江苏省扬州市2016届高三数学第四次模拟考试试题

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2016届江苏省苏北四市高三数学一模

2016届江苏省苏北四市高三数学一模一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合A=0,a，B=0,1,3，若A∪B=0,1,2,3，则实数a的值为．2. 已知复数z满足z2=−4，若z的虚部大于0，则z=．3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50∽90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70 km/h以下的汽车有辆．4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为．S←1I←1While I<5 S←S+2End WhilePrint S5. 函数f x=2sinωx+φφ>0的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．6. 若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为．7. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线x216−y29=1渐近线的距离为．8. 已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D−ABC的体积为．9. 若公比不为1的等比数列a n满足log2a1⋅a2⋯⋯a13=13，等差数列b n满足b7=a7，则b1+b2+⋯⋯+b13的值为．10. 定义在R上的奇函数f x满足当x≥0时，f x=log22+x+a−1x+b（a，b为常数）．若f2=−1，则f−6的值为．11. 已知OA=OB=2，且OA⋅OB=1．若点C满足OA+CB=1，则OC的取值范围是．12. 已知函数f x=2x+cos x,x≥0,x a−x,x<0,若关于x的不等式f x<π的解集为 −∞,π2，则实数a的取值范围是．13. 已知点A0,1，b1,0，C t,0，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为．14. 已知正数a，b，c满足b+c≥a，则bc +ca+b的最小值为．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A=35，tan A−B=−12．Ⅰ求tan B的值；Ⅱ若b=5求c．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：ⅠPB∥平面EACⅡ平面PAD⊥平面ABCD17. 如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45∘C方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数y=x+42x21≤x≤9模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN 的总造价为f x万元．题中所涉及长度单位均为百米．Ⅰ求f x的解析式；Ⅱ当x为多少时，总造价f x最低?并求出最低造价．18. 已知各项均为正数的数列a n的首项a1=1，S n是数列a n的前n项和，且满足：a n S n+1−a n+1S n+a n−a n+1=λa n a n+1λ≠0,n∈N∗．Ⅰ若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；Ⅱ若λ=12，求S n．19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率e=12，左顶点为A−4,0，过点A作斜率为k k≠0的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k k≠0都有OP⊥EQ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．Ⅲ若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求AD+AEOM的最小值．20. 已知函数f x=e x13x3−2x2+a+4x−2a−4，其中a∈R，e为自然对数的底数．Ⅰ若函数f x的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；Ⅱ关于x的不等式f x<−43e x在−∞,2上恒成立，求a的取值范围；Ⅲ讨论函数f x极值点的个数．21. 如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．22. 已知矩阵A=12−14，求矩阵A的特征值和特征向量．23. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2−8ρsin θ−π3+13=0，已知A1,3π2，B3,3π2，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．24. 设x，y均为正数，且x>y，求证：2x+1x−2xy+y≥2y+3．25. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足BP=λBB10≤λ≤1．Ⅰ若λ=13，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；Ⅱ若二面角P−A1C−B的正弦值为23，求λ的值．26. 已知数列a n满足a n=3n−2，f n=1a1+1a2+⋯+1a n，g n=f n2−f n−1，n∈N∗．Ⅰ求证：g2>13；Ⅱ求证：当n≥3时，g n>13．答案第一部分1. 22. 2i3. 754. 95. π36. 137. 358. 245【解析】V D−ABC=V B−ACD=13×125×6=245.9. 2610. 4【解析】因为函数f x是定义在R上的奇函数，所以f0=0，即1+b=0，又f2=−1，有2a+b=−1，所以a=0，b=−1，又f6=6a−3+b=−4，所以f−6=4．11. −1,+1【解析】因为OA⋅OB=1，所以OA与OB的夹角为π3，设O x,y，A 2,0，B22,62，C x,y，由OA+CB=1，得322−x2+62−y2=1，记为⊙M，设x2+y2=r2，记为⊙C，当两圆外切时r=6−1，当两圆内切时r=6+1，所以r∈6−1,6+1．12. −2π,+∞【解析】因为函数y=2x+cos x是单调递增函数，又2×π2+cosπ2=π，当a>0时不等式f x<π的解集为 −∞,π2成立；当a≤0时，满足不等式f x<π的解集为 −∞,π2，有a2× a−a2<π，解得a∈ −2π,0，所以满足题意a的取值范围是 −2π,+∞ ．13. 4【解析】由题可得直线AC的方程为y=−1t x+1，设D x0,1−1tx0，由AD≤2BD，得x02+x02t2≤4x0−12+41−1t x02，整理得3x021+1t2−8x01+1t+8≥0，则关于x0的方程满足Δ=641+1t 2−961+1t2≤0，解得t≥2+3或t<2−3，所以AD≤2BD恒成立最小正整数t的值为4．14. −12【解析】因为b+c≥a，所以2b+c≥a+b，又因为正数a，b，c，所以1a+b ≥12b+c，所以b c +ca+b≥c2b+c+bc=12bc+1+122bc+1−12≥2−12.当2bc +12=2时，即bc=2−12且b+c=a时取等号，所以bc+ca+b得最小值为2−12.第二部分15. （1）在锐角三角形ABC中，由sin A=35，得cos A=1−sin2A=45，所以tan A=sin Acos A =34．由tan A−B=tan A−tan B1+tan A⋅tan B =−12，得tan B=2．（2）在锐角三角形ABC中，由tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin A+B=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理bsin B =csin C，得c=b sin Csin B=112．16. （1）连接BD与AC相交于点O，连接OE．因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC．（2）因为PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以PA⊥CD．因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．因为PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．17. （1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y=x+42x1≤x≤9，PM=x，所以点P坐标为 x,x+42x，直线OB的方程为x−y=0，则点P到直线x−y=0的距离为x−x−42x22=42x22=4x2,又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为f x=5x+40⋅4x2=5 x+32x21≤x≤9．（2）因为f x=5x+40⋅4x =5 x+32x，所以fʹx=51−64x3=5x3−64x3，令fʹx=0，得x=4，列表如下：所以当x=4时，函数f x有最小值，最小值为f4=54+4=30．当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．18. （1）令n=1，得a2=21+λ．令n=2，得a2S3−a3S2+a2−a3=λa2a3，所以a3=2λ+4λ+12λ+1．由a22=a1a3，得21+λ2=2λ+4λ+12λ+1，因为λ≠0，所以λ=1．（2）当λ=12时，a n S n+1−a n+1S n+a n−a n+1=12a n a n+1，所以S n+1a n+1−S na n+1+1a n+1−1a n=12，即S n+1+1a n+1−S n+1a n=12，所以数列S n+1a n 是以2为首项，公差为12的等差数列，所以S n+1a n =2+n−1⋅12，即S n+1=n2+32a n ⋯⋯①，当n≥2时，S n−1+1=n2+22a n−1 ⋯⋯②，①−②得，a n=n+32a n−n+22a n−1，即n+1a n=n+2a n−1，所以a nn+2=a n−1n+1n≥2，所以a nn+2是首项为13是常数列，所以a n=13n+2．代入①得S n=n2+32a n−1=n2+5n6．19. （1）因为左顶点为A−4,0，所以a=4，又e=12，所以c=2．又因为b2=a2−c2=12，所以椭圆C的标准方程为x 216+y212=1．（2）直线l的方程为y=k x+4，由x216+y212=1,y=k x+4,消元得x216+k x+4212=1．化简得x+44k2+3x+16k2−12=0,所以x1=−4，x2=−16k2+124k+3，当x=−16k 2+124k2+3时，y=k−16k2+124k2+3+4=24k4k2+3，所以D−16k 2+124k2+3,24k4k2+3．因为点P为AD的中点，所以P的坐标为−16k 24k+3,12k4k+3，则k OP=−34kk≠0．直线l的方程为y=k x+4，令x=0，得E点坐标为0,4k，假设存在定点Q m,n m≠0，使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=−1，即−34k ⋅n−4km=−1恒成立，所以4m+12k−3n=0恒成立，所以4m+12=0,−3n=0,即m=−3,n=0,因此定点Q的坐标为−3,0．（3）因为OM∥l，所以OM的方程可设为y=kx，由x216+y212=1,y=kx,得M点的横坐标为x=±32，由OM∥l，得AD+AE OM =x D−x A+x E−x Ax M=x D−2x Ax M =−16k2+124k+3+8434k2+3=324k2+3=134k+364k2+3≥22,当且仅当4k2+3=2即k=±32时取等号，所以当k=±32时，AD+AEOM的最小值为22．20. （1）由题意，fʹx=e x13x3−x2+ax−a ，因为f x的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，所以fʹ0=1，解得a=−1．（2）法一：由f x<−43e x，得e x13x3−2x2+a+4x−2a−4<−43e x，即x3−6x2+3a+12x−6a−8<0对任意x∈−∞,2恒成立，即6−3x a>x3−6x2+12x−8对任意x∈−∞,2恒成立，因为x<2，所以a>x3−6x2+12x+8=−1x−22,记g x=−13x−22，因为g x在−∞,2上单调递增，且g2=0，所以a≥0，即a的取值范围是0,+∞．法二：由f x<−43e x，得e x13x3−2x2+a+4x−2a−4<−43e x，即x3−6x2+3a+12x−6a−8<0.在−∞,2上恒成立，因为x3−6x2+3a+12x−6a−8<0等价于x−2x2−4x+3a+4<0，①当a≥0时，x2−4x+3a+4=x−22+3a≥0恒成立，所以原不等式的解集为−∞,2，满足题意．②当a<0时，记g x=x2−4x+3a+4，有g2=3a<0，所以方程x2−4x+3a+4必有两个根x1，x2，且x1<2<x2，原不等式等价于x−2x−x1x−x2<0，解集为−∞,x1∪2,x2，与题设矛盾，所以a<0不符合题意．综合①②可知，所求a的取值范围是0,+∞．（3）因为由题意，可得fʹx=e x13x3−x2+ax−a ，所以f x只有一个极值点或有三个极值点．令g x=13x3−x2+ax−a，①若f x有且只有一个极值点，所以函数g x的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g x为单调递增函数或者g x极值同号．Ⅰ）当g x为单调递增函数时，gʹx=x2−2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．Ⅱ）当g x极值同号时，设x1，x2为极值点，则g x1g x2≥0，由gʹx=x2−2x+a=0有解，得a<1，且x12−2x1+a=0，x22−2x2+a=0，所以x1+x2=2，x1x2=a .所以g x1=1x13−x12+ax1−a=1x12x1−a−x12+ax1−a=−132x1−a−13ax1+ax1−a=23a−1x1−a,同理，g x2=23a−1x2−a，所以g x1g x2=2a−1x1−a⋅2a−1x2−a≥0,化简得a−12x1x2−a a−1x1+x2+a2≥0，所以a−12a−2a a−1+a2≥0，即a≥0，所以0≤a≤1．所以当a≥0时，f x有且仅有一个极值点；②若f x有三个极值点，函数g x的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a<0；综上当a≥0时，f x有且仅有一个极值点，当a<0时，f x有三个极值点．21. 连接OT．因为AT是切线，所以OT⊥AP．又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．又OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，所以∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA．22. 矩阵A的特征多项式为fλ=λ−1−21λ−4=λ2−5λ+6，由fλ=0，解得λ1=2，λ2=3．当λ1=2时，特征方程组为x−2y=0, x−2y=0,故属于特征值λ1=2的一个特征向量α1=21；当λ2=3时，特征方程组为2x−2y=0, x−y=0,故属于特征值λ2=3的一个特征向量α2=11．23. 圆C的直角坐标方程为x2+y2+43x−4y+13=0，即 x+232+y−22=3．又A0,−1，B0,−3，所以AB=2．P到直线AB距离的最小值为23−3=3，所以△PAB面积的最小值为12×2×3=3．24. 因为x>0，y>0，x−y>0，2x+122−2y=2x−y+12=x−y+x−y+1x−y2≥3 x−y2123=3,所以2x+1x2−2xy+y2≥2y+3．25. （1）以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AC=1，AA1=2，则A0,0,0，B1,0,0，C0,1,0，A10,0,2，B11,0,2，P1,0,2λ．由λ=13得，CP=1,−1,23，A1B=1,0,−2，A1C=0,1,−2，设平面A1BC的法向量为n1=x1,y1,z1，由n1⋅A1B=0,n1⋅A1C=0,得x1−2z1=0,y1−2z1=0,不妨取z1=1，则x1=y1=2，从而平面A1BC的一个法向量为n1=2,2,1．设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，则sinθ=cos CP,n1=CP⋅n1CP⋅n1=2233,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为2233．（2）设平面PA1C的法向量为n2=x2,y2,z2，A1P=1,0,2λ−2，由n2⋅A1C=0,n2⋅A1P=0,得y2−2z2=0,x2+2λ−2z2=0,不妨取z2=1，则x2=2−2λ，y2=2，所以平面PA1C的法向量为n2=2−2λ,2,1．则cos n1,n2=34λ2−+98λ,又因为二面角P−A1C−B的正弦值为23，2=53，化简得λ2+8λ−9=0，解得λ=1或λ=−9（舍去），故λ的值为1．26. （1）由题意知，a n=3n−2，g n=1a n +1a n+1+1a n+2+⋯+1a n2当n=2时，g2=1a2+1a3+1a4=14+17+110=69140>13．（2）用数学归纳法加以证明：①当n=3时，g3=13+14+15+⋯+19=17+110+113+116+119+122+125=17+110+113+116+119+122+125>1+1+1+1+1+1+1=18+316+332>1+3+1>1 ,所以当n=3时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即g k>13，则n=k+1时，g k+1=g k+1a k2+1+1a k2+2+⋯+1a k+12−1a k>1+1k2+1+1k2+2+⋯+1k+12−1k>13+2k+13k+12−2−13k−2=13+2k+13k−2−3k+12−23k+12−23k−2=1+3k2−7k−32,由k≥3，可知3k2−7k−3>0，即g k+1>13．所以当n=k+1时，结论也成立．综合①②可得，当n≥3时，g n>13．。

