概率论练习题第二章补充题3
概率论第二章习题答案
概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。
求X的分布律。
解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。
因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。
求Y的概率密度函数。
解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。
解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。
解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
求X的分布律和期望值。
解答：X服从参数为n和p的二项分布。
其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。
概率论第二章习题及答案
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 0 1 p q ， PX 1 p
或
P{ X k } p q
X P
k 1 k
(k 0 , 1)
1 p
0 1-p
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布． 记作 X ~ B1 ， p . 其中0 p 1 为参数
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验，S是其样本空间．若对每一个
S , 都有唯一确定的一个实 数X 与之对应 , 则称
X 为一个随机变量.
S
X
R
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1 ， x2 ， ， xk ， 并设
如果连续型随机变量X 的密度函数为 （I）
1 2 2 x f x e 2 其中 ， 0 为参数， 则称随机变量X 服从参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
x 2
X ~ N ，
2
0
第二章 随机变量及其分布
4）几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k q k 1 p
k 1， 2，
其中 p 0，q 0，p q 1
则称随机变量 X 服从参数为 p的几何分布．
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第二章 随机变量及其分布
5）超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
x
f ( t )dt,
bipt概率论第二章试题含答案
1. 2.3125 ； 0.54 ．
2. 0.007125 .
0, x 0,
3.
F
(
x)
=
1 13
, ,
0 x 1, 1 x 2,
2
1, x 2.
4.
X
~
−1 0.4
1 0.4
3 0.2
5. (1) 0 ,1
(2)
X
~
1 1
3 2
3 3
6. (1) 2 . (2) 0.75 ．
7. (1) 0.5 . (2) 0.316 . (3)
0 x 4, ，求Y = 2X + 8的概率密度函数．
0, 其它.
16．设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
=
1 4
,
0 x 4, ，求Y = 4 − 3X 的概率密度函数.
0, 其它.
17 . 设随机变量 X
的概率密度为
f
(x)
=
e−x ,
x 0, ，求Y = X 2 的概率密度.
,
1 x 2, 则 A＝
B, x 2.
，B＝
0, x 1,
4.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)
=
1 2
,
1 x 2, ，则 P{−1 X 2} =
1, x 2.
0,
5.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)
=
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, 则 P(0 X 1) =
2
1,
x 1.5.
求（1） P(0.4 X 1.3) ；（2） P(X 0.5) ；（3） P(1.7 X 2) ．
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计课程第二章练习题及解答
概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 也一定是连续函数 （×）2、随机变量X 是定义在样本空间S 上的实值单值函数 （√）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （√）4、离散型随机变量X 的分布律就是X 的取值和X 取值的概率 （√）5、随机变量X 的分布函数()F x 表示随机变量X 取值不超过x 的累积概率（√）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （×）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （×）8、若()()()()P ABC P A P B P C =成立，则,,A B C 相互独立 （×）9、若,,A B C 相互独立，则必有()()()()P ABC P A P B P C = （√） 二、单选题1、设123,,X X X 是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),X N X N X N{22)(1,2,3)i i P P X i =-≤≤=，则（ A ）A ．123P P P >> B. 213P P P >> C. 321P P P >> D. 132P P P >>2、设随机变量~(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则随机变量min{,0}Y X =的分布函数()F y 为（ D ）A 、1,()(),0y F y y y >⎧=⎨Φ≤⎩ B 、1,()(),0y F y y y ≥⎧=⎨Φ<⎩C 、0,()(),y F y y y ≤⎧=⎨Φ>⎩ D 、0,()(),y F y y y <⎧=⎨Φ≥⎩ 3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）A 、0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰B 、01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰C 、()()F a F a -=D 、()2()1F a F a -=-分析 ()()()()a a aF a x dx x tt dt x dx ϕϕϕ-+∞-∞+∞-==--=⎰⎰⎰令1()()()()()2()aa a aax dx x dx x dx x dx x dxFa a x dxϕϕϕϕϕϕ+∞-+∞-∞-∞-==+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（-）+21()()2a F a x dx ϕ-=-⎰，选B4、设1F x （）与2F x （）分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12F x aF x bF x（）=（）-（）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A 、3255a b ==-，B 、2233a b ==，C 、1322a b =-=，D 、1322a b ==-，分析 根据分布函数的性质lim 1x F x →+∞=（），即121lim x F x F aF bF a b →+∞=∞∞∞（）=（+）=（+）-（+）=-在给的四个选项中只有A 满足1a b =-，选A5、设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1f x （）和2f x （），分布函数分别为1F x（）和2F x （），则（ D ） A 、12f x f x （）+（）必为某一随机变量的概率密度 B 、12f x f x （）（）必为某一随机变量的概率密度C 、12F x F x（）+（）必为某一随机变量的分布密度 D 、12F x F x（）（）必为某一随机变量的分布密度 分析 首先可否定选项A 与C ，因为1212[]21f x f xdx f xdx f xdx +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=≠⎰⎰⎰（）+（）（）（）12F F ∞∞≠（+）+（+）=1+1=21对于选项B ，若112x f x -⎧⎨⎩，〈〈-1（）=0，其它，210x f x ⎧⎨⎩，〈〈1（）=0，其它，则对任何 1212(,),0,01x f x f x f xf x dx +∞-∞∈-∞+∞≡=≠⎰（）（）（）（），也应否定C 。
概率论与数理统计第二章补充题及答案
