含绝对值的不等式解法教案

含绝对值的不等式解法
数学与信息学院06级11班彭春华200608121107
一．教学目标
（一）知识目标
（1）理解绝对值的意义；
（2）掌握︱x︱＞a和︱x︱＜a两种基本的含绝对值的不等式的解法；
（3）明确用代换的方式解形如︱a x＋b︱＞k和︱a x＋b︱＜k 的含绝对值的不等式（二）能力目标
（1）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；
（2）通过将含绝对值的不等式同解变化为不含绝对值的不等式，培养学生的划归思想和转化能力
（三）德育目标
（1）激发学生学习的内在动机；
（2）养成良好的学习习惯
二．教学的重，难点及教学方法
（一）教学重点：简单的︱x︱＞a和︱x︱＜a 的两种基本的含绝对值的不等式的解法（二）教学难点：利用对绝对值意义的理解和分析，解决实际问题
（三）教学方法：独立探究，合作交流与教师引导相结合
三．教具准备
直尺、彩色粉笔
四．教学过程
（一）温故知新，引入课题（预计5分钟）
1.问题情景
师：上课之前，想请同学们帮老师一个忙。

问题是这样的：按照商品质量规定，商店出售的标明500ɡ的袋装食盐，其实际数与所标数相差不能超过5ɡ，那么我要怎样才能知道食盐是符合标准要求的？你能用数学知识来解决这样一个实际问题吗？（在黑板上简单的书写题意）
2.学生根据已有的生活经验和数学知识独立探究，教师巡视，进行个别指导
3.合作讨论，交流探究结果（请一位同学将大家的探究认可的结果写在黑板上）
设食盐的实际重量为xɡ,则有 x－500≤5
500－x≤5
4.引导学生，和学生一起求解
师：这是一个一元一次不等式组，要怎样求解它？首先，请大家和我一起回忆一下不等式的基本性质。

那就是已知a＞b，则不等式两边同时加上一个数，不等式不变号
已知a＞b，则不等式两边同时乘以一个大于零的数c，不等式不变号
已知a＞b，则不等式两边同时乘以一个小于零的数c，不等式要变号
简写为
a ＞b,则a ＋c ＞
b ＋c
a ＞b, c ＞0则a ×c ＞
b ×c
a ＞b, c ＜0则a ×c ＜
b ×c
所以，根据不等式的三个基本性质，我们可以将上述的不等式组化为 x ≤505或x ≥495，那么在数轴上表示出来为
但是，还有其它的方法来解决这个问题吗？
5. 引导学生观察，比较不等式左边同类项的系数关系
师:大家看，我们通过观察，发现所列的不等式组它们的左边有什么不同？对了，第一个式子前面加个负号就变成了第二个式子，也就是说它们之间相差一个负号，想想，和我们以前学过的相反数有点关系，请大家再往深处想想，在什么地方我们用到过相反数？对了，这不就是我们初中学过的绝对值吗，那么我们可不可以和它联系起来呢？我们可以把不等式组转化为︱x －500︱≤5，就是在不等式前面添上一个绝对值符号，也就是说得到了一个新的式子，那要怎样求解它呢？（揭示课题）这就是我们今天要学习的含绝对值的不等式解法（板书课题）
（二） 层层递进，探索新知（预计15分钟）
1. 导入绝对值的意义
师：我们知道不等式的基本性质是求解不等式的基础，那么求解含绝对值的不等式，我们不妨从绝对值的意义入手。

现在，我们来一起看一下︱－2︱等于多少？︱2︱等于多少？而绝对值等于2的数又是谁？在数轴上怎样表示出来？
生：︱－2︱＝2，︱2︱＝2
师：绝对值等于2，可以表示成为一个含绝对值的一元一次方程︱x ︱＝2 ，通过上面的 ︱±2︱，我们知道这个方程有两个解x ＝2或x ＝－2，在数轴上表示出来我们发现它们到原点的距离都为2，进一步也可以说是︱a ︱表示为数轴上的到原点的距离等于a 的点，我们称之为绝对值的几何意义。

那么请大家在想想，我们一般把数分为正数，负数和零，那么它们的绝对值又应该是什么？好，请大家回过头看上面︱－2︱＝2，也就是说－2是负数，它的绝对值是它的相反数2，而︱2︱＝2，即正数的绝对值是它本身，根据绝对值的 几何意义我们也知道了 0的绝对值是它本身，用数学语言表示为 a , a ＞0
︱a ︱＝ 0, a ＝0
－a, a ＜0
我们称之为绝对值的数量意义，并且请大家注意了，绝对值还是一个非负数。