高三数学第四次模拟测试试题电子阅卷答题卷（理科加试）

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请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效
21(B)．（本小题满分10分）
21(C)．（本小题满分10分）
扬州市2015~2016学年度高三第四次模拟测试
高三数学Ⅱ试题答卷
考生号
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1. 采用网上阅卷在右侧用2B 铅笔在“考生
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信息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改时须用橡皮擦干净。

2. 保持卡面清洁，不要折叠和弄破。

试卷类型：试卷A 试卷B
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效
23．（本小题满分10分）
24．（本小题满分10分）
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江苏省扬州市高三第四次模拟考试（数学）

江苏省扬州市高三第四次模拟考试数学．5全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{2,3},{1,},{2},A B a A B A B ====若则 ▲ .2．“1x >”是“11x<”的条件．（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）3．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第 ▲ .象限． 4．某人5 次上班所花的时间（单位：分钟）分别为,8,10,11,9x ，若这组数据的平均数为10，则其方差为 ▲ .5．从[]1,1-内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ▲ . 6．若将函数x x y sin 3cos -=的图象向左移)0(>m m 个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为 ▲ .7．设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为 ▲ .8．函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 ▲ . 9．执行右边的程序框图，若9p =，则输出的S= ▲ .10．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是 ▲ .11．已知二次函数)(2)(2R x c x ax x f ∈++=的值域为),0[∞+，则)1(f 的最小值为 ▲ .12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)y px p =>有相同的焦点F ，,P Q 是椭圆与抛物线的的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为▲ .13．在ABC ∆中，3,4,5AB AC BC ===，O 点是内心，且12AO AB BC =λ+λ，则=+21λλ ▲ .14．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列四个命题中真命题的序号为 ▲ . ①20092009S =； ②20102010S =； ③20092a a <； ④20092S S <二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥。

江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测数学含答案

高三数学试卷一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝｛0, 1， 2｝，N ＝｛x ｜x ＝2a , a ∈M }，则集合M ∩N ＝___________．2. ｛0，2}3.若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i ，且z 1·错误!是实数（其中错误!为z 2的共轭复数），则实数a ＝___________．错误!4. 有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．错误!5. “m ＝－1”是“直线mx ＋（2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直"的___________条件．充分不必要6. 右边程序输出的结果是___________．107.8. 在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥DABE 的体积为V 1，PABC的体积为V 2，则错误!＝____________．错误!9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－错误!＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则错误!的值是．－错误!10. 在等差数列｛a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120,则3a 9―a 11的值为_________．4811. 若sin α＋2cos α＝0，则错误!的值为________．－错误!。

12. 在平面内，若A (1，7)、B （5，1）、M (2,1)，点P 是直线OM 上的一个动点,且错误!·错误!＝－8，则cos ∠APB ＝__________．－错误!． 13. 设f (x ）是R 上的奇函数，且f （－1）＝0，当x ＞0时，（x 2＋1)·f ¢(x )－2x ·f (x ）＜0，则不等式f （x ）＞0的解集为________ ．（－S ←1 For I From 1 To 5 Step 2∞,－1)∪（0，1）．14. 已知△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ,且BC 边上的高为a ，则错误!＋错误!的最大值为______．错误! 15. 已知定义在R 上的函数f （x )存在零点,且对任意m ,n ∈R 都满足f ［m ·f (m ）＋f (n ）]＝f 2(m ）＋n ，若关于x 的方程f [ f （x ]－3）＝1－log a x (a ＞0,a ≠1）恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________16. 【分析】：需要函数f [ f （x )]的解析式！∵f (x ）存在零点，∴令f （x 0）＝0 ∴令m ＝x 0 ∴f ［x 0·f (x 0）＋f (n ）]＝f 2(x 0)＋n ∴f [ f (n )]＝n ∴x －3＝1－log a x 恰有三个不同的根，∴log a x ＝1－错误! （下略)a ＞3． 17. 若点P 在曲线C 1：y 2＝8x 上，点Q 在曲线C 2：(x －2）2＋y 2＝1上，点O 为坐标原点，则错误!的最大值是． 18. 【知识点：抛物线定义、多变量问题、函数求最值问题】 19. 解:注意到圆C 2的圆心恰好为抛物线的焦点F ,因为P 、Q 为两个独立的点，可先考虑一个点动，注意到只有分母有Q ，故先求出｜PQ ｜的最小值为|PF |－1＝x p ＋p2－1＝x p ＋1，20. ∵|OP ｜2＝错误!＋错误!＝错误!＋8x p ∴错误!＝错误! 21. 令t ＝x p ＋1≥1 ∴y ＝错误!＝错误! (错误!∈(0,1]) 22. ∴错误!＝错误!时，y max ＝错误!＝错误!．二、解答题．（本大题共6小题，共计90分．)23. 如图,斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，侧面AA 1C 1C 是菱形,∠A 1AC ＝60º，E 、F 分别是A 1C 1、AB 的中点． 24. 求证：（1)EF ∥平面BB 1C 1C ;25. （2）平面CEF ⊥平面ABC ．1A 1B 1CACE26. 如图，函数y ＝2cos （ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤错误!）的图象与y 轴交于点(0，错误!)，周期是π. 27. (1）求ω、φ的值； 28. （2)已知点A （错误!,0)，点P 是该函数图象上一点，点Q （x 0,y 0)是PA 的中点，当y 0＝错误!,x 0∈［错误!，π］时，求x 0的值．解:（1）y ＝2cos(2x ＋错误!）（2）∵A (错误!,0)，Q (x 0，y 0）是PA 中点，y 0＝错误!，∴P （2x 0－错误!,错误!)．又因为点P 在y ＝2cos （2x ＋错误!）的图象上，∴2cos(4x 0－π＋错误!)＝错误!．∴cos （4x 0＋错误!）＝－错误! ∵x 0∈[错误!，π］，∴4x 0＋错误!∈［2π＋错误!,4π＋错误!]∴4x 0＋错误!＝2π＋π－错误!或4x 0＋错误!＝2π＋π＋错误! ∴x 0＝错误!或错误!．29. 如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50㎞，B ,C 间的距离为100㎞，从A 到C ,必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25㎞/h ,再乘汽车到C ，车速为50㎞/h ，记∠BDA ＝θ． 30. （1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数t (θ)； 31. （2)问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？解：（1）∵AD ＝错误!， ∴A 到D 所用时间t 1＝错误!BD ＝错误!＝错误!， CD ＝100－BD ＝100－错误!BACDθ∴D 到C 所用时间t 2＝2－错误!∴t (θ)＝t 1＋t 2＝错误!＋2（θ0＜θ＜错误!，其中tan θ0＝错误!）··························6分（2)t(θ）＝错误!＝错误!····································8分令t（θ)＞0，得:cos θ＜错误! ∴错误!＜θ＜错误!；∴当θ∈错误!，错误!时，t （θ）单调递增;同理θ0＜θ＜错误!，t(θ)＜0，t （θ）单调递减·····················12分 ∴θ＝错误!，t （θ)取到最小值错误!＋2；·························································13分答：当θ＝π3时，由A 到C 的时间最少为3＋2小时．·····························14分32. 如图，已知点F 1，F 2是椭圆C l ：22x ＋y 2 ＝1的两个焦点，椭圆C 2：22x ＋y 2 ＝经过点F 1，F 2，点P 是椭圆C 2上异于F 1,F 2的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ，B 和C ,D ．设AB 、CD 的斜率分别为k 、k 。

7 扬州市高三2016—2017学年度第一学期期末检测数学试题(含答案)

