(完整)高中物理小船渡河模型典型例题(含答案)【经典】,推荐文档

考点四：小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
答案　(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析　(1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝＝ s ＝50 s.
d v 船2004(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，
与河岸成α角，有 cos α＝＝＝，解得α＝60°.
v 水v 船24122、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
答案　(1)船头垂直于河岸　36 s 90 m (2)船头向上游偏30°　24 s 180 m
533、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？
(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？
解析　(1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短.设船头指向
上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t ＝.
d
v1sin α显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示.
渡河的最短时间tmin ＝＝ s ＝25 s 船的位移为l ＝tmin ＝×25 m ＝125 m
d v1100
4v21＋v2242＋32船渡过河时到达正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为x ＝v2tmin ＝3×25 m ＝75 m.
(2)由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，
且与河岸成θ角，如图所示，则cos θ＝＝，θ＝arccos .
v2v1343
4船的实际速度为v 合＝＝ m/s ＝
m/s 故渡河时间：t′＝＝ s ＝ s.v21－v2242－327d v 合100
710077答案　（1）t=25s ，x=75m ，l=125m （2）t=s 1007
7
4、河宽60 m ，水流速度v1＝6 m/s ，小船在静水中的速度v2＝3 m/s ，则：
(1)它渡河的最短时间是多少？
(2)最短航程是多少？
答案　(1)20 s (2)120 m 5．(单选)一小船在静水中的速度为3 m/s ，它在一条河宽为150 m ，水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船( )． 答案　C
A ．能到达正对岸
B ．渡河的时间可能少于50 s
C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D ．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
6.一只小船在静水中的速度为5 m/s ，它要渡过一条宽为50 m 的河，河水流速为4 m/s ，则(　) 答案　C
A.这只船过河位移不可能为50 m
B.这只船过河时间不可能为10 s
C.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变
D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变
7.(运动的合成和分解)某河宽为600 m ，河中某点的水流速度v 与该点到较近河岸的距离d 的关系如图所示.船在静水中的速度为4 m/s ，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是( ) 答案　AD
A.船在航行过程中，船头应与河岸垂直
B.船在河水中航行的轨迹是一条直线
C.渡河的最短时间为240 s
D.船离开河岸400 m 时的速度大小为2 m/s
58． (多选)小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( ) 答案　AC
A ．越接近河岸水流速度越小
B ．越接近河岸水流速度越大
C ．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
D ．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
9． (单选)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v 的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k ，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( ) 答案　B
A. B. C. D.kv k2－1v 1－k2kv 1－k2v
k2－1解析　设大河宽度为d ，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝，回程渡河所用时间t2＝
.由题知＝k ，联立以上各式d
v0d
v20－v2t1t2得v0＝，选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．v
1－k210. （单选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流边同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为，划船速度
u 为，出发时两船相距，甲、乙船头均与岸边成角，且乙船恰好能v H 332 60直达对岸的A 点，则下列判断正确的是（ D ）
A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同
B ．两船可能在未到达对岸前相遇
C ．甲船在A 点右侧靠岸
D ．甲船也在A 点靠岸
11.如图所示，一艘轮船正在以4 m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s ，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．
答案　(1)5 m/s (2)2.4 m/s 解析　(1)发动机未熄火时，轮船运动速度v 与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速
度v2的大小：v2＝
＝
m/s
＝5 m/s
，设v 与v2的夹角为θ，则cos θ＝＝0.8.(2)熄火前，船的v2＋v2142＋32v
v2
牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，则vmin ＝v1cos θ＝3×0.8 m/s ＝2.4 m/s.
12.如图所示，河宽d ＝120 m ，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A 点出发，在渡河时，船身保持平行移动.若出发时船头指向河对岸上游的B 点，经过10 min ，小船恰好到达河正对岸的C 点；若出发时船头指向河正对岸的C 点，经过8 min ，小船到达C 点下游的D 点.求：
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.
答案　(1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
解析　(1)小船从A 点出发，若船头指向河正对岸的C 点，则此时v1方向的位移为d ，故有v1＝＝ m/s ＝0.25 m/s.
d tmin 120
60×8(2)设AB 与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C 点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即
v2＝v1cos α，此时渡河时间为t ＝，所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s.
d v1sin αd v1t (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD ＝v2tmin ＝72 m.。