14.1.2直角三角形的判定(华师版)
（2）2，3，4
锐角三角形
钝角三角形
32＋42 > 42 22＋32 < 42
32＋42 = 52
（3）3，4，5
直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的 平方和与最长边的平方之间的大小关系.
知识要点
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a、b、c满足
a2 + b2 = c2，那么这个
反过来
三角形是直角三角形.
• 在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A， B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单 位、45个单位和75个单位的三段线段。 自己握住绳子的两 个端点（A点和D 点），两名同伴分 别握住B点和C点， 一起将绳子拉直， 会得到一根什么形 状？为什么？
2 2 2 2 2
吗?说明理由
2 2 2 2 2
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 解： a b (m n ) (2mn) (m n ) c 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， ∴△ABC是直角三角形 m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
7. 阅读下列解题过程: 已知a,b,c为△ABC的三边,且 满足a2c2-b2c2=a4-b4, 试判断△ABC的形状.
(4) a=1 b=2 c= 3
不是 _____
_____ ;
____ ∠ _____0; 是 B=90
典例剖析
例2、已知：如图，四边形ABCD中， ∠B＝900 ，AB＝3，BC＝4，CD＝12， AD＝13,求四边形ABCD的面积.
C
4
12
5
B
3
D
13
A
中考链接
已知：如图，四边形ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
解∵ a2c2-b2c2=a4-b4 ∴ (a2-b2)c2=(a2+b2)(a2-b2) ∴ c2=a2+b2
① ② ③
∴ △ABC是直角三角形 问:上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写 ③ 出 该 步 的 序 号 :______, 错 误 的 原 因 为:______________;本题正确的结论 a2-b2可能为0 直角三角形或等腰三角形 是______________________
B
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC= 2 3 CD=
3 DE=3,求证:AD⊥CD
D 3 E
2 3
60° 60°
3
C
A
4
B
已知 △ABC三角形的三边
2 2
分别为
2 2
a, b,c
且 a = m - n ,b = 2mn, c = m n (m > n, m, n是正整数)， △ABC是直角三角形
§14.1.2 直角三角形的判定
忆一忆
直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余 )；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方 .
反之,一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢?
想一想
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形； 2 2 2 (3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a +b =c , 那么这个三角形是直角三角形吗
此时四边形ABCD 的面积是多少?
6. 已知a,b,c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,
CD=7,AD=24, ∠B=90°
求证:∠A+∠C=180° D
7 C 24 15
A
20
2 2
)
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、等边三角形
原来如此
据说,古埃及人曾用下面的பைடு நூலகம் 法画直角：他们用13个等距离 A 的结把一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1个结和第13个结，两个助手分 C B 别握住第4个结和第8个结，拉 紧绳子，就会得到一个直角三角 解:如图，设每两个结的 形,其直角在第4个结处. 距离为a（a>0）,则 AC=3a,BC=4a,AB=5a.
???
你知道吗
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
* * * * * * * * *
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用13个等距离的结把一根绳 子分成等长的12段，一个工匠同时握 住绳子的第1个结和第13个结，两个 助手分别握住第4个结和第8个结，拉 紧绳子，就会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处.
*
*
*
*
(13)
(1)
* (12) (11) * (2) * * (10) (9) (3) * * * (4) * (7) (8) * * (6) * * (5)
你想知道这是什么道理吗?
小组探究
试用小塑料棒拼出三边长度分别为如 下数据的三角形，猜想它们是些什么形状 的三角形？（按角分类）
（1）3，4，4
三角形是直角三角形.
数形结 合思想
练一练
练习1、下面以a,b,c为边长的△ABC是 不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直 角？ 是 ∠_____ ; C=900 (1) a=6 b=8 c=10 ____ (2) a=12 b=8 c=15 不是 ____ _____ ;
(3) a=8 b=6 c=5
C B D A
S四边形ABCD=36
延伸拓展 练习2、满足下列条件△ABC, 不是直 角三角形的是 (D ) A、b2 = a2 - c2 B、a:b:c=3:4:5 C、∠C=∠B - ∠A D、∠A:∠B :∠C =3:4:5
三角形三边长a、b、c满足条件 (a b) c 2ab, 则此三角形是(
(1)
课堂小结 通过本节课的学习，同学们有哪些收获？ 1、 勾股定理的逆定理的内容； ２、判定一个三角形是直角三角形的方法 （从角、边两个方面来考虑）； ３、勾股定理与它的逆定理之间的关系. ４、数形结合的数学思想.
