弧度制及弧度制和角度制的换算

2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题.
教学过程：
复习角的弧度制与角度制的转化公式
1．学生先练习，老师再总结.
（1）10 rad角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.
解：（1）有两种方法. 第一种方法 ，是第三象限的角
第二种方法
∴10 rad的角是第三象限的角.
（2）
也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD，再求sin1.5即可得.
同步练习
1.若α=－3.2,则角α的终边在 ( )
(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
2.① ,② － ,③ ,④－ ,其中终边相同的角是 ( )
(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④
3. 若4π<α<6π,且与－ 角的终边相同,则α=_________.
二．新课
定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad。
[说明]学生阅读课本，教师作要点说明，并进行归纳。
一般地，可以得到：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角 的弧度数的绝对值
其中 是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径。
概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。
1．把角度换成弧度
2．把弧度换成角度
[例1]把 化成弧度。
[例2]把 化成度。
[约定]今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“ ”通常略去不写，而只写这个角对应的弧度数。
特殊角的度数与弧度数的对应表：
度
弧度
角的集合与实数集R之间的对应关系：
结论：圆心角不变，则比值不变，
因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制
二、讲解新课：
1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角 它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad
(A)1450(B) 1350(C) (D)
2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( )
(A) (B)－ (C) (D)－
3.半径为4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.
4.已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.
2．总结角的集合与实数集R之间的一一对应关系.
正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数，
零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角
的弧度数等于这个实数）
这样就在角的集合（元素是角）与实数集R（元素是数）
之间建立了一一对应的关系.
3．弧长公式，扇形面积公式的应用
由弧度制的定义
例1：利用弧度制证明扇形面积公式 是扇形弧长，R是圆的半径.
教学过程：
一、复习引入：
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算：
∵360=2rad ∴180=rad
∴ 1=
三、讲解范例：
例1把 化成弧度
解：
∴
例2把 化成度
解：
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sin表示rad角的正弦；
弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= Lr= |α|r2
其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.
2.无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.
同步练习
1.半径为5 cm的圆中பைடு நூலகம்弧长为 cm的圆弧所对的圆心角等于 ( )
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径）
⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同
如上图，AB的长等于半径r，∠AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的长度等于2r,则∠AOC=2rad.
问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？
答：半圆弧长是 半圆所对的圆心角是 弧度.
同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2 弧度.
角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.
（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；
（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
[教学重点]
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；其中，讲清1弧度的角的意义，是建立弧度概念的关键。
[教学难点]
弧度制的概念和换算总结
要点
1.角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.
2.度与弧度的相互换算:
10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.
3.在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2kπ+600,k∈Z},正确的表示方法是x|x=2kπ+ ,k∈Z }或{ x|x=k·3600+600,k∈Z }
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的. 通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式. 使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；
[教学过程]
一．引入
我们在初中几何里学习过角的度量，规定周角的 为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位制——弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度。
4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示)
5.把下列各角用另一种度量制表示.
⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－
1.将下列各数按从小到大的顺序排列.
证明：因为圆心角为1 rad的扇形的面积是 ，
而弧长为l的扇形的圆心角为 ，所以它的面积
.
若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成
例2：半径R的扇形的周长是4R，求面积和圆心角.
解：扇形弧长为4R-2R=2R，圆心角
面积 .
例3：在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧长为l，
求它的内切圆的面积.
2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义
初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？
规定周角的 作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为
3．探究
30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半径的比
3．弧度制与角度制的互化
因为周角的弧度数是2 ，角度是360°，所以有
把上面的关系反过来写
例1：把
解：
例2：把 化成角度.
今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad”通常省略不写，比如 rad，角 角的正弦.
之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
角度
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
[例6]求图4—9中公路弯道处弧 的长 （精确到1m。图中长度单位：m）.
例１把下列各角的度数化为弧度数：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解因为 ，所以
⑴
⑵
⑶
⑷
例２把下列各角的弧度数化为度数：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解因为 ＝ ，所以
⑴ ＝ × ＝ ；
⑵ ＝ ；
⑶ ＝ × ＝ ；
⑷ ＝ × ＝ ．
度与弧度的换算可以利用计算器进行，具体操作方法可见本书的附录．
5.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形圆心角的弧度数.
6.2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.
7.一条弦的长度等于其所在圆的半径r.
(1)求这条弦所在的劣弧长;
(2)求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.
【数学2】
二、弧度制
第一课时
教学要求：
1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换．
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
2
例3：用弧度制表示
（1）与 终边相同的角；
（2）第四象限的角的集合.
解：（1）与
（2）第四象限的角的集合是
也可能写成
注意两种角度制不准混合用，如写成
布置作业，课本P12，1~5题.
第二课时
教学要求：
1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R的一一对应.
解：先求得扇形的半径
设圆的半径为x，圆心为C，
由 解得
S⊙C
4．学生课堂阅读课本P10~11例5、例6
并作P11练习7、8两题.
布置作业，课本P12—13，习题4.2 6、8、9、10、11
§4.2弧度制
[教学目标]
（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；
｛ ∣ ｝
所以，在弧度制下，终边在 轴上的角的集合为
｛ ∣ ， ｝
例４ 计算：
解 原式＝
＝
＝
课 题：4.2弧度制（一）
教学目的：
1.理解1弧度的角、弧度制的定义.
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.
3.熟记特殊角的弧度数
教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
[复习]角度制下的弧长公式和扇形面积公式
弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
（1）弧长公式： ，（ 弧度数）
（2）扇形面积： （该结论在例讲解后给出）
[例3]利用弧度制证明扇形面积公式 ，其中 是扇形的弧长，R是圆的半径。
[例4]计算：
（1） ；（2） 。
[例5]将下列各角化成0到 的角加上 的形式：
（1） ；（2） 。
今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“ ”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角 ＝１表示 是１ 的角， 表示 的正弦，即 ＝ ．
根据常用特殊角间的倍数关系，可以列出下列特殊角的度数与弧度数对应值．
度
弧度
例３用弧度制表示终边在 轴上的角的集合．
解因为在角度制下，终边在 轴上的角的集合为
Sin40, sin , sin300, sin1
2.把下列各角化成2kπ+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.
(1)－ π; (2)－6750.
3.若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与 角的终边相同的角.
练习四 弧度制(二)
要点
1.弧长公式和扇形面积公式:
教学过程：
1．为什么要引入新的角的单位弧度制.
（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便；
（2）为了让角的度量结果与实数一一对应.
2．弧度制的定义
先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的.
1弧度角的规定.
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
弧度的单位符号是rad，读作弧度.