线性代数经管类(课堂PPT)
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线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数7PPT课件
向量空间的性质
零向量和负向量的存在
在向量空间中，存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任何向量进行加法运算结果仍为 该向量本身。同时，对于每个非零向量，都存在一个与其相反的向量，称为该向量的负向 量。
向量的线性组合
对于任意标量和向量，以及任意数量的标量，都可以进行线性组合，得到一个新的向量。
向量的线性无关
二次型的性质
01
实定性
如果一个二次型在某个基下的矩 阵是对称的，那么这个二次型是 实定的。
正定性
02
03
半正定性
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是正定的，那么这个二 次型是正定的。
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是半正定的，那么这个 二次型是半正定的。
二次型与矩阵的相似性的关系
二次型与矩阵的相似性
07
二次型与矩阵的相似性
二次型的定义
二次型
一个n元二次型是一个n维向量空间上的多 线性函数，其一般形式为$f(x) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中$a_{ij}$是常数。
二次型的矩阵表示
对于一个二次型$f(x) = x^T A x$，其中 $A$是一个对称矩阵。
特征值和特征向量的性质还包括：如 果λ是A的特征值，那么kλ（k≠0）也 是A的特征值；如果x是A的对应于λ的 特征向量，那么kx也是A的对应于λ的 特征向量。
特征值与特征向量的应用
在物理和工程领域中，特征值和特征向量的应用非常广泛。例如，在振动分析中，系统的固有频率和 振型可以通过求解系统的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量得到。
02
19世纪中叶，德国数学家克罗内克等人开始系统地 研究线性代数，并为其建立了基础。
自考线性代数(经管类)PPT第18讲-二次型的分类别
若恒有x Ax 0( 0),则称二次型是 半正(负)定二次型,
T
其对应的矩阵 A称为半正(负)定矩阵;
称其它类型的二次型是 不定二次型 , 其对应的矩阵称为 不定矩阵 .
2
2. 正定矩阵的判别法： 判别法 I：用定义。 例1： 设A, B均为n阶正定阵 , 证明A B也为n阶正定阵 .
证： A, B为n阶正定阵,
1 1
t
t 2时, 3 0. t 2时, 二次型正定 .
请记住，这类题就这样做！
9
练习
2 2 1.设二次型为f ( x1 , x2 , x3 ) 3x12 3x2 3x3 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
则f的负惯性指数为______; 此二次型的类型为_________ .
1.定义： f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX是实二次型 , 若对于任何
6.2 正定二次型和正定矩阵
非零向量x (c1 , c2 ,, cn )T , 恒有xT Ax 0( 0), 则称f ( x1 , x2 ,, xn )是正定(负定)二次型;
而其对应的矩阵 A称为 正定（负定）矩阵 ；
T i
(3).与每一个 j 都正交; 证明 : (1)1 , 2 , n线性无关; (2) 0.
11
8
例4 : t为何值时, 二次型正定?
2 2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 5x1 x2 tx3 4 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
5 2 1 5 2 1 0, A 2 1 1 1 5 0, 2 2 1 1 1 t 5 2 1 3 A 2 1 1 t 2
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
线性代数课件
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
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11 2
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
主对角线 a11
次对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
说明 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2 ! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的 乘积． （3）正负项各占一半.
（4）行列式的本质是数.
例如 1 3
17(2)313
2 7
a a2
b b2
ab2 ba2
同理，称
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1 1A 1 1a 1 2A 1 2a 1 3A 1 3
a a a 31
32
33 a 2 1A 2 1 a 2 2A 2 2 a 2 3A 2 3
a 3 1A 3 1 a 3 2A 3 2 a 3 3A 3 3
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
定义 由 n2个数aij (i j1 2 n)组成的记号
a11 a12 L D a21 a22 L
MM
a1n
a2n M
a ij
an1 an2 L ann
称为n阶行列式.
说明（1）n阶行列式共有n!项．
当ij偶数时，Aij Mij; 当ij奇数时，Aij Mij;
行列式的每个元 对素 应分 着别 一个余子式 个代数余.子式
1
例1 行列式 3
2
为
A．-2
1 2
0 1 的元素 a 2 3 的代数余子式 A 2 3
47
（A）
B．2 C．-1
D．1
解：
A23(1)23M23
1 2
1
4 2
二、行列式展开定理
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a 133a1a 12a 33.2
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
100 D3 0 3 0 ;
1Байду номын сангаас2
解： D 13 0 ;D 22 4 ;D 36 ;
§1.2 行列式按行（列）展开
一、余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i行和第 j 列划去后，留下来的 n1 阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作 M ij .
记A ij1ijM i， j 叫做元素 a ij 的代数余子式．
0 0 ... n
4) 次 对 角 行 列 式
0 ... 0 1
0 ...
... 2 ... ...