一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件 中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个 零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?
(13)
∵ AC AB ∴ AC
2 2 2
+ BC + BC
2
= 3 a 2 + 4 a 2 =25 a 2 = AB
2
= 5 a 2 =25 a 2
2
从 而 ACB =90
* (12) (11) * (2) * * (10) (9) (3) * * * (4) * (7) (8) * * (6) * * (5)
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 .
典例剖析
例1：判断由线段a，b，c组成的三
(2) a=13，b=11，c=9 分析：根据勾股定理
的逆定理, 判断一个三 角形是不是直角三角 形, 只要看两条较短边 长的平方和是否等于 最长边长的平方.
角形是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24; 解:(1)最长边为25 ∵a2+c2=72+242 =49+576 =625 b2=252 =625 ∴a2+c2=b2 ∴以7, 25, 24为边长的
锐角三角形
钝角三角形
32＋42 > 42 22＋32 < 42
32＋42 = 52
（3）3，4，5
直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的 平方和与最长边的平方之间的大小关系.
知识要点
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a、b、c满足
a2 + b2 = c2，那么这个
反过来
三角形是直角三角形.
• 在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A， B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单 位、45个单位和75个单位的三段线段。 自己握住绳子的两 个端点（A点和D 点），两名同伴分 别握住B点和C点， 一起将绳子拉直， 会得到一根什么形 状？为什么？
2 2 2 2 2
吗?说明理由
2 2 2 2 2
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 解： a b (m n ) (2mn) (m n ) c 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， ∴△ABC是直角三角形 m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
7. 阅读下列解题过程: 已知a,b,c为△ABC的三边,且 满足a2c2-b2c2=a4-b4, 试判断△ABC的形状.
(4) a=1 b=2 c= 3
不是 _____
_____ ;
____ ∠ _____0; 是 B=90
典例剖析
例2、已知：如图，四边形ABCD中， ∠B＝900 ，AB＝3，BC＝4，CD＝12， AD＝13,求四边形ABCD的面积.
C
4
12
5
B
3
D
13
A
中考链接
已知：如图，四边形ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
解∵ a2c2-b2c2=a4-b4 ∴ (a2-b2)c2=(a2+b2)(a2-b2) ∴ c2=a2+b2
① ② ③
∴ △ABC是直角三角形 问:上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写 ③ 出 该 步 的 序 号 :______, 错 误 的 原 因 为:______________;本题正确的结论 a2-b2可能为0 直角三角形或等腰三角形 是______________________
B
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC= 2 3 CD=
3 DE=3,求证:AD⊥CD
D 3 E
2 3
60° 60°
3
C
A
4
B
已知 △ABC三角形的三边
2 2
分别为
2 2
a, b,c
且 a = m - n ,b = 2mn, c = m n (m > n, m, n是正整数)， △ABC是直角三角形
§14.1.2 直角三角形的判定
忆一忆
直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余 )；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方 .
反之,一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢?
想一想
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形； 2 2 2 (3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a +b =c , 那么这个三角形是直角三角形吗
此时四边形ABCD 的面积是多少?
6. 已知a,b,c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,
CD=7,AD=24, ∠B=90°
求证:∠A+∠C=180° D
7 C 24 15
A
20
2 2
)
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、等边三角形
原来如此
据说,古埃及人曾用下面的பைடு நூலகம் 法画直角：他们用13个等距离 A 的结把一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1个结和第13个结，两个助手分 C B 别握住第4个结和第8个结，拉 紧绳子，就会得到一个直角三角 解:如图，设每两个结的 形,其直角在第4个结处. 距离为a（a>0）,则 AC=3a,BC=4a,AB=5a.
???
你知道吗
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
* * * * * * * * *
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用13个等距离的结把一根绳 子分成等长的12段，一个工匠同时握 住绳子的第1个结和第13个结，两个 助手分别握住第4个结和第8个结，拉 紧绳子，就会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处.
