人教A版高中数学选修2-2第一章《导数的综合应用》专题训练(全解析)
导数的综合应用专题训练一．选择题：共10小题.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数x x x f ln 2)(2-=的单调递减区间是A ．）1,0(B ．),1[+∞C ．]1,(--∞和)1,0(D ．)0,1[-和]1,0(2. 函数xe xf =)(的图象在点1-=x 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为A ．e21B ． e 1C ． e 2D ． e 43. 若a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，则ab 的值为A ．23-或21-B ． 23-或21C ． 23- D ． 214. 已知)2sin(41)(2x x x f ++=π， )(x f '为)(x f 的导函数，则)(x f '的图象是A ．B ．C ．D ．5. 已知函数742)(23---=x x x x f ，其导函数为)(x f '．①)(x f 的单调减区间是)2,32(； ②)(x f 的极小值是15-；③函数)(x f 有且只有一个零点．其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 若存在两个正实数x 、y ，使得等式033=-ay e x xy 成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为A ． ),27[3+∞eB ． ]27,0(3e C ． ),8[2+∞e D ．]8,0(2e7. 已知函数x b x x x f 2)(ln )(-+=（R b ∈）．若存在]2,21[∈x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是A ．)23,(-∞ B ．)3,(-∞ C ．)49,(-∞ D ．)2,(-∞ 8. 下列不等式对任意的),0(+∞∈x 恒成立的是A ．02≥-x x B ． 1sin +->x x C ．ex e x≥ D ．x x >ln 9. 设函数)(x f y ''=是)(x f y '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数d cx bx ax x f +++=23)()0(≠a 都有对称中心))(,(00x f x ，其中0x 满足0)(0=''x f ．已知函数12532131)(23-+-=x x x x f ，则)20172016()20172()20171(f f f +++Λ等于 A ． 2013 B ．2014 C ． 2015 D ．201610. 函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意R x ∈，1)()(>'+x f x f ，则不等式1)(+>⋅x x e x f e 的解集为A ．}0{>x xB ．}0{<x xC ．}11{>-<x x x 或D ．}101{<<-<x x x 或 二．填空题：本大题共3小题.11. 已知函数bx ax x x f 33)(23++=在2=x 处有极值，其图像在1=x 处的切线平行于直线0526=++y x ，则)(x f 的极大值与极小值之差为_______．12. 当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 13. 设函数bx ax x x f --=221ln )(，若1=x 是)(x f 的极大值点，则a 的取值范围为 .三．解答题：本大题共4小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.已知函数x a x x f ln )(2+=．（Ⅰ）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数xx f x g 2)()(+=在]2,1[上是减函数，求实数a 的取值范围．15．已知函数)1(ln )1()(2+-+-=x x a x x f ,（其中R a ∈，且a 为常数）． （Ⅰ）当4=a 时，求函数)(x f y =的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的),1(+∞∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若方程01)(=++a x f 在)2,1(∈x 上有且只有一个实根，求a 的取值范围.16．已知函数11ln )(+-+=bx xx a x f . （Ⅰ）若42=-b a ，则当2>a 时，讨论)(x f 单调性； （Ⅱ）若1-=b ，xx f x F 5)()(-=且当4-≥a 时，不等式2)(≥x F 在区间]4,1[上有解，求实数a 的取值范围.17．已知函数x x x ax x f ln )(2-+= )(R a ∈．（Ⅰ）若函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点1x ，2x 且21x x ≠，证明221e x x >.导数的综合应用专题训练参考答案11．4 12．]2,6[-- 13．),1(+∞-1．A 【解析】∵x x x f ln 2)(2-=，∴xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='， 令0)(<'x f ，得：10<<x ，∴函数的单调减区间是）1,0(．2．C 【解析】因为xe xf =')( ，所以函数在1-=x 处的切线斜率为ee k 11==-， 当1-=x 时，e ef 1)1(1==- ，所以切点的坐标为)1,1(e -， 所以切线方程为ex e e x e y 211)1(1+=++=，切线与x 轴交点为)0,2(-，与y 轴交点为)2,0(e，所以围成的三角形面积为ee S 22221=⨯⨯=.3．C 【解析】∵a a bx ax x x f 7)(223--++=，∴b ax x x f ++='23)(2，又a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，∴⎩⎨⎧=='10)1(0)1(f f ，即⎩⎨⎧=--++=++10710232a ab a b a ，解得：⎩⎨⎧=-=12b a 或⎩⎨⎧=-=96b a ， ① 当⎩⎨⎧=-=12b a 时，)1)(13(143)(2--=+-='x x x x x f ，当131<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ， ∴)(x f 在1=x 处取得极小值，与题意不符；② 当⎩⎨⎧=-=96b a 时，)3)(1(39123)(2--=+-='x x x x x f ，当1<x 时，0)(>'x f ；当31<<x 时，0)(<'x f ， ∴)(x f 在1=x 处取得极大值，此时23-=a b . 4．A 【解析】因为x x x x x f cos 41)2sin(41)(22+=++=π， ∴x x x f sin 21)(-='，它是一个奇函数， 其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又x x f cos 21)(-=''，当33ππ<<-x 时，21cos >x ，∴0cos 21)(<-=''x x f ，故函数)(x f y '=在区间)3,3(ππ-上单调递减，故排除C .5．B 【解析】因为742)(23---=x x x x f ，所以443)(2--='x x x f ，令0443)(2=--='x x x f ，得32-=x ，2=x ， 当0)(>'x f 时，得32-<x 或2>x 时，函数单调递增， 当0)(<'x f 时，即232<<-x 时，函数单调递减； 故当2=x 时，函数有极小值，极小值为15)2(-=f ， 当32-=x 时，函数有极大值，极大值为0)32(<-f ，故函数只有一个零点， 则①错误，②③正确.6．A 【解析】由题意知3)(x y e a xy=，设x yt = )0(>t ，则3t e a t =，令3)(t e t f t =，4)3()(t t e t f t -='，当3>t 时，0)(>'t f ，当30<<t 时，0)(<'t f ，所以27)3()(3mine f t f ==，所以273e a ≥.7．