测试技术瞬变非周期信号及其频谱
《机械工程测试技术》教案01信号及其描述
第一章信号及其描述教学重点：1、周期信号与离散频谱2、瞬变非周期信号与连续频谱§1－1信号的分类与描述一、信号的分类（一）确定性信号与随机信号1、确定性信号:可以用明确的数学关系来描述的信号（可确定任何时刻的信号值）1）周期信号：按一定间隔（周期）重复出现，无始无终的信号，可表示为：x（t）＝x（t＋nT）n＝1，2，3，…T为周期2）非周期信号：可用明确的数学式描述，但变化无周期的信号3）准周期信号：由两种以上的周期信号合成的，但其组成分量的频率不成整数比，故无法找到公共周期，因而无法按一定的时间间隔重复出现。
2、随机信号：不能准确地预测其未来值，也无法用数学关系式来描述的信号,但其值的变动服从某些统计规律，可以用统计方法预测未来值。
如：幅值的均值、分散范围等。
（二）连续信号和离散信号以独立变量（时间变量t）的取值是否连续来划分（三）能量信号和功率信号二、信号的时域描述和频域描述1、信号的时域描述1）以时间为独立变量的信号，直接观测记录到的信号，连续信号。
2）信号的时域描述，包含有信号的全部信息量。
2、信号的频域描述1）以频率为独立变量表示的信号。
2）周期信号可以表示为频率成整数比的简谐信号的叠加。
3）周期方波的时域图形、幅频谱和相频谱三者之间的关系：频谱：将组成信号的各频率成分（简谐分量）找出来，按频率大小的次序排列，称为频谱（幅频图和相频图）频谱分析：将信号的时域描述通过适当的方法，变成信号的频域描述过程。
时域描述与频域描述的联系：两者都包含了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点。
§1-2周期信号与离散频谱一、傅里叶级数的三角函数展开式任何一个周期信号x(t)，可以用三角级数表示（周期为T0）：二、周期信号的指数傅里叶级数利用欧拉公式，将周期信号的三角傅里叶级数变换为指数傅里叶级数复指数形式的频谱为双边谱三角函数形式的频谱为单边谱三.周期信号频谱的特点周期信号的频谱具有三个特点：1）周期信号的频谱是离散的。
测试技术试题 信号及其描述
第一章 信号及其描述一、知识要点及要求(1)了解信号的分类，掌握信号的时频域描述；(2)掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； (3)掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质；(4)掌握随机信号的特点，了解随机信号的时域统计描述（与周期信号的强度描述相对照），概率密度函数描述，相关函数和功率谱。
二、重点内容及难点(一)信号的分类(二)信号的时域—频域描述信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。
(三)周期信号与离散频谱 周期信号频谱的三个特点：(1)离散性：即周期信号的频谱是离散的。
(2)谐波性：即每条谱线只出现在基频的整数倍上。
(3)收敛性：即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。
各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。
(四)非周期信号与连续频谱 非周期信号：(1)准周期信号：但各频率分量与基频的比值不一定都是有理数。
如)2s i n ()s i n ()(00t t t x ωω+=，频谱是离散的。
(2)瞬变非周期信号：可简称为非周期信号。
频谱密度函数；即)(f X 与n C 很相似，但n C 的量纲与信号幅值的量纲一样，而)(f X 的量纲是单位频宽上的幅值。
(五)随机信号的描述1、随机信号（又称随机过程），不能用确定的数学关系式来描述，只能用概率统计的方法来描述。
平稳随机过程，其统计特征参数不随时间而变化，是一个常值；否则，非平稳随机过程。
各态历经的随机过程，即在平稳随机过程中，任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征；否则，非各态历经的随机过程。
各态历经的随机过程必然是平稳随机过程，而平稳随机过程不一定是各态历经的随机过程。
工程上所遇到的很多随机信号都具有各态历经性，即可以用时间平均来代替集合平均。
2、时域统计特征参数(1)均值⎰∞→=TT x dt t x T)(1lim μ，表示信号的常值分量。
03第1章_瞬变非周期信号与连续频谱
其中： j ( f ) X( f ) X( f )e
X ( f ) Re2 [ X ( f )] Im2 [ X ( f )] 幅值谱 ( amplitude spectrum )
Im[ X ( f )] ( f ) arctg 相位谱 Re[ X ( f )] ( phase spectrum )
T
T
n
x(t )
2 2 2 0
n 0 (n 1) 0 0
Cn
t
T
2 d 0 T
非周期信号的频谱分析
2, Fourier 变换
Fourier 变换的推导 ( 1 ) 由以上思路推导公式
x(t ) lim xT (t )
( x(t )e j 2ft dt)e j 2ft df
令为 X( f )
非周期信号的频谱分析
非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般 为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为 有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换 （Fourier transform）。 傅立叶变换的定义
非周期信号的频谱分析
对比:方波谱
非周期信号的频谱分析
例：矩形脉冲信号(rectangular pulse signal) G(t ) （窗函数(window function)）
E, t T / 2 G(t ) 0, t T / 2
矩形脉冲信号的 Fourier 变换为
a
m 1
k
m m
x (t ) am X m ( f )
m 1
k
第三节瞬变非周期信号与连续频谱
从函数值极限的角度看：
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积（通常也称其为δ函数的强度）的角度看：
(t )dt lim S (t )dt 1
0
（2）δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱
将δ（t）进行傅立叶变换：
( ) (t )e
jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数， 根据欧拉公式可知：
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg
a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)
2
ω
2
例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解： 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt
测试技术-第一章 信号及其描述
2014-4-23
《测试技术》讲义
6
2014-4-23
《测试技术》讲义
7
能量信号和功率信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电 流信号来处理。显然，电压信号加到电阻R上， 其瞬时功率 P(t ) x 2 (t ) / R 。当R=1 时， P(t ) x 2 (t ) 。瞬时功率对时间积分就是信号 在该积分时间内的能量。依此，人们不考虑信号 实际的量纲，而把信号的平方及其对时间的积分 分别称为信号的功率和能量。当 x(t ) 满足 2 x (1—4) (t )dt 时，则认为信号的能量是有限的，并称之为能量 有限信号，简称能量信号，如矩形脉冲信号、衰 减指数函数等。
2014-4-23 《测试技术》讲义 5
连续信号和离散信号
连续信号：若信号数学表示式中的独立变量取值 是连续的 (图1—3a)。 离散信号：若独立变量取离散值。图1-3b是将 连续信号等时距采样后的结果，就是离散信号。 离散信号可用离散图形表示，或用数字序列表示。 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信 号。 若离散信号的幅值也是离散的．则称为数字信号。 数字计算机的输入、输出信号都是数字信号。
，
把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数 函数形式后，可分别以 cn 和 n 作幅 频谱图和相频谱图；也可以分别以cn的实 部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别 称为实频谱图和虚频谱图(参阅例1—2)。 比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复 指数函数形式的频谱为双边谱(ω从-∞到 +∞)，三角函数形式的频谱为单边谱(ω从0 到+∞)；两种频谱各谐波幅值在量值上有 A c c0 a0 。双边幅频谱 确定的关系， 2 ， 为偶函数，双边相频谱为奇函数。
《机械工程测试技术基础(第4版)》基本课件第2章
2.1 信号的分类与描述
若信号在区间（－∞，∞）的能量是无限的，即
但它在有限区间（t1，t2）的平均功率是有限的，即
则这种信号称为功率有限信号或功率信号。图２-１所示的振动系统，其位移信 号x(t)就是能量无限的正弦信号，但在一定时间区间内其功率却是有限的。如果该系 统加上阻尼装置，其振动能量随时间而衰减（见图２-２），这时的位移信号就变成 能量有限信号了。
第2章
目录
2.1 信号的分类与描述 2.2 周期信号与离散频谱 2.3 瞬变非周期信号与连续频谱 2.4 随机信号
在生产实践和科学实验中，需要观测大量的现象及其参量的变化。这些 变化量可以通过测量装置变成容易测量、记录和分析的电信号。一个信号包 含着反映被测系统的状态或特性的某些有用的信息，它是人们认识客观事物 内在规律、研究事物之间相互关系、预测未来发展的依据。这些信号通常用 时间的函数（或序列）来表述该函数的图形称为信号的波形。
在一般情况下，Cn是复数，可以写成
把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数函数形式后，可分别以|Cn|－ω 和φn－ω绘制幅频谱图和相频谱图也可以分别以ｃｎ的实部或虚部与频率的关 系绘制幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图（参阅例２-２）。
比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复指数函数形式的频谱为双边谱（ω 从－∞～＋∞），三角函数形式的频谱为单边谱（ω从０～＋∞）；两种频谱各 谐波幅值在量值上有确定的关系，即｜ｃｎ｜＝１２Ａｎ，｜ｃ０｜＝ａ０。双 边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。
2.1 信号的分类与描述
2.2 周期信号与离散频谱
2.2.1 傅里叶级数的三角函数展开式 在有限区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号） x(t)都可以展开成 傅里叶级数。 傅里叶级数的三角函数展开式为
传感器与测试技术 3 信号的分类与描述
T0 / 2 x(t)dt
T0 / 2
各谐波分量的幅值和初相角分别为：
An an2 bn2
n
arctan(
an bn
)
3.2 周期信号的频谱
② 与谐波形式相应的频谱
频谱图的纵坐标分别为An和φn，横坐标为ω。 其中 幅值谱图， An—ω图；
相位谱图，φn—ω图。 式中ω0——基频；
nω0——n次谐频； An sin (nω0t ＋φn)——n次谐波。 各谐波成分的频率都是ω0的整数倍，因此谱线是离散的。
1 w(t) 0
t T 2 t T 2
3.3 非周期信号的频谱
解: W ( f )
w(t)e j2πftdt
T /2
[cos(2πft) jsin(2πft)]dt
T / 2
2
T /2
c os (2πf t)dt
T
s in(πf T )
0
πf T
T sin c(πfT)
其中森克函数：sincx=sinx/x。 随着x的增加，森克函数以2为周期作衰减振荡；它是偶函数， 并且在n(n=1, 2, …)处为0。
x(t)e dt
T0 / 2
(an jbn ) / 2 cn ejn
幅值谱 相位谱
cn
an2
bn 2
/
2
1 2
An
n
arctan
bn an
3.2 周期信号的频谱
▪ 例2-2 对如图所示周期方波，以复指数展开形式求频谱，并做 频谱图。
解：
周期方波
1
c0 T0
T0 / 2 x(t)dt 0
瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即
测试技术考试题..