扬州2016—2017学年度第一学期期末检测试数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，，，则A B = ▲ ． 2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ．3．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5，则输出的y 的值为 ▲ ． 5．已知直线:20l x -=与圆22C :x +y =4交于,A B 两点，则弦AB 的长度为 ▲ ．6．已知,A B {}3,1,1,2∈--且A B ≠，则直线10Ax By ++=的斜率小于0的概率为 ▲ ．7．若实数,x y 满足10101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23zx y =+的最大值为 ▲ ．8．若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm ），侧面积为8（单位：2cm ），则它的体积为 ▲ （单位：3cm ）.9．已知抛物线216y x =的焦点恰好是双曲线222112x y b -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 10．已知1cos()33πα+=()2πα<<0，则sin()πα+= ▲ ．扬州11．已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲ ．12．在正项等比数列{}n a 中，若4321226a a a a +--=，则56a a +的最小值为 ▲ ．13．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则BQ的最小值是 ▲ ．14．已知一个长方体的表面积为48（单位：2cm ），12条棱长度之和为36（单位：cm ），则这个长方体的体积的取值范围是 ▲ （单位：3cm ）．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，6AB =，AC =18AB AC ⋅=-．（1）求BC 的长；（2）求tan 2B 的值．（第4题图）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点. （1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）若AP =AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD .17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在∆ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=.记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域∆PMN 的面积为S 平方米．（1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：5tan 34≈）（2）求S 的最小值.如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y b +=，过椭圆C 的上顶点A 的直线l :y kx b =+分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P 、Q ，设AP PQ λ=．（1）若点(3,0),P -点(4,1),Q --求椭圆C 的方程；（2）若3λ=，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立．（1）若21,2n A n b ==，求n B ；（2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2()h x x ax a =++．（1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；（3）当0a =时，对于给定的正整数k ，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）2016—2017学年度第一学期期末检测试题高三数学 2017.01试题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21．（本小题满分10分）已知,a b ∈R ，若点(1,2)M -在矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点(2,7)N -，求矩阵A 的特征值. 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4πθ=，试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标. 23．（本小题满分10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望()E X .24．（本小题满分10分）已知010011(1)C ()(1)C ()(1)C (),()n n nn n n n F x f x f x f x n *=-+-++-∈N ()(0)x >，其中i ()f x {}(i 0,1,2,,)n ∈是关于x 的函数.（1）若ii ()=f x x (i )∈N ，求21F ()，20172F ()的值；（2）若i ()=(i )ixf x x+∈N ，求证：!=(1)(2)()n n F x x x x n +++()()n *∈N .2016-2017学年度高三第一学期期末测试数学试题Ⅰ参考答案2017．1一、填空题 1．{1,0}-2．03．2004．15- 5． 6．17．889．y x = 101112．48 132314．[16,20] 15.⑴因为cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-，且6AB =，AC =BC 分⑵方法一：在ABC ∆中，6AB =，AC =BC222222cos =210BA BC AC B BA BC +⨯-(-(， --------------------9分又(0,)B π∈，所以sin B sin 1tan cos 3B B B ==，-------------11分所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3BB B ==--. ---------------------14分方法二：由6AB =，AC =cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-可得cos =2A -，又(0,)A π∈，所以34A π=.---------------------8分在ABC ∆中，sin sin BC ACA B =，所以sin sin AC AB BC⨯===，-----------10分又(0,)4B π∈，所以cos 10B ，所以sin 1tan cos 3B B B ==，所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3B B B ==--. ---------------------14分 16. （1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF ∥CD ，又在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，所以EF ∥AB ， ---------------------3分又AB ⊂面P AB ，EF ⊄面P AB ，所以EF ∥平面P AB . ---------------------6分⑵证明：在矩形ABCD 中，AD ⊥CD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ， ---------------------10分又AF ⊂面P AD ，所以CD ⊥AF .①因为P A =AD 且F 是PD 的中点，所以AF ⊥PD ，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD ∩CD =D ，所以AF ⊥平面PCD . -----------------14分 17.⑴方法一：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME =∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， ---------------------2分同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， - --------------------4分所以∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， --------------------8分当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-，所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分方法二：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理可知：sin sin ME PEPMEθ=∠，所以sin 4sin 3sin sin()4PE ME PME θθπθ⨯===∠-， ---------------------2分在∆PNE 中，由正弦定理可知：sin sin NE PEEPN PNE=∠∠，所以sin()4sin()44cos sin()2PE NE ππθθπθθ⨯++===----------------------4分所以2cos sin cos MN NE ME θθθ=-=+,又点P 到DE的距离为4sin 4d π==， ---------------------6分所以∆PMN 的面积S=21441cos 212cos sin cos sin 222MN d θθθθθ⨯==+++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， ---------------------8分当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-，所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分⑵当242ππθ+=即350,844ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S1)=.---------13分所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米. ---------------------14分 18.（1）由P 在圆222:O x y b +=上得3,b =又点Q 在椭圆C 上得2222(4)(1)1,3a --+= 解得218,a = ∴椭圆C 的方程是221.189x y += --------------------------------------5分（2）由222y kx b x y b =+⎧⎨+=⎩得0x =或221P kbx k =-+ --------------------------------------7分由22221y kx bx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0x =或22222Q kba x a k b =-+ --------------------------------------9分 AP PQ λ= ，3λ=，34AP AQ ∴=，2222223241kba kb k a b k ∴⋅=++即222223141a a k b k⋅=++ 222223441a b k e a -∴==- 20k >241e ∴>，即12e >，又01e <<,11.2e ∴<< ----16分19. （1）因为2,n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩ 即21n a n =- --------------------------------------2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+ --------------------------------------4分（2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nbb +=，所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--，所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- --------------------------5分因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅--- --------------------------8分所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=---，所以1111111()21213n b +-<--恒成立，即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥。

2016年江苏扬州市高三一模数学试卷

2016年江苏扬州市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，那么 ______．2. 若复数，则的虚部为______．3. 执行如图所示的流程图，若输入的的值为，则相应输出的的值为______．4. 某学校从高三年级共名男生中随机抽取名测量身高．根据测量知被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．估计这所学校高三年级全体男生身高在以上（含）的人数为______．5. 双曲线的焦点到渐近线的距离为______．6. 若从，，，，这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的和是偶数的概率为______．7. 已知等比数列满足，，那么该数列的前项和为______．8. 已知正四棱锥的底面边长为，体积为，那么此四棱锥的侧棱长为______．9. 已知函数，若，则 ______．10. 已知向量，，，若，则 ______．11. 若且，则的最小值为______．12. 已知圆，若不过原点的直线与圆交于，两点，且满足直线，，的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为______．13. 在数列中，已知，，记．若，则 ______．14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若集合，则实数的取值范围为______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 如图，在直三棱柱中，已知，，分别为，的中点，．（1）求证：平面．（2）求证：平面平面．16. 已知函数的最小正周期为．（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的面积．17. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，点在上，且满足，，为坐标原点．（1）若椭圆的方程为，且点的坐标为，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围．18. 某隧道设计为双向四车道，车道总宽，要求通行车辆限高，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系．（1）若最大拱高为，则隧道设计的拱宽是多少．（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高不小于，则应如何设计拱高和拱宽，使得隧道口截面面积最小．（隧道口截面面积公式为）19. 已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解．20. 若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．（1）已知，且，写出，，；（2）已知，且，求的前项和；（3）已知，且，若数列中，，，是公差为的等差数列，且，求的值及的值．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为，分别为，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面 .（2）在直三棱柱中，平面．因为平面，所以．因为，为的中点，所以．又因为，平面，所以平面．因为平面，所以．又因为，，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．16. （1），因为的最小正周期为，且，所以，解得，所以．又，则，所以，所以，即函数在上的值域为．（2）因为，所以．由，知，解得，所以．由余弦定理知，即，所以．因为，所以，所以．17. （1）因为椭圆的方程为，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，，，所以直线的方程为，直线的方程为．联立解得．所以点的横坐标为．（2）设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，所以点的坐标为，．因为，，所以，即．联立消去得，解得或．因为，所以，所以，解得．又椭圆离心率，故椭圆离心率的取值范围为．18. （1）设抛物线的方程为：，则抛物线过点，代入抛物线方程解得：．令，解得，则隧道设计的拱宽是．（2）抛物线最大拱高为，，抛物线过点，代入抛物线方程得：，令，则，解得：，则，．因为，所以，即．所以．所以当时，，在上单调减；当时，，在上单调增．所以在时取得最小值，此时，．答：当拱高为，拱宽为时，使得隧道口截面面积最小．19. （1），则令，解得或，当变化时，，的变化情况如下表：极大值极小值所以极大值，极小值．（2）原问题转化为在上恒成立．又，即在上恒成立，令，因为，对称轴为直线．①当，即时，在上单调递增，所以，所以；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，所以．综上，的取值范围是．（3）因为，设，，令，，令，解得或，当变化时，，的变化情况如下表：极大值极小值所以极大值，极小值．因为，，所以存在，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．又因为，，，．由零点的存在性定理可知的根，，即或．20. （1），则．所以；，则， .所以 .，则，， .所以 .（2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则；所以为奇数为偶数．为偶数时，则；为奇数时，则；所以为奇数为偶数．（3）依题意：，，，，设，即数列中，不超过的项恰有项，所以，同理：，即故．由得，因为为正整数，所以，，，当时，，不合题意，舍去；当时，，不合题意，舍去；当时，，适合题意，此时，，所以 .因为，所以 .因为为整数，所以，，或 .因为，，所以 .所以 .当时，，所以无解．当时，，所以无解当时，，所以 .当时，，所以无解所以 .因为，所以或 .综上：，或．。

