2非周期信号和随机信号的频谱
江苏开放大学《测试技术》形考作业一
我的课程>测试技术>第3章测试系统的特性形考作业1（占形考20%）作业详情老师点评：答案解析：深海探测器应用到了超声波传感器2以下哪项不属于测试技术的内容客观题满分：3分得分：3分A信号显示B测量方法C测量原理D数据处理正确答案：A学生答案：A老师点评：答案解析：测试技术的内容包括测量原理、测量方法、测量系统、数据处理3在AGV自动送货车中，红外线色彩传感器主要用来做什么？客观题满分：3分得分：3分A判断物品所在位置和距离B判断速度快慢控制运动轨迹D货品识别正确答案：C学生答案：C老师点评：答案解析：在AGV自动送货车中，应用的传感器包括：超声波测距传感器判断建筑物内人和物所在位置；红外线色彩传感器控制运动轨迹；条形码传感器用于货品识别4在工业生产线在线检测中，用来检查零件的尺寸，判断是否有缺陷的传感器是哪个？客观题满分：3分得分：0分A液位传感器B光电传感器C压力传感器红外传感器正确答案：B学生答案：D老师点评：答案解析：在工业生产线在线检测中，通过光电传感器检查零件的尺寸，判断是否有缺陷，并能够进行零件的识别和精准定位装配。
5以下对光纤传感器的说法错误的是哪项？客观题满分：3分得分：3分A可将被测对象的状态转变为可测的光信号的传感器B能够实现多种物理量的测量不适用于高电压、强电磁场干扰的场合D属于新型传感器正确答案：C学生答案：C老师点评：答案解析：光纤传感器属于新型材料传感器，它可以实现位移、压力、速度、液位、流量、温度、电压、电流等多种物理量的测量，适用于高电压、强电磁场干扰的场合。
6客观题满分：3分得分：3分A时移B频移C相似D对称正确答案：A学生答案：A老师点评：答案解析：通过傅氏变换的性质可得7复杂周期信号的频谱是（）。
客观题满分：3分得分：3分A离散的B连续的Cδ函数Dsinc函数正确答案：A学生答案：A老师点评：答案解析：周期信号的频谱是离散的。
8如果一个信号的频谱是离散的，则该信号的频率成分是（）。
第四章(2)周期信号的频谱
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : 1、各谱线的幅度按包络线 T 、
ωτ
= m π ( m = ±1, ± 2,...)
τ
Sa (
ωτ
2
) 的规律变化。 的规律变化。
各处， 的各处， 在 2 各处，即 的各处， τ 包络为零，其相应的谱线， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。 于零。 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。 它可分解为无限多个频率分量。 通常把频率范围 0 ≤ f ≤ τ (0 ≤ ω ≤ τ ) 称为周期矩形脉冲 带宽， 表示， 信号的带宽 信号的带宽，用符号 ∆F 表示，即周期矩形脉冲信 1 号的频带宽度为 ∆F = 。 τ
Fn F ( jω ) = lim = lim FnT T →∞ 1 / T T →∞
为频谱密度函数。 称 F ( jω )为频谱密度函数。
Fn lim = lim FnT 如何求频谱密度函数？ 如何求频谱密度函数？ F ( jω ) = T →∞ 1 / T T →∞
由式 f ( t ) =
n = −∞
T 2T f (t) T=8τ
0
3T
4T t
0 1/ 8
T f (t) T=16τ
0
2T
t
0 1/16
0
T
t
0
f (t) T→∞ τ/T
0 t 0
图4.3-5 周期与频谱的关系
思考： 思考：
1 1 1 f (t ) = [sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + .... + sin(nΩt ) + ...] 3 5 n π 4
长沙理工大学测试技术复习试题
《机械工程测试技术基础》课程试题二一、填空（每空1份，共20分）1. 信号可分为 确定性信号 和 随机信号 两大类。
2. 确定性信号可分为 周期信号 和 非周期信号 两类，前者的频谱特点是离散的。
后者的频谱特点是连续的。
3. 信号的有效值又称为均方根值，有效值的平方称为均方值，它描述测试信号的强度（信号的平均功率）4. 绘制周期信号x （t ）的单边频谱图，依据的数学表达式是傅氏三角级数中的各项系数（0,,,n n n a a b A 等 ），而双边频谱图的依据数学表达式是傅氏复指数级数中的各项系数（,,n n nc c c -）。
１、周期信号的频谱是离散的，而非周期信号的频谱是 连续 的。
２、均方值Ψx 2表示的是信号的强度，它与均值μx 、方差σx 2的关系是 ¢x 2=H x 2+óx 2 。
３、测试信号调理电路主要有 电桥、放大、调制解调电路４、测试系统的静态特性指标有 非线性度、灵敏度、回程误差 。
５、灵敏度表示系统输出与输入之间的比值，是定度曲线的 斜率 。
６、传感器按信号变换特性可分为 组合型、一体化型 。
７、当 Δó〈〈ó0 时，可变磁阻式电感传感器的输出和输入成近似线性关系，其灵敏度S 趋于 定位 。
８、和差特性的主要内容是相临、相反两臂间阻值的变化量符合 相邻相反 相对相同 的变化，才能使输出有最大值。
９、信号分析的过程主要包括： 信号分析、信号处理 。
10、系统动态特性在时域可用 传递函数 来描述，在复数域可用 频率函数 来描述，在频域可用—脉冲响应函数 来描述。
11、高输入阻抗测量放大电路具有高的共模抑制比，即对共模信号有抑制作用，对 差模 信号有放大作用。
12、动态应变仪上同时设有电阻和电容平衡旋钮，原因是导线间存在 分布电容 。
13、压控振荡器的输出电压是方波信号，其频率与输入的控制电压成线性关系。
14、调频波的解调又称 鉴频 ，其解调电路称为 鉴频器 。
常见连续时间信号的频谱
19
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2020/2/29
