周期信号的频谱分析
周期信号的频域分析
周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。
频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。
要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。
计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。
2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。
3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。
计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。
频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。
1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。
幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。
2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。
相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。
通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。
频域分析的应用十分广泛。
在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。
此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。
总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。
§3-1 周期信号的频谱分析
E Edt T 1(V )
2
2
2 T x(t ) cosk1tdt T
2 2
2
E cosk tdt
1
2
2E T
2E 1 2 cos k1tdt T k1 sin k1t | 2
2
2E T
2 sin(k1 k1
) 2
2E k 8 k sin( ) sin( ) k T k 4
bk
2 T
T 2
x(t ) sin k1tdt
T 2
2 T
2
E sin k tdt 0
1
2
求得傅里叶级数展开式：
8 1 k x(t ) a0 ak cos k1t 1 sin( ) cos k1t k 1 k 4 k 1
6
4 0 2 3 4 5 6 7 8 9
c0
c2
k1
0 1 2131415161718191
ห้องสมุดไป่ตู้
k
0 2 3 4 5 6 7 8 9
k
k1
7 5
2 3 4 5 6 7 8 9
三、周期信号展开为三角函数式的傅里叶级数 高等数学中学过，周期信号x(t)当满足狄利赫里条件， 即在一个周期中： ⑴ 只有有限个一类间断点；
⑵ 只有有限个极值点，或称有限次振荡；
⑶ 绝对可积
T 2
T 2
x(t ) dt
于是，信号可展开为以下傅里叶级数
x(t ) a0 [ak cosk1t bk sin 1t ]
周期信号频谱分析
实验名称：周期信号的频谱分析教材名称：电工电子实验技术（下册）页码：P142 实验目的：1、了解和掌握周期信号频谱分析的基本概念；2、掌握Multisim软件用于频谱分析的基本方法；3、加深理解周期信号时域参数变化对其谐波分量的影响及变化趋势。
实验任务：1、根据9－1给定的波形和参数测量各谐波分量的幅度值。
2、根据所测数据绘制每一波形的谱线图。
设计提示：实验电路图：图一、分析用电路及信号发生器调整窗口实验结果：表9－1数据：周期信号的频谱分析（Multisim）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 矩形波10％－4.023 1.923 1.833 1.689 1.499 1.273 1.024 0.763 0.506 0.263 0.047 矩形波30％－2.023 5.123 3.040 0.699 0.897 1.271 0.659 0.236 0.739 0.595 0.046 矩形波50％－0.022 6.366 0.045 2.121 0.045 1.271 0.045 0.906 0.045 0.703 0.045 正弦波0 4.999 0 0 0 0 0 0 0 0 0三角波50％0 4.053 0 0.451 0 0.162 0 0.083 0 0.050 0三角波70％0 3.903 1.147 0.166 0.177 0.193 0.079 0.030 0.072 0.048 0三角波90％0 3.479 1.654 1.012 0.669 0.450 0.298 0.186 0.103 0.043 0N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 注：谱线数取10＋直流。
矩形波10％：矩形波30％：矩形波50％：正弦波50％：三角波50％：三角波70％：三角波90％：实验中注意事项：1、仿真过程中要在Simulate/Fourier Analysis/Output Variables中添加要进行分析的节点。
典型周期信号的频谱
2
T
证：an
T
8 T
4 0
f
(t) cosntdt
22
20
f (t) f (t) f (t) f (t T )
2
an T T f (t) cosntdt T T f (t) cosntdt
2
2
T
由复振幅cn 的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所
sin x
构成的包络是 x 的形式----称为抽样函数。
1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为
cn
2E
T
sin 2
2
与横轴的交点由下式决定：
sin
2
0
即： ,2 ,3
2
2
0
2
4
6
2m
2f
f
f0
1, 2, 3
T
2 T
2
f (t)e jn1t dt
b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。 各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不 变的。
2.几点说明
a.F ( j) 代表了信号中各频率分量振幅的相对
大小。
|
b.各频率分量的实际振幅为
F ( )
|
d
是无穷
小量。
C. F ( j )具有单位角频率振幅的量纲。
| f (t) | dt 存在。
六.周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比
1.它们都具有抽样函数 sin x 的形式。
2.