江苏扬州市2016届高三数学5月四模试卷有答案

江苏扬州市2016届高三数学5月四模试卷（有答案）扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试数学试题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）2016．5注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合，是整数集，则▲．2．若复数满足（为虚数单位），则▲．3．命题“”的否定▲．4．已知中，，则边的长度为▲．5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是20，则输入的x值是▲．6．在区间内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是▲．7．在三棱锥中，、、两两垂直，且，则三棱锥的体积为▲．8．已知且为锐角，则▲．9．在平面直角坐标系中，如果直线将圆平分，且不经过第四象限，那么的斜率的取值范围是▲．10．已知等边中，若，，且，则实数的值为▲．11．设双曲线的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果是等边三角形，则双曲线的离心率是▲．12．设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为▲．13．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且（）．若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为▲．14．已知函数在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量，，记函数．若函数的周期为4，且经过点．（1）求的值；（2）当时，求函数的最值．16．（本小题满分14分）在三棱锥P－SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且PA⊥BC．（1）求证：平面PSB平面ABCD；（2）若平面PAD平面，求证：．17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为元（其中为常数，且）．设该工厂黑色水笔的出厂价为元/百支（），根据市场调查，日销售量与成反比例，当每百支水笔的出厂价为元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润最大，并求的最大值．（2）已知工厂日利润达到元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费最多为多少元？（精确到元）18．（本小题满分16分）已知椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交轴、轴于A、B两点上，且满足．（1）求证：线段AB的长是一定值；（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．19．（本小题满分16分）数列是公差为的等差数列，它的前项和记为，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于的正整数，使．（1）若，，，，求．（2）若，，试比较与的大小，并说明理由；（3）若，是否存在整数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）当时，的最小值是，求实数的值；（3）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试数学试题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）2016．521（B）．（本小题满分10分）已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵的另一个特征值．21（C）．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，极轴与轴的非负半轴重合）中，圆的方程为．若直线被圆截得的弦长为，求实数的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下：甲班101215182436乙班121622262838如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）已知．（1）若，求中含项的系数；（2）证明：．2015-2016学年度高三第四次模拟测试数学试题Ⅰ参考答案2016．5一、填空题1．{0,1}2．3．“”4．5．2或66．7．18．9．10．11．212．13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）………………………4分由题意得：周期，故……………………6分（2）∵图象过点，即，而，故，则．……………………10分当时，当时，，当时，．……………………14分16．证：（1）A，D分别为边SB，SC的中点，且且即……………………3分，，、平面平面平面∴平面PSB平面ABCD……………………7分（2），平面，平面平面……………………10分平面，平面PAD平面……………………14分17．解：（1）设日销量为，则．则日售量为日利润．即，其中．………………3分令得．①当时，当时，．当时，取最大值，最大值为．………………5分②当时，，函数在上单调递增，在上单调递减．当时，取最大值．………………7分当时，时，日利润最大值为元当时，时，日利润最大值为元．………………8分（2）由题意得：对恒成立………………10分则对恒成立设，则在上单调增，则，即∴每百支水笔的加工费最多约为元答：每百支水笔的加工费最多约为元． (14)分18．解：（1）由题意得：，则椭圆方程为：……………………3分设，则且A、B分别在轴、轴上为定值……………………7分（2）方法（一）设，则直线PQ的方程为：…………………9分∵点到直线的距离：………12分，令，则当且仅当时，取等号；即时，，此时………16分方法（二）设直线MN的斜率为，则，则直线MN方程为，直线PQ方程为，…………………9分解方程组，用代得，，由椭圆的对称性知，点P到直线MN的距离，………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ的面积＝当且仅当，即时取等号，所以，四边形MPNQ的面积的最大值为4，此时直线MN的斜率．………16分19．解：（1），即，，．………3分（2）依题意，，且，显然．又，所以，………6分设，它是关于的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程，故是上的增函数，所以当时，即，所以．………9分（3）依题意：，由得：，即，，………12分所以，因为，故，且，且为奇数则其中时，是整数，故，且．………16分20．解：（1），时，在上恒成立，则的单调递减区间，时，令则，即时，，则的单调递减区间．………3分（2）①，在上单调递减，，解得：，适合题意；②，在上单调递增，，无解；③，在上单调递减，上单调递增，，解得：，舍去；综上可得：．………8分（3）时，有1条切线；时，有2条切线．设切点坐标是，依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数． (10)分①当时，，在上恰有一个零点1；………11分③当时，在上恒成立，在上单调递减，且，故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有一个零点；………12分③时，在上递减，在上递增，故在上至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于，即函数在上必有一零点；………14分先证明当时，，即证若，，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，，所以，故又，所以在必有一零点．∴当时，在上有两个零点∴综上：时，有1条切线；时，有2条切线． (16)分数学试题Ⅱ参考答案21（B）．解：因为，则，解得所以…5分由，所以．………………………………10分21（C）．解：直线的参数方程为（为参数）所以直线的直角坐标系方程是：………………………………2分圆的直角坐标系方程是：，圆心（2，0），半径……………………4分设圆心到直线的距离为d，，所以……………………………7分又所以………………………………10分22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则……………8分01234P答：数学期望为2…………………………10分23．解：（1）…………………………1分中项的系数为；…………………………3分（2）设①则函数中含项的系数为……5分由错位相减法得：②，中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为…………………………7分所以………………10分2015-2016学年度高三第四次模拟测试数学试题Ⅰ参考答案2016．5一、填空题1．{0,1}2．3．“”4．5．2或66．7．18．9．10．11．212．13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）………………………4分由题意得：周期，故……………………6分（2）∵图象过点，即，而，故，则．……………………10分当时，当时，，当时，．……………………14分16．证：（1）A，D分别为边SB，SC的中点，且且即……………………3分，，、平面平面平面∴平面PSB平面ABCD……………………7分（2），平面，平面平面……………………10分平面，平面PAD平面……………………14分17．解：（1）设日销量为，则．则日售量为日利润．即，其中．………………3分令得．④当时，当时，．当时，取最大值，最大值为．………………5分⑤当时，，函数在上单调递增，在上单调递减．当时，取最大值．………………7分当时，时，日利润最大值为元当时，时，日利润最大值为元．………………8分（2）由题意得：对恒成立………………10分则对恒成立设，则在上单调增，则，即∴每百支水笔的加工费最多约为元答：每百支水笔的加工费最多约为元． (14)分18．解：（1）由题意得：，则椭圆方程为：……………………3分设，则且A、B分别在轴、轴上为定值……………………7分（2）方法（一）设，则直线PQ的方程为：…………………9分∵点到直线的距离：………12分，令，则当且仅当时，取等号；即时，，此时………16分方法（二）设直线MN的斜率为，则，则直线MN方程为，直线PQ方程为，…………………9分解方程组，用代得，，由椭圆的对称性知，点P到直线MN的距离，………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ的面积＝当且仅当，即时取等号，所以，四边形MPNQ的面积的最大值为4，此时直线MN的斜率．………16分19．解：（1），即，，．………3分（2）依题意，，且，显然．又，所以，………6分设，它是关于的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程，故是上的增函数，所以当时，即，所以．………9分（3）依题意：，由得：，即，，………12分所以，因为，故，且，且为奇数则其中时，是整数，故，且．………16分20．解：（1），时，在上恒成立，则的单调递减区间，时，令则，即时，，则的单调递减区间．………3分（2）①，在上单调递减，，解得：，适合题意；②，在上单调递增，，无解；③，在上单调递减，上单调递增，，解得：，舍去；综上可得：．………8分（3）时，有1条切线；时，有2条切线．设切点坐标是，依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数． (10)分①当时，，在上恰有一个零点1；………11分⑥当时，在上恒成立，在上单调递减，且，故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有一个零点；………12分③时，在上递减，在上递增，故在上至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于，即函数在上必有一零点；………14分先证明当时，，即证若，，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，，所以，故又，所以在必有一零点．∴当时，在上有两个零点∴综上：时，有1条切线；时，有2条切线． (16)分数学试题Ⅱ参考答案21（B）．解：因为，则，解得所以…5分由，所以．………………………………10分21（C）．解：直线的参数方程为（为参数）所以直线的直角坐标系方程是：………………………………2分圆的直角坐标系方程是：，圆心（2，0），半径……………………4分设圆心到直线的距离为d，，所以……………………………7分又所以………………………………10分22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则……………8分01234P答：数学期望为2…………………………10分23．解：（1）…………………………1分中项的系数为；…………………………3分（2）设①则函数中含项的系数为……5分由错位相减法得：②，中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为…………………………7分所以………………10分。

2016年江苏省扬州市高考数学四模试卷(解析版)

