傅里叶变换和非周期信号的频谱
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2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
第七3章 非周期信号的傅里叶变换
则
G( ) g (t )e jt dt 2 Ee jt dt
2
13
7-5典型信号的傅立叶变换
E sin 2 E Sa ( ) 2 2
表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 n ( n 1, 2, ) Sa ( )0 。 当 时， 2 2 2 n 1 G ( ) 取 ， 的第一个零点的频率为 c ， 定义 0 ~ c （或者 0 ~ fc ）之间的频率范围称为信号宽度。
这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件， 因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函 数 ( ) 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。
12
7-5典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g (t )
g(t)
E
2
0
2
t
单个门函数
其幅度为E，宽度为
， F[ g (t )] G( )，
• 原来的离散量 n1 演变成连续量 。
• 离散求和 运算 变成连续积分
运算
，即
（ 1）
（2 ）
F ( )
1 f (t ) 2
f (t )e jt dt
F ( )e jt d
式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周 期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
2 ，用指数形式傅立 T 为周期，脉宽为 ，基频为 1 T 叶级数展开可得
1 T Fn 2T fT (t )e jn1t dt T 2
1 2 E jn1t Ee dt T 2 T
3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换
−1
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
§3-3 非周期信号的频谱分析
x(t)
E
T
2
2
T
t
x(t)
E
T
2
2
T
t
x(t)
E
2
2
t
TA k E
0 1
2
k1
TA k E
0 1
2
k1
TA k E
0
2
对应的傅里叶级数展开式
x(t)
Ak e jk1t
k
TAk e jk1t
我们将X(jΩ)表示非周期信号的频谱，即是傅里叶正变 换
X ( j) x(t)e jt dt
式
x(t)
1
X ( j)e jt d
2
即是傅里叶反变换。上两式称作傅里叶变换对，常表示为
x(t) FT X ( j) ℱ x(t)
x(t) ℱ -1 X ( j)
k
1 T
1 2
TAk e jk1t
k
2 T
当T→∞的时候，
lim x(t)
T
1 2
TAk e
k
jk1t
2 T
lim
T
1 2
TAk e
k
jk1t
1
1
X ( j)e jt d
2
T
E
T
2
2
T
t
0 1
2
k1
x(t)
E
T
2
2
非周期信号的频谱
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
非周期信号的频谱——傅里叶变换
(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)
非周期信号的频谱
F(j)称为 f(t) 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱；
f(t) 称为F(j) 的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为： F ( j )
f (t)
f (t)
1 F ( j)
或者： f (t ) F ( j )
频谱密度函数
F ( j ) 一般为复函数，可写为
F ( j) F ( j) ej () F ( ) e j ()
0,
2
A e j tdt
2
A e j t 2
j
2A sin 2
A Sa( )
2
2
t
2
t
2
8.矩形脉冲信号的频谱
f (t ) A
2π
F( j)
A
t 2 0 2
0 2π 4π
Ag (t)
A
Sa( )
2
傅里叶变换对 F ( j ) f ( t ) e j t d t
T
Fn
2Fn 1
Fn f1
T
2 T
f ( t ) e j n 1t d t
2
其中， Fn 或 Fn 表示单位频带上的频谱值，即频谱密度。
1
f1
对上式取极限 T ，各变量将相应改为 T
虽然 记作
Fn 0
F ( j)
，但
T
F
n 趋于一有限函数
1
2
T
d
n 1 n
F ( j )
et t 0
f (t) e t t 0
为 0的实数
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt j
2
0
2 a2
F (j) 2 2 a2
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第10章傅里叶变换和非周期信号的频谱
10.1利用fourier 函数求下列信号的傅里叶变换F （j ω）,并利用ezplot 函数绘出其幅度频谱|F （j ω）|和相位频谱φ（ω）。
观察比较三个信号的幅频特性和相频特性，并利用傅里叶变换的性质加以解释。
（1）t
t t f ππ2)2sin()(1= （2）)
2(2)]2(2sin[)(2--=t t t f ππ
（3）23]
2)
2sin([)(t t t f ππ=
(1)syms t im re phase;
f = sin(2*pi*t)/(2*pi*t);
Fw = fourier(f)
subplot(311);
ezplot(f);
axis([-2.5 2.5 -pi pi]);
xlabel('时域波形');
subplot(312);
ezplot(abs(Fw));
axis([-2.5 2.5 -pi pi]);
xlabel('幅度谱');
im = imag(Fw);
re = real(Fw);
phase = atan(im/re)
subplot(313);
ezplot(phase);
axis([-2.5 2.5 -pi pi]);
xlabel('相位谱');
(2)
syms t im re phase;
f =
sin((2*pi*(t-2))/(2*pi*(t
-2));
Fw = fourier(f)
subplot(311);
ezplot(f);
axis([-2.5 2.5 -pi pi]);
xlabel('时域波形');
subplot(312);
ezplot(abs(Fw));
axis([-2.5 2.5 -pi pi]);
xlabel('幅度谱'); im = imag(Fw);
re = real(Fw);
phase = atan(im/re) subplot(313);
ezplot(phase);
axis([-2.5 2.5 -pi pi]); xlabel('相位谱');
(3)
syms t im re phase;
f =
[sin(2*pi*t)/(2*pi*t)]^2; Fw = fourier(f)
subplot(311);
ezplot(f);
axis([-2.5 2.5 -pi pi]); xlabel('时域波形'); subplot(312);
ezplot(abs(Fw));
axis([-2.5 2.5 -pi pi]); xlabel('幅度谱');
im = imag(Fw);
re = real(Fw);
phase = atan(im/re) subplot(313);
ezplot(phase);
axis([-2.5 2.5 -pi pi]); xlabel('相位谱');。