2016_2017学年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例课件
(1)写出2013年第x个月的需求量f(x)件与月份x的函数关系 式； (2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费年销售该商品的月利润最大是
多少元？
[思路点拨]
由需求 再求出 由已知 ――→ 第x个月的需求量 ――→ 总量求出
利用导数 月利润的函数关系式 ――→ 求最值
行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
解析： 设船速为 x(x>0)，燃料费用为 Q 元，则 Q＝kx3. 3 3 3 由 6＝k×10 ，得 k＝ .∴Q＝ x . 500 500
3
∴总费用
3 1 3 2 96 3 x ＋96 ·＝ x ＋ . y＝ 500· x x 500
6 96 y′＝ x－ 2 ，令 y′＝0，得 x＝20. 500 x 当 x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减； 当 x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增． ∴当 x＝20 时，y 取得最小值． ∴此轮船以 20 千米/时的速度行驶， 每千米的费用总和最小.
H2 ＝2πr －2π· r ＋2πHr(0<r<R)． R
H2 (1)V′＝2πrH－3π·R r ； 2 令 V′＝0 得 r＝ R(0<r<R)． 3 由于在(0，R)内只有一个使函数的导数为 0 的点，问题(1) 2 中体积的最大值显然存在，故当 r＝3R 时，体积最大．
r (2)S′＝4πr＋2πH－4πH· ， R HR 令 S′＝0，得 r＝ ，0<r<R， 2H－R HR 即 0< <R， 2H－R HR ∴H>2R，即当 H>2R 时，r＝ . 2H－R 由于在(0，R)内只有一个使函数的导数为 0 的点，问题(2) HR 中表面积的最大值显然存在，故当 r＝ 时，表面积最大． 2H－R
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体 积最大，则高为________．
解析： 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202－x2cm， 1 其体积为 V＝3πx(202－x2)(0<x<20)， 1 V′＝3π(400－3x2)，令 V′＝0， 20 20 解得 x1＝ 3 3，x2＝－ 3 3(舍去)．
立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待
求最值的对象表示为该变量的函数．
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方
法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性 定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝ 17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使 利润最大，应生产( A．9千台 C．6千台 ) B．8千台 D．3千台
最低？并求出最低总造价．
[ 思路点拨 ] 分析题意 → 写出函数关系式 → 写出定义域
→ 对函数关系式求导 → 讨论单调性 → 求最值
200 (1)设长为 x m，则宽为 x m. 0<x≤16， 据题意 200 0< x ≤16， 25 解得 ≤x≤16. 2
200 400 y＝ 2x＋2·x ×400＋ ×248＋16 x
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)． 于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x)
(3,4) ＋ 单调递增
4 0 极大值 42
(4,6) － 单调递减
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也 是最大值点． 所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获 得的利润最大．
2分 000 4分 6分
25 259 200 ＝800x＋ x ＋16 000 2 ≤x≤16.
259 200 (2)y′＝800－ ，令 y′＝0， x2 解得 x＝18. 当 x∈(0,18)时，函数 y 为减函数； 当 x∈(18，＋∞)时，函数 y 为增函数. 25 又∵ ≤x≤16， 2 ∴当 x＝16 时，ymin＝45 000. 当且仅当长为 16 m、宽为 12.5 m 时，总造价 y 最低，最低 总造价为 45 000 元. 12 分 10 分 8分
(1) 解决面积，容积的最值问题，要正确引
入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定
义域，利用导数求解函数的最值． (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
1．横截面为矩形的横梁的强度同它的横截面高的平方与
宽的积成正比，要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁，横
截面的宽与高应是多少？
a 解析： (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以2＋10＝11，a＝2. 2 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝ ＋10(x－6)2， x－3 所以商场每日销售该商品所获得的利润
2 2 f(x)＝(x－3)x－3＋10x－6 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.
x∈
3 d，d时，f′(x)<0，此时 3
3 f(x)单调递减．所以当 x＝ d 时，f(x)取得极大值，也即最大值， 3 6 此时高为 3 d.所以将圆木锯成的横梁强度最大时， 横截面的宽为 3 6 3 d，高为 3 d.
