§4.3 周期信号的频谱
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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
4.3 周期信号的频谱及特点
A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
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, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
信号与系统 -第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
A2cos(2 t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n t+ n)称为n次谐波。
第4-13页
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
例1：将图示方波信号f(t)展开为数傅里叶级数。
f (t)
1
T T 0 T T 3T
t
2 1 2
2
解：f (t)为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得 信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
第4-5页
■
信号与系统电子教案
y C2v
y
0
A
x C1v x
4.1 信号分解为正交函 数
y C2vy
0 C3v
zz
A C1vx x
第4-6页
■
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函
二、信号正交与正交函数数集
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶简介
法国数学家、物理学家。1768年3月21日生 于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著 名
的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
A0
2
1 An
n1
e j n jn t
1数
2 An n1
e j n jn
t
令A0=A0
。
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0 ，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个 正交矢量集。
4_3 连续周期信号的频谱
0 2 π T0
x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A
T0
O
2
2π
2π
2
T0
t
0
0 2 π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2
2
T0
t
0
周期矩形信号的时域波形
~ x (t )
周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2
x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A
T0
O
2
2π
2π
2
T0
t
0
0 2 π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2
2
T0
t
0
周期矩形信号的时域波形
~ x (t )
周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2
《周期信号的频谱》PPT课件
n
n0
• 例：
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。
fT (t)
A
T
T
t
2
2
• 解： 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为：
Fn
A
T
S
a(n1)＝A
2T
sinn(1)
2
n1
2
将A=1，T=1/4，=1/20，代入：
F n 0 . 2 S ( n 1 a / 4 ) 0 0 . 2 S ( n / a 5 )
信号的平均功率为：P1 T/2 f2(t)dt0.2
T T/2
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：
有效带宽为： 0~2(rad/s) 0~40(ra/sd)
1 8
在带宽范围内有基波、二次、三次、四次谐波分量：
T(t) (tnT)
n
δT(t)
n=0, 1, 2, ….
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
系数：
F n
1 T
T 2
T 2
f (t )e jn1t d t
1
T 2
( t ) e d jn 1t t
T
T 2
1 T
则 ： f (t )
F e jn1t n
n
T (t )
An、n 均为 n1 的复函数，
分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
振幅频谱
频谱图
相位频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 以ω为横坐标
以相位为纵坐标所得到的谱线图
• 试画振幅谱和相位谱
矩形波
§4.3 周期信号的频谱
n
Fn
2
2
P5n
F02
F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4
1 P T
T
2
2222来自 0.181而总功率 二者比值
0
f 2 (t )dt 0.2
P5 n 90.5% P
▲ ■ 第 13 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2π 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
2
2
T
t
1 Fn T
T 2 T 2
f (t ) e
2
jnt
1 e jnt T jn
2
n n sin( ) sin 2 2 2 T n T n
2
1 2 jnt dt e dt T 2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
4.3 连续周期信号的频谱-
C1
1 2
e j4 ,
C1
1 2
e j4,
C3 e j2,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
| Cn |
幅度谱
1
1
1
1
2
2
30 0 0 0
30
n
4 相位谱
2
30 0 0 0
30
2
4
连续周期信号的频谱
~x (t) A
Cn
Cn
A T0
...
...