20
3
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0
余弦信号及其频谱函数
2020/2/29
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e-j0t ) F - jπ[d (
- 0 ) - d (
0 )]
sin 0t 1
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(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
n-
-
n0 )
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
2020/2/29 - T 0 T
t
-0 0 0
16
4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
非周期信号的频谱
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
非周期信号的频谱
F(j)称为 f(t) 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱；
f(t) 称为F(j) 的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为： F ( j )
f (t)
f (t)
1 F ( j)
或者： f (t ) F ( j )
频谱密度函数
F ( j ) 一般为复函数，可写为
F ( j) F ( j) ej () F ( ) e j ()
0,
2
A e j tdt
2
A e j t 2
j
2A sin 2
A Sa( )
2
2
t
2
t
2
8.矩形脉冲信号的频谱
f (t ) A
2π
F( j)
A
t 2 0 2
0 2π 4π
Ag (t)
A
Sa( )
2
傅里叶变换对 F ( j ) f ( t ) e j t d t
T
Fn
2Fn 1
Fn f1
T
2 T
f ( t ) e j n 1t d t
2
其中， Fn 或 Fn 表示单位频带上的频谱值，即频谱密度。
1
f1
对上式取极限 T ，各变量将相应改为 T
虽然 记作
Fn 0
F ( j)
，但
T
F
n 趋于一有限函数
1
2
T
d
n 1 n
F ( j )
et t 0
f (t) e t t 0
为 0的实数
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt j
2
0
2 a2
F (j) 2 2 a2
大学生《机械工程测试技术基础》期末试题及答案
第一章 信号及其描述（一）填空题1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是 信号 ，其中目前应用最广泛的是电信号。
2、 信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 为独立变量。
3、 周期信号的频谱具有三个特点： 离散性 ， 谐波性 ， 收敛性 。
4、 非周期信号包括 准周期 信号和 瞬变周期 信号。
5、 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。
6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 关于Y 轴 （偶） 对称，虚频谱（相频谱）总是 关于原点（奇） 对称。
（二）判断对错题（用√或×表示）1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。
（ √ ）2、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（ √ ）3、 非周期信号的频谱一定是连续的。
（ × ）4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
（ × ）5、 随机信号的频域描述为功率谱。
（ √ ）（三）简答和计算题1、 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。
2、 求正弦信号)sin()(0ϕω+=t x t x 的均值x μ，均方值2x ψ，和概率密度函数p(x)。
3、 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。
4、求被截断的余弦函数⎩⎨⎧≥<=T t T t t t x ||0||cos )(0ω的傅立叶变换。
5、求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x at ω的频谱。
第二章 测试装置的基本特性（一）填空题1、 某一阶系统的频率响应函数为121)(+=ωωj j H ，输入信号2sin )(t t x =，则输出信号)(t y 的频率为=ω ，幅值=y ，相位=φ 。
2、 试求传递函数分别为5.05.35.1+s 和2224.141n n n s s ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度。
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方差：描述信号的波动分量2x
lim
1 T
T 0
(
x(t
)
x
)2
d
t
T
关系：
测试技术基础
4．概率密度函数 p(x)
定义：以随幅机信值号大的瞬小时为值横落在坐指标定区，间以（每x，个x+Δ幅x）值内间的隔概率内对 出Δ x现的比的值概的率极限为值纵。坐标进行统计分析的方法。它
反况映。p(了x信) 号落xli m在不0 同p(x幅x值(t)x强x度x区) 域内的概率情