0 ...
n (n1)
( 1) 2 1 2 ... n
n ... 0 0
例1 计算下列行列式的值
1 1 2 3
0 24 6
D1 0
03
; 7
0 0 0 5
0001 0020 D2 0 3 0 0 4000
4 6 3 4 2 8 24 1.4
a10
例 2 当a取何值时，1 a 0 0 ?
411
解解 1 a 1 a 0 0 a 2 1 4 1 1
因此可得：a210当且仅当|a|1
a10
所以，当|a|1时， 1 a 0 0 .
411
练习题
11 0
1.计算 D 2 3 1 .
§1.1 行列式的定义
一、二阶行列式
我们用记号 a11 a12 a21 a22
表示代数和a11a22a12a21 称为二阶行列式。
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行下标，第二个下标 j 为列下标。
即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算
对角线法则 （口诀：叉叉相乘来相减）
0 0 ... a nn
2) 下 三 角 行 列 式
a11 0 ... 0
a 21 ...
a 22 ...
... ...
0 ...
a11a 22 ...a nn
a n1 a n2 ... a nn
3) 主 对 角 行 列 式
1 0 ... 0
0 ...
2 ...
... ...
0 ...
1 2 ... n
二、三阶行列式
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则计算。
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
（2）每项都是位于不同行不同列的n个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
（4）一阶行列式a a 不要与绝对值记号相混淆. （5）行列式的本质是数.
四、几个特殊的行列式
1) 上 三 角 行 列 式
a11 a12 ... a1n
0 ...
a 22 ...
... a 2n ... ...
a11a 22 ...a nn
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
主对角线 a11
次对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
说明 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2 ! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的 乘积． （3）正负项各占一半.
（4）行列式的本质是数.
例如 1 3
17(2)313
2 7
a a2
b b2
ab2 ba2
同理，称
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1 1A 1 1a 1 2A 1 2a 1 3A 1 3
a a a 31
32
33 a 2 1A 2 1 a 2 2A 2 2 a 2 3A 2 3
a 3 1A 3 1 a 3 2A 3 2 a 3 3A 3 3
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
定义 由 n2个数aij (i j1 2 n)组成的记号
a11 a12 L D a21 a22 L
MM
a1n
a2n M
a ij
an1 an2 L ann
称为n阶行列式.
说明（1）n阶行列式共有n!项．
当ij偶数时，Aij Mij; 当ij奇数时，Aij Mij;
行列式的每个元 对素 应分 着别 一个余子式 个代数余.子式
1
例1 行列式 3
2
为
A．-2
1 2
0 1 的元素 a 2 3 的代数余子式 A 2 3
47
（A）
B．2 C．-1
D．1
解：
A23(1)23M23
1 2
1
4 2
二、行列式展开定理
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a 133a1a 12a 33.2
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
100 D3 0 3 0 ;
1Байду номын сангаас2
解： D 13 0 ;D 22 4 ;D 36 ;
§1.2 行列式按行（列）展开
一、余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i行和第 j 列划去后，留下来的 n1 阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作 M ij .
记A ij1ijM i， j 叫做元素 a ij 的代数余子式．
0 0 ... n
4) 次 对 角 行 列 式
0 ... 0 1
0 ...
... 2 ... ...
0 ...
n (n1)
( 1) 2 1 2 ... n
n ... 0 0
例1 计算下列行列式的值
1 1 2 3
0 24 6
D1 0
03
; 7
0 0 0 5
0001 0020 D2 0 3 0 0 4000
4 6 3 4 2 8 24 1.4
a10
例 2 当a取何值时，1 a 0 0 ?
411
解解 1 a 1 a 0 0 a 2 1 4 1 1
因此可得：a210当且仅当|a|1
a10
所以，当|a|1时， 1 a 0 0 .
411
练习题
11 0
1.计算 D 2 3 1 .
§1.1 行列式的定义
一、二阶行列式
我们用记号 a11 a12 a21 a22
表示代数和a11a22a12a21 称为二阶行列式。
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行下标，第二个下标 j 为列下标。
即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算
对角线法则 （口诀：叉叉相乘来相减）
0 0 ... a nn
2) 下 三 角 行 列 式
a11 0 ... 0
a 21 ...
a 22 ...
... ...
0 ...
a11a 22 ...a nn
a n1 a n2 ... a nn
3) 主 对 角 行 列 式
1 0 ... 0
0 ...
2 ...
... ...
0 ...
1 2 ... n
二、三阶行列式
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则计算。
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
（2）每项都是位于不同行不同列的n个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
（4）一阶行列式a a 不要与绝对值记号相混淆. （5）行列式的本质是数.
四、几个特殊的行列式
1) 上 三 角 行 列 式
a11 a12 ... a1n
0 ...
a 22 ...
... a 2n ... ...
a11a 22 ...a nn