最大利润问题
某商场 2013 年从 1 月份起前 x 个月，顾客对某种 1 商品的需求总量 p(x)件与月份 x 的近似关系是 p(x)＝ x(x＋1)· (39 2 －2x)(x∈N＋， 且 x≤12)． 该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关 系是 q(x)＝150＋2x(x∈N＋，且 x≤12)，
(2)设该商场 2013 年销售该商品的月利润为 g(x)元， 则 g(x) ＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1 400x(x∈N＋，且 x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令 g′(x)＝0，解得 x＝5 140 或 x＝ 9 (舍去)．当 1≤x<5 且 x∈N＋时，g′(x)>0；当 5<x≤12 且 x∈N＋时，g′(x)<0，所以当 x＝5 时，g(x)取得极大值，也即 最大值， 所以 g(5)＝3 125.所以该商场 2013 年 5 月份的月利润最 大，为 3 125 元．
利润最大问题是我们生活中最常遇到的问
题，根据利润(收益)＝销售额－成本，列出函数关系式，再利
用导数求函数的最大值．
2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 a y(单位： 千克)与销售价格 x(单位： 元/千克)满足关系式 y＝ ＋ x－3 10(x－6)2.其中 3<x<6，a 为常数．已知销售价格为 5 元/千克时， 每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20 当 0<x< 3时，V′>0； 3 20 当 3 3<x<20 时，V′<0， 20 ∴当 x＝ 3时，V 取最大值． 3
20 3 答案： 3 cm
4 ．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正 比，已知在速度为每小时 10千米时的燃料费是每小时 6 元，而 其他与速度无关的费用是每小时96元．问此轮船以何种速度航
低？
[提示]
V 设容积为 V，圆柱体的底面半径为 x，则高为πx2，
2
V V 2 总造价 y＝2πx · am＋2πx×πx2· m＝2πmax ＋πx，
通过求导，令 y′＝0，求得 x.
最优化问题
解决优化问题的基本思路
解决优化问题的一般步骤 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找 出问题的主要关系． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建
用导数解最值应用题，一般应分为五个步
骤：
(1) 建立函数关系式 y ＝ f(x) ； (2) 求导函数 y′； (3) 令 y′＝ 0 ， 求出相应的 x0 ； (4) 指出 x ＝ x0 处是最值点的理由； (5) 对题目所 问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义 确定取得最值时变量的取值．
合作探究 课堂互动
面积、容积的最值问题
在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，
则圆柱体的半径r为多大时： (1)圆柱体的体积最大？ (2)圆柱体的表面积最大？ [思路点拨] 由题意写出关于r的体积与表面积函数，用导
数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值．
设圆柱体的底面半径为 r ，高为 h ，体积为
解析：
利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数得y′
＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)． 答案： C
2．将长度是8的均匀直钢条截成两段，使其立方和最小， 则分法为( A．2与6 ) B．4与4
C．3与5
D．以上均错
解析： 设一段长为x，则另一段为8－x，其中0<x<8. 设y＝x3＋(8－x)3，则y′＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)． 令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小． 答案： B
3．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋 顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔 热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系： k C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 3x＋5 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
高中数学《第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例》95PPT课件 一等奖名师
课堂小结
2、数学思想：
（1）数学建模思想 （2）数形结合思想 （3）函数思想
作业布置：
必做 1、《金版》P78 变式训练 利润最大问题 2、 《金版》P771、2、3、4
选做 《金版》P75 类型2 用料最少、费用最省问题
[典例2] 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地 块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房，经测算， 如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560 ＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 ，该楼房应建为多少层（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋ 平均购地费用，平均购地费用＝？
当x
l
2
时, S取最小值
2
最小值为 l2 . 32
饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 它的道理吗?
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
3、某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制 造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可 获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.
我们可以从
f (r) 0.8 ( r3 r 2 )
3
函数图象观察得到
y f (r) 0.8 ( r3 r 2 )
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时，利润最大。
课堂小结 回顾本节课你有什么收获？
1、用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润 最大？
高中数学《第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例》115PPT课件 一等奖名师
思考1：版心面积为定值128dm2，海报 的面积是否也为定值？
(x + 4)(128 + 2) x
(x + 4)(128 + 2) - 128 x
思考2：设版心的高为x，则海报的面积 为多少？海报四周空白的面积为多少？
思考3：设海报四周空白的面积为S(x)， 则S(x)的最简表达式如何？其定义域是 什么？
2 36 x
思考6：市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比 一斤装的白酒平均价格要高），在数学 上有什么道理？
将包装盒捏成球状，因为小包装的 半径小，其利润低，生产商就提高销售 价格来平衡与大包装的利润.