2016年江苏省扬州市高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，Z是整数集，则A∩Z=______．2．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=______．3．命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：______．4．已知△ABC中，a=1，b=2，C=，则边c的长度为______．5．如图是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是______．6．在区间[﹣1，2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是______．7．在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，则三棱锥P﹣ABC的体积为______．8．已知tanα=2且α为锐角，则cos2α=______．9．在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y=0平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是______．10．已知等边△ABC中，若=（+），=+t，且⊥，则实数t的值为______．11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q 两点，如果△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率是______．12．设函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．13．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=（n∈N*）．若不等式λS n≥a n﹣2016对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最小值为______．14．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=xsinx（x∈[，]）上，则曲线y=f（x）的切线斜率的最大值为______．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．16．在三棱锥P﹣SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA ⊥BC．（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．17．某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m为常数，且3≤m≤6）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35≤x≤40），根据市场调查，日销售量与e x成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交x轴、y轴于A、B两点上，且满足=．（1）求证：线段AB的长是一定值；（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．19．数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，它的前n项和记为A n，数列{b n}是公比为q （q≠1）的等比数列，它的前n项和记为B n．若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整数k，m，使a k=b m．（1）若a1=1，d=2，q=3，m=4，求A k．（2）若a1=1，d=2，试比较A2k与B2m的大小，并说明理由；（3）若q=2，是否存在整数m，k，使A k=86B m，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=+alnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[1，2]时，f（x）的最小值是0，求实数a的值；（3）试问过点P（0，2）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．数学试题Ⅱ（全卷满分0分，考试时间30分钟）（B）（本小题满分0分）21．已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为=，求该矩阵的另一个特征值．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．若直线l被圆C截得的弦长为，求实数a的值．23．长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这6（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．24．已知f n（x）=C x k（n∈N*）．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x4项的系数；（2）证明：C+2C+3C+…+nC=[]C．2016年江苏省扬州市高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，Z是整数集，则A∩Z={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与Z，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，Z是整数集，∴A∩Z={0，1}，故答案为：{0，1}．2．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．3．命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≠0．【考点】命题的否定；特称命题．【分析】欲求存在性命题的否定，必须将：“∃”改写成：“∀”，同时对后面的内容进行否定即可．【解答】解：由于存在性命题的否定，将：“∃”改写成：“∀”，同时对后面的内容进行否定，∴命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≠0，故答案为：∀x∈R，x2+x+1≠0．4．已知△ABC中，a=1，b=2，C=，则边c的长度为．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理，列出方程求解即可．【解答】解：△ABC中，a=1，b=2，C=，则边c===．故答案为：．5．如图是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是2或6．【考点】伪代码．【分析】分析流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，若输出的y的值为20，可根据分段函数的解析式，逆推出自变量x的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，当x≤5时，y=10x=20，解得：x=2当x＞5时，y=2.5x+5=20，解得：x=6，故答案为：2或6．6．在区间[﹣1，2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型公式，将符合题意的区间长度除以总的区间长度，即得本题的概率．【解答】解：记事件A=“该数为正数”，∵区间[﹣1，2]长度是3，该数为正数的取值区间长度是2，∴由几何概型公式，得P（A）=故答案为：7．在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，则三棱锥P﹣ABC的体积为1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，证出PA⊥平面PBC，即可用锥体体积公式求三棱锥的体积．【解答】解：∵侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，即PA⊥PB，PA⊥PC，而PB、PC是平面PBC内的相交直线，∴PA⊥平面PBC，∵PA=3，PB=2，PC=1，∴三棱锥P﹣ABC的体积V=•S△PBC•PA=××3×2×1=1．故答案为：1．8．已知tanα=2且α为锐角，则cos2α=﹣．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：∵tanα=2且α为锐角，则cos2α====﹣，故答案为：﹣．9．在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y=0平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是[0，]．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线将圆平分得直线l过圆心（2，1），再由直线l不经过第四象限，能求出直线l的斜率的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y=0平分，∴直线l过圆心（2，1），∵直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y=0平分，且不经过第四象限，∴直线l的斜的最小值为k min=0，直线l的斜率的最大值为k max==，∴l的斜率的取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．10．已知等边△ABC 中，若=（+），=+t ，且⊥，则实数t 的值为﹣ ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据的加减运算法则和向量的数量积的运算法则和向量垂直的条件即可求出．【解答】解：在等边△ABC 中， ∴AB=AC ，∠A=60°∵=（+），∴=+t =（+）+t=（+t ）+，∵⊥，∴•=（+）•[（+t ）+]=（+t ）||2+||2+（+t ），=（+t ）||2+||2+（+t ）||||•=0，∴+t +++t=0，解得t=﹣，故答案为：﹣．11．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q两点，如果△PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率是 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出右准线与渐近线的交点P ，Q ，△PQF 为等边三角形，可得直线PF 的斜率为tan30°=，求出a ，b 的关系，与c 2=a 2+b 2联立求e ．【解答】解：双曲线的右准线l ：x=，两条渐近线方程是y=±x ，二者联立得，y=±，可设P （，﹣），又△PQF 为等边三角形，且F （c ，0），可得直线PF 的斜率为tan30°=，=得b=a，即c2﹣a2=3a2，即有c=2a，则e==2．故答案为：2．12．设函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为[1，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意作函数f（x）=的图象，由f2（x）﹣af（x）=0得f （x）=0或f（x）=a；从而解得．【解答】解：由题意作函数f（x）=的图象如下，，∵f2（x）﹣af（x）=0，∴f（x）=0或f（x）=a；∵f（x）=0有且只有一个解，∴f（x）=a有且只有两个解，故a∈[1，+∞）；故答案为：[1，+∞）．13．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=（n∈N*）．若不等式λS n≥a n﹣2016对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最小值为．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式求得数列首项和公差，进一步求得数列通项和前n项和，代入λS n ≥a n﹣2016，分离参数λ，然后利用二次函数求得最值得答案．，【解答】解：由a n=，得a n2=S2n﹣1令n=1，n=2，得，即，∵a n≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．由不等式λS n≥a n﹣2016，得λn2≥2n﹣1﹣2016=2n﹣2017．∴．由二次函数的性质可知，当，即n=2017时，．∴实数λ的最小值为．故答案为：．14．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=xsinx（x∈[，]）上，则曲线y=f（x）的切线斜率的最大值为．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A（p，q）点处取到极值，其中O是坐标原点，得到d=0，f′（0）=0，f′（p）=0，得到c=0，p=﹣，f′（x）=3ax2﹣3apx，再由A在曲线上，运用两角和的正弦，判断a＜0，b＞0．得到f′（x）≤f′（）=sinp，根据p的范围即可判断．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A（p，q）点处取到极值，其中O是坐标原点，∴f（0）=0，即d=0，f（x）=ax3+bx2+cx，f′（x）=3ax2+2bx+c，f′（0）=0，f′（p）=0，∴c=0，p=﹣，f′（x）=3ax2﹣3apx，∵p∈[，]，∴q=psinp＞0，f（p）＞f（0），即f（x）分别在x=0和x=p处取极小值和极大值，则a＜0，b＞0．∴f′（x）≤f′（），∵q=f（p）=ap3+bp2=psinp，∴ap2+bp==sinp，即b=，a=﹣=﹣，∴f′（）=﹣ap2=sinp，p∈[，]，∴p=时，f′（）最大，最大值是，故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值；（2）由（1）及函数图象经过点M（1，）求得函数具体解析式，在由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）的最值可求．【解答】解：（1）f（x）=（+）•（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由题意得：周期，故；（2）∵图象过点M（1，），∴﹣cos（2φ）=，即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，则f（x）=﹣cos（）．当﹣1≤x≤1时，，∴．∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1，当x=1时，．16．在三棱锥P﹣SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA ⊥BC．（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由已知及勾股定理可证BC⊥SB，结合已知PA⊥BC，可证BC⊥平面PSB，从而可证平面PSB⊥平面ABCD；（2）可证BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，即可证明l∥BC．【解答】证明：（1）∵A，D分别为边SB，SC的中点，且BC=8，∴AD∥BC且AD=4，∵AB=SA=3，CD=SD=5，∴SA2+AD2=SD2，∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，∴BC⊥SB，…∵PA⊥BC，PA∩SB=A，PA，SB⊂平面PSB∴BC⊥平面PSB，∵BC⊂平面ABCD，∴平面PSB⊥平面ABCD；…（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，所以l∥BC．…17．某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m为常数，且3≤m≤6）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35≤x≤40），根据市场调查，日销售量与e x成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由条件“日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．对函数进行求导，求出极值点，利用3≤m≤6，可得函数在35≤x≤40范围内的单调性，从而求出函数的最值；（2）由题意35≤x≤40，（x﹣30﹣m）≥1000恒成立，x=35时，e5（5﹣m）≥1，m≤5﹣e﹣5，即可得出结论．【解答】解：（1）设日销量为s，则s=∵x=40，s=1000，∴1000=，∴k=1000e40，∴s=∴y=（x﹣30﹣m）（35≤x≤40）；y′=（31+m﹣x），令y′=0，可得x=31+m3≤m≤6，34≤31+m≤37当35≤x≤m+31时，y′＞0当m+31≤x≤40时，y′＜0故x=31+m时，y max=1000e9﹣m．（2）由题意35≤x≤40，（x﹣30﹣m）≥1000恒成立，∴x=35时，e5（5﹣m）≥1，∴m≤5﹣e﹣5，∴每百支水笔的加工费m最多为5.0元18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交x轴、y轴于A、B两点上，且满足=．（1）求证：线段AB的长是一定值；（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆长轴长为4，离心率为，求出椭圆方程，由此利用，且A、B分别在x轴、y轴上，能证明AB为定值．（2）设P（x0，y0），由AB∥PQ，得k PQ=k AB=﹣，=4，直线PQ的方程为：y=﹣，由此利用点到直线距离公式、弦长公式能求出结果．【解答】证明：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为．∴由题意得：，解得a=2，c=，∴b=，∴椭圆方程为：，…设M（x1，y1），则=1，∵，且A、B分别在x轴、y轴上，∴A（，0），B（0，3y1），∴，∴AB=3为定值．…解：（2）设P（x0，y0），∵AB∥PQ，∴k PQ=k AB=﹣，=4，则直线PQ的方程为：y=﹣，…∵，∴，∴PQ2=4OP2=4•=，点M到直线PQ：2y0x+x0y=0的距离：d==，…=2S△MPQ=2××PQ×d=•∴S四边形MPNQ=12=12=12=12，令t=3y02+1，t≥1，则==﹣，当且仅当t=2时，取等号，即3y02+1=2时，（S）max=4，四边形MPNQ此时，∴．…19．数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，它的前n项和记为A n，数列{b n}是公比为q （q≠1）的等比数列，它的前n项和记为B n．若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整数k，m，使a k=b m．（1）若a1=1，d=2，q=3，m=4，求A k．（2）若a1=1，d=2，试比较A2k与B2m的大小，并说明理由；（3）若q=2，是否存在整数m，k，使A k=86B m，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列递推式．【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，由a k=b4，求得k=14，由等差数列求和公式可得所求和；（2）求得a n =2n ﹣1，A n =n 2，A 2k =4k 2，运用等比数列的求和公式可得B 2m ==[（2k ﹣1）2q 2﹣1]，运用作差法，构造二次函数，运用单调性，即可得到大小关系；（3）由a k =b m =a 1•2m ﹣1，运用等差数列和等比数列的求和公式，A k =86B m 得：•k=86•，可得2m ==﹣2，通过分析，可得存在m=8且k=340．【解答】解：（1）由a 1=1，d=2，q=3，可得a n =2n ﹣1，b n =3n ﹣1，a k =b 4=33=27，即2k ﹣1=27，解得k=14，A 14=14+×2=196；（2）依题意，a 1=1，d=2，可得a n =2n ﹣1，A n =n 2，A 2k =4k 2，且q m ﹣1=2k ﹣1，显然q ＞1．又B 2m ==[（2k ﹣1）2q 2﹣1]，所以B 2m ﹣A 2k =[（2k ﹣1）2q 2﹣1]﹣4k 2=[（2k ﹣1）2q 2﹣4qk 2+（4k 2﹣1）]，设f （x ）=（2k ﹣1）2x 2﹣4xk 2+（4k 2﹣1），f （1）=（2k ﹣1）2x 2﹣1，它是关于x 的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程x=＜1，故f （x ）是（1，+∞）上的增函数，所以当x ＞1时f （x ）＞f （1）＞0，即B 2m ﹣A 2k ＞0，所以A 2k ＜B 2m ．（3）依题意：a k =b m =a 1•2m ﹣1，由A k =86B m 得：•k=86•，即•k=86•，可得2m ==﹣2，所以344﹣k=，因为29=512，故m ﹣1≤9，且516=4×129=4×3×43，且2m ﹣1+1为奇数，则其中2m ﹣1+1=129时，是整数，故m ﹣1=7，可得存在m=8且k=340．20．已知函数f （x ）=+alnx ，a ∈R ．（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）当x∈[1，2]时，f（x）的最小值是0，求实数a的值；（3）试问过点P（0，2）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，a＞0时，令导数小于0，可得减区间；（2）讨论①a≤，②a≥1，③＜a＜1，结合单调性，可得最小值，解方程可得a；（3）a≤0时，有1条切线；a＞0时，有2条切线．设切点坐标是（x0，f（x0）），运用两点的斜率公式和导数的几何意义，设F（x）=+alnx﹣2﹣a，x＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上零点个数，即是曲线切线的条数．求得F（x）的导数，对a讨论，运用函数的单调性和零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）=+alnx的导数为f′（x）=﹣+=，a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，则f（x）的单调递减区间（0，+∞），a＞0时，令ax﹣1＜0则x＜，即0＜x＜时，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间（0，）；（2）①a≤，f（x）在[1，2]上单调递减，即f（x）min=f（2）=+aln2=0解得a=﹣≤，适合题意；②a≥1，f（x）在[1，2]上单调递增，可得f（x）min=f（1）=1≠0，无解；③＜a＜1，f（x）在[1，]上单调递减，[，2]上单调递增，可得f（x）min=f（）=a+aln=0，解得a=e，舍去；综上可得，a═﹣．（3）a≤0时，有1条切线；a＞0时，有2条切线．设切点坐标是（x0，f（x0）），依题意：=，即+alnx0﹣2=a﹣，化简得： +alnx0﹣2﹣a=0，设F（x）=+alnx﹣2﹣a，x＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上零点个数，即是曲线切线的条数．F′（x）=﹣+=，①当a=0时，F（x）=﹣2，在（0，+∞）上恰有一个零点1；③当a＜0时，F′（x）=＜0在（0，+∞）上恒成立，F（x）在（0，+∞）上单调递减，且F（1）=﹣a＞0，F（e）=﹣2＜0，故F（x）在（1，e）上有且只有一个零点，当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上恰有一个零点；③a＞0时，F（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，故F（x）在（0，+∞）上至多有两个零点，且F（1）=2﹣2﹣a=﹣a＜0，又函数y=lnx在（1，+∞）单调递增，且值域是（0，+∞），故对任意实数a，必存在x0∈（1，+∞），使lnx0＞，此时F（x0）=+alnx0﹣2﹣a=+a（lnx0﹣）＞0，由于＞1，即函数F（x）在（1，x0）上必有一零点；F（e）=2e﹣a（1+a+）﹣2﹣a=2e﹣（a2+2a+3），先证明当a＞0时，e≥（a+2）2，即证1+a+≥2ln（a+2），若0＜a＜2，1+a+≥3，而2ln（a+2）≤2ln4，由于2ln4=ln16＜3，若a≥2，构建函数φ（x）=1+x+﹣2ln（x+2），φ′（x）=1﹣﹣=＞0，φ（x）在[2，+∞）为增函数，φ（a）≥φ（2）=3+﹣2ln4＞0，综上a＞0时，e≥（a+2）2，所以2e≥2（a+2）2=a2+2a+3+（a2+6a+5）＞a2+2a+3，故F（e）＞0，又F（1）＜0，e＜1，所以在（e，1）必有一零点．则当a＞0时，F（x）在（0，+∞）上有两个零点综上：a≤0时，有1条切线；a＞0时，有2条切线．数学试题Ⅱ（全卷满分0分，考试时间30分钟）（B）（本小题满分0分）21．已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为=，求该矩阵的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】根据矩阵A属于特征值3的一个特征向量为=，可得a，b的值，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ=﹣1．【解答】解：因为•=3，则，解得，所以A=，由f（λ）==（λ﹣1）2﹣4=0，所以（λ+1）（λ﹣3）=0，解的λ=﹣1或λ=3，所以该矩阵的另一个特征值是﹣122．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．若直线l被圆C截得的弦长为，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】把参数方程与极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：直线的直角坐标系方程是：2x+y﹣a﹣2=0，圆C的方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，直角坐标系方程是：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，可得圆心（2，0），半径r=2．设圆心到直线l的距离为d，d==．又d===，∴a=2，∴a=，或．23．长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如表：（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）确定为独立重复试验类型即可求解概率P（A）==；（2）确定随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4．利用排列组合知识求解相应的概率类型，得出分布列，可求数学期望．【解答】解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则P（A）==…（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==…∴E（X）=+2×+3×+4×=2．答：数学期望为2 …24．已知f n（x）=C x k（n∈N*）．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x4项的系数；（2）证明：C+2C+3C+…+nC=[]C．【考点】二项式定理的应用；数列的应用．【分析】（1）利用f n（x）=（1+x）n，即可求出g（x）中含x4项的系数；（2）令h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+3（1+x）m+3+…+n•（1+x）m+n，利用错位相减法，即可证明结论．【解答】（1）解：f n（x）=C x k（n∈N*）=•x0+•x+•x2+•x n=（1+x）n，g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x）=（1+x）4+2（1+x）5+3（1+x）6，故g（x）中含x4项的系数为+2+3=56．（2）证明：∵C+2C+3C+…+nC=+2+3+…+n，令h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+3（1+x）m+3+…+n•（1+x）m+n．则函数h（x）中含x m+1项的系数为C+2C+3C+…+n，…同乘1+x，由错位相减法得：﹣xh（x）=（1+x）m+1+（1+x）m+2+（1+x）m+3+…+（1+x）m+n﹣n•（1+x）m+n+1=﹣n•（1+x）m+n+1，∴x2h（x）=（1+x）m+1﹣（1+x）m+n+1+n•（1+x）m+n+1，h（x）中含x m+1项的系数，即是等式左边含x m+3项的系数，等式右边含x m+3项的系数为﹣+n，…﹣+n=﹣+n=﹣+n=[]C，所以C+2C+3C+…+nC=[]C．…2016年9月19日。

