第三章 二次剩余
二次剩余理论
⼆次剩余理论
定义：设 m 是正整数 若同余式
x2≡a(mod p), (a,p)=1
有解，则 a 叫做模 p 的⼆次剩余（或平⽅剩余）；否则，a 叫做模 p 的⼆次⾮剩余。
欧拉判别条件：
设⽅程
x2≡a(mod p), (a,p)=1,p为奇素数(i) a 是模 p 的⼆次剩余的充分必要条件是
a p−1
2≡1(mod p)
(ii) a 是模 p 的⼆次⾮剩余的充分必要条件是
a p−1
2≡−1(mod p)
并且当 a 模 p 的⼆次剩余时，同余式有两个解。
定理1：x2≡a(mod p) 中有 p−1
2 个 a 能使得⽅程有解
也就说有 p−1
2 的⼆次剩余。
例如，1，2，4是模7的⼆次剩余，-1，3，5是模4的⼆次⾮剩余。
勒让德（Lagendre）符号：
设 p 是素数，定义如下：
n
p=1,p不是n的倍数,n是p的⼆次剩余
−1,p不是n的倍数，n是p的⼆次⾮剩余（不是⼆次剩余就是⾮剩余）0,p是n的倍数
有定理1知，p−1 中有⼀半为1，⼀半为-1.
根据欧拉判别法则，设 p 是奇素数，对任意整数 a，
(a
p)≡a p−12(mod p)
⼆次互反律：若 p,q 是互素奇素数，则
(q
p)=(−1)
p−1
2⋅
q−1
2(
p
q)
参考链接：
(){ Processing math: 100%。
第4讲二次同余与平方剩余
二次同余式的一般形式ax2＋bx＋c≡0(mod m)由算术基本定理知道m可以分解成一些素数乘积,再由孙子定理知道ax2＋bx＋c≡0(mod m)可以转化为同余式组ax2＋bx＋c≡0(mod pα)因此,本章只讨论模为素数幂pα的同余式设p是素数，我们来研究素数模p的二次同余方程ax2+bx+c≡0 (mod p)。
(1)如果p= 2，则可以直接验证x≡0或1 (mod 2)是否方程(1)的解。
如果(a, p) = p，则方程(1)成为一元一次同余方程。
因此，只需考察p > 2，(a, p) = 1的情形。
此时，因为(4a, p) = 1，所以，方程(1)等价于方程4a2x2+4abx+4ac≡0 (mod p)，即(2ax+b)2≡b2-4ac(mod p)。
这样，研究方程(1)归结为对方程x2≡a(mod m) (2)定义１给定整数m，对于任意的整数a，(a，m) = 1，若方程x2 a(mod m)有解，则称a是模m的二次剩余；否则，称a是模m的二次非剩余.例1验证1是模4的平方剩余,‐1是是模4的非平方剩余 例21,2,4 是模7的平方剩余,‐1,3,5是模7的非平方剩余解因为,12≡1, 22≡4, 32≡2, 42≡2，52≡4，62≡1（mod7），例3 求满足方程E:y2≡x3+x+1(mod 7)的所有点 解x ≡0, y2 ≡1(mod 7) y ≡1,6 (mod 7)x ≡1, y2 ≡3(mod 7) 无解x ≡2, y2 ≡4(mod 7) y ≡2,5 (mod 7)x ≡3, y2 ≡3(mod 7) 无解x ≡4, y2 ≡6(mod 7) 无解x ≡5, y2 ≡5(mod 7) 无解x ≡36, y2 ≡6(mod 7) 无解4.2模为奇素数的平方剩余与非平方剩余 在这节里讨论模为素数的二次同余式定理１(欧拉判别条件) 若(a , p ) = 1，p 是奇素数则 (ⅰ) a 是模p 的二次剩余的充要条件是≡1 (mod p )；(3) (ⅱ) 若a 是模p 的二次剩余，则方程(2)有两个解； (ⅲ) a 是模p 的二次非剩余的充要条件是 ≡-1 (mod p )。
一个二次剩余与其关于模p的逆之差
３５ ５
文 章 编 号 ： ０６４ １ （０ ８ ０ －３ ５０ １０ －７０ ２０ ）３０５ －３
ｑ ｑ
也利用 了 Ｄ ｄｋｎ ｅ ｅｉｄ和及 Ｃ ｃｒｎ ｏｈａ ｅ和 的性 质 给 出 了
Ｆ（ ，） ｑＣ 的一 个较 强的均值 公式 ， ： 即
命题 ２ 对任 意整数 ｑ＞ 有渐近公 式ห้องสมุดไป่ตู้： ２，
Ｍ ｑ后ｃ （， ）：∑ 。 ６。 ， ∑ （一）
（石 １
（ 卫±
论（ 命题 １ 。 ）
命题 １ 设 ｑ ＞２和 Ｃ 两个 整数 且 （ ，）：１ 是 ｑＣ ，
Ｄｑ ｐ ） ［ｅ（ ］ Ｓ ｘ
其 中 兀 表示 ｑ的所有满 足 Ｐ 整 除 ｇ而 Ｐ 不 能 能
那 么对于任 一 个正整数 ， 以得 到渐 近公式 ： 可
整 除 ｑ的不 同素 因子 Ｐ的乘积 。