C 【解析】因为0)()(>'+x f x x f ，即0])([>'x xf ，设)()(x xf x g =，所以0)(>'x g ，所以存在]2,21[∈x 满足函数)()(x xf x g =单调递增，因为222ln )()(b bx x x x xf x g +-+==，所以0221)(>-+='b x xx g ， 即x x b 212+<，即存在]2,21[∈x ，满足x x b 212+<，max )21(2x x b +<，设x x x h 21)(+=，21)(2+-='xx h ，所以当2=x 时)(x h 取得最大值且29)(max =x h ，即292<b ，49<b ．8．C 【解析】对选项A ，当2=x 时，不成立，故A 不正确．对选项B ，当π=x 时，0sin =π，01<+-π，所以1sin +->x x 不成立，故B 不正确．对于C ，令ex e x f x-=)(，则e e x f x-=')(，则当10<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，所以0)1()(min ==f x f ，故0)(≥-=ex e x f x ，即ex e x ≥．故C 正确．对于D ，当1=x 时，01ln =，所以x x >ln 不成立，故D 不正确． 综上可得选C .9．D 【解析】3)(2+-='x x x f ，12)(-=''x x f ，令012)(=-=''x x f ，解得21=x ， 且1125213)21(21)21(31)21(23=-⨯+⨯-⨯=f ，所以函数)(x f 的对称中心为)1,21(M ，设Q P ，是函数)(x f 的图象上关于)1,21(M 中心对称的两点，则2)1()(=-+x f x f ，所以)20172016()20172()20171(f f f +++Λ=))20171()20172016(())20172015()20172(())20172016()20171([(21f f f f f f ++++++Λ =2016)20162(21=⨯⨯． 10．A 【解析】令)1)(()(-=x f e x g x,则0))(1)(()(>'+-='x f x f e x g x,所以函数)(x g 在R 上单调递增，而1)(+>⋅x x e x f e 等价于)0()(g x g >，因此0>x .11．4【解析】因为b ax x x f 363)(2++='，又)(x f 在2=x 处有极值，所以0)2(='f ，由图像在1=x 处的切线平行于直线0526=++y x 知3)1(-='f ，联立方程⎩⎨⎧-=++='=++='3363)1(031212)2(b a f b a f ，解得：1-=a ，0=b ，则)2(363)(2-=-='x x x x x f ，)(x f 极大值为0)0(=f ，极小值为4)2(-=f ， 即)(x f 的极大值与极小值之差为4．12．]2,6[--【解析】(Ⅰ)显然0=x 时，对任意实数a ，已知不等式恒成立；令xt 1=， (Ⅱ)若10≤<x ，则原不等式等价于t t t x xx a +--=+--≥232343143,),1[+∞∈t ， 令t t t t g +--=2343)(，则)1)(19(189)(2+--=+--='t t t t t g ，由于),1[+∞∈t ， 故0)(≤'t g ，即函数)(t g 在),1[+∞上单调递减，最大值为6)1(-=g ，故只要6-≥a ； (Ⅲ)若02<≤-x ，则t t t x xx a +--=+--≤232343143,]21,(--∞∈t ， 令t t t t g +--=2343)(，则)1)(19(189)(2+--=+--='t t t t t g ，在区间]21,(--∞上的极值点为1-=t ，且为极小值点，故函数)(t g 在]21,(--∞上有唯一的极小值点，也是最小值点，故只要2)1(-=-≤g a ． 综上可知：若在]1,2[-上已知不等式恒成立，]2,6[--∈a . 13．),1(+∞-【解析】)(x f 的定义域为),0(+∞，b ax xx f --='1)(， 依题意可得01)1(=--='b a f ，解得a b -=1，∴xx a ax a ax x x f 1)1(11)(2+-+-=-+-='，(Ⅰ)若0≥a ，当10<<x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当1>x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以1=x 是)(x f 的极大值点．(Ⅱ)若0<a ，由0)(='x f ，得1=x 或ax 1-=， 因为1=x 是)(x f 的极大值点，所以11>-a，解得01<<-a . 综合(Ⅰ)(Ⅱ)得a 的取值范围是),1(+∞-. 14．【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 当2-=a ，x x x f ln 2)(2-=，xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='， 当10<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减， 当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增， 所以)(x f 的递减区间是)1,0(,递增区间是),1(+∞,1)1()(==f x f 极小值，无极大值；（Ⅱ）由x x a x x g 2ln )(2++=，得222)(xx a x x g -+='， 又函数xx a x x g 2ln )(2++=为]2,1[上的单调减函数， 则0)(≤'x g 在]2,1[上恒成立，即不等式0222≤-+xx a x 在]2,1[上恒成立，即x x a 222+-≤在]2,1[上恒成立，令x x x h 22)(2+-=，则02-4)(2<-='x x x h ，所以xx x h 22)(2+-=在]2,1[为减函数，所以7)2()(min -==h x h ,7-≤a ．15．【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞由x a x x x a x x f )2)(1()11()1(2)(--=-+-='知, 当4=a 时，xx x x f )2)(1(2)(--=',所以函数)(x f 在)1,0(上单调递增，在)2,1(上单调递减，在),2(+∞上单调递增；（Ⅱ）由xa x x x a x x f )2)(1()11()1(2)(--=-+-='得， 当2≤a 时,因为0)(>'x f 对于),1(+∞∈x 恒成立,所以)(x f 在),1(+∞上单调递增， 所以0)1()(=>f x f ,此时命题成立；当2>a 时,因为)(x f 在)2,1(a 上单调递减,在),2(+∞a 上单调递增, 所以当)2,1(a x ∈时,有0)1()(=<f x f ，这与题设矛盾,不符. 故a 的取值范围是]2,(-∞；（Ⅲ）依题意,设1)()(++=a x f x g ,原题即为若)(x g 在)2,1(上有且只有一个零点,求a 的取值范围.显然函数)(x g 与)(x f 的单调性是一致的. 当0≤a 时,因为函数)(x g 在)2,1(上递增,由题意可知⎩⎨⎧>++=<+=01)2()2(01)1(a f g a g ，解得12ln 2-<<-a ； 当0>a 时,因为1)2(ln )1()(2+-++-=a x x a x x g , 当)2,1(∈x 时,总有0)(>x g ,此时方程没有实根。
2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案)