测试技术基础
第三节 典型信号的频谱
矩形窗函数 单位脉冲函数 正余弦信号 采样函数（周期单位脉冲）
测试技术基础
1) 矩形窗函数的频谱
结论：若在时域中截取信号的一段长度，则相当于原信 号和矩形窗函数之乘积，所得频谱为两者卷积。
测试技术基础
2) 函数: 是一个理想函数，是物理不可实现 信号。
(t)
2
f0) ( f
f0 )
c os 2f 0 t
1 ( f
2
f0) ( f
f0 )
测试技术基础
4) 采样函数（周期单位脉冲序列）
测试技术基础
测试技术基础
1
G( f ) Ts
(f
k
kfs )
测试技术基础
第四节 随机信号的描述 一、概述
样本函数：对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录 样本记录：样本函数在有限时间区间上的部分 随机过程：同一实验条件下，全部样本函数的集合（总体） 随机过程的平均值（均值、方差、均方值、均方根值等）按集合平均计算 集合平均：随机过程中所有所有样本函数对同一时刻的观测值的平均 时间平均：单个样本时间历程的平均计算 各态历经随机过程：单个样本函数的时间平均统计特征=集合平均统计特征
测试技术基础
在观察时间T内，随机信号x（t）的瞬时值落在（x，x+Δx）内总时间和为
n
Tx t1 t2 tn ti
i 1
随机信号x（t）的瞬时值落在（x，x+Δx）内的概率为
P(x x(t) x x) lim Tx
T T
测试技术基础
总结：
x
t1 t2 t3 t
t1 Δt2
一个周期内出现两个Δt，n个周期内：
Tx 2 t n
t3
t
测试技术基础
p(x)
1
x0
x0
x0
x
测试技术基础
本章小结
时域信号如何转换为频域信号； 随机信号：4个统计特征参量； 时域、频域一一对应； 典型信号的频谱（窗函数、δ函数、正弦余 弦函数、采样函数）
X ( f ) X ( f ) e j ( f )
X ( f ) Re2[X ( f )] Im2[X ( f )]
(
f
)
arctg
Im[X Re[ X
( (
f f
)] )]
或
x(t)
1 2
X ()
X ()e jt d
x(t)e jt dt
a. 线性叠加性 若 x1(t) ←→ X1(f)，x2(t) ←→ X2(f) 则：ax1(t)+bx2(t) ←→ aX1(f)+bX2(f)
测试技术基础
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
测试技术基础
b.对称性
测试技术基础
c.时间展缩性质 若 x(t) ←→ X(f)， 则 x(kt) ←→ 1/k[X(f/k)]
, t 0 0, t 0
(t)dt 1
测试技术基础
特性：1）筛选性
2）卷积特性
2.1 信号的分类与描述 测试技术基础
3）傅氏变换
( f ) (t )e j2ft dt 1
测试技术基础
3) 正余弦函数
sin 2f0t
j ( f
测试技术基础
本章作业
2.1、2.2、2.5
1）概率密度函数曲线影线下的面积是幅值落在 （x,x+Δx)区间的概率。
2）p(x)曲线与x轴的面积反映信号幅值上出现的 总概率，
p(x)dx 1
3）不同的函数有不同的概率密度函数。
测试技术基础
例：求正弦函数的概率密度函数
xt x0 sin 0t xx
解：
测试技术基础
二．非周期信号的频谱
与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量 的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期T∞，基频fdf， 它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df， 这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数 描述。
另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的 各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。
特点：1 非周期信号的频谱是连续谱
测试技术基23 幅时础值域谱有是限单，位频频谱宽无上限的幅值
例1． 求矩形窗函数 t 的频谱源自由欧拉公式： sin 2f0t
j 1 (e j2f0t 2
e j2f0 t )
测试技术基础
sinc 函数
波形
测试技术基础
测试技术基础
傅立叶变换的主要性质
测试技术基础 第一章 信号及其描述
第三节 非周期信号的频域描述 一．傅里叶变换
非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信
号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手
段是傅立叶变换。
x(t) X(f
)
X
(f x(t
)e )e
j2ft df j2ft dt
测试技术基础
测试技术基础
测试技术基础
g.时域卷积定理
如果
h(t) FT H ( );
x(t) FT X ( );
则
h(t) * x(t) FT H ( ) X ();
h(t) * x(t) FT H ( f ) X ( f )
时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数 频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频 域中频谱中相乘。
测试技术基础
二、随机信号的主要特征参数
1）均值、方差、均方值 2）概率密度函数 3）自相关函数 4）功率谱密度函数
均值：表示信号的直流 （常值）分量
x
lim
1 T
T
x(t)dt
0
T
均方值：描述信号的强度 均方根值（有效值）：
2 x
lim
1 T
T x2 (t)dt
0
T