作者简介 ： 刘红艳（９ ４） 女 ， １７一 ， 陕西 白水人 ， 副教授 ， 研究方 向为基础数学。Ｅ ｍ ｉ ｌ ｈｎｙｎ ａｔｅｕ ｏ － ａ ：ｉ ｏｇａ＠ｘｕ．ｄ ．ｎ ｌ ｕ
一
个 二 次剩 余 与其 关 于模 Ｐ的逆之 差
刘 红艳
（ 西安理工大学 理学 院 ， 陕西 西安 ７０ ５ ） １０ ４
摘要 ： 用特征 和估计 及 Ｄ ｒ ｈｅ． 利 ｉｅｌｔ ｉ Ｌ函数 的均值 定理 来研 究一 个二 次 剩余与 其 关于模 Ｐ的逆 之 差
的渐近性质 ， 出了一 个有意 义的二 次均值公 式 ， 给 并对该公 式进行 了证 明。
高一年级竞赛数学数论专题讲义：11.模为素数的二次剩余
高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余设素数2,p d >是整数,.p d Œ如果同余方程2(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.注意到|.p d 则同余方程20(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡若2,p =且.p d Œ则同余方程2(mod 2)x d ≡为21(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,12p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2(mod )x d p ≡的解数为2.2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >Œ那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是121(mod );p d p -≡d 是模p的二次非剩余的充要条件是121(mod ).p d p -≡-3. 若素数2,p >证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是1(mod 4).p ≡当1(mod 4)p ≡时,21!1(mod ).2p p ⎛-⎫⎛⎫±≡- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.设p 是奇素数,证明：1,2,,1p -中全体模p 的二次剩余之和12221(1).24p j p p j S p p -=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑由此可以证明当1(mod 4)p ≡时,12221(1)(1).244p j j p p p p p p -=⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余解答设素数2,p d >是整数,.p d Œ如果同余方程2(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.注意到|.p d 则同余方程20(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡若2,p =且.p d Œ则同余方程2(mod 2)x d ≡为21(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,12p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2(mod )x d p ≡的解数为2.证明：取模p 的绝对最小既约剩余系1111,1,,1,1,,1,.2222p p p p ------+-- d 是模p 的二次剩余当且仅当2222221111(),(1),,(1),1,,(1),().2222p p p p d ----≡--+-- 由于22()(mod ),j j p -≡所以d 是模p 的二次剩余当且仅当222111,,(1),().22p p d --≡- 当112p i j -≤<≤时,121,10,2p i j p i j -<+<--<-<22()()0(mod ).i j i j i j p -=+-≡/ 所以222111,,(1),()22p p d --≡-给出了模p 的全部二次剩余,共有12p -个. 由于模p 的既约剩余系(简系)有1p -个数,所以另外的12p -个必为模p 的二次非剩余. 