第一章综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.2．(2013·华池一中高二期中)曲线y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x －4[答案] B[解析] ∵y ′＝1x 2，∴y ′|x ＝12＝4，∴k ＝4，∴切线方程为y ＋2＝4(x －12)，即y ＝4x －4.3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝1x在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)，∪(3，＋∞) B．(－3，3)C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3][答案] D[解析] f′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－3≤a≤3，故选D.5．(2013·武汉实验中学高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] A[解析] f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点[答案] D[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x)＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >2时f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.10．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，(x >0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴F (a )>f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符； 由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f xx≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴f (a )>f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2013·华池一中高二期中)已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－2>0，f 1<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－2<0，f 1>0，6 5<a<－316，综上知，－65<a<－316.∴－15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－2，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)(2014·北京海淀期中)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．[解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2a ＋1x ＋2a x＝2x －1x －ax(x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2x －12x≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.21．(本题满分12分)(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1，a 为常数．(1)若a ＝92，求函数f (x )在[1，e ]上的值域；(e 为自然对数的底数，e ≈2.72)(2)若函数g(x)＝f(x)＋x在[1,2]上为单调减函数，求实数a的取值范围．[解析] (1)由题意f ′(x )＝1x－a x ＋12，当a ＝92时，f ′(x )＝1x －92x ＋12＝x －22x －12x x ＋12. ∵x ∈[1，e ]，∴f (x )在[1,2)上为减函数，[2，e ]上为增函数， 又f (2)＝ln2＋32，f (1)＝94，f (e )＝1＋92e ＋2，比较可得f (1)>f (e )，∴f (x )的值域为[ln2＋32，94]．(2)由题意得g ′(x )＝1x－a x ＋12＋1≤0在x ∈[1,2]上恒成立，∴a ≥x ＋12x＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x＋3恒成立，设h (x )＝x 2＋3x ＋1x＋3(1≤x ≤2)，∴当1≤x ≤2时，h ′(x )＝2x ＋3－1x2>0恒成立，∴h (x )max ＝h (2)＝272，∴a ≥272，即实数a 的取值范围是[272，＋∞)．22．(本题满分14分)(2014·北京海淀期中)如图，已知点A (11,0)，直线x ＝t (－1<t <11)与函数y ＝x ＋1的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记△APH 的面积为f (t )．(1)求函数f (t )的解析式； (2)求函数f (t )的最大值．[解析] (1)由已知AH ＝11－t ，PH ＝t ＋1，所以△APH 的面积为f (t )＝12(11－t )t ＋1，(－1<t <11)．(2)解法1：f ′(t )＝33－t 4t ＋1，由f ′(t )＝0得t ＝3，函数f (t )与f ′(t )在定义域上的情况如下表：t (－1,3) 3 (3,11)所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值8. 解法2.由f (t )＝12(11－t )t ＋1＝1211－t2t ＋1，－1<t <11，设g (t )＝(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，则g ′(t )＝－2(11－t )(t ＋1)＋(11－t )2＝(t －11)(t －11＋2t ＋2)＝3(t －3)(t －11)．g (t )与g ′(t )在定义域上的情况见下表：t (－1,3) 3 (3,11) g ′(t ) ＋ 0 － g (t )单调递增极大值单调递减所以当t ＝3所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值12g3＝8.一、选择题1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1， 将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5.3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．(2013·吉林白山一中高二期末)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)，∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12JD ．0.28J[解析] 设F(x)＝kx，当F(x)＝1时，x＝0.01m，则k＝100，∴W＝∫0.060100x d x＝5010．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′0>0，f ′1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>loga3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.二、填空题13．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.[答案] 5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是__________________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n(1－x )，∴y ′＝(x n)′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )－x n.f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n. ∴切线方程为y ＋2n＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为22n－12－1＝2n ＋1－2.16．