江苏省扬州市高三数学第四次模拟考试试卷-人教版高三全册数学试题

扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学参考答案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －17．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为53则c．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．93π 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于．110．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin333k f ππ'==-=-11．若直线30x y m ++=截半圆225y x =-8，则m = ．310-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,25,5,0OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为．1513．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为32，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为13413+，则椭圆方程为．2214x y += 析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:3l y x =代入得13||A x =，DB由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()xx f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈，若{|(g())}R A x f x e =>=，则a 的取值范围是．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()xxf x e -=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e ；当0x <时，1'()0x x f x e-=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=．设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分 ⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ，因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ，所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分又//MN 平面BCD ，平面ADE平面BCD DE =，所以//MN DE ， ……………12分在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． ……………14分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A Ba i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||2a =． ⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sin A =，边长2a =，求边长c ．解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=，即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13tan tan 022A B-=，故tan tan A B =13. ……………7分(2)由(1)可知,A B 为锐角．因为sin A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B AB +=-+=-=--，sin C =……………12分因为正弦定理sin sin a cA C=，所以227c =，所以边长c =． ……………14分 17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2 倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元． ⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分 ⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S =-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x=+-，（ 1.2x ≥）……9分 52339600032'30003000x y x x x-=-=，令'0y =得2x =，当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN 的距离为4141，求椭圆方程．解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==，又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分解法二：∵2a c =，∴3b c =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c +=上，即有22211334y c x =-，∴2222211113()()34MF x c y x c c x =-+=-+-22111111124|2|2422x cx c x c c x =-+=-=-同理2122NF c x =-，又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c c x c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-， ……………13分直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c = 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ck x x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩2122221644316443ck c x k ck c x k +=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即k =．直线MN的方程为(4)6y x c =--60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c =，故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数m a a a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m k N <∈ 是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分 ⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m kk a +-=，故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而1010241222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅，故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅，11(1)(21)m kk d a +--=- 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m km k ka k a a +--+-=⨯-，则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-，显然6k ≠，则112182166m k k k k+-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知，当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ……………16分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()xf eg x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<，故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P Px x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分 ⑶由题得111xx e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈，所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分解法一：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0xax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立，令1()(1)(1)1x x ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-，再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e-+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =， ①当0a =时，1'()0,x m x e=-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴ ()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减， ∴()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a-<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()xf eg x ≥，不满足条件.综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. (16)分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)xxxh x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()xh x e ax x a a =-+-，再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+- 同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >，故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≥，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，计算2M β．解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=，解得1,3λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分 21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(12x t t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C 方程为22(2)4x y +-= ……………4分又由212x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t得0x +=， ……………8分因为直线l 与圆C相切，所以||22-=得23m =±，又0m >，所以323m =+． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为 DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =， AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则13(0,0,0),(1,0,0),3),(3),(1,1,0),(0,2,0),(2A B C D E F P -- ⑴33(1,0,3),(,0,22DA PE =-=- 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则3cos |||2||||23DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA 与PE 所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,3)DE DF =-=则(,,)(2,1,3)230(,,)(1,2,3)230n DE x y z x y z n DF x y z x y z ⎧⋅=⋅=+-=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，得33z x ==，取1x =，则1,3y z ==故(1,1,3)n =是平面DEF 的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则2cos |||||||2AF n AF n β⋅===⨯⨯． ……………10分 23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：n m S 111322n m n +++<+-．解⑴228S =，4232S =； ……………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ， ……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m m m n n n S C C C =++⋅⋅⋅+，因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k n C -≥所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。