当d 是模p 的二次剩余时,必存在唯一的1,1,2p i i -≤≤使得(mod )x i p =是同余方程2(mod )x d p ≡的解,于是在模p 的绝对最小既约剩余系1111,1,,1,1,,1,.2222p p p p ------+--中有且仅有(mod )x i p =±是同余方程2(mod )x d p ≡的解,所以解数为2.2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >Œ那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是121(mod );p d p -≡d 是模p的二次非剩余的充要条件是121(mod ).p dp -≡-证明：首先来证明对任一,,d p d Œ11221(mod ),1(mod )p p d p dp --≡≡-有且仅有一个成立.由Euler 定理知道11(mod ).p dp -≡因此1122(1)(1)0(mod ).p p d dp --+-≡。
二次同余式和平方剩余
又因p为奇素数，所以有(p，2）=1
则 ( p,2x0 ) 1，所以有( p, f , (x0 )) ( p,2x0 ) 1 由上一章的定理知x2 a(mod p) 有解，并由
2、雅可比符号为1时，x2 a(mod m) 不一定
有解。例
(2) (2)(2) 1 ,但 x2 2(mod 9) 无解。
9 33
3、雅可比符号为-1时，则 x2 a(mod m)
一定无解。
因为若
(a) m
=-1，则至少有一个i使得
(
即 x2 a(mod pi ) 无解，则 x2 a(mod
(
2) p
(1)
p2 1 8
1, p 8k 1 1, p 8k 3
证：因为 p 1 (1)1(mod p)
2 2(1)2 p 3 3(1)3(mod p)
r
p 1, 2
p 1,
p p
4k 4k
1 3
r
p
1
(1)
p 1 2
(mod
p)
2
2
把上述
p 2
1
个式子相乘得
2 4 6( p 3)( p 1)
∵ 17≡1(mod 4) ∴ (17) (23) ( 6 ) ( 2 )( 3 ) ( 3 ) (17) ( 2) 1
23 17 17 17 17 17 3 3
∴ x2≡17(mod 23)无解，即原方程无解。
例4：若3是素数p平方剩余，问p是什么形式
的素数？
解：∵ 由反转定律
(
3
定理：在模P的简化系中，平方剩余和平方非
剩余余各为 p 1个
p 1
2
且 余，2而个且平仅方与乘一余数分一别同与余。1,22
数论01二次同余式与平方剩余
平方非剩余
如果一个数$a$模$p$同余于$x^2$模$p$ ，则称$a$为$x^2$的平方非剩余。
判定法则
判定法则一
费马小定理，若$p$是质数，且$(a, p)=1$，则有$a^{p-1} equiv 1 pmod{p}$。
判定法则二
二次互反律，设$p, q$是两个不同的奇素数，且$(p, q)=1$，则有$(p equiv q pmod{4}) Leftrightarrow (q equiv p pmod{4})$。
03
具体的证明过程需要用到一些较为复杂的数学符号 和逻辑推导，这里不再赘述。
应用案例
01
02
03
在密码学中，二次同余 式与平方剩余的概念被 广泛应用于一些加密算 法的设计，如 RSA 算法
。
在数论研究中，这些概 念也是重要的工具，可 以帮助我们解决一些数
论中的难题。
在实际生活中，这些概 念在金融、物流等领域 也有一定的应用，例如 在电子支付和电子签名 的安全性验证等方面。
解释
这是一个关于 (x) 的二次方程，但它 的解必须满足同余条件，即解必须是 模 (m) 的同余类。
性质
性质1
如果 (a, b, c, m) 满足二次同余式的定义，那么对于任意整数 (x)，如果 (x^2 + bx + c equiv 0 (mod m)) 成立 ，那么 (ax^2 + bx + c equiv 0 (mod m)) 也一定成立。
THANKS
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应用实例
在密码学中的应用
平方剩余在密码学中有重要的应用，例如RSA公钥密码算法中就使用了平方剩余的性质 。
在数论中的应用
平方剩余是数论中的一个重要概念，它在证明费马大定理、哥德巴赫猜想等数学问题中 发挥了重要作用。
利用二次剩余判断整数的奇偶性
利用二次剩余判断整数的奇偶性在数论中，二次剩余是一个重要的概念，它可以帮助我们判断一个整数的奇偶性。
本文将详细介绍二次剩余的概念及其应用方法。
一、二次剩余概念的介绍二次剩余是指对于给定的正整数p和整数a，如果存在整数x满足x^2≡a(mod p)，则称a是模p的二次剩余。