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(13)
(1)
* (12) (11) * (2) * * (10) (9) (3) * * * (4) * (7) (8) * * (6) * * (5)
你想知道这是什么道理吗?
小组探究
试用小塑料棒拼出三边长度分别为如 下数据的三角形，猜想它们是些什么形状 的三角形？（按角分类）
（1）3，4，4
三角形是直角三角形.
数形结 合思想
练一练
练习1、下面以a,b,c为边长的△ABC是 不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直 角？ 是 ∠_____ ; C=900 (1) a=6 b=8 c=10 ____ (2) a=12 b=8 c=15 不是 ____ _____ ;
(3) a=8 b=6 c=5
C B D A
S四边形ABCD=36
延伸拓展 练习2、满足下列条件△ABC, 不是直 角三角形的是 (D ) A、b2 = a2 - c2 B、a:b:c=3:4:5 C、∠C=∠B - ∠A D、∠A:∠B :∠C =3:4:5
三角形三边长a、b、c满足条件 (a b) c 2ab, 则此三角形是(
(1)
课堂小结 通过本节课的学习，同学们有哪些收获？ 1、 勾股定理的逆定理的内容； ２、判定一个三角形是直角三角形的方法 （从角、边两个方面来考虑）； ３、勾股定理与它的逆定理之间的关系. ４、数形结合的数学思想.
一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件 中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个 零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?
(13)
∵ AC AB ∴ AC
2 2 2
+ BC + BC
2
= 3 a 2 + 4 a 2 =25 a 2 = AB
2
= 5 a 2 =25 a 2
2
从 而 ACB =90
* (12) (11) * (2) * * (10) (9) (3) * * * (4) * (7) (8) * * (6) * * (5)
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 .
典例剖析
例1：判断由线段a，b，c组成的三
(2) a=13，b=11，c=9 分析：根据勾股定理
的逆定理, 判断一个三 角形是不是直角三角 形, 只要看两条较短边 长的平方和是否等于 最长边长的平方.
角形是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24; 解:(1)最长边为25 ∵a2+c2=72+242 =49+576 =625 b2=252 =625 ∴a2+c2=b2 ∴以7, 25, 24为边长的
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1勾股定理2.直角三角形的判定PPT课件(华师大版)
14.1.2 直角三角形的判定
重难互动探究
探究问题一 直角三角形的判定 例 1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是否是直角三 角形． (1)a＝5，b＝13，c＝12； (2)a＝4，b＝5，c＝6； (3)a∶b∶c＝3∶4∶5.
14.1.2 直角三角形的判定
解：(1)∵ 52＋ 122＝ 169，132＝169， ∴52＋ 122＝ 132， ∴这个三角形是直角三角形． (2)∵ 42＋ 52＝41，62＝36， ∴42＋52≠62， ∴这个三角形不是直角三角形． (3)设三角形的三边长分别为 3k，4k，5k，其中 k 为正整 数． ∵(3k)2＋(4k)2＝25k2 ，(5k)2＝ 25k2， ∴(3k)2＋(4k)2＝(5k)2， ∴这个三角形是直角三角形．
[答案] 都满足 略 ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
14.1.2 直角三角形的判定
新知梳理
► 知识点一 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2＋b2＝c2 ，那 么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角． ► 知识点二 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股 数．
14.1.2 直角三角形的判定
[归纳总结] 单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角 三角形后，求这个直角三角形的角度或求面积．
综合应用：先由勾股定理，求出三角形的边，再由勾股定 理的逆定理，确定三角形的形状，进而解决其他问题．
逆向应用：非直角三角形的判定：如果一个三角形的较短 的两边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形就不是 直角三角形．
图 14－1－43 [解析] 已经知道 AD＝12，AC＝15，要求 DC 的长， 只需知道∠ADC 为直角即可，而△ABD 的三边长知道，可 以由勾股定理的逆定理，得出∠ADB 为直角，从而得出 ∠ADC 为直角．
华东师范大学出版社初中数学八年级上册 14.1.2直角三角形的判定3 (19张PPT))优质课件PP
A′
中，
∵BC=a=B′C′ AC=b=A′C′,
AB=c=A′B′ ∴△ABC≌△AB′C′
C′ B′
∴ ∠C= ∠C′=90°
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。
反过来
逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 有
关系 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是
你知道这是什么道理吗？
•试一试
逻辑推理 证明结论
逻辑推理：已知如图，在 △ABC中，
AB=c,BC=a， AC=b,a2+b2=c2.