反思 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活 运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基 本等量关系有 (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数
磁盘的存储量 f r 2 rR r 0 r R
mn
如何变化？有何最值？
R
f (r) 2 (R 2r)
r
mn
r= R 2
时，存储量最大为:
R 2
2mn
课后思考：如果每条磁道存储的信息与
磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘
的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的
存储量越大？
R
r
课堂小结：
1.解决优化问题的基本思路：
⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合 实际，确定最值或最值点．
跟踪训练1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角 切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做 成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱 子容积最大？最大容积是多少？
探究（二）：与利润及其成本有关的最值问题
高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例讲义含解析新人教A版选修
3.4 生活中的优化问题举例5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x ，令f ′(x )＝4－1 600x＝0，解得x ＝20，x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故当x ＝20时，f (x )最小．答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为__________ m 时，帐篷的体积最大．解析：设OO 1为x m ，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为32－x －2＝8＋2x －x 2(m)，于是底面正六边形的面积为S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2) ＝32(8＋2x －x 2)[]x －＋3＝32(16＋12x －x 3)， V ′＝32(12－3x 2)． 令V ′＝0，解得x ＝2或x ＝－2(不合题意，舍去)． 当1＜x ＜2时，V ′＞0；当2＜x ＜4时，V ′＜0. 所以当x ＝2时，V 最大． 答案：27．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖出的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)由(1)得，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432. 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，f (21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．8．两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和．记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在A B 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数f (x )；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断A B 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．解：(1)根据题意∠ACB ＝90°，|AC |＝ x km ，|BC |＝400－x 2km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k 400－x2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k400－x 2(0＜x ＜20)．又垃圾处理厂建在A B 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，故有4102＋1022＋k400－102＋1022＝0.065，解得k ＝9，故y ＝f (x )＝4x2＋9400－x2(0＜x ＜20)．(2)f′(x)＝－8x3＋18x－x22＝18x4－－x22 x3－x22＝x2＋x2－x3－x22.令f′(x)＝0，解得x＝410或x＝－410(舍去)．所以当x∈(0,410)时，f′(x)＜0，y为减函数；当x∈(410，20)时，f′(x)＞0，y为增函数．故在x＝410处，函数f(x)取得极小值，也是最小值．即垃圾场离城A的距离为410 m时，对城A和城B的总影响最小．(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于( )A．sin x B．cos xC．cos α＋sin x D．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．2．曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( )A．y＝－3x＋3 B．y＝－3x＋1C．y＝－3 D．x＝2解析：选C 因为y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y＝－3.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A 设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．4．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是( )A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0， 22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1B.12C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．已知物体的运动方程是S (t )＝t 2＋1t(t 的单位：s ，S 的单位：m)，则物体在时刻t＝2时的速度v 与加速度a 分别为( )A.154 m/s ，94m/s 2B.152 m/s ，92 m/s 2C.92 m/s ，154m/s 2D.94 m/s ，154m/s 2解析：选A S ′(t )＝2t －1t2，∴v ＝S ′(2)＝2×2－14＝154(m/s)．令g (t )＝S ′(t )＝2t －1t2，∴g ′(t )＝2＋2t －3，∴a ＝g ′(2)＝94(m/s 2)．8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)， f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，253C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫253，＋∞D ．[9，＋∞)解析：选C ∵f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，∴f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上恒成立， ∵f ′(x )＝2x ＋a －1x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上递增，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝23－9＋a ≥0，∴a ≥253.故选C.12．定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x ＜f (x )，且f (2)＝0，则f xx＞0的解集为( )A ．(0,2)B ．(0,2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．∅解析：选A ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′＝fxx －f xx2＜0，∴f xx在(0，＋∞)上为减函数． 又∵f (2)＝0，∴f2＝0.∴f xx＞0的解集为0＜x ＜2，故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________． 解析：y ′＝12x －1＝1－2x 2x ，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：1415．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x2x 2＋2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax(a >0)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝f (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调递减区间为(0,1)， 单调递增区间为(1，＋∞)． (2)由(1)知f ′(x )＝x －ax 2(0<x ≤3)， 则k ＝f ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立， 即a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，所以a ≥12，所以a 的最小值为12.19．(本小题满分12分)已知某厂生产x 件产品的成本C ＝25 000＋200x ＋140x 2(单位：元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x40，y ′＝－25 000x 2＋140， 令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时y ′＜0，当在x ＝1 000附近右侧时y ′＞0，故当x ＝1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y ′＝0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数L ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240 ＝300x －25 000－x 240.L ′＝300－x20，令L ′＝0，解得x ＝6 000.当在x ＝6 000附近左侧时L ′＞0，当在x ＝6 000附近右侧时L ′＜0，故当x ＝6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x－k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x－x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x－12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x－x －1，令g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，由g ′(x )<0得x <0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. ∴f (x )在R 上单调递增．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (x ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3是否恒成立，并说明理由．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由题意得f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x －a x ＋ax，∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0； 当x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立，理由如下：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x ＞1)，则g ′(x )＝2x 2－x －1x＝x －x 2＋x ＋x＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴g (x )＞g (1)＝16＞0.即23x 3－12x 2－ln x ＞0，∴12x 2＋ln x ＜23x 3， 故当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，所以f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：11因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， 所以－43＜k ＜283.所以实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283.。
3.4生活中的优化问题举例(1)
1dm
512 2x 8, x 0 x
128 解：设版心的高为xcm,则宽为 x dm,
2dm
此时四周空白面积为：
128 s ( x) ( x 4)( 2) 128 x 512 2x 8, x 0 x
128dm2
1dm
x + 4
求导数，有
令s '( x) 2
S '( x) 2
512 , 2 x
512 0, 解得，x=16 (x=-16舍去） 2 x 128 128 于是宽为 8 x 16 当x (0,16)时, s '( x) 0; 当x (16, )时, s '( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 答：当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
解：设容器高为xcm，则底面边长为(30－2x)cm， 则得容器的容积V是x的函数， V(x)＝(30－2x)2·x (0<x<15)
＝4x3－120x2＋900x. ∴V′(x)＝12x2－240x＋900， 令V′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，V′(x)>0，当5<x<15时，V′(x)<0.