1 1
t
40
40
2π
2π
0
A=1，T0=1/4， = 1/20， 0= 2/T0 = 8
0 2π T0
Cn 0.2Sa (n0 / 40) 0.2Sa (nπ / 5)
第一个零点出现在
2
40
8
2
2
3 x(t)
0
t
-3
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1
1 2
e j4 ,
C1
1 2
e j4,
C3 e j2,
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
3 x(t)
0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
1/ 2,
n0
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~x (t)
Cn
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
4.3 连续周期信号的频谱-
衰减特性： 幅度频谱|Cn|随谐波n0增大时逐渐衰减，
并最终趋于零
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~x (t) A
T0
O
T0
t
2
2
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围(0 ~ 2π/ )
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
3 x(t)
0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1
1 2
e j4 ,
C1
1 2
e j4,
C3 e j2,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
~x (t) A
T0
O
T0
t
2
2
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱特性
离散特性：周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
连续周期信号的频谱
~x(t)
Cn e jn0t
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面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频
谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
图示
▲
■
第2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~
或
Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
离散谱，谱线
相位频谱
n ~ 曲线
O 3
n
O 3
▲
■
第 15 页
四、周期信号的功率
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
P 1
T
T 0
f
2 (t)dt
(
A0 2
)2
n1
1 2
An2
| Fn
n
|2
4.3-11/12
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。
n≥0时， |Fn| = An/2。
这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
o
12
6
4
3
ω
(a)
P 1 1 1 2 1 1 2 37 2 2 2 4 32
o
ω
12 6 4
3
2 3
(b)
▲
■
第7页
例2
已知f
(t
)
1
s
in
1t
2
cos
1t
cos
21t
π 4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
■
第8页
已知f
(t
)
1
sin1t
2
cos
1t
cos
21t
π 4
■
第9页
双边频谱图
f (t) 1
1
e j1t e j1t
2 e j1t e j1t
1
2 e
j1t
π 4
2
e
jn1t
π 4
2j
2
2
整理 f
(t)
1
1
1 2j
e
j1t
1
1 2j
e
j1t
1 2
j π e4
e
j21t
1 2
e
j
π 4
e
j
21t
2
F0
1
Fn
n2
F2
e jn1t
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
▲
■
第 14 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。
一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：
B
2π
或B f
1，带宽与脉宽成反比。
对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
■
第6页
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
3
1 4
cos
3
t
2
3
1 cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
1 co)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
2 4 3 4 3 6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。
■
第5页
单边频谱图例1
例：周期信号 f(t) = 1 1 cos t 2 1 sin t
2 4 3 4 3 6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。
■
第3页
频谱概念
对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物
理意义。为什么引入负频率？
f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和 e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
例1
例2
▲
■
第4页
单边频谱图例1
例：周期信号 f(t) = 1 1 cos t 2 1 sin t
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第 12 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有离散性。谱线位置是基频Ω的整 数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 ➢T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
T
t
▲
■
第 11 页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
(3)离散谱
（4)第一个零点坐标：2π T
（5当）ωFn是nΩ实时函取数值，幅度/令相n位 2
n＝ 2π
1
e
j
π 4
2
F1 F2
1
1 2j
1
e
j
π 4
2
1.12e j0.15π
F1
1
1 2j
1.12e
j0.15π
n
Fn
0.15 π
0.25 π
0.5 1.12 1 1.12 0.5
2 1 1 O 1 21
21 1
0.25π
1
O
21
0.15π
▲
■
第 10 页
二、周期信号频谱的特点
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点 • 频带宽度
•周期信号的功率
■
第1页
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变
化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信
号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系，即
将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
▲
■
第 16 页
周期矩形脉冲信号的功率
例4.3-1
P 1
T
以τ 1 s,T 1s为例，取前 5
T f 2 (t)dt
0
次谐波
Fn
n
2
5
P5n F02 F1 2 F2 2 F3 2 F4 2 F1 2 F2 2 F3 2 F4 2
，
例2 请画出其幅度谱和相位谱。
解：化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15π
)
cos
21t
π 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
单边频谱图
An
A1 2.24
A0
A2
21
1
O 1 21
n
0.25π
1
O
2 1
0.15π
A0 1 2 A1 5 2.236 A2 1
0 0 1 0.15π 2 0.25π
0.1806 而总功率 P 1 T f 2 (t)dt 0.2
T0