江苏省省2016届高三第四次模拟(5月)考试数学试题 Word版含答案

省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学试题 2016.5命题：高三数学组(考试时间：120分钟总分：160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1、已知集合}02|{2≤--=x x x A ，集合}31|{≤<=x x B ，则B ⋃A =2、已知i 为虚数单位，复数ii z ++=122，则复数z 的模为 3、命题“∃x ≥0，使x (x ＋3)≥0”的否定是4、下列程序： 1←SFor I From 1 to 10 Step 3 I S S S ⨯+← End ForPrint S输出的结果S 是5、在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则| x |+ y ≤ 0的概率为6、底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为．7、函数3sin 32cos6)(2-+=x xx f ωω(0>ω)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形，则ω=8、已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-0103013x y x y x ，则tan ∠AOB 的最大值等于 9、0,0>≥y x ，2≤+y x ，则yx y x +++2124最小值10、已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是11、设点P 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是△12PF F 的内心，若△1IPF ，△2IPF ，△12IF F 的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为12、已知函数||)(a x x x f -=，]3,2[1∈∀x ，]3,2[2∈∀x 21x x ≠，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+，则实数a 的取值范围 13、已知点O 为△ABC 的垂心，032=++OC OB OA ，则角A=14、设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=4028，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15、（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，14BC CC ==,D 是11AC 中点.（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ；（Ⅱ）求点B 到平面1B CD 的距离.16、（本小题满分14分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC x π=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅ ．（1）求()f x 解析式及定义域；（2）设()6()1g x m f x =⋅+ (0,)3x π∈，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为3(1,]2？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．17、（本小题满分14分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域O AB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（02θπ<<），其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切，且与OA 、OB 相切．（1）求半径较大的花坛⊙P 的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值．AB1AC1CD 1B18、（本小题满分16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上顶点A (0，2)，右焦点F (1，0)，设椭圆上任一点到点Q(0,6)的距离为d ．（1）求d 的最大值；（2）过点F 的直线交椭圆于点S ，T 两点，P 为直线l 上一动点,l 为椭圆的右准线．①若PF ⊥ST ，求证：直线OP 平分线段ST ；②设直线PS ，PF ，PT 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 2，k 3成等差数列．19、（本小题满分16分）已知函数0,0|,|)(ln )(><--+=c a c x c x x a x f(1)当41,43=-=c a 时，求函数)(x f 的单调区间； (2)当12+=a c 时，若41)(≥x f 对任意),(+∞∈c x 恒成立，求实数 a 的取值范围;(3)设函数)(x f 的图像在两点P ))(,(11x f x ，Q ))(,(22x f x 处的切线分别为l 1,l 2，若21ax -=，c x =2，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值.20、（本小题满分16分）已知有穷数列}{n a 各项均不相等，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列}{n P ，称}{n P 为}{n a 的“序数列”，例如数列：1a ，2a ，3a 满足1a >3a >2a ，则其序数列}{n P 为1，3，2．(1)求证：有穷数列}{n a 的序数列}{n P 为等差数列的充要条件是有穷数列}{n a 为单调数列；(2)若项数不少于5项的有穷数列}{n b ，}{n c 的通项公式分别是)()53(*N n n b n n ∈⋅=，)(*2N n tn n c n ∈+-=，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；(3)若有穷数列}{n d 满足1d =1，)()21(||*1N n d d n n n ∈=-+，且}{12-n d 的序数列单调减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学试题附加题 2016.5注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21、A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，D E ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥.22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能（1概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学附加题 2016.5注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D AC ⊥CD ，D E ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.A AB BD DE EO OC C·B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥.22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能（1概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.高三数学四模参考答案1、[-1,3]2、2 3、∀x ≥0，使x (x ＋3)<0 4、880 5、416、4+457、4π8、0.759、1.5 10、54-11、2 12、a 3≥ 13、4π14、33915（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11AC 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………6分（Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h，则11111=3C B CD B C D V S h -△，1=4h CC = 由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥， ∵ABC △是等边三角形，D 是11AC 中点，∴111A C B D ⊥，又1111=CC AC C ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1B D CD =1B CD S ∆设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --114=3B CD S h h ''⇒=△B 到平面1B CD……………14分 15. 解：（1）由正弦定理有：12sin sin sin()33BC ABx x ππ==-；…………………………2分 ∴1sin 2sin3BC x π=，sin()32sin 3x AB ππ-=…………………………………………4分∴41()sin sin()332f x AB BC x x π=∙=⋅-⋅21sin )sin 32x x x =-11sin(2)(0)3663x x ππ=+-<< ……………………………………… 6分（2）()6()1g x mf x =+=2sin(2)1(0)63m x m x ππ+-+<<假设存在实数m 符合题意，(0,)3x π∈∴512sin(2)(,1]66662x x ππππ<+<+∈，则 ……………………9分当0m >时， ()2sin(2)16g x m x m π=+-+的值域为(1,1]m + 又()g x 的值域为3(1,]2，解得 12m = ………………11分当0m <时，()2sin(2)16g x m x m π=+-+ 的值域为[1,1)m +又∵()g x 的值域为3(1,]2解得m 无解………………………13分 ∴存在实数12m =，使函数)(x f 的值域恰为3(1,]2……………14分 17解：(1)设⊙P 切OA 于M ，连PM ，⊙Q 切OA 于N ，连QN ，记⊙P 、⊙Q 的半径分别为r P 、r Q ． ∵⊙P 与⊙O 内切，∴|OP |＝80－r P ， ∴r Psin θ＋r P ＝80，………4分∴r P ＝80·sin θ1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………6分(2)∵|PQ |＝r P ＋r Q ∴|OP |－|OQ |＝r P sin θ－r Qsin θ＝r P ＋r Q∴r Q ＝80·sin θ(1－sin θ)1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………10分法一：令t ＝1＋sin θ∈(1,2)，∴r Q ＝80·(t －1)(2－t )t 2＝80⎝⎛⎭⎫－1－2t 2＋3t令m ＝1t ∈（12,1)，r Q ＝80(－2m 2＋3m －1) ∴m ＝34时，有最大值10．………13分注意：换元不写范围扣1分法二：∵2sin θ(1－sin θ)≤2sin θ＋(1－sin θ)2＝1＋sin θ2 ∴sin θ(1－sin θ)≤(1＋sin θ)28∴r Q≤10．此时sin θ＝13………14分注意：不指出取等号的条件扣1分法三：令t ＝sin θ∈(0,1)，r Q ＝80(t －t 2)(1＋t )2，∴r Q '＝80(1－3t )(1＋t )3令r Q '＝0得：t ＝13，【列表略】故t ＝13时，⊙Q 的半径的最大值为10．………13分注意：不列表扣1分答：⊙Q 的半径的最大值为10．………14分注意：应用题不写答扣1分18(1)由题意知b ＝2，c ＝1，则a ＝5，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1．d=8 ………5分（2）①当ST 斜率不存在时，由PF ⊥ST ，得P 为直线l 与x 轴的交点，此时线段ST 被直线OP 平分；当ST 斜率为0时，不合题意；当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)，联立直线与椭圆方程⎩⎨⎧y ＝k (x —1) x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 2)x 2—10k 2x ＋5k 2—20＝0．设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20 4＋5k 2，且△＞0．设线段ST 中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝5k 24＋5k 2，y 0＝ k (x 0—1)＝－4k 4＋5k 2，所以ST 中点为(5k 2 4＋5k 2，－4k 4＋5k2)．因为PF ⊥ST ，所以直线PF 方程为y ＝－1k (x —1)，所以点P 坐标为(5，—4k )，则直线OP 方程为y ＝－ 45k x ，而y 0＝－ 45kx 0，即(x 0，y 0)在直线OP 上，即直线OP 平分线段ST ．综上，直线OP 平分线段ST ．………10分（2）当ST 斜率不存在时，易得S (1，455)，T (1，－455)．设P (5，t )，则k 1＝t －4554，k 2＝t4，k 3＝t ＋4554，则k 1＋k 3＝t —4554＋t ＋4554＝t 2＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)（同第（1）问）．设P (5，t )，则k 1＝t —y 15—x 1＝t —k (x 1—1)5—x 1＝k ＋t —4k 5—x 1，k 2＝t 4，k 3＝t —y 25—x 2＝t —k (x 2—1)5—x 2＝k ＋t —4k 5—x 2，则k 1＋k 3＝k ＋t —4k 5—x 1＋k ＋t —4k5—x 2＝2k ＋(t —4k )(10—x 1—x 2)(5—x 1)( 5—x 2)＝2k ＋(t —4k )[10—(x 1＋x 2)]25—5(x 1＋x 2)＋x 1x 2．由（1）知x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2—204＋5k 2，代入上式得k 1＋k 3＝2k ＋(t —4k )[10— 10k 24＋5k 2]25—510k 2 4＋5k 2＋5k 2—20 4＋5k2＝2k ＋(t —4k )(40＋40k 2)80＋80k2＝2k ＋t —4k 2＝t 2，又k 2＝t4，所以k 1＋k 3＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．………6分综上：k 1，k 2，k 3成等差数列．【说明】考查直线与椭圆的位置关系，解析几何中的恒成立问题及分类讨论思想．19、函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--≥-+=,0,)(ln ,,)(ln )(22c x c x x a c x c x x a x f 求导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<++-≥+-=c x x a cx x c x x a cx x x f 0,22,,22)('22 (1)当43-=a ，41=c 时， ⎝⎛<<-+-≥--=410,4328,41,4328)('22x x x x x x x x x f 若0<x<14 ，则04328)('2<-+-=xx x x f 恒成立，所以f(x)在(0，14 )上单调递减若x ≥14 ，则xx x x f 4)34)(12()('-+=，令f'(x)=0，解得x=34 或x=- 12 (舍去) 当14 ≤x<34 时，f'(x)<0，f(x)在[14 ，34]上单调递减；当x>34 时，f'(x)>0，f(x)在(34，+∞)上单调递增综合，函数f(x)的单调减区间是(0，34 )，单调增区间是(34，+∞) (2)当x>c ，c=a 2 +1时， xa x x x f )2)(1()('--=，而c=a 2 +1<1 所以当c<x<1时，f'(x)<0，f(x)在(c ，1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增所以函数f(x)在(c ，+∞)上的最小值为f(1)=a 24，所以a 24≥14 恒成立，解得a ≤-1或a ≥1(舍去) 又由c=a 2 +1>0，得a>-2，所以实数a 的取值范围是(-2，-1](3)由l 1⊥l 2知， )(')2('c f a f -=-1，而f'(c)=a c ，则a c a f -=-)2('，若c a ≥-2，则c a a a c a a f 2222)2(2)2('-=-+---=-，所以-2c=-c a ，解得a=12 ，不合题意故2a -<c ，则222)2(2)2('a a a c a a f -+-+--=-=--8a +2c=-c a ，整理理，128+-=a a a c ，由c>0，得a<- 12 ，令-8a =t ，则a=- t 28 ，t>2，所以821482322-=+-⋅-=t t t t t c ，设g(t)=8223-t t ，则g'(t)=2222)82()12(2--t t t 当2<t<2 3 时，g'(t)<0，g(t)在(2，2 3 )上单调递减；当t>2 3 时，g'(t)>0，g(t)在(2 3 ，+∞)上单调递增所以函数g(t)的最小值为g(2 3 )=3 3 2 ，故实数c 的最小值为3 3 220．(1)充分性：当数列{a n }为单调数列时，即a 1>a 2>…>a n-1>a n ，或a 1<a 2<…<a m-1<a m ，所以其序数列{p m }为1，2，…，n-1，n ，或n ，n-1，…，2，1，均为等差数列必要性：当列{a m }的序数列为等差数列时，其序数列{p m }必为1，2，…，n-1，n ，或n ，n-1，…，2，1，所以有a 1>a 2>…>a n-1>a n ，或a 1<a 2<…<a n-1<a n ，所以数列{a n }为单调数列综上，有穷数列{a m }的序数列{p m }为等差数列的充要条件是有穷数列{a m }为单调数列(2)由题意得，b n+1-b n =(35 )n ·3-2n 5，当n=1时，易得b 2>b 1，当n ≥2时，b n+1<b n ，又b 1=35 ，b 3=3×（35 ）3，b 4=4×(35)4，b 4<b 1<b 3，即b 2>b 3>b 1>b 4>…>b n ，故数列{b n }的序数列为2，3，1，4，…，n ，则数列{c n }的序数列所以对于数列{c n }有2<t 2 <52，解得4<t<5 (3)因为{d 2n +1}的序数列单调递减，所以{d 2n-1}是递增数列，故d 2n+1-d 2n-1>0，于是(d 2n+1-d 2n )+(d 2n -d 2n-1)>0，又(12 )2n <(12)2n-1，所以|d 2n+1-d 2n |<|d 2n -d 2n-1|，从而d 2n -d 2n-1>0，d 2n -d 2n-1=(12 )2n-1=1222)1(--n n ，因为{d 2n }的序数列单调递增，所以{d 2n }是递减数列，同理可得d 2n+1-d 2n <0，故d 2n+1-d 2n =-(12 )2n =n n 2122)1(+-，由①②得d n+1-d n =nn 2)1(1+- 所以d n =d 1+(d 2-d 1)+(d 3-d 2)+…+(d n -d n-1)=1+122)1(2121--+++n n=1+211)21(1211+--⋅-n =12)1(3134--⋅+n n，即数列{d n }的通项公式为d n =12)1(3134--⋅+n n (n *N ∈) 21.B 解：MN =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由逆矩阵公式得， 1()MN -=20102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……4分即在矩阵MN 变换下11022022x x x x y y y y ⎡⎡⎤⎤'⎡⎡⎡⎤⎤⎤⎢⎢⎥⎥→==⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎥⎥'⎦⎦⎦⎣⎣⎣⎢⎣⎦⎦⎣， ……6分 1,22x x y y ''==， ……8分代入得：1sin 22y x ''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =． ……10分C （1）m=1 ……4分(2)32 ……10分解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P == （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的分布列为330.2340.1350.132⨯+⨯+⨯=23．（1）解：由原递推式得到11(1)1n n n n n t a a a t ++-=+-22121(1)1(1)12t a a t a t -==-+- 3233232221(1)(1)(1)1231)3(1)2t t t a t a a t t -⋅---===+-- 猜想得到1n n t a n -=…………（2分）下面用数学归纳法证明1n n t a n-= 10当n=1时 a 1=t —1 满足条件 20假设当n=k 时，1k k t a k -=则1111(1)(1)k k k k k t t a t t k k ++--+-=- ∴1111k k k t a k k ++--⋅= ∴1111k k t a k ++-=+, 即当n=k+1时，原命题也成立。