∴f ′(x)＝12x2－240x＋900， 令f ′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，f ′(x)>0， 当5<x<15时，f ′(x)<0.
∴当x＝5时，f (x)取极大值，这个极大值就是f (x)的
最大值． 注意：区间（0，30）为开区间，f (x)无最小值．
512 8, x (0, ) 的最小值。 2）求函数 f ( x) 2 x x 512 8, x (0, ) 解: f ( x) 2 x x 512 令f '( x) 2 2 0, 得:x 16( x 0) x
导数及其应用课件PPT
又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.
解析答案
12345
4.某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增
加 100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r＝400x－21x2，0≤x≤400， 80 000， x＞400，
则总利润最大时，年产量是( )
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，
问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解 依题意，有 xy＋12·x·2x＝8，∴y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)，
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
S′(x)＝6x2－24x＋16，
令
S′(x)＝0，得
生活中的优化问题举例 教案
生活中的优化问题举例一、教学目标1．知识和技能目标（1）使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力．2．过程和方法目标（1）培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力；3．情感态度和价值观目标(1)进一步培养学生应用数学的意识。
二、教学重点.难点教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值三、学情分析生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．四、教学方法师生互动探究式教学五、教学过程导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：知识应用，深化理解例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>。
求导数，得'2512()2S x x =-。
导数及其应用生活中的优化问题举例
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准 确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化 问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以 降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析 ，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函 数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物 流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运 输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举 例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料 等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的 应力、应变分布，进一步优化结构设计。
生活中的优化问题举例
解析：设将这批货物全部运到最快需 t 小时，依题意 t ＝4v00＋16·2vv02＝4v00＋1460v0≥8.当且仅当4v00＝1460v0，即 v＝ 100 km/h 时，最快需 8 小时，故选 B.
答案：B
4．一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 1000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 50 元，就会多 一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费 100 元维修费， 则房租定为________元时可获得最大收入．
因此乙方取得最大利润的年产量 t＝(10s00)2(吨)．
(2)设甲方净收入为 v 元，则 v＝st－0.002t2.
将 t＝(10s00)2 代入上式，得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函 数关系式 v＝10s002－2×1s40003.
又 v′＝－10s0202＋8×1s50003＝10002×s85000－s3，令 v′＝0， 得 s＝20. 当 s<20 时，v′>0；当 s>20 时，v′<0，所以 s＝20 时，v 取得 最大值．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所 以，当 x≥1 时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]， 且 x∈N*，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘 船的利润与前一艘比较，利润在减少.
费用最省问题 例 2 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部 是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角 形，要求框架围成的总面积为 8 m2，问 x、y 分别为多少时 用料最省(精确到 0.001 m)?
因此甲方向乙方要求赔付价格 s＝20(元/吨)时，获最大净收入．
高中数学《第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例》129PPT课件 一等奖名师
2
512 x2
令：S'(x) 2 512 0 解 得 ：x 16，x 16（舍） x2
于是宽为：128 128 8 x 16
当x0,16时，s' x 0；
当x16,时，s' x 0.
你还有其他解法 吗？例如用基本 不等式行吗？
因此，x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值 点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使 四周空白面积最小.
150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商
为节约纸张，应选用怎样尺寸的页面？
【解题指南】设所印文字区域的左右长为x cm，确定纸张的长
与宽，表示出面积，利用导数，确定函数的单调性，即可求得 结论．
【解析】设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为
150 cm，所以纸张的左右长为(x+2)cm，上下长为( 150 +
建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通 过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问 题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的 性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个 过程中，导数是一个有力的工具.
卓越的人一大优点是：在不利与艰难的
遭遇里百折不挠.
——贝多
芬
设函数y=f(x) 在 某个区间内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数
二、如何求函数的极值与最值？
（1）确定定义域
求函数极值的
（2）求导数f′(x)
一般步骤
（3）求f′(x)=0的根
（4）列表
（5）判断
求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b）比较,从而确定函数的最 值
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。