《概率论与数理统计》第二单元补充题一、 填空题：1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是12），）2、随机变量X 的分布律为5110321210PX ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________3、设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k，则随机变量X Y 2sin π=的分布律为4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= .5、设随机变量X 的概率密度函数为，则P (0<X <3π/4)= .6、随机变量)31,10(~b X ，则{}0P X ==，{}1P X ≥=7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5a P X k k ===，（， 则a =，(2.5)F =8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1133P X <<=，则b =9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{}1P X ==，{}1P X ≤=二、选择题：1、下列命题正确的是 。
（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________（ A ） 32,55a b ==- （ B ） 22,33a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13,22a b =-=-三、计算题1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.2、已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Axx x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ).4、设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}.5、已知离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,32}{===n n X P n ，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数.6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2xX f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = ,b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
2100xx≥100 ∴ϕ(x)=0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
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第二章补充题三
1．随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为
+∞<<∞-=-x e x x 21
)(ϕ
（1） 求ξ的分布函数；（2）求随机变量2ξη=的分布。
（3）求随机变量2ξη=的
数学期望及方差。
2. 随机变量ξ的密度函数为
⎩⎨⎧<<=其他
，010,2)(x x x f 对ξ进行n 次独立重复观测，以η表示观测值不大于1.0的次数，试求η的概率分布。
3. 某商店每月销售某种商品的数量X 服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时要
库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。
4. 设每次试验中事件A 发生的概率为0.6，请用切比雪夫不等式估计，在1000次独
立试验中，事件A 发生的次数在500—700次之间的概率。
5. 今有一停船码头,它最多只能停靠10条船,多来的船将不得不在码头外等待, 设有
160条船,每条船要在此码头停靠的概率均为0.05, 且它们是否停靠是彼此独立的。
(1)求有船在此码头外等待的概率;
(2)若要以0.99的概率保证码头外无船等待,问应扩建码头, 使码头最少能停靠几条
船;
(3)求要求停靠的平均船数。
6. 设有同类型仪器300台，各仪器的工作相互独立，且发生故障的概率均为0.01，
通常一台仪器的故障可以由一个人来排除。
（1）现有6名工人负责管理这些仪器，求仪器发生故障时因工人不够而不能及时排
出的概率。
（2）问至少配备多少维修工人，才能保证当仪器发生故障但不能及时排除的概率小
于0.01。
（3）求同时发生故障的仪器的平均台数。
7.假定国际市场上，每年对我国某种商品的需求量是随机变量 X （单位：吨），已知
X 服从 [ 2000，4000 ] 上的均匀分布，设每出售这种商品1吨，国家可挣外汇3万
元，但假设销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货
源，才能使国家的平均收益最大？
（ 3500吨 ）
（以下为考研试题）
1. 设随机变量X 的密度函数为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=00639
21
031)(其他
，，，x x x f
若k 使得3
2)(=≥k X P ，则k 的取值范围是（ ）。
解 由3
2)(=≥k X P 得 3
1)(=<k X P 而 31)(=<k X P ⎰∞
-=k dx x f )( 而当31≤≤k 时，
)(k X P <⎰∞-=k dx x f )(=3
1 2. 设随机变量X 在区间]21[，-上服从均匀分布；随机变量
⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=，，，，，，010001X X X Y
则方差=DY （ ）。
解 随机变量X 有分布密度函数
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他
，，02131)(x x f
于是
)1(=Y P =)0(>X P =⎰2
031dx =32 )0(=Y P =)0(=X P =0
)1(-=Y P =)0(<X P =⎰-0
131dx =31
3=EY ， 12=EY 所以 =DY 9
8)(22=-EY EY 3. 假设测量误差)10,0(~2N X ，试求100次独立重复测量中，至少有三次测量误
差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。
解 05.0)10
6.1910()6.19(=>=>X P X P 设Y 是100次独立测量中事件{}6.19>X 出现的次数，则)05.0,100(~b Y ，而且Y 近似服从参数5==np λ的泊松分布。
)3(1)3(<-=≥Y P Y P =2989910005.095.02
9910005.095.010095.01⨯⨯⨯-⨯⨯-- 87.05.18007.01)2
1(1≈⨯-=++-≈-λ
λλe 4. 设随机变量一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望和方差。
解 设i A =“第i 台设备要调整”，);3,2,1(=i
考虑随机变量
⎩
⎨⎧=不发生发生，i i i A A X ,01 );3,2,1(=i 则 )(i i A P EX =，
)](1)[(i i i A P A P DX -=
321X X X X ++=
由于321X X X ，，独立，有
)()()(321321A P A P A P EX EX EX EX ++=++=
=0.1+0.2+0.3=0.6
7.03.08.02.09.01.0321⨯+⨯+⨯=++=DX DX DX DX
=0.46
5. 某地抽样调查结果表明，考生外语成绩（百分制）服从正态分布，品均成绩为72分，96分以上的占考生人数的2.3%，试求考生外语成绩在60分至84分之间的概率。
解 设X 是考生外语成绩，则),(~2σμN X ，由题意72=μ，下面求2σ
023.0)96(=≥X P
所以 023.0)729672
(=-≥-σσ
X P 023.0)24(1=Φ-σ，
977.0)24
(=Φσ
查标准正态分布表，得
224=σ，12=σ.
因此 )12,72(~2N X )12
72841272127260()8460(-≤-≤-=≤≤X P X P =1)1(2)1()1(-Φ=-Φ-Φ
=0.682
6. 假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数)(t N 服从参数为t λ的泊
松分布。
（1） 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布。
（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q 。
解 （1） 当0<t 时，)(t F T =)(t T P ≤=0
当0≥t 时，
)(t T P ≤=)(1t T P >-=)0)((1=-t N P
=()t e t λλ--！
010
=t e λ--1 因此，T 有分布函数
⎩⎨⎧<≥-=-0
00,1)(t t e t F t ，λ，
所以 T 服从参数为λ的指数分布。
（2）Q =)816(≥≥T T P =λλλ
8816)8()16(---==≥≥e e
e T P T P。