如果不存在满足条件的整数x，则称a是模p的二次非剩余。
二、判断整数奇偶性的方法利用二次剩余可以判断一个整数的奇偶性。
具体步骤如下：1. 若p是奇素数，a是自然数，则a是模p的二次剩余的充要条件是a^((p-1)/2)≡1(mod p)。
2. 若p是奇素数，a是自然数，则a是模p的二次非剩余的充要条件是a^((p-1)/2)≡-1(mod p)。
三、应用举例以一个具体的例子来说明如何利用二次剩余判断整数的奇偶性。
假设我们要判断整数5的奇偶性，我们可以利用模7的二次剩余来进行判断。
根据上述方法，计算得到5^3≡-1(mod 7)。
由此可知，5是模7的二次非剩余，即5是奇数。
四、注意事项在使用二次剩余判断整数的奇偶性时，需要注意以下几点：1. 二次剩余的应用范围主要是奇素数p，对于偶数或合数，不适用。
2. 在应用二次剩余进行判断时，需先判断给定的整数是否满足条件，即是否为自然数、素数等。
五、总结通过利用二次剩余的概念，我们可以判断一个整数的奇偶性。
通过计算模p的二次剩余，我们可以得到结论，进而对整数进行分类。
然而，在使用二次剩余时，需要注意条件的限制，以及选择合适的素数p 进行判断。
六、结语本文简要介绍了利用二次剩余来判断整数奇偶性的方法。
通过对二次剩余的概念和应用进行详细说明，希望读者能够更好地理解和应用这一数论中的重要概念。
同时，在具体应用中需要根据实际情况选择适当的素数p进行判断，提高判断的准确性和可靠性。
二次剩余的判定及应用
二次剩余的判定及应用【摘要】通过讨论形式如X2一a( mod m)的同余式，引出二次剩余的概念，应用数论中常用的函数（勒让德符号和雅可比符号）去讨论二次同余式中m是单质数的情形和一般的情形，并利用其解二次同余式。
【关键词】二次剩余；二次同余式；勒让德符号；二次反转定律引言数论是数学本科的基础课程之一，是学习数学的必修课程之一。
数论问题的丰富性，多样性及解题所具有的高度技巧对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维，发散思维能力，系统的掌握各种数学思维，都是必不可少的。
本文针对数论中一般二次同余式的解法问题进行总结概括。
为了找到更为简单，有效地解一般二次同余式的方法，主要通叙述定理和举例，总结说明了欧拉判别条件，勒让德符号在解一般二次同余式时的具体应用以及一般二次同余式的解和解数问题。
1．一般二次同余式二次同余式最基本的形式：我们知道，解同余式(1)归结到m为素数的情形，因为m=2时，解同余式(1)变得极为容易，所以着重讨论m=p的情形，这里p是一个奇素数。
定义1：设m >1，若(1)有解，则a叫做模m的二次剩余；若无解，则a叫做模m的二次非利余。
2．单质数的二次剩余的判定2.1欧拉判别条件。
讨论p是单质数的二次剩余和二次非剩余，即讨论形如：x-21 ,53,-21,-53(mod 64)是所求的四个解。
结论二次剩余的判定问题等价于判断一般二次同余式X2 -a( mod p)，(a，p) =1是否有解的问题。
而当p取不同的数时，解决问题的方法不同。
本文针对不同情况，运用了不同的方法，从而更简便地得出判断结果。
单质数的二次剩余判定可以利用欧拉判别条件，勒让德符号和二次反转定律，合数模的二次剩余也可以转化成单质数的二次剩余进行判定。
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充分性。设式（ 2）成立，这时必有 p┞a。故一次同余方 程
bx ≡a（mod p）,
有唯一解，对既约剩余系
(1≢b≢p－1)
（5）
－(p－1)/2，„，－1，1，„，(p－1)/2
（6）
由式（6）给出的模 p 的既约剩余系中的每个 j，当 b＝j 时， 必有唯一的 x x j 属于既约剩余系（6） ，使得式（5）成立。 若 a 不是模 p 的二次剩余，则必有 j x j 。这样，既约剩余 系（6）中的 p－1 个数就可按 j、xj 作为一对，两两分完。 （b1≠b2，则相应的解 x1≠x2，且除了±1 之外，每个数的 逆不是它本身） 因此有
y d (mod m)
2
y 2ax b, d b2 4ac
定义1 设m是正整数，若同余式
x2 a(modm)
(a, m) 1
有解，则a叫做模m的平方剩余(或二次剩余)，记为QR； 否则a叫做模m的平方非剩余(或二次非剩余)，记为NR 。
例1 分别求出模11，12的二次剩余和二次非剩余。 解：