求证：∠C=90°
证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°， B′C′=a，A′C′=b,
则a2+b2=A′B′2=c2 即 A′B′=c
在△ABC和 △A′B′C′
C.∠C=∠A-∠B
D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5
2.下列各组线段中,能组成直角三角形的是( ) A. 5,6,7 B. 32,42,52 C. 5,11,12 D. 5,12,13
3 .三 角 形 三 边 长 a 、 b 、 c 满 足 条 件
(a b)2 c 2 2ab,则 此 三 角 形 是 ( B )
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2)2
=c2 ∴△ABC是直角三角形。
课堂小结：
1、在探究勾股定理的逆定理 的过程中，我们经历了哪些
过程？
2、勾股定理的逆定理的内容 是什么不是直角三角形的是( D )
A.b2=a2-c2
B. a:b:c=3:4:5
14.1 勾股定理
直角三角形的判定
14.1.2 直角三角形的判定 华东师大版数学八年级上册课件1
那么这个三角形是直角三角形吗???
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的 12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就
会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处。
这个问题意味着什么呢？
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三边分别为3、4 、5．满足关系: 32＋42＝52．那么围 成的三角形是直角三角形．
三角形是直角三角形
三角形不是直角三角形
★★归纳：用勾股定理逆定理判断 三角形是否是直角三角形的步骤
①、确定最大边（如c，c边所对的角是∠C）
②、验证：是否相等 若=，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形 若≠，则△ABC不是直角三角形
下面以a,b,cБайду номын сангаас边长的三角形是不是直角三角形？ 如果是那么哪一个角是直角？
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个
三角形是直角三角形。且边c所对的角是 直角。
命题：如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直
角三角形。且边c所对的角为直角。
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2， 求证：∠C=900
此时四边形ABCD 的面积是多少?
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个
三角形是直角三角形。且边c所对的角是 直角。
能够成为直角三角形三条边长的三个正
整数，称为勾股数.
课后练习：
请你完成以下未完成的勾股数： （1）3, 4，_____ (2)5，12，_____ (3)10，26，______
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的 12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就
会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处。
这个问题意味着什么呢？
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三边分别为3、4 、5．满足关系: 32＋42＝52．那么围 成的三角形是直角三角形．
三角形是直角三角形
三角形不是直角三角形
★★归纳：用勾股定理逆定理判断 三角形是否是直角三角形的步骤
①、确定最大边（如c，c边所对的角是∠C）
②、验证：是否相等 若=，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形 若≠，则△ABC不是直角三角形
下面以a,b,cБайду номын сангаас边长的三角形是不是直角三角形？ 如果是那么哪一个角是直角？
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个
三角形是直角三角形。且边c所对的角是 直角。
命题：如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直
角三角形。且边c所对的角为直角。
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2， 求证：∠C=900
此时四边形ABCD 的面积是多少?
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个
三角形是直角三角形。且边c所对的角是 直角。
能够成为直角三角形三条边长的三个正
整数，称为勾股数.
课后练习：
请你完成以下未完成的勾股数： （1）3, 4，_____ (2)5，12，_____ (3)10，26，______
14.1.2 直角三角形的判定 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
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14.1.2 直角三角形的判定
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变式衍生
如图是一块四边形的菜地，经人工测量菜
重
难
题 地的四周可知 AB =26，BC =6，CD=8，AD=24，∠C=90°
型 ，则这块菜地的面积为 （
）
D
突
破
A. 96
B. 120
C. 128
D. 144
14.1.2 直角三角形的判定
重
难
题
型
突
破
清
单
）
解 角三角形的是（
读
A. 2，2，3
B. 1.5，2，2.5
C. 2，3，4
D. 1， ，3
14.1.2 直角三角形的判定
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ B
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14.1.2 直角三角形的判定
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形
重 ■题型
难
例 如图，已知在△ABC 中，CD⊥AB 于
题
型
点 D，BD=9，BC=15，AC=20．
突
破
（1）求 CD 的长；
（2）求 AB 的长；
（3）判断△ABC 的形状.