Cn
2E
T1
sin n1
2
n1
x
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的1）学会利用MATLAB 分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB 分析周期信号的频谱特性。
2实验原理及实例分析2.1 周期信号的傅里叶级数（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。
）例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。
f(t)t(sec)图1 周期方波信号)(t f 的波形图解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)(00000 +++++=t t t t t t f ωωωωωπ其中，ππω220==T。
则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。
close all;clear all; clct = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:Nfk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);fk = fk + bn * sin(n * omega * t); endfigure; plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形'); String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];axis([-2 2 -3 3]);grid; title(String);disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']);f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 endt(sec)部分和的波形最大谐波数=1t(sec)部分和的波形最大谐波数=3t(sec)部分和的波形最大谐波数=5t(sec)部分和的波形最大谐波数=9t(sec)部分和的波形最大谐波数=19t(sec)部分和的波形最大谐波数=39t(sec)部分和的波形最大谐波数=79t(sec)部分和的波形最大谐波数=159图2 例1程序产生的图形程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.94642.2周期信号的频谱分析（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。
信号分析3.01 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
时域信号分解 频域信号分解
X
三角傅立叶级数 指数傅立叶级数
频域分析概念
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提出以正弦信号或虚指数函数为基本信号进行信号 分解,从而引出信号的频域分析. 其思想:任意复杂的激励信号可分解为一系列不同幅 值、不同频率的正弦信号或虚指数信号的线性组合. 引出傅立叶变换概念 对周期信号
三维空间矢量 类 比
正交矢量集
C
2
A C1 A1 C2 A2 C3 A3
分解 正交函数集
A3
A2
A
C C
3 1
A1
2.信号空间
f (t )
c
j 1 j
j
(t )
n维空间
X
3.正交函数集
n个函数i(t) （i=1，…，n），若在区间( t1，t2)上满足:
1 t 0 T 积分限为-T/2 直流分量 a0 f (t ) d t 到T/2行吗? t0 T 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
bn An sin n
bn n arctan a n
f (t ) a0 [ An cos n cos( n1t ) An sin n sin( n1t )]
余弦形式
, bn , An , n随变量nw1变化，是nw1n的函数 信号的频域分析 n an
f (t )
画波形
A
O
T t
A
f (t ) A(sin t 1 sin 3t 1 sin 5t ) 3 5
4-2 信号的频域分析-周期信号频域分析
分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：频谱函数 要点
1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 (离散，衰减) 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 4. 功率谱的概念及在工程中的应用
17
离散Fourier级数（DFS）
DFS的定义 常用离散周期序列的频谱分析 周期单位脉冲序列d N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列 DFS的性质
0 2π / T
n 0
3
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
Cn
4 3 2 1 3 2 1 1 3 2
0
1
2
3
n
解： 由图可知 C 0 4
f (t ) C n e jn 0 t
n
C 1 3
C 2 1
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t ) C n e j n 0 t
n =
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
10
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
A
T
2
2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为
Cn A T Sa ( n 0 2 )
将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式
实验5 周期信号的傅里叶级数及频谱分析
N = length(n_max) ;
for k=1:N
n = 1:2:n_max(k) ;
b = 4./(pi*n) ;
x = b*sin(omega*n'*t) ;
figure
plot(t,y) ;
hold on
plot(t,x) ;
hold off ;
xlabel('t') ;
ylabel(' 部分和的波形') ;
f (t) A0 An cos(nw0t n ) n1
A0 a0
An an2 bn2
n
arctg
bn an
(n 1, 2, )
a0 A0
bann
Acosn Asinn
(n 1, 2, )
从物理概念上来说，A0是信号f (t)的直流分量, A1 cos(w0t 1)
f (t)e jnw0t , n 0, 1, 2,
2
例1：周期方波信号如图6-1所示，是求出 该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程 实现其各次谐波的叠加，并验证其收敛性
ex6_1.m
理论分析，周期方波信号的傅里叶级数展 开式子为：
4A
1
1
1
f (t) (sin w0t 3 sin 3w0t 5 sin 5w0t 7 sin 7w0t )
Fne jnw0t与Fne jnw0t成对出现
傅里叶系数的幅度 Fn 或随An角频率 的n变w0化关系绘制 成的图形称为信号的幅度谱，而相位 随角n或频n率 变化关系nw绘0 制成图形，称为信号的相位谱。幅度谱 和相位谱统称为信号的频谱，信号频谱是信号的另 一种形式的表示，它提供了从另一个角度来观察和 分析信号的途径。利用MATLAB命令可以对周期 信号的频谱及其特点进行观察验证分析
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信号与系统实验报告实验三周期信号的频谱分析实验报告评分：_______实验三周期信号的频谱分析实验目的：1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。
实验内容：（1）Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos( 0t)、cos(3 0t)、cos(5 0t)和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。