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，fx ＋3>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f x ＋3<0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，x (－∞，－b )－b (－b ，b )b(b ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值减极小值增依题意有⎩⎨⎧f －b >0，fb <0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．在曲线y ＝x 3(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴围成图形的面积为112，试求过切点A 的切线方程． [解析] 设切点A (x 0，x 30)，切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.∴切线的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝2x 03.依题意S ＝∫x 00x 3d x －12×(x 0－2x 03)·x 3＝14x 40－16x 40＝112x 40＝112， ∵x 0≥0，∴x 0＝1.∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.19．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′23＝3×232＋2a ×23＋b ＝0，f ′1＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： x －4 (－4，－2)－2 (－2，23)23 (23，1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值 单调递减极小值 单调递增函数值－111395274∵f (3)＝27，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b的值；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．[解析] (1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意f′(0)＝b＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，1)1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，13)13 (13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.21．(2013·武汉实验中学高二期末)已知曲线f (x )＝ax 2＋2在x ＝1处的切线与直线2x －y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)求由曲线y ＝f (x )与y ＝3x 、x ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的平面图形的面积． [解析] (1)由已知得：f ′(1)＝2，求得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2.(2)由题意知阴影部分的面积是：S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝(13x 3＋2x －32x 2)|10＋(32x 2－13x 3－2x )|21＝1. 22．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．文档可能无法思考全面，请浏览后下载!19 / 31 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)． (3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a， 即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。
高中数学人教A版选修2-2_第一章_导数及其应用_133_函数的最大(小)值与导数(有答案)
高中数学人教A版选修2-2 第一章导数及其应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、单选题1. 已知g(x)为三次函数f(x)＝x3+ax2+cx的导函数，则函数g(x)与f(x)的图象可能是()A. B.C. D.2. 已知a≤+ln x对任意x∈[，2]恒成立，则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3二、填空题函数在的最大值为________．已知函数f(x)＝−x3+ax2−4在x＝2处取得极值，若m，n∈[−1, 1]，则f(m)+ f′(n)的最小值是________．三、解答题已知函数y＝f(x)＝。
（1）求y＝f(x)的最大值；（2）设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a, 2a]上的最小值。
参考答案与试题解析高中数学人教A版选修2-2 第一章导数及其应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、单选题1.【答案】D【考点】函数的图象【解析】因为g(x)=f(x)=ax2+2ax+c，所以函数lg(x)的图象的对称轴为x=−1，故可排除B，C；由A中，g(x)的图象知c=0，所以f(x)=a3x3+ax2=x2(a3x+a)），因此三次函数f(x)=a3x3+ax2+cx只有两个零点，而A中f(x)的图象与x轴有三个交点，故排除A．应选D．【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】设，则f(x)=x−1x2令f′(x)=1−xx+ln x当x∈[12,1)时，f(x)<0，故函数f(x)在[121)上单调递减；当w∈(1,28寸，f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上单调递增，f(x)min=f(1)=0,∴ a≤0，即a的最大值为0.【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】1+1n3【考点】基本不等式不等式的基本性质对数函数的单调性与特殊点【解析】F1F1由f(x)=−，当xe|云，3|时，f(x)>0，所以函数f(x)=Inx+1在}2.3)单调递增，故f(x)________=f(3)=1+In3.x′【解答】此题暂无解答【答案】∼13【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求导得|f(x)=−3x2+2ax由函数加()在x=2处取得极值知f(2)=0,且p−3×4+2a×2=0,a=3由此可得加xx)=−x3+3x2−4f′()=−3x2+6x易知f(x)在[−4,0)上单调递减, 在(0,1]上单调递增，…当m∈[−1,1]时，f(m)min=f(0)=−4又f(x)=−3x2+6x的图像开口向下，且对称轴为x=…当n∈[−1,1]时，f(m)min=f(−1)=−9故f(m)+f(r)的最小值为−13.（■（视频D【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】（1）一；（2）见解析．【考点】函数的最值及其几何意义利用导数研究函数的最值二次函数的性质【解析】（1）令f′(x)=0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；（2）根据（1）可知F(x)的单调性，得到F(x)在[，2aJ上的最小值为F(a)和F(2a)之中的较小者，作差讨论即可得到结果【解答】（1）f′(x)=1−ln xx2令f′(x)=0得x=e因为当|∈((0,e)时，f′(x)>0f(x)在(0,e)上为增函数；当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0f(x)在(e,+∞)上为减函数，所以f(x)max=f(e)=1e（2）因为a>0，由（1）知，F(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以F(x)在[a,2a]上的最小值3F(x)min=min f(a),F(2a)}因为F(a)−F(2a)=ln a−ln2a2=12ln a2−ln2a2=12ln a2所以当0<a≤2时，F(a)−F(2a)≤0,F(x)min=F(σ)=ln a 当a>2时，F(a)−F(2a)>0F(x)min=F(2a)=12ln2a。