返回目录
14.1.2 直角三角形的判定
返回目录
［解析］（1）在 Rt△BCD 中，根据勾股定理求出 CD
重
难
题 的长；
型
（2）在 Rt△ACD 中根据勾股定理求出 AD 的长，故可
突
破 得出 AB 的长；
（3）由勾股定理的逆定理即可得出结论．
14.1.2 直角三角形的判定
［答案］ 解：（1）在△BCD 中，∵CD⊥AB，
2022年华师大版八年级数学上册《直角三角形的判定》优质优质课课件
2022/5/62022/5/6 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/62022/5/62022/5/65/6/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
我们，还在路上……
图 14－1－43 [解析] 已经知道 AD＝12，AC＝15，要求 DC 的长， 只需知道∠ADC 为直角即可，而△ABD 的三边长知道，可 以由勾股定理的逆定理，得出∠ADB 为直角，从而得出 ∠ADC 为直角．
14.1.2 直角三角形的判定
解：在△ABD 中，AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，根据 勾股定理的逆定理可知△ABD 为直角三角形，
[答案] (1)都满足 (2)略 ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
14.1.2 直角三角形的判定
新知梳理
► 知识点一 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2＋b2＝c2 ，那 么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角． ► 知识点二 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股 数．
[点评] 求不规则的四边形的面积，通常是添加辅助线， 转化为两个直角三角形的面积和，所以要判断这两个三角形均 为直角三角形．
• 在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/62022/5/6May 6, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
14.1.2 直角三角形的判定
重难互动探究
探究问题一 直角三角形的判定 例 1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是否是直角三 角形． (1)a＝5，b＝13，c＝12； (2)a＝4，b＝5，c＝6； (3)a∶b∶c＝3∶4∶5.
You made my day!
我们，还在路上……
图 14－1－43 [解析] 已经知道 AD＝12，AC＝15，要求 DC 的长， 只需知道∠ADC 为直角即可，而△ABD 的三边长知道，可 以由勾股定理的逆定理，得出∠ADB 为直角，从而得出 ∠ADC 为直角．
14.1.2 直角三角形的判定
解：在△ABD 中，AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，根据 勾股定理的逆定理可知△ABD 为直角三角形，
[答案] (1)都满足 (2)略 ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
14.1.2 直角三角形的判定
新知梳理
► 知识点一 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2＋b2＝c2 ，那 么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角． ► 知识点二 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股 数．
[点评] 求不规则的四边形的面积，通常是添加辅助线， 转化为两个直角三角形的面积和，所以要判断这两个三角形均 为直角三角形．
• 在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/62022/5/6May 6, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
14.1.2 直角三角形的判定
重难互动探究
探究问题一 直角三角形的判定 例 1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是否是直角三 角形． (1)a＝5，b＝13，c＝12； (2)a＝4，b＝5，c＝6； (3)a∶b∶c＝3∶4∶5.
初中数学八年级上华东师大版14.1勾股定理-14.1.2 直角三角形的判定教案
14.1.2 直角三角形的判定一、教学目标知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用．过程与方法：通过“创设情境---实验验证----理论释意---实际应用---探究活动”的探索过程，让学生感受知识的乐趣情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，体会逆向思维所获得的结论．明确其应用范围和实际价值．二、重点、难点、关键重点：理解和应用直角三角形的判定．难点：运用直角三角形判定方法进行解决问题．关键：运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆向思维，形成一种判别方法．三、教学准备教师准备：直尺、投影机．制作教具学生准备：复习勾股定理，预习本节课内容．一复习引入问题1：直角三角形有什么性质？(1)有一个角是直角； (2)两个锐角互余；(3) 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么：a2 + b2 = c2问题2：反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?（有一个角是直角；两个锐角互余）问题3：猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？这就是我们今天所要学习的内容板书：14.1.2 直角三角形的判定二创设情境古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.你知道这是什么道理吗？（教具展示：用纸片钉好图形）三实验验证探究新知：1、画图：试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么形状的三角形:(1)a=3,b=4,c=5；（第一组同学画）(2)a=4,b=6,c=8; （第二组同学画）(3)a=6,b=8,c=10. （第3组同学画）（4）a=2,b=3,c=4 （第4组同学画）用展示台展示每一个组几个学生的图形,从而得出（在这三组数据中以(1)、（3）两组为边所画的三角形是直角三角形；以(2)、（4）两组为边所画的三角形不是直角三角形）2、结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状有怎样的关系吗？而在这三组数据中,(1)、（3）两组都满足a2 + b2 = c2而(2)、（4））不满足.3、归纳：（请一学生口述师完善并板书）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
华师大版八年级上册数学《14-1-2 直角三角形的判定》
A
2E
2
D 直角三角形.