程序如下:clear,%Clear all variablesclose all,%Close all figure windowsdt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of timew0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t);x3=cos(5*w0.*t);N=input('Type in the number of the harmonic components N=');x=0;for q=1:N;x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q;endsubplot(221)plot(t,x1)%Plot x1axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(w0.*t)')subplot(222)plot(t,x2)%Plot x2axis([-2 4 -2 2]); grid on,title('signal cos(3*w0.*t))')subplot(223)plot(t,x3)%Plot x3axis([-2 4 -2 2])grid on,title('signal cos(5*w0.*t))')subplot(224)plot(t,x)%Plot xtaxis([-2 4 -2 2])grid on,title('signal xt')（2）给程序3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
程序如下：% Program3_1 clear, close allT = 2;dt = 0.00001;t = -2:dt:2;x1 = ut(t) - ut(t-1-dt);x = 0;for m = -1:1x = x + ut(t-m*T) - ut(t-1-m*T-dt);endw0 = 2*pi/T;N = 10;L = 2*N+1;for k = -N: N;ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt; endphi = angle(ak);subplot(211)'k = -10:10;stem (k,abs(ak),'k');axis([-10,10,0,0.6]);grid on;title('fudupu');subplot(212);k = -10:10stem(k,angle(ak),'k');axis([-10,10,-2,2]);grid on;titie('xiangweipu');xlabel('Frequency index x');（3）反复执行程序Program3_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所合成的周期方波信号。
通过观察，你了解的吉伯斯现象的特点是：程序如下：clear,close allT = 2;dt = 0.00001;t = -2:dt:2;x1 = ut(t)-ut(t-1-dt);x = 0; for m = -1:1x = x + ut(t-m*T) - ut(t-1-m*T-dt);endw0 = 2*pi/T;N = input('Type in the number of the harmonic components N = :');L = 2*N+1;for k = -N:1:N;ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt; endphi = angle(ak);y=0;for q = 1:L;y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T); end;subplot(221),plot(t,x),title('The original signal x(t)'),axis([-2,2,-0.2,1.2]),subplot(223),plot(t,y),title('The synthesis signal y(t)'),axis([-2,2,-0.2,1.2]),xlabel('Time t'),subplot(222)k=-N:N;stem(k,abs(ak),'k.'),title('The amplitude |ak| of x(t)'),axis([-N,N,-0.1,0.6])subplot(224)stem(k,phi,'r.'),title('The phase phi(k) of x(t)'),axis([-N,N,-2,2]),xlabel('Index k')N=1N=3通过观察我们了解到：如果一个周期信号在一个周期有内断点存在，那么，引入的误差将除了产生纹波之外，还将在断点处产生幅度大约为9%的过冲（Overshot），这种现象被称为吉伯斯现象（Gibbs phenomenon）。
即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。
(4)计算如图的傅里叶级数的系数程序如下：clc,clear,close allT=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;x=(t+1).*(u(t+1)-u(t))-(t-1).*(u(t)-u(t-1));x1=0; for m=-2:2x1=x1+(t+1-m*T).*(u(t+1-m*T)-u(t-m*T))-(t-1-m*T).*(u(t-m *T)-u(t-1-m*T));endw0=2*pi/T;N=10;L=2*N+1;for k=-N:N;ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;endphi=angle(ak);plot(t,x1);axis([-4 4 0 1.2]);grid on;title('The signal x1(t)'); xlabel('Time t (sec)'); ylabel('signal x1(t)');（5）仿照程序3_1，编写程序Q3_5，以计算x2(t) 的傅里叶级数的系数（不绘图）。
程序如下：clc,clear,close allT=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;x=ut(t+0.2)-ut(t-0.2-dt);x2=0;for m=-1:1x2=x2+ut(t+0.2-m*T)-ut(t-0.2-m*T)-ut(t-0.2-m*t-dt); endw0=2*pi/T;N=10;L=2*N+1for k=-N:N;ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;endphi=angle(ak);plot(t,x2);axis([-2.5 2.5 0 1.2]);grid on;title('The signal x2(t)');xlabel('Time t (sec)');ylabel('signal x2(t)');（6）仿照程序3_2，编写程序Q3_6，计算并绘制出原始信号x1(t) 的波形图，用有限项级数合成的y1(t) 的波形图，以及x1(t) 的幅度频谱和相位频谱的谱线图。
程序如下：clc,clear,close allT=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;x=(t+1).*(ut(t+1)-ut(t))-(t-1).*(ut(t)-ut(t-1));x1=0;for m=-2:2x1=x1+(t+1-m*T).*(ut(t+1-m*T)-ut(t-m*T))-(t-1-m*T).*(ut( t-m*t)-ut(t-1-m*t));endw0=2*pi/T;N=10;L=2*N+1;for k=-N:N;ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;endphi=angle(ak);y=0;for q=1:L;y=y+ak(q)*exp(j*(q-1-N)*w0*t);end;subplot(221)plot(t,x)%plot xaxis([-3 3 -0.2 1.2]);grid on;title('The original signal x(t)'); subplot(223)plot(t,y)%Plot yaxis([-3 3 -0.2 1.2]);grid on;title('The synthesis signal y(t)'); subplot(222);xlabel('Time i (sec)');subplot(222);k=-N:N;stem(k,abs(ak),'k');axis([-N N -0.1 0.6]);grid on;title('The amplitude spectrum of x(t)'); subplot(224);k=-N:N;stem(k,phi,'k');axis([-N N -2 2]);grid on;title('The phase spectrum of x(t)');xlabel('Frequency index k');实验心得：在实验的过程中，掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法，观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因，掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。