2. 探索解含绝对值的不等式解法
师：请大家看这里，︱x ︱＝2表示数轴上的点到原点的距离为2的点，而它本身是一个含绝对值的方程，是一个含绝对值的等式，那么我们把“＝”转换成为不等号时，又会发生什么样的情况？比如说︱x ︱＜2，按照等号的表示叙述方法，我们知道它表示数轴上的点到原点的距离小于2的点的集合，在数轴上看：
它包含了很多点，用上节课学过的知识，我们可以用集合来表示它，即｛x ︱－2＜x ＜2｝是一个点列的集合。

同理︱x ︱＞2，表示数轴上的点到原点的距离大于2的点的集合，在数轴上看
请大家注意，在－2的左边，所有的点都是到原点的距离大于2的，用集合表示为｛x ︱x ＜－2｝而在2的右边部分，它们到原点的距离也是大于2的，也就是说｛x ︱x ＞2｝, 它们两部分都是︱x ︱＞2的解，用集合表示为｛x ︱x ＜－2｝∪｛x ︱x ＞2｝，即为｛x ︱x ＜－2或x ＞2｝，请大家注意了，做题一定不要漏解。

3. 引导学生，概括出︱x ︱＜a 和︱x ︱＞a 的两基本型的一般情况
师：现在，我们把含绝对值的不等式右边的2用a 来表示，则a 表示任何数。

那么当a ＝0时，︱x ︱＜a 和︱x ︱＞a 是什么样的情况，同理a ＞0,a ＜0又会有什么样的情况？请大家思考总结一下。

（学生自己动手实践，举出实际的例子数字来验证自己的猜想，此时，老师在黑板上画下表格）
师：好，请大家看表格，我们一起来完成它。

当a 大于零时，根据前面我们所举的︱±2︱，我们知道了它的解集；当a 等于零时，由于绝对值是一个非负数，就是说是一个大于等于零的数那么要使︱x ︱＜a 成立，x 的取值是不存在的 ，所以为空集，︱x ︱＞a ，就是说是恒成立的，但是这里没有取等号，那么x 取全体实数但是x 不能等于0；同理的，当a 小于零时，︱x ︱＞a ，x 的取值就是全体实数，︱x ︱＜a 的 取值就是空集。

当︱x ︱≤a 时，表示的是数轴上的点到原点的距离小于等于a 的点的集合，它包含了小于a 的集合也包含了等于a 的集合，用集合的表示方法就是并的关系，也就是｛x ︱－a ≤x ≤a ｝，同理请大家下课后自己把取等号的情况补充到表格上面。

4. 练习
︱x ︱＜5 ︱x ︱＞－3 ︱x ︱≤8
待大部分同学做完后，老师口述解答过程
5.升化为︱a x＋b︱＜k和︱a x＋b︱＞k的含绝对值的不等式的解法
师：现在，我们再回过头来看一下我们遗留下的关于食盐的问题。

︱x－500︱≤5，该怎样解答？它跟︱x︱≤5有什么区别？回忆一下我们之前所常用的代换的思想，是怎么运用的？对了，我们可以把（x－500）看做一个整体x，进而按照上面所列的表格来写出，那就是－5≤（x－500）≤5，再根据不等式的基本性质，两边同时加上500，就变成了495≤x≤505，这和我们运用不等式的基本性质得到的解集是相同的。

所以概括一下就得到了解︱a x＋b︱＜k和︱a x＋b︱＞k的含绝对值的不等式的一般步骤了：（ⅰ）先判断所要求解的不等式是属于我们所列的表格的哪一类，即是判断k的取值是正是负；（ⅱ）根据所列的表格参照︱x︱＜a和︱x︱＞a的情况来求解。

（三）变式练习，巩固新知（预计10分钟）
（1）︱2x＋4︱＜8 （2）︱4x－1︱≤7
（3）︱x＋2／3︱＜4 （4）︱7x＋1︱≥5
待大部分同学做完后，提出要求：初做题时，一定要按照步骤做，不要有漏解。

（四）小结（预计5分钟）—引导学生按照下面的思路进行小结
这堂课的主要内容是什么？解含绝对值的不等式的基本思想是什么？
师：这堂课我们学习了解含绝对值的不等式解法，解法的基本思想就是和数轴有机结合，数形结合，由绝对值的基本意义来解题，要求我们要熟记所列表格，学会代换的思想并能熟练的运用。

在今天的学习中，我们还要逐步深入的领会，掌握“转化”这一数学思想方法。

（五）布置作业
书本练习题
五．板书设计(总体分四块)。