定理 1 （欧拉判别条件）设 p 是奇素数，(a, p)＝1，则 （i）a 是模 p 的平方剩余的充要条件是
a p1 2 ≡1（mod p）
（ii）a 是模 p 的平方非剩余的充要条件是
（2）
a p1 2 ≡－1（mod p）
（3）
并且当 a 是模 p 的平方剩余时，同余方程（1）恰有两个解。
第三章 二次剩余
本章内容
一、二次剩余的概念
二、模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
三、勒让德符号
四、雅可比符号
五、小结
重点：二次同余方程有解的判断与求解
§3.1 二次剩余的概念
二次同余式的一般形式是
ax2 bx c 0(modm)
a 其中m是正整数， 0(modm) 。
上式等价于同余式
当 b≡1, 2, 3, 4, 5, „, 17, 18（mod 9）时，方程有唯一解 x ≡6, 3, 3, 11, 5, „, 16, 13（mod 9） 即当 b≡5 时，x≡5。所以 6 是二次剩余。
a 9 ≡±1（mod 19）
针对必要性：例如 a＝17 是模 19 的二次剩余，即存在 x0 ≡6 使得因为 62≡17（mod 19） 。那么必有
179 ≡ 618 ≡1（mod 19）
针对充分性：已知 69 ≡1（mod 19） ，验证 6 是二次剩余。 解方程
bx ≡6（mod 19）,
(1≢b≢18)
小结：对于任何整数 a，方程 x 2 ≡a（mod p）的解数可 能为 T(x2－a；p)＝0, 1, 2。
例
设 p＝19，验证定理 1 的证明过程。
（解） 由费马定理知， 对任何 a＝1, 2, „, 18， 都有 a 18 ≡ 1（mod 19） 。而当 p＝19 为素数时，方程 x 2 ≡1（mod 19） 只有两个解，即 x≡±1（mod 19） 。从而必有
y 2,5(mod7) y 0(mod7)
无解
x 5(mod7) x 6(mod7)
y 2 6(mod7) y 2 0(m.2 模为奇素数的平方剩余
与平方非剩余
模为素数的二次方程
x ≡a（mod p）,
2
2
(a, p)＝1
（1）
因为 x ＝ x 2 ，故方程（1）要么无解，要么有两个 解。
2 y 2(mod7) x 0(mod7)
y 3,4(mod7) y 2,5(mod7)
无解
x 1(mod7)
y 2 4(mod7)
x 2(mod7) y 2 5(mod7)
2 y 4(mod7) x 3(mod7) 2 y 0(mod7) x 4(mod7)
证明： 首先证明对任一整数 a，若 p┞a，则式（2）或 （3）有且仅有一个成立。由费马定理知
a p1 ≡1（mod p）
故知
a
即 但
p1 2
1a p1 2 1 ≡0（mod p）
（4）
p1 2 1 a p1 2 1 p│ a p1 －1＝ a
模11的二次剩余是：1，3，4，5，9； 二次非剩余是：2，6，7，8，10。
模12的二次剩余是：1；
二次非剩余是：5，7，11。
例2 求满足同余式 y 2 x3 x 2(mod7) 的所有的点。 解：
模7的二次剩余是：1，2，4；二次非剩余是：3，5，6。
对 x 0,1,2,3,4,5,6(mod7) ，分别求出 y 对应的的值为
a
a
p1 2
1, a p1 2 1 ＝1 或 2
且素数 p>2。所以，p 能整除 a 不能同时整除 p1 2 和 p1 2
p 1
2
1 a p1 2 1 ，但 p
1
a
1 （否则，p 能整除它
们的最大公因子 1 或 2） 所以，由式（4）立即推出式（2）或式（3）有且仅有一 式成立。
（i）必要性。若 a 是模 p 的二次剩余，则必有 x0 使得
2 x0 ≡a（mod p） ，
因而有 即
2 p 1 2 ≡ a p 1 2 （mod x0
p） 。
p 1 x0
a
p 1 2
（mod p） 。
由于 p┞a，所以 p┞ x 0 ，因此由欧拉定理知
x0p 1 ≡1（mod p） 。
( p 1)! a p1
由威尔逊定理知
2
mod
p .
a p1
2
1mod
p .
但这与式（2）矛盾。所以必有某一 j0 ，使 j0 x j 0 ，由此及 式（5）知，a 是模 p 的二次剩余。
（ii）由已经证明的这两部分结论，立即推出第（ii）条 成立。 其次，若 x0 ≠0（mod p）是方程（1）的解，则－ x0 也 是其解，且必有 x0 ≠－ x0 （mod p） 。故当(a, p)＝1 时，方 程（1）要么无解，要么同时有两个解。 （说明：本定理只是一个理论结果，当 p>>1 时，它并不是 一个实用的判断方法）