第一章填空：1、信号一般分为确定性信号 和随机信号两类。
2、信号的描述方法常用的有 实域描述 和 频域描述两种。
3、周期信号用傅立叶级数展开到频域描述；瞬变非周期信号用 傅立叶变换 展开到频域描述。
4、周期信号频谱的特点是：离散性、谐波性、收敛性；瞬变非周期信号频谱的特点是连续性 。
5 、 已 知 时 域 信 号 x ( t )，其傅里叶变换是X ( f )x(t)e j 2 ft dt 。
6、 sin 2π f0t的傅里叶变换是 sin 2 f 0tj1[ ( f f 0 )( ff 0 )] ；2cos2 πf0t的 傅 里叶变换是cos2 f 0t1 ( f 。
f 0 ) ( ff 0 )][2判断：1、信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（ √ ）2、非周期信号的频谱一定是连续的。
（×）3、非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
（ ×） 简答：1、何为信号？如何建立其模型？答：蕴含信息且能传输信息的物理量 在测试技术中，撇开信号具体的物理性质， 而是将其抽象为某个变量的函数关系， 如时间的函数 x(t) 、频率的函数 X(f) 等。
这些函数就是对信号进行分析、处理时的数学模型。
2、信号有哪些分类？答：确定性信号和随机信号、连续信号和离散信号、能量信号和功率信号3、模拟信号与数字信号如何定义？答：模拟信号：独立变量和幅值均取连续值的信号。
数字信号：独立变量和幅值均取离散值的信号。
4、什么是信号的时域描述和频域描述？两者有何区别？答：直接观察或记录到的信号，一般是以时间为独立变量，反映的是信号幅值随时间的变化关系，因而称其为信号的时域描述。
若把信号变换成以频率为独立变量，由此来反映信号的频率结构和各频率成分与幅值、相位之间的关系，信号的这种描述方法称之为频域描述。
变量：时域描述以时间为变量；频域描述以频率为变量。
内容：时域描述反映信号幅值与时间的关系；频域描述反映信号的幅值、相位与频率的关系。
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x (t )
称为 X ( ) 的傅里叶逆变换（IFT）
8
信号分析
代入 2 f
瞬变非周期信号与其频谱
x(t )e j 2 f t dt
X( f )
x( t )
X ( f )e j 2 f t dt
以上傅里叶变换的4个重要公式，可用符号简记为
9
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
非周期函数的傅立叶变换和逆变换：
X ) 2
X ( )e jt d
X ( f ) x(t )e
j 2 f t
2 f
x(t ) X ( f )e j 2 f t df
2
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
4. 时移和频移性质 若x(t) ←→ X(f)，则 x(t±t0) ←→ e±j2πft0 X(f) x(t) e±j2πf0t ←→ X(f ±f0)
证明:
若 t0 为常数，则
20
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值 t0 时，频 谱函数将乘因子 e j 2ft0 ,即只改变相频谱，不会改变幅频谱。
dt
10
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
X ( ) x(t )e
jt
dt
X ( f ) x(t )e 2 j ft dt
T /2
T /2
Ae
jt
dt
T /2
T /2
Ae2 j ft dt
T sin( ) 2
2A
2A T sin(2 f ) 2 f 2
周期信号 确定性信号
信号
非周期信号
非确定性信号
2
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
• 非周期信号是不会重复出现的信号 如：锤子的敲击力、承载缆绳断裂时的应力变化、热电偶 插入加热炉中温度的变化过程
3
信号分析
一般所说的非周期信 号是指瞬态非周期信 号。如：
瞬变非周期信号与其频谱
非周期信号及其频域分析，主要指的是瞬变非周期信号
瞬变非周期信号与其频谱
小结和对比
频域分析就是将时域信号变换到频域，得到其频谱。频谱是构成信号的各 频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些谐波组 成，各谐波分量的幅值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。 周期信号 分析工具:傅里叶级数展开(三角 函数形式、复指数函数形式） 瞬变非周期信号 分析工具:傅里叶变换 得到单位频宽上的幅值，即，频 谱密度函数，为方便起见，仍称X （f）为频谱 频谱是连续的
非周期信号频谱的性质
