册第22章《一元二次方程》知识汇编22.1：一元二次方程【基础知识】知识点1：一元二次方程的定义1、（南阳期中）下列方程是一元二次方程的是（ ） A 、12-=x B 、0112=-+xx C 、012=++y x D 、1223=-x x 2、（教材P 20习题T 1变式）若方程()0112=++-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 应满足的条件是（ ）A 、任何实数B 、0≠mC 、1≠mD 、1-≠m 知识点2：一元二次方程的一般形式3、将一元二次方程x x 2432-=-化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A 、3，4-，2-B 、3，2，4-C 、3，2-，4-D 、2，2-，0 4、（驻马店月考）一元二次方程()()23252-=+-x x x 的一般形式是（ ） A 、4652-=--x x x B 、172=-x x C 、0172=--x x D 、0972=--x x 知识点3：一元二次方程的解6、（广东中考）若2是方程032=+-k x x 的一个根，则常数k 的值为 （ ） A 、1 B 、2 C 、1- D 、2-7、（宁夏中考）若32-是方程042=+-c x x 的一个根，则c 的值是（ ） A 、1 B 、33- C 、31+ D 、32+ 知识点4：根据实际问题列一元二次方程10、（白银中考）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米。
若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A 、()65=+x xB 、()65=-x xC 、()610=-x xD 、()6210=-x x11、根据下列问题，列出关于x 的方程（不必求解），并将其化为一般形式。
（1）正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；（2）小明的母亲用125元钱买回一些同样价格的衬衫，已知每件衬衫的价格恰好是衬衫总件数的6倍还少5元，求小明母亲共买回衬衫的件数x.易错点1：忽略一元二次方程二次项系数不为0而出错12、若()02611||=-+++x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_____； 易错点2：确定各项时未化为一般形式而出错13、一元二次方程()()11122-=++-x x x m x 的一次项系数为2-，则m 的值为______；【方法指导】①已知一元二次方程的根求方程中待定字母的值时，一般将根代入原方程中即可求解；②已知一元二次方程的根求代数式的值时，若方程中的参数无法求出，应采用整体思想解决问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已知条件可求出，将其整体代入即可求解。
华师大版九年级数学上册课件：第二十二章单元知识梳理 (共23张PPT)
跟踪训练
x3=0，x4=-3
名师讲解
要点三：一元二次方程的解法
【例3】（1）方程x2-4x=0的解是
;
（2）方程x2-3x+1=0的解是
;（3）方程(x-1)2=4的解是
;
（4）解方程：x2+4x+1=0.
【分析】要注意对方程的结构及系数特征进行观察，以便选用最为
合适的方法.（1）可采用因式分解法，（3）可直接开方， （2）（4）可用公式法或配方法.
【解答】
跟踪训练
4.若（a2+b2）（a2+b2-2）=8，则a2+b2的值为 （ B ）
A.4或-2 B.4 C.-2 D.-4 5.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2-
13x+40=0的根，则该三角形的周长为 12 ．
跟踪训练
跟踪训练
名师讲解
要点四：配方法的应用 【例4】用配方法证明，多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值. 【分析】此题首先将两式相减，然后再用配方法确定正负即可. 【解答】据题意得（2x4-4x2-1）-（x4-2x2-4）=2x4-4x2-1-
名师讲解
设销售单价定为x元，则月销售量为［500-(x-50)×10］千克， 每千克销售利润为(x-40)元， 月销售利润为｛(x-40)［500-(x-50)×10］｝元， 即（-10x2+1400x-40000）元， 由题意可列方程-10x2+1400x-40000=8000，解得x1=60，x2=80. 当x=60时，月销售成本是: 40×［500-(60-50)×10］=16000（元）； 当x=80时，月销售成本是: 40×［500-(80-50)×10］=8000（元）. 由于8000<10000<16000，所以销售单价应为每千克80元.
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2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？ 体会降次在解一元二次方程中的作用．
配方法、公式法和因式分解法． 配方法、公式法适用于所有的一元二次方程
因式分解法适用于某些一元二次方程 总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方 程，即降次.
思降 想次
化为一次方程
解一元一 次方程
灿若寒星
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤
1.审——审清题意,找出等量关系. 2.设——直接设未知数或间接设未知数. 3.列——根据等量关系列出一元二次方程. 4.解——解方程,得出未知数的值. 5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合
实际情况. 6.答——完整地写出答案,注意单位.