1
F
由勾股定理，知
4
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
3
BF2=32+42=25，
B
4
C
∴BE2+EF2=BF2.
∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直角 三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形.
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°.
证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°
A′C′=b，B′C′=a， 则A′B′²=a²+b²=c²，
即A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC=a=B′C′，
AC=b=A′C′， AB=c=A′B′，
B
A.3∶4∶7
B.5∶12∶13
C.1∶2∶4
D.1∶3∶5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形 ( )A
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面 积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形直. 角
(7)
(8)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
**** * *
(12)
*
(13)
*
讲授新课
一 直角三角形的判定
华东师大版八年级上册数学《14.1.2直角三角形的判定》教学设计
-通过小组讨论和师生互动，引导学生从不同角度思考问题，突破思维定势，提高解题技巧。
（二）教学设想
1.课前准备：
-教师应充分准备教学素材，包括直观教具、多媒体课件等，以便在课堂上直观展示直角三角形的判定过程。
-设计预习作业，让学生提前接触勾股定理的逆定理，为课堂学习打下基础。
2.课堂实施：
-采用启发式教学，引导学生自主发现勾股定理的逆定理，并通过小组合作验证其正确性。
-通过直观的图形展示和实际例题，让学生理解并掌握勾股定理的逆定理，能够灵活运用到直角三角形的判定中。
-设计不同层次的练习题，让学生在解决问题的过程中，加深对判定方法的理解和运用。
2.教学难点：在实际问题中灵活运用判定方法，解决具体问题。
-针对学生在应用判定方法时可能遇到的困难，提供具体的情境模拟和案例分析，帮助学生建立起理论知识与实际情境的联系。
华东师大版八年级上册数学《14.1.2直角三角形的判定》教学三角形的定义，知道直角三角形的特点及性质。
2.学会使用直角三角形的判定方法，包括勾股定理的逆定理、三角函数法等，能够准确地判断一个三角形是否为直角三角形。
3.能够运用直角三角形的判定方法解决实际问题，如测量距离、高度等，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
2.小组讨论：如何使用今天所学的直角三角形判定方法来判断这些三角形？
3.各小组分享判定结果和心得，教师点评并给予鼓励。
（四）课堂练习
1.教师发放练习题，包括基本题和提高题，要求学生在规定时间内完成。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.教师选取部分学生的作业进行展示和讲解，分析解题思路和易错点。
4.教学评价：
-采用多元化的评价方式，包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论参与度等，全面评估学生的学习效果。
（二）教学设想
1.课前准备：
-教师应充分准备教学素材，包括直观教具、多媒体课件等，以便在课堂上直观展示直角三角形的判定过程。
-设计预习作业，让学生提前接触勾股定理的逆定理，为课堂学习打下基础。
2.课堂实施：
-采用启发式教学，引导学生自主发现勾股定理的逆定理，并通过小组合作验证其正确性。
-通过直观的图形展示和实际例题，让学生理解并掌握勾股定理的逆定理，能够灵活运用到直角三角形的判定中。
-设计不同层次的练习题，让学生在解决问题的过程中，加深对判定方法的理解和运用。
2.教学难点：在实际问题中灵活运用判定方法，解决具体问题。
-针对学生在应用判定方法时可能遇到的困难，提供具体的情境模拟和案例分析，帮助学生建立起理论知识与实际情境的联系。
华东师大版八年级上册数学《14.1.2直角三角形的判定》教学三角形的定义，知道直角三角形的特点及性质。
2.学会使用直角三角形的判定方法，包括勾股定理的逆定理、三角函数法等，能够准确地判断一个三角形是否为直角三角形。
3.能够运用直角三角形的判定方法解决实际问题，如测量距离、高度等，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
2.小组讨论：如何使用今天所学的直角三角形判定方法来判断这些三角形？
3.各小组分享判定结果和心得，教师点评并给予鼓励。
（四）课堂练习
1.教师发放练习题，包括基本题和提高题，要求学生在规定时间内完成。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.教师选取部分学生的作业进行展示和讲解，分析解题思路和易错点。
4.教学评价：
-采用多元化的评价方式，包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论参与度等，全面评估学生的学习效果。
14.1.2 直角三角形的判定、反证法(课件)2024-2025-华东师大版数学八年级上册
课堂新授
知识点 2 勾股数
知2－讲
1. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个 数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的 平方.