• 非周期信号可视为频率连续变化的谐波的 叠加 • X()反映了不同谐波分量的幅值与相位的 变化情况 X ( ) | X () | e j ( )
其中， | X ( ) | ——非周期信号x(t)的连续幅值谱
( ) ——非周期信号x(t)的连续相位谱
13
信号分析
18
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
例，把记录磁带快放，即使时间尺度压缩，这样虽可以提高 处理信号的效率，但是所得到的信号（放演信号）频带就会 加宽。倘若后续处理设备（放大器、滤波器等）的通频带不 够宽，就会导致失真。反之，慢放，则放演信号的带宽变窄， 对后续处理设备的通频带要求可以降低，但信号处理效率也 随之降低。 正常录、慢放 正常录、正常放 正常录、快放
0 x(t ) n 2
0
(T0 / 2, T0 / 2) (, ) d n0
jt jt x ( t ) e dt e
6
信号分析
0 x(t ) n 2
瞬变非周期信号与其频谱
X ( ) x(t )e jt dt
一一对应关系， 傅里叶变换对
x(t )
2
1
代入 x(t) 表达式
X ( )e d
jt
X ( ) F [ x(t )] x(t ) F [ X ( )]
1
X ( ) 称为
x (t ) 的傅里叶变换（FT）；
d jt jt x(t )e dt e 2
X ( ) x(t )e
jt
dt
1 2
x(t )e jt dt e jt d
7
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
非周期函数的傅立叶变换和逆变换：
机械工程测试、信息、 信号处理
——瞬变非周期信号与其频谱
第 一 组 信 号 及 分 析 日期：2014年9月9日
信号分析
课程内容
1
信号及其描述
2
3
信号的描述及分类
周期信号及其频谱 瞬变非周期信号与其频谱 随机信号及其主要特征参数
课程内容
4 5
contents
1
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱 简谐周期信号 复杂周期信号 准周期信号 瞬态非周期信号
4
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
T0
x(t)
T0
T0 5 t
因此离散谱线无限靠近， x(t) 变成连续谱线
非周期信号的频谱是连续的，它 由无限多个、频率无限接近的频 率分量组成
T0 20
t
5
信号分析
周期函数的 傅里叶级数 展开形式
x(t )
瞬变非周期信号与其频谱
jn0t C e n
x(t )e
jt
0 jt jt x(t ) x(t )e dt e 2 jt jt x(t )e dt e 2
jt dt e
0 d
得到频率组成（谱线）
频谱离散、每条谱线只出现在原 周期信号基波频率的整倍数上、 幅值谱中各个频率的幅值随着频 率的升高而减小
工程上常用频谱图形来直观描述
14
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
傅立叶变换的主要性质
15
信号分析 1.奇偶虚实性
瞬变非周期信号与其频谱
傅立叶变换的主要性质
x (t ) 若为实偶函数，则 X ( f ) 为实偶函数
2 f
11
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
非周期函数 x(t) 存在傅立叶变换的充分不必要条件是： x(t) 的绝对值在区间（-∞，∞）上可积，即
x(t ) dt
当引入广义函数概念后，许多不满足绝对可积条件的 函数也能进行傅里叶变换
12
信号分析 • 连续
瞬变非周期信号与其频谱
x (t ) 若为实奇函数，则 X ( f ) 为虚奇函数
x (t ) 若为虚偶函数，则 X ( f ) 为虚偶函数
x (t ) 若为虚奇函数，则 X ( f ) 为实奇函数
16
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
2.对称性 若x(t) ←→ X(f)，则X(t) ←→ x(-f)
证明: 由于
对称性可表示为图：
n 0, 1, 2,
n
1 T20 jn0t jn0t x(t ) T0 x(t )e dt e n T0 2 非周期函数 T
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
x(t )e
jn0t
dt
n0
可视为周期 无穷大的周 期信号
若以-t代替t，有
再将t与f互换，则有
17
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
3. 时间尺度改变性 若 x(t) ←→ X(f)，则 x(kt) ←→ 1/k[X(f/k)]
证明:若k为常数，则
这个性质说明，当时域尺度压缩(k>1)时，对应 的频域展宽且幅值减小；当时域尺度展宽(k<1) 时，对应的频域压缩且幅值增加
21