灿若寒星关于x的方程ax来自-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根
x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1
D.2
【解析】选B.由题意得 x1+x2= 3a ,x11x2= ,因2为a x21-x1x2+x2=1-a,
a
a
所以
3a a
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第22章 一元二次方程
复习和小结
知识梳理
考点分类
复习归纳
灿若寒星
课后作业
知识梳理
一、本章知识结构图
实际问题
设未知数，列 方程
数学问题 ax2 bx c 0a 0
配方法 解
降
方
程
公式法
次
分解因式法
实际问题的答案
检验
数学问题的解
x b b2 4ac 2a
灿若寒星
二、回顾与思考 1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数 与次数．你能写出各种方程的一般形式吗？ 所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二 元一次方程．
一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1 ． 一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2 ．
二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为1． 一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a≠0 ) 一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a≠0, b≠0 )
4x2
0（因式分解法）
x1
2, x2
2 5
灿若寒星
三 根的判别式及根与系数的关系
若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况
是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断 【自主解答】选A.Δ=16+4k= 4(5k+20),
5 ∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数根.
灿若寒星
【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作 量后每天完成1.2xm2,根据题意,得150 498 150 20,解得x=22.
x 1.2x
经检验,x=22是原方程的根. 答:该项绿化工作原计划每天完成22m2. (2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m, 根据题意,得y(2y-3)=170, 解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去).
灿若寒星
考点分类
一 一元二次方程及根的有关概念
1.若(xa-a32 )7+4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为
()
A.3
B.-3
C.±3
D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-
7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
灿若寒星
2.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
灿若寒星
用适当方法解下列方程.
（1） ( x 1) 2 0（直接开方法） x1=x2=1
（2） x2 4x 5 0 （配方法） x1=-1,x2=5
(3)
5x2 x 0
（因式分解法）
x1=0,
x2=
1 5
（4）
3x2
6x
2
0
（公式法）x1
3 3
15
, x2
3 15 3
（5）3x 22
适应于没有一次项的 一元二次方程
一 元
(2)因式分解法
二
1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式
适应于左边能分解 为两个一次式的积， 右边是0的方程
次 方 (3) 配方法 程 的
当二次项系数为1的时 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方
适应于任何 一个一元二 次方程
解
法 (4)公式法
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得到一元二次 方程的解
3.求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方 程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )，都可以通过配方转化为
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x b 2a
b2 4ac 4a2 ,
当b2－4ac≥0时，一元二次方程有a实x2 数+ b根x ．+ c = 0 ( a≠0 )
2y-3=17. 答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.
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复习归纳
设未知数， 实际问题 列方程
数学问题
ax2 bx c 0a 0
实际问题的答案
检验
配方法
解
降
方
程 公式法
次
因式分解法
数学问题的解
x b b2 4ac b2 4ac≥0 2a
灿若寒星
(1)直接开平方法
x2=b(b 0)
当b2 4ac 0时
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
适应于任何 一个一元二 次方程
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课后作业
见《学练优》本课时练习
灿若寒星
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已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正 确的是( ) A.①②都有实数解 B.①无实数解,②有实数解 C.①有实数解,②无实数解 D.①②都无实数解 【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=412=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为 Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
22
解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.
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(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: +4n=(12n12× 33,n)
22 解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去). 答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
A.ax2+bx+c=0 C.3x2+2y-=10
2
B.x12=0
2
D.x2+-54=0 x
【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中
含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.
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二 一元二次方程的解法
解方程x2-2x-1=0. 【自主解答】移项得x2-2x=1,配方得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2, 开方得x-1=± 2, x=1± ,2所以x1=1+ ,x22=1- . 2
灿若寒星
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
【自主解答】(1)当t=4时,
l= 1×42+ ×3 4=14(cm).
2
2
答:甲运动4s后的路程是14cm.
(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得:(1+m42m 3=m2) 1,
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为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清 洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积 为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天 的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿 化工作. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2? (2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比 宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?
1
2a a
2
1
a解,即得aaa11=11,aa2=, -1.当a=1时,原
方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以
a=-1.
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四 一元二次方程的应用
某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设 计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直 径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲 运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= 12t2+ t(32t≥0),乙以4cm/s的 速度匀速运动,半圆的长度为21cm.