单源最短路径(两种方法)

单源最短路径计科一班李振华20120407111、问题描述给定带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是非负实数。

另外，还给定V 中的一个顶点，称为源。

现在要计算从源到其他所有顶点的最短路长度。

这里路的长度是指路上各边权之和。

这个问题通常称为单源最短路径问题。

2、问题分析推导过程（最优子结构证明，最优值递归定义）1、贪心算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra 于1959年提出来的。

已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。

Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。

执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs 到该点的最短路的权(称为P标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。

在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，说明一下这个方法的基本思想。

s=1。

因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。

这时，v1是具P标号的点。

现在考察从v1发出的三条弧，(v1, v2), (v1, v3)和(v1, v4)。

（1）如果某人从v1出发沿(v1, v2)到达v2，这时需要d(v1, v1)+w12=6单位的费用；（2）如果他从v1出发沿(v1, v3)到达v3，这时需要d(v1, v1)+w13=3单位的费用；（3）若沿(v1, v4)到达v4，这时需要d(v1, v1)+w14=1单位的费用。

因为min{ d(v1, v1)+w12，d(v1, v1)+w13，d(v1, v1)+w14}= d(v1, v1)+w14=1，可以断言，他从v1到v4所需要的最小费用必定是1单位，即从v1到v4的最短路是(v1, v4)，d(v1, v4)=1。

这是因为从v1到v4的任一条路P，如果不是(v1, v4)，则必是先从v1沿(v1, v2)到达v2，或者沿(v1, v3)到达v3。

但如上所说，这时他已需要6单位或3单位的费用，不管他如何再从v2或从v3到达v4，所需要的总费用都不会比1小(因为所有wij≥0)。

因而推知d(v1, v4)=1，这样就可以使v4变成具P 标号的点。

（4）现在考察从v1及v4指向其余点的弧，由上已知，从v1出发，分别沿(v1, v2)、(v1, v3)到达v2, v3，需要的费用分别为6与3，而从v4出发沿(v4, v6)到达v6所需的费用是d(v1, v4)+w46=1+10=11单位。

因min{ d(v1, v1)+w12，d(v1, v1)+w13，d(v1, v4)+w46}= d(v1, v1)+w13=3。

基于同样的理由可以断言，从v1到v3的最短路是(v1, v3)，d(v1, v3)=3。

这样又可以使点v3变成具P标号的点，如此重复这个过程，可以求出从v1到任一点的最短路。

在下述的Dijstra方法具体步骤中，用P，T分别表示某个点的P标号、T标号，si表示第i步时，具P标号点的集合。

为了在求出从vs到各点的距离的同时，也求出从Vs到各点的最短路，给每个点v以一个λ值，算法终止时λ(v)=m，表示在Vs 到v的最短路上，v的前一个点是Vm；如果λ(v)= ∞，表示图G中不含从Vs到v 的路；λ(Vs)=0。

Dijstra方法的具体步骤：{初始化}i=0S0={Vs}，P(Vs)=0 λ(Vs)=0对每一个v<>Vs，令T(v)=+ ∞，λ(v)=+ ∞，k=s{开始}①如果Si=V，算法终止，这时，每个v∈Si，d(Vs,v)=P(v)；否则转入②②考察每个使(Vk,vj)∈E且vj Si的点vj。

如果T(vj)>P(vk)+wkj，则把T(vj)修改为P(vk)+wkj，把λ(vj)修改为k。

③令如果，则把的标号变为P标号，令，k=ji，i=i+1，转①，否则终止，这时对每一个v∈Si，d(vs,v)=P(v)，而对每一个。

在下图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。

要求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。

2、分支限界法算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。

结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。

此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。

如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。

这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。

在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。

在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。

从源顶点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。

由于两条路径的路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去。

3、计算求解过程、算法实现（源代码实现相关功能）1、贪心算法#include <iostream>#include <stdlib.h>using namespace std;#define MAX 1000000 //充当"无穷大"#define LEN sizeof(struct V_sub_S)#define N 5#define NULL 0int s; //输入的源点int D[N]; //记录最短路径int S[N]; //最短距离已确定的顶点集const int G[N][N] = { {0, 10, MAX, 30, 100},{MAX, 0, 50, MAX, MAX},{MAX, MAX, 0, MAX, 10},{MAX, MAX, 20, 0, 60},{MAX, MAX, MAX, MAX, 0} };typedef struct V_sub_S //V-S链表{int num;struct V_sub_S *next;};struct V_sub_S *create(){struct V_sub_S *head, *p1, *p2;int n = 0;head = NULL;p1 = (V_sub_S *)malloc(LEN);p1->num = s;head = p1;for(int i = 0; i < N+1; i ++){if(i != s){++ n;if(n == 1)head = p1;elsep2->next = p1;p2 = p1;p1 = (V_sub_S *)malloc(LEN);p1->num = i;p1->next = NULL;}}free(p1);return head;}struct V_sub_S *DelMin(V_sub_S *head, int i) //删除链表中值为i 的结点{V_sub_S *p1, *p2;p1 = head;while(i != p1->num && p1->next !=NULL){p2 = p1;p1 = p1->next;}p2->next = p1->next;return head;}void Dijkstra(V_sub_S *head, int s){struct V_sub_S *p;int min;S[0] = s;for(int i = 0; i < N; i ++){D[i] = G[s][i];}for(int i = 1; i < N; i ++){p = head->next;min = p->num;while(p->next != NULL){if(D[p->num] > D[(p->next)->num])min = (p->next)->num;p = p->next;}S[i] = min;head = DelMin(head, min);p = head->next;while(p != NULL){if(D[p->num] > D[min] + G[min][p->num]){D[p->num] = D[min] + G[min][p->num];}p = p->next;}}}void Print(struct V_sub_S *head){struct V_sub_S *p;p = head->next;while(p != NULL){if(D[p->num] != MAX){cout << "D[" << p->num << "]: " << D[p->num] << endl;p = p->next;}else{cout << "D[" << p->num << "]: " << "∞" << endl;p = p->next;}}}int main(){struct V_sub_S *head;cout << "输入源点s (0到4之间): ";cin >> s;head = create();Dijkstra(head, s);head = create();Print(head);system("pause");return 0;}2、分支限界法#include <iostream>#include <queue>using namespace std;#define MAX 9999#define N 60int n,dist[N],a[N][N];class HeapNode{public:int i,length;HeapNode() { }HeapNode(int ii,int l){i=ii;length=l;}bool operator<(const HeapNode& node)const{return length<node.length;}};void shorest(int v){priority_queue<HeapNode> heap;HeapNode enode(v,0);for(int i=1; i<=n; i++) dist[i]=MAX;dist[v]=0;while(1){for(int j=1; j<=n; j++)if(a[enode.i][j]<MAX && enode.length+a[enode.i][j]<dist[j]){dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];HeapNode node(j,dist[j]);heap.push(node);}if(heap.empty()) break;else{enode=heap.top();heap.pop();}}}int main (){cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=n; j++){cin>>a[i][j];if(a[i][j]==-1) a[i][j]=MAX;}shorest(1);for(int i=2; i<n; i++) cout<<dist[i]<<" ";cout<<dist[n]<<endl;return 0;}3、运行结果（截图）4、计算复杂性分析(时间、空间)求单源、无负权的最短路。