高二数学 人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.2.1 Word版含答案
选修2-2 第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．双曲线y ＝1x 在点(2，12)的切线方程是( ) A.14x ＋y ＝0 B.14x －y ＝0 C.14x ＋y ＋1＝0 D ．14x ＋y －1＝0 [答案] D[解析] ∵y ＝1x 的导数为y ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率k ＝－14， ∴切线方程是y －12＝－14(x －2)， 化简得，14x ＋y －1＝0，故选D. 2．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( )A ．0B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′(2)＝3×22＝12，故选D.3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 [答案] C[解析] v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ，∴v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.5．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C.π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] D[解析] 由导数的定义知lim x →0 f (1)－f (1－x )2x＝12lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝12lim －x →0 f (1－x )－f (1)－x＝12f ′(1)＝－1. 二、填空题7．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________(填序号).[答案] ③[解析] 由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________.[答案] (2,8)或(－2，－8)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________.[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0得，y ＝a 2，令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 三、解答题10．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程.[解析] 因为y ＝3x 2，所以y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x －13.所以f ′(8)＝23×8－13＝13，即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)，即3x ＋y －20＝0.一、选择题1．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( ) A.33 B ．333C. 3 D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 2．曲线y ＝3x 上的点P (0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在 [答案] B[解析] ∵y ＝3x ，∴Δy ＝3x ＋Δx －3x＝x ＋Δx －x(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2＝Δx(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2，∴Δy Δx ＝1(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2， ∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝13x 23. ∴曲线在点P (0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x ＝0.二、填空题3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.[答案] 1[解析] 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f (1)＝a ＋2，f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝3a ＋1，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a ＋2)＝(3a ＋1)×(2－1)，解之得a ＝1.4．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________.[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题5．已知曲线C ：y ＝1t －x经过点P (2，－1)，求 (1)曲线在点P 处的切线的斜率．(2)曲线在点P 处的切线的方程．(3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程．[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x. ∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x . 6．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积.[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴k 1＝－1x2|x ＝1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2， ∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如图所示．∵两直线与x 轴交点分别为(2,0)，(12，0)． ∴S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.7知识点总结含同步练习及答案
若 n ∈ N，n ⩾ 2 ，求证： 1 + 1 + ⋯ + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ⋯ +
3 n 2 3 证明：构造函数 y = 1 ，因为 (ln x) ′ = 1 ，作 y = 1 的图象， x x x 2
由图知，在区间 [n − 1, n](n ≥ 2) 上曲边梯形的面积大小在以区间长度 1 为一边长，以左右端点对应的函数值为 另一边长的两个矩形面积之间，即
由累加法可得 1 + 1 + ⋯ + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ⋯ +
2 3 n 2 3
1 成立． n−1
四、课后作业
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1. 如图中阴影部分的面积是 (
)．
A．2√3
答案： C
B．9 − 2√3
C．