课堂新授
2. 判别一组数是不是勾股数的一般步骤
知2－讲
(1)“看”：看是不是三个正整数；
(2)“找”：找最大数；
课堂新授
解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角 .
知3－练
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角 .
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角 .
不妨设∠B＝∠C＝90°.
∴∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ ∠A ＋ 90° ＋ 90° ＝ ∠A ＋ 180°>
180°. 这与“三角形的内角和是 180°”相矛盾 .
遇比例用参数法.
(3)设a＝3x，则b＝4x，c＝5x. 易得(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即
a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.
课堂新授
知1－练
方法点拨：判定直角三角形的方法： 1. 如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是直角， 或者证明其中一个角等于已知的直角，得到直角三角形. 2 . 如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角形三边 长的数量关系[即a2＋b2＝c2(c为最长边)]，得到直角三角形.
归纳总结
直角三角形的判定、反证法
反证法
论新授
例 2 下面四组数中是勾股数的一组是( D )
A. 6，7，8
B. 5，8，13
知2－练
C. 1.5，2，2.5
D. 21，28，35
解题秘方：紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.
华师大版八年级数学上册14.1.2直角三角形的判定教学设计
4.通过对直角三角形的判定方法的学习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探索，引导学生发现直角三角形的特点，培养学生自主学习的能力。
2.引导学生运用已学的勾股定理知识，推导出直角三角形的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作学习、共同探究的能力。
2.学生回答后，教师总结：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角，即90度。接着提问：“那么，我们如何判断一个三角形是否为直角三角形呢？”
3.引导学生回顾已学的勾股定理，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知，500字
1.教师通过PPT展示勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.教师讲解逆定理的推导过程，让学生理解并掌握直角三角形的判定方法。
3.教师举例说明，如一个三角形的三边分别为3、4、5，那么这个三角形是直角三角形，因为3²+4²=5²。
4.教师强调：勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，要熟练掌握。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，每组发放一张含有直角三角形的图形，要求学生运用勾股定理的逆定理判断这个三角形是否为直角三角形。
华师大版八年级数学上册14.1.2直角三角形的判定教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义，知道直角三角形的特点及其在几何图形中的应用。
2.学会运用勾股定理判断直角三角形，能够运用逆定理解决相关问题。
3.能够运用直角三角形的性质解决实际生活中的问题，如测量距离、计算面积等。
-组织学生进行小组讨论，分享各自的想法和发现，培养学生的合作意识和交流能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探索，引导学生发现直角三角形的特点，培养学生自主学习的能力。
2.引导学生运用已学的勾股定理知识，推导出直角三角形的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作学习、共同探究的能力。
2.学生回答后，教师总结：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角，即90度。接着提问：“那么，我们如何判断一个三角形是否为直角三角形呢？”
3.引导学生回顾已学的勾股定理，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知，500字
1.教师通过PPT展示勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.教师讲解逆定理的推导过程，让学生理解并掌握直角三角形的判定方法。
3.教师举例说明，如一个三角形的三边分别为3、4、5，那么这个三角形是直角三角形，因为3²+4²=5²。
4.教师强调：勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，要熟练掌握。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，每组发放一张含有直角三角形的图形，要求学生运用勾股定理的逆定理判断这个三角形是否为直角三角形。
华师大版八年级数学上册14.1.2直角三角形的判定教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义，知道直角三角形的特点及其在几何图形中的应用。
2.学会运用勾股定理判断直角三角形，能够运用逆定理解决相关问题。
3.能够运用直角三角形的性质解决实际生活中的问题，如测量距离、计算面积等。
-组织学生进行小组讨论，分享各自的想法和发现，培养学生的合作意识和交流能力。