二者比值 P5n 90.3% P
▲
■
第 17 页
解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
f (t) 1 1 cos t 2 1 cos t
2 4 3 4 3 6 2
显然1是该信号的直流分量。
1 2
cos
4
t
3
的周期T1
=
8
1 4
cos
3
2
3
的周期T2
=
6
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12
➢ 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。
▲
■
第 13 页
三．频带宽度
1.问题提出
Fn
T
2π
O 2
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）
由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
图示
▲
■
第2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~
或
Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
离散谱，谱线
相位频谱
n ~ 曲线
O 3
n
O 3
▲
■
第 15 页
四、周期信号的功率
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
P 1
T
T 0
f
2 (t)dt
(
A0 2
)2
n1
1 2
An2
| Fn
n
|2
4.3-11/12
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。
n≥0时， |Fn| = An/2。
这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
o
12
6
4
3
ω
(a)
P 1 1 1 2 1 1 2 37 2 2 2 4 32
o
ω
12 6 4
3
2 3
(b)
▲
■
第7页
例2
已知f
(t
)
1
s
in
1t
2
cos
1t
cos
21t
π 4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
■
第8页
已知f
(t
)
1
sin1t
2
cos
1t
cos
21t
π 4
■
第9页
双边频谱图
f (t) 1
1
e j1t e j1t
2 e j1t e j1t
1
2 e
j1t
π 4
2
e
jn1t
π 4
2j
2
2
整理 f
(t)
1
1
1 2j
e
j1t
1
1 2j
e
j1t
1 2
j π e4
e
j21t
1 2
e
j
π 4
e
j
21t
2
F0
1
Fn
n2
F2
e jn1t
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
▲
■
第 14 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。
一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：
B
2π
或B f
1，带宽与脉宽成反比。
对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
■
第6页
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
3
1 4
cos
3
t
2
3
1 cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
1 co)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
2 4 3 4 3 6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。
■
第5页
单边频谱图例1
例：周期信号 f(t) = 1 1 cos t 2 1 sin t
2 4 3 4 3 6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。
■
第3页
频谱概念
对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物
理意义。为什么引入负频率？
f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和 e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
例1
例2
▲
■
第4页
单边频谱图例1
例：周期信号 f(t) = 1 1 cos t 2 1 sin t
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
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周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有离散性。谱线位置是基频Ω的整 数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 ➢T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
T
t
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Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
(3)离散谱
（4)第一个零点坐标：2π T
（5当）ωFn是nΩ实时函取数值，幅度/令相n位 2
n＝ 2π
1
e
j
π 4
2
F1 F2
1
1 2j
1
e
j
π 4
2
1.12e j0.15π
F1
1
1 2j
1.12e
j0.15π
n
Fn
0.15 π
0.25 π
0.5 1.12 1 1.12 0.5
2 1 1 O 1 21
21 1
0.25π
1
O
21
0.15π
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二、周期信号频谱的特点
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点 • 频带宽度
•周期信号的功率
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一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变
化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信
号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系，即
将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
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周期矩形脉冲信号的功率
例4.3-1
P 1
T
以τ 1 s,T 1s为例，取前 5
T f 2 (t)dt
0
次谐波
Fn
n
2
5
P5n F02 F1 2 F2 2 F3 2 F4 2 F1 2 F2 2 F3 2 F4 2
，
例2 请画出其幅度谱和相位谱。
解：化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15π
)
cos
21t
π 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
单边频谱图
An
A1 2.24
A0
A2
21
1
O 1 21
n
0.25π
1
O
2 1
0.15π
A0 1 2 A1 5 2.236 A2 1
0 0 1 0.15π 2 0.25π
0.1806 而总功率 P 1 T f 2 (t)dt 0.2
T0
二者比值 P5n 90.3% P
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解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
f (t) 1 1 cos t 2 1 cos t
2 4 3 4 3 6 2
显然1是该信号的直流分量。
1 2
cos
4
t
3
的周期T1
=
8
1 4
cos
3
2
3
的周期T2
=
6
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12
➢ 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。
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三．频带宽度
1.问题提出
Fn
T
2π
O 2
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）
由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。