32 3
D．
35 3
n 1 1 1 <∫ dx < ， n n−1 n−1 x
而
∫
n n−1
1 dx = ln x| n n−1 = ln n − ln(n − 1)， x
故不等式
1 1 < ln n − ln(n − 1) < n n−1
成立，从而当 n ⩾ 2 时，
1 < ln 2 − ln 1 < 1, 2 1 1 < ln 3 − ln 2 < , 3 2 ⋯ 1 1 < ln n − ln(n − 1) < , n n−1
1 1 x, g (x) = cos x ；② f (x) = x + 1, g (x) = x − 1 ；③ 2 2 f (x) = x, g (x) = x2 ．其中为区间 [−1, 1] 的正交函数的组数是 ( )
高中数学人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.1.2 Word版含答案
选修第一章一、选择题．如果质点按照规律＝运动，则在＝时的瞬时速度为( )．．．．[答案][解析]∵()＝，＝，∴Δ＝(＋Δ)－()＝(＋Δ)－·＝Δ＋(Δ)∴＝＋Δ.∴＝(＋Δ)＝，故应选.．设函数()＝＋，若′()＝，则等于( )．．－．．－[答案][解析]∵′()＝＝＝，∴′()＝＝.．(·郑州高二检测)若可导函数()的图象过原点，且满足＝－，则′ ()＝( ) ．－．－．．[答案][解析]∵()图象过原点，∴()＝，∴′()＝＝＝－，∴选.．质点的运动规律为＝＋，则质点在＝时的速度为( )．＋．．＋．＋[答案][解析]Δ＝(＋Δ)－()＝(Δ)＋Δ＋Δ，＝Δ＋＋，＝(Δ＋＋)＝＋.．已知()＝，且′()＝－，则的值等于( )．－．．－．±[答案][解析]′()＝＝－，于是有－＝－，＝，解得＝±.．某物体做直线运动，其运动规律是＝＋(的单位是秒，的单位是米)，则它在秒末的瞬时速度为( )米秒．米秒．米秒．米秒[答案][解析]∵＝＝＝Δ＋－.∴＝－＝.二、填空题．函数＝＋在＝处的导数是[答案][解析]∵Δ＝－＝Δ－＋＝，∴＝.∴′＝＝＝.．已知＝，则′＝＝[答案][解析]由题意知Δ＝－＝－，∴＝.∴′＝＝＝＝.．某物体做匀速运动，其运动方程是＝＋，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是[答案]相等[解析]＝＝＝＝＝.三、解答题．设()在上可导，求(－)在＝处与()在＝－处的导数之间的关系[解析]设(－)＝()，则(－)在处的导数为′()，于是′()＝＝。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.5知识点总结含同步练习及答案
A．②③④
答案： C
3. 求由抛物线 y = 2x 2 与直线 x = 0，x = t (t > 0)，y = 0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间 [0, t] 等分成 n 个 小区间，则第 i − 1 个区间为 (
) i i+1 , ] n n t (i − 2) t (i − 1) D．[ , ] n n
a c
b d
c b
f (x) dx + ∫
d c
f (x) dx
答案： D
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1 0
n n i i 1 1 n 1 n(n + 1) n+1 xdx ≈ S n = ∑ f ( ) Δx = ∑ ⋅ = = ． ∑i = 2 ⋅ 2 n n n 2 2n n i=1 n i=1 i=1
③取极限：
∫
利用定积分的几何意义求：
1 0
xdx = lim S n = lim
n→∞
n→∞
y = 0 和曲线 y = f (x) 所围成的曲边梯形（如下图）的面积．这就是定积分 ∫ ab f (x)dx 的几何意义．
由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： （1）∫ ab kf (x)dx = k ∫ ab f (x)dx（k 为常数）； （2）∫ ab [f 1 (x) ± f 2 (x)]dx = ∫ ab f 1 (x)dx ± ∫ ab f 2 (x)dx； 微积分基本定理 一般地，如果 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数，并且 F ′ (x) = f (x)，那么
Δx i =
于是
1 i−1 i i−1 ，在 [xi−1 , xi ] = [1 + （i = 1 ，2 ，3 ，⋯，n）， , 1 + ] 上取 ξi = xi−1 = 1 + n n n n f (ξi ) = f (xi−1 ) = 1 + 1 + i−1 i−1 =2+ ， n n
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.1.3 含解析
1.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1已知函数y=f (x )的图象如图所示,则f'(x A )与f'(x B )的大小关系是( )A.f'(x A )>f'(x B )B.f'(x A )<f'(x B )C.f'(x A )=f'(x B )D.不能确定解析由题图知f (x )在点A ,B 处的切线斜率k A ,k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义,得f'(x A )<f'(x B ).答案B2已知曲线y=f (x )=12x 2-2上一点P (1,-32),则曲线在点P 处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.165° 解析∵y=12x 2-2,∴y'=lim Δx →012(x+Δx )2-2-(12x 2-2)Δx=lim Δx →012(Δx )2+x ·Δx Δx=lim Δx →0(x +12Δx)=x. ∴y'|x=1=1.∴曲线在点P (1,-32)处切线的斜率为1,即切线的倾斜角为45°.故选B.答案B3若曲线y=f (x )=x 2在点P 处的切线斜率为k ,则当k=2时点P 的坐标为( )A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-12,-18) 解析设点P 的坐标为(x 0,y 0),则k=f'(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→0(Δx+2·x0)=2x0,即2x0=2.所以x0=1,此时y0=x02=12=1.故点P的坐标为(1,1).故选C.答案C4已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为.解析设P(x0,2x02+4x0),则f'(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=lim Δx→02(Δx)2+4x0Δx+4ΔxΔx=4x0+4.∵f'(x0)=16,∴4x0+4=16.∴x0=3.故点P的坐标为(3,30).答案(3,30)5已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示:其对应导数的图象如图①②③:则曲线y=f'(x)对应图象;曲线y=g'(x)对应图象;曲线y=h'(x)对应图象.(只填序号)解析由导数的几何意义,知y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则曲线y=f'(x)对应图象②;y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线y=g'(x)对应图象③;y=h(x)上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故曲线y=h'(x)对应图象①.答案②③①6若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切,则p=.解析设切点坐标为(x0,1),∵f'(x0)=lim Δx→02(x0+Δx)2-4(x0+Δx)+p-(2x02-4x0+p)Δx=lim Δx →02(Δx )2+(4x 0-4)Δx Δx =lim Δx →0(2·Δx+4x 0-4)=4x 0-4, 由题意知4x 0-4=0,∴x 0=1,即切点坐标为(1,1).