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扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试数学试题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）2016．5注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{|12}A x x =-<<，Z 是整数集，则A Z = ▲ ． 2．若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定 ▲ ． 4．已知ABC ∆中，21,2,3a b C π===，则边c 的长度为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是20，则输入的x 值是 ▲ ．6．在区间]2,1[-内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ．7．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．8．已知tan 2α=且α为锐角，则cos 2α= ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ▲ ．10．已知等边ABC ∆中，若1()3AP AB AC =+，AQ AP t AB =+ ，且AP AQ ⊥ ，则实数t 的值为▲ ．11．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，（第5题图）如果PQF ∆是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ． 12．设函数2log ()(0)()2(0)x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且n a =n *∈Ν）．若不等式2016n n S a λ≥-对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最小值为 ▲ ．14．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O 、A 两点处取得极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线2sin ([,])33y x x x ππ=∈上，则曲线()y f x =的切线斜率的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量(s i n (),1)2a x ωϕ=+ ，(1,cos())2b x ωϕ=+ (0,0)4πωϕ><<，记函数()()(f x a b a b=+⋅- ．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．16．（本小题满分14分）在三棱锥P －S BC 中，A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且3,8, 5.AB BC CD ===PA ⊥BC ．（1）求证：平面PSB ⊥平面ABCD ；（2）若平面PAD 平面PBC l =，求证：//l BC ．PSDCBA（第16题图）17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m 为常数，且36m ≤≤）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x 元/百支（3540x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e 成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m 最多为多少元？（精确到0.1元） 18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，椭圆的离心率为2．设点M 是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M 的直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点上，且满足13AM AB =．（1）求证：线段AB 的长是一定值；（2）若点N 是点M 关于原点的对称点，一过原点O 且与直线AB 平行的直线与椭圆交于P 、Q 两点（如图），求四边形MPNQ 面积的最大值，并求出此时直线MN 的斜率．19．（本小题满分16分）数列{}n a 是公差为d (0)d ≠的等差数列，它的前n 项和记为n A ，数列{}n b 是公比为q (1)q ≠的等比数列，它的前n 项和记为n B ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数,k m ，使k m a b =．（1）若11a =，2d =，3q =，4m =，求k A ．（2）若11a =，2d =，试比较2k A 与2m B 的大小，并说明理由；（3）若2q =，是否存在整数,m k ，使86k m A B =，若存在，求出,m k 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数()f x =1ln ,a x a x+∈R ．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当[]1,2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点(02)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试数学试题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）2016．521（B ）．（本小题满分10分）已知矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，求该矩阵的另一个特征值．21（C ）．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合）中，圆C 的方程为4cos ρθ=．若直线l 被圆Ca 的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下：如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望()E X ． 23．（本小题满分10分）已知*0()()nkk n nk f x Cx n N ==∈∑．（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4x 项的系数；（2）证明：012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+ ．2015-2016学年度高三第四次模拟测试数学试题Ⅰ参考答案2016．5一、填空题1．{0,1} 2．1i - 3．“2,10x R x x ∀∈++≠” 4．2或6 6．23 7．1 8．35- 9．1[0,]2 10．23- 11．2 12．[1,)+∞ 13．1201714．32二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+………………………4分由题意得：周期24T πω==，故2πω=……………………6分（2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． ……………………10分当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤ ∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． ……………………14分16．证：（1） A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且8BC = //AD BC ∴且4AD = 3,AB SA == 5CD SD ==222SA AD SD ∴+=90SAD ∴∠=︒即SA AD ⊥BC SB ∴⊥ ……………………3分 PA BC ⊥ ，PA SB A = ，PA 、SB ⊂平面PSB BC ∴⊥平面PSBBC ⊂ 平面ABCD ∴平面PSB ⊥平面ABCD ……………………7分（2）//AD BC ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD//BC ∴平面PAD ……………………10分 BC ⊂ 平面PBC ，平面PAD 平面PBC l =//l BC ∴ ……………………14分17．解：（1）设日销量为x k e ，则401000ke=401000k e ∴=．则日售量为401000xe e ∴日利润401000(30)x e y x m e =--⋅．即 401000(30)xe x m y e--=，其中3540x ≤≤． ………………3分令'0y =得31x m =+．① 当34m ≤<时，343135m ≤+< ∴当3540x ≤≤时，'0y ≤．∴当35x =时，y 取最大值，最大值为51000(5)m e -． ………………5分② 当46m ≤≤时，353137m ≤+≤，函数y 在[35,31]m +上单调递增，在[31,40]m +上单调递减． ∴ 当31x m =+时，y 取最大值91000m e -． ………………7分∴当34m ≤<时，35x =时，日利润最大值为51000(5)m e -元当46m ≤≤时，31x m =+时，日利润最大值为91000m e -元． ………………8分（2）由题意得：401000(30)1000xe x m e--≥对[35,40]x ∀∈恒成立 ………………10分则4030xe m x e ≤--对[35,40]x ∀∈恒成立设40()30x e h x x e =--，[35,40]x ∈ 404040'()1x xe e e h x e e -∴=-=则()h x 在[35,40]上单调增，则min 51()(35)5h x h e ==-，即515m e≤- 5.0≈∴每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元答：每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元． ………………14分18．解：（1）由题意得：24a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，则2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩1b ∴= ∴椭圆方程为：2214x y += ……………………3分设00(,)M x y ，则220014x y += 13AM AB = 且A 、B 分别在x 轴、y 轴上 003(,0),(0,3)2A xB y ∴222220000999()944x AB x y y ∴=+=+= 3AB ∴=为定值 ……………………7分（2）方法（一）设11(,)P x y //AB PQ 002PQ AB yk k x ∴==-，220044x y +=则直线PQ 的方程为：02y y x x =-…………………9分 ∵0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22012200220122004161616x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪+⎩2222002222000041664441616x y PQ OP x y x y +∴==⋅=++ 点M 到直线00:20PQ y x x y +=的距离：00|3|2x y d ==………12分003||12222四边形MPQMPNQ x y S S PQ d ∆∴==⨯⋅====，令231,1t y t =+≥，则242002011()14133(5)3199t t y y t y t t ---+-+==-+-≤+ 当且仅当2t =时，取等号；即20312y +=时，max ()4四边形MPNQ S =，此时220018,33y x ==MN k ∴=………16分方法（二）设直线MN 的斜率为k ，则00322PQ AB y k k k x -===-，则直线MN 方程为y kx =，直线PQ 方程为2y kx =-， …………………9分解方程组22,1,4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩M x =，用2k -代k得，P x =，由椭圆的对称性知2|M MN OM x ==，点P 到直线MN的距离|||(2)|3||kx y kx kx kx d ---=………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ 的面积1226||||2PMN M P S S MN d x kx ∆==⋅⋅=⋅＝4,==≤=当且仅当22164k k =，即4k =±时取等号，所以，四边形MPNQ 的面积的最大值为4，此时直线MN的斜率4k =±． ………16分 19．解：（1）34327k a b ===，即2127k -=，14k =，14196A =． ………3分（2）依题意，224k A k =，且121m q k -=-，显然1q >．又222211[(21)1]11m mq B k q q q -==----，所以222221[(21)1]41m k B A k q k q -=---- 22221[(21)4(41)]1k q k q k q =--+--， ………6分设2222()(21)4(41)f x k x k x k =--+-，2(1)(21)10f k =-->它是关于x 的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程22412(21)k x k =<-，故()f x 是(1,)+∞上的增函数，所以当1x >时()(1)0f x f >>，即220m k B A ->，所以22k m A B <． ………9分（3）依题意：112m k m a b a -==⋅，由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-，即111112286212m m a a a a k --+⋅⨯=⨯-， 4862128622486486m k k k⨯+⨯==-⨯-⨯-， ………12分所以151634421m k --=+，因为92512=，故19m -≤，且51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数则其中121129m -+=时，151621m -+是整数，故17m -=，8m =且340k =． ………16分20．解：（1）2211'()a ax f x x x x-=-+=， 0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间(0,)+∞，0a >时，令10ax -<则1x a<，即10x a <<时，'()0f x <，则()f x 的单调递减区间1(0,)a． ………3分（2）①12a ≤，()f x 在[1,2]上单调递减，min 1()(2)ln 202f x f a ∴==+=，解得：112ln 22a =-≤，适合题意；②1a ≥，()f x 在[1,2]上单调递增，min ()(1)10f x f ∴==≠，无解； ③112a <<，()f x 在1[1,]a 上单调递减，1[,2]a 上单调递增，min 11()()ln 0f x f a a a a ∴==+=，解得：a e =，舍去；综上可得：12ln 2a =-． ………8分（3）0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线．设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：00200()210f x ax x x --=- 即00011ln 2a x a x x +-=-，化简得：002ln 20a x a x +--= 设2()ln 2F x a x a x=+--，0x >故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分2222'()a ax F x x x x -=-+=①当0a =时，2()2F x x=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1； ………11分 ③ 当0a <时，22'()0ax F x x-=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2()20F e e=-< 故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，当0a <时，()F x 在(0,)+∞上恰有一个零点； ………12分 ③0a >时，()F x 在2(0,)a上递减，在2(,)a +∞上递增，故()F x 在(0,)+∞上至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-<又函数ln y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞，故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使02ln a x a+>，此时 00000222()ln 2(ln )0a F x a x a a x x x a+=+--=+-> 由于21a a+>，即函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点； ………14分111(1)1121()2(1)22(23)a a a aaa F eea a a e a a a-++++++=-++--=-++先证明当0a >时，112(2)a ae a ++≥+，即证112ln(2)a a a++≥+ 若(0,2)a ∈，113a a++≥，而2ln(2)2ln 4a +≤，由于2ln 4ln163=< 若[2,)a ∈+∞，构建函数1()12ln(2)x x x x ϕ=++-+，32222122(1)2'()102(2)(2)x x x x x x x x x x x ϕ----=--==>+++()x ϕ在[2,)+∞为增函数，1()(2)32ln 402a ϕϕ≥=+->综上0a >时，112(2)a aea ++≥+，所以11222222(2)23(25)23a aea a a a a a a ++≥+=+++++>++，故1(1)()0a aF e-++>又1(1)(1)0,1a aF e-++<<，所以在1(1)(,1)a ae-++必有一零点．∴当0a >时，()F x 在(0,)+∞上有两个零点∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线． ………16分数学试题Ⅱ参考答案 21（B ）．解：因为2113111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则2313a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ …5分由212()(1)4021f λλλλ--==--=--，所以(1)(3)0λλ+-= 211,3λλ=-= 1λ=-所以另一个特征值是． ………………………………10分21（C ）．解：直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）所以直线的直角坐标系方程是：220x y a +--= ………………………………2分圆的直角坐标系方程是：2224x y -+=（），圆心（2，0），半径2r =……………………4分设圆心到直线的距离为d，224d +=⎝⎭，所以d = ……………………………7分又d ==所以9122a =-或 ………………………………10分 22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A ，则213124()()339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则224222666(0)225C C P X C C === 112112422244226656(1)225C C C C C C P X C C +=== 11112222424244222266101(2)225C C C C C C C C P X C C ++=== 211211242442226656(3)225C C C C C C P X C C +=== 222422666(4)225C C P X C C === ……………8分56101566()2342225225225225E X ∴=+⨯+⨯+⨯=答：数学期望为2 …………………………10分23．解：（1）00110()(1)nk k n n n n nn n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑ …………………………1分456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=； …………………………3分（2） 012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m nC C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++设12()(1)2(1)(1)m m m nh x x x n x +++=++++++ ①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++ ……5分由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+ ②11(1)1(1)()(1)1(1)m nm n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+ …………………………7分3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++ 21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+所以012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+………………10分。