∴1=2-4+p.∴p=3.答案37若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:(1)直线l 在点P (x 0,y 0)处与曲线C 相切;(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).①直线l :y=0在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=x 3②直线l :x=-1在点P (-1,0)处“切过”曲线C :y=(x+1)2③直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=sin x④直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=tan x⑤直线l :y=x-1在点P (1,0)处“切过”曲线C :y=ln x答案①③④8求证:函数f (x )=x+1x 图象上各点处的切线的斜率小于1.证明∵f'(x )=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0(x+Δx+1x+Δx )-(x+1x )Δx =1-1x 2<1, ∴f (x )=x+1x 图象上各点处的切线的斜率小于1.9已知曲线y=f (x )=1t -x 上的两点P (2,-1),Q (-1,12). 求:(1)曲线在点P 、点Q 处的切线的斜率;(2)曲线在点P 、点Q 处的切线方程.分析由导数的几何意义,可知求曲线在点P 、点Q 处的切线斜率即求曲线在x=2,x=-1处的导数,求出斜率就易求切线方程了.解把P (2,-1)代入y=1t -x ,得t=1,即y=11-x . 所以y'=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =limΔx →011-(x+Δx )-11-x Δx =lim Δx →0Δx [1-(x+Δx )](1-x )Δx=lim Δx →01(1-x -Δx )(1-x )=1(1-x )2. (1)曲线在点P 处的切线斜率为y'|x=2=1(1-2)2=1, 曲线在点Q 处的切线斜率为y'|x=-1=14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q 处的切线方程为y-12=14[x-(-1)],即x-4y+3=0. 能力提升1曲线y=x 3+11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为( )A.-9B.-3C.9D.15解析由已知得切线的斜率k=y'|x=1=3,所以切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.令x=0,得y=9,所以切线与y 轴交点的纵坐标为9.答案C2下列说法正确的是( )A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若f'(x 0)不存在,则曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处无切线D.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f'(x 0)不一定存在解析当切线平行(或重合)于y 轴时,切线斜率不存在,则f'(x 0)不存在.答案D★3已知a>0,f (x )=ax 2+bx+c ,曲线y=f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 到曲线y=f (x )的对称轴的距离的取值范围是( )A.[0,1a ]B.[0,12a ] C.[0,|b 2a |] D.[0,|b -12a |] 解析f'(x )=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0[a (x+Δx )2+b (x+Δx )+c ]-(ax 2+bx+c )Δx =lim Δx →02ax ·Δx+bΔx+a (Δx )2Δx =2ax+b. 因为曲线在点P (x 0,f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围为[0,π4],所以0≤2ax 0+b ≤1,又点P 到曲线y=f (x )的对称轴的距离为|x 0+b 2a |=|2ax 0+b |2a . 所以|x 0+b 2a |∈[0,12a]. 答案B 4已知曲线y=f (x )=13x 3上一点P (2,83),则f (x )在点P 处的切线的斜率为 ,在点P 处的切线方程为 .解析由导数的定义易得f'(x 0)=x 02,所以f (x )在(2,83)处的切线的斜率为4. 所以切线方程为y-83=4(x-2),即12x-3y-16=0.答案4 12x-3y-16=05如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象,则f (2)+f'(2)= .解析由题意可得f (x )在点P 处的切线方程为x 4+y 4.5=1,其斜率k=-4.54=-98. 又点P (2,f (2))为切点,∴f'(2)=-98,且24+f (2)4.5=1,解得f (2)=94. ∴f (2)+f'(2)=98.答案986已知曲线y=f (x )=x 3在点(a ,a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为16,则a= .解析因为f'(a )=lim Δx →0(a+Δx )3-a 3Δx =3a 2, 所以曲线在点(a ,a 3)处的切线方程为y-a 3=3a 2(x-a ),切线与x 轴的交点坐标为(23a ,0).所以三角形的面积为12|a -23a|·|a 3|=16,解得a=±1.答案±1★7已知函数y=f (x )=x 2a -1(a>0)的图象在x=1处的切线为l ,求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值. 分析先求出f (x )在x=1处的切线l 的方程,再求得l 与两坐标轴围成的三角形的面积,利用不等式求面积的最小值.解∵Δy=(x+Δx )2a -1-x 2a +1=2x ·Δx+(Δx )2a , ∴Δy Δx =2x+Δx a. 当Δx 无限趋近于0时,Δy Δx 趋近于2x a, 即f'(x )=2x a .∴f'(1)=2a .又f (1)=1a-1, ∴f (x )在x=1处的切线l 的方程是y-1a +1=2a (x-1).令x=0,得y=-1a -1.令y=0,得x=a+12. ∴l 与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12|-1a -1|·|a+12| =14(a +1a +2)≥14×(2+2)=1. 当且仅当a=1a ,即a=1时,直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小,且最小值为1.。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习及答案
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
求下列函数的导数： （1）y = e3x+2 ；（2）ln(2x − 1)．
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
1 ；（4）f (x) = √x． x8
1 ) = (x−8 )′ = −8x−9 ； x8 1 1 1 1 （4）f ′ (x) = (√x )′ = (x 2 )′ = x− 2 = ． 2 2√x
求下列函数的导数：
ex ． x2 解：（1）y ′ = (sin x − cos x)′ = (sin x)′ − (cos x)′ = cos x + sin x； （2）y ′ = (x ln x)′ = x ′ ln x + x(ln x)′ = ln x + 1 ； (e x )′ ⋅ x 2 − e x ⋅ (x 2 )′ ex (x − 2) ex ′ （3）y ′ = ( ． = = ) x2 x3 x4
高中 人教A版 选修2-2 第一章 导数及其应用【答案及解析】
因为 是函数 的一个极值点，所以 ， ，所以 ，故答案为 .
14． 【解析】由 是定义在R上的奇函数，可得 ，
当 时， ，当 ，即有 ， ， ，
则导数为 ， ，又切点为 ，切线方程为 ，
即 .故答案为： .
15． 【解析】 时， 是减函数，又 ，∴由 得 在 上恒成立， ．
16． 【解析】由题知 ， .
.
在 上单调递增；在 上单调递减，易知 在区间 上的最大值为 ， ， ，都有 成立，即 在 上的最大值大于等于 在 上的最大值，即 ，即 ，解得
17．（1） ；（2）1
【解析】（1） ， ，
∵ ， ，∴ ．
由正弦定理可知 .
（2）∵ ， ，∴ ．
设 ，则 ，
在△ 与△ 中，由余弦定理可知，
3．C【解析】因为 （ ），所以 ，
由 得 ，所以，当 时， ，即 单调递增；
当 时， ，即 单调递减；
又函数 在区间 上不是单调函数，
所以有 ，解得 .故选C
4．C【解析】函数 是偶函数，排除选项 ；
当 时，函数 ，可得 ，
当 时， ，函数是减涵数，当 时，函数是增函数，排除项选项
5．B【解析】 , , , , ,……则 是一个周期为4的周期函数，
人教A版 选修2-2 第一章 导数及其应用
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
2．曲线 在点 处的切线方程为
A． B． C． D．
3．已知函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的图象大为（ ）
A． B． C． D．
高中数学人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.3.2 Word版含答案
选修第一章一、选择题．已知函数＝()在定义域内可导，则函数＝()在某点处的导数值为是函数＝()在这点处取得极值的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．非充分非必要条件[答案][解析]根据导数的性质可知，若函数＝()在这点处取得极值，则′()＝，即必要性成立；反之不一定成立，如函数()＝在上是增函数，′()＝，则′()＝，但在＝处函数不是极值，即充分性不成立．故函数＝()在某点处的导数值为是函数＝()在这点处取得极值的必要不充分条件，故选.．函数＝－－＋( )．在＝－处取得极大值，在＝处取得极小值－．在＝－处取得极小值，在＝处取得极大值－．在＝－处取得极小值－，在＝处取得极大值．以上都不对[答案][解析]′＝－－，令′＝，解得＝－，＝.当变化时，′()，()的变化情况见下表：．函数＝－的极值点的个数为( )．．．．[答案][解析]′＝－＝(－)，由′＝得＝，＝.当变化时，′、的变化情况如下表．已知实数、、、成等比数列，且曲线＝－的极大值点坐标为(，)，则等于( ) ．．．－．－[答案][解析]∵、、、成等比数列，∴＝，又(，)为函数＝－的极大值点，∴＝－，且＝－，∴(\\(＝，＝，))或(\\(＝－，＝－.))∴＝.．已知()＝＋＋(＋)＋有极大值和极小值，则的取值范围是( )．－<< ．－<<．<－或> ．<－或>[答案][解析]′()＝＋＋＋，∵()有极大值与极小值，∴′()＝有两不等实根，∴Δ＝－(＋)>，∴<－或>.．函数()＝－(<<)，则( )．()＝()．()<()．()>()．()，()的大小关系不能确定[答案][解析]′()＝()′＝＝.当<时，′()<，∴()为减函数，∵<<，∴()>()．二、填空题．(·陕西文，)函数＝在其极值点处的切线方程为[答案]＝－[解析]＝()＝⇒′()＝(＋)，令′()＝⇒＝－，此时(－)＝－，函数＝在其极值点处的切线方程为＝－.．若函数()＝－＋在＝处取得极小值，则实数＝[答案]＝[解析]∵′()＝(－)(－)由题意得：′()＝(－)(－)＝∴＝或＝.经检验知，当＝时，在＝处取得极大值．。