第13讲 周期信号的频谱及其特点
合集下载
信号课件§4.3周期信号的频谱.ppt
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示。求频谱。
T 2 T 2
1
f(t) 0 … T t
2
-T
1 12 jn t jn t F f ( t ) e d t e d t n T T 2
n n sin( ) j n t sin 1e 2 2 2 2 T j n 2 T n T n
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
§4.3
周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点 • 频带宽度
■
第 1页
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变 化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即 将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平 面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，也可直接画Fn 。 图示
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
2
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
n n F Sa ( ) Sa ( )
§4.3 周期信号的频谱共15页PPT资料
1cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
14cos3t
2
3
是f(t)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
o
12
6
4
3
ω
(a)
P111211237 22 24 32
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2其 ) 最大n 值 0处 在， 。 为
(3)离散谱（谐波性）
当ωnΩ时 取
值（令 4)第 n 2一个 零 点坐n 标＝ 2π2 ： π
T
（5）Fn是复函数（此 函数 处） 为， 实幅度/相
F n0 ，相 0 ， F 位 n0 ,相 为 位 π。 为 ▲
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
▲
■
第 2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~ 或 Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
O 3
相位频谱
n
n ~曲线
■
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
4.3 周期信号的频谱及特点
A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
§4.3 周期信号的频谱
§4.3 周期信号的频谱•信号频谱的概念•周期信号频谱的特点•频带宽度一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和ϕn~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。
因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn |~ω和ϕn~ω的关系，称为双边谱。
若F n为实数，也可直接画Fn 。
图示单边频谱图例1例：周期信号f (t ) =试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f (t ) 的平均功率P 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--63sin 41324cos 211ππππt t 解首先应用三角公式改写f (t )的表达式，即⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=263cos 41324cos 211)(ππππππt t t f 显然1是该信号的直流分量。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+34cos 21ππt 的周期T 1= 8⎪⎭⎫⎝⎛-323cos 41ππ的周期T 2= 6所以f (t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12⎪⎭⎫ ⎝⎛+34cos 21ππt 是f (t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；⎪⎭⎫ ⎝⎛-323cos 41ππt 是f (t)的(π/3)/(π/12 )=4次谐波分量；画出f (t )的单边振幅频谱图、相位频谱图如图(a)(b)oA n12π6π4π3π2A 2141ωoω3π3π4π6π12π32π-nϕ137111122⎫⎛⎫⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=323cos 4134cos 211)(ππππt t t f频谱概念演示)(t fOtTT-11-2/T 频谱概念演示既是奇函数又是奇谐函数只含奇次谐波,且为正弦波.例1例2对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物理意义。
周期信号的频谱
X
第
1．三角形式的谱系数
f (t ) E
9 页
T1
f t 是个偶函数
bn 0, 只有a0 , an
O 2 2
T1
t
X
第
2．指数形式的谱系数
1 Fn T1
10 页
1 = T1
T1 2 T 1 2
f ( t )e jn1t d t
2
E 1 jn 1 t 2 Ee dt e jn1t 2 T1 jn 1
P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2 2
2
F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2
2
0.181E 2 1 T1 2 f ( t )dt 0.2 E 2 而总功率 T1 0 P5 n 二者比值 90.5% P
jn 1 jn1 2 e e 2
2
E jn 1T1
2E sin n 1 n 1T1 2 sin n 1 E 2 E Sa n 1 T1 T1 2 n 1
X
3．频谱及其特点
n)
E
f (t )
E 2E 1 f (t ) [sin(1 t ) sin(31 t ) 2 3 1 1 sin(51 t ) sin(n1 t ) ] 5 n
T1
T1 2
0
T1 2
T1
t
n 1,3,5,
E 2E 2E f (t ) cos(1 t ) cos(31 t ) 2 2 3 2 2E 2E cos(51 t ) cos(71 t ) 5 2 7 2
第
1．三角形式的谱系数
f (t ) E
9 页
T1
f t 是个偶函数
bn 0, 只有a0 , an
O 2 2
T1
t
X
第
2．指数形式的谱系数
1 Fn T1
10 页
1 = T1
T1 2 T 1 2
f ( t )e jn1t d t
2
E 1 jn 1 t 2 Ee dt e jn1t 2 T1 jn 1
P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2 2
2
F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2
2
0.181E 2 1 T1 2 f ( t )dt 0.2 E 2 而总功率 T1 0 P5 n 二者比值 90.5% P
jn 1 jn1 2 e e 2
2
E jn 1T1
2E sin n 1 n 1T1 2 sin n 1 E 2 E Sa n 1 T1 T1 2 n 1
X
3．频谱及其特点
n)
E
f (t )
E 2E 1 f (t ) [sin(1 t ) sin(31 t ) 2 3 1 1 sin(51 t ) sin(n1 t ) ] 5 n
T1
T1 2
0
T1 2
T1
t
n 1,3,5,
E 2E 2E f (t ) cos(1 t ) cos(31 t ) 2 2 3 2 2E 2E cos(51 t ) cos(71 t ) 5 2 7 2
第13讲 周期信号的频谱及其特点
号的调制与解调等等。
精选版课件ppt
2
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
精选版课件ppt
3
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
0 0 20 30 40 50
0.15
精选版课件ppt
14
周期信号的单边频谱
已知周期信号 f(t)11c o ts2 1s in t
2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f(t) 1 1 c o t s2 1 c o t s 2 4 3 4 3 62
精选版课件ppt
13
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f(t) 1 si0 n t 2 co 0 t sco 20 ts ( 4 )
f(t) 1 5 co 0 ts 0 .( 1) 5 c o 20 s t 4
Ak 5
k
0.25
1
1
0
0
20 30 40 50
相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。
根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分 为单边频谱图和双边频谱图。
精选版课件ppt
8
周期信号的单边频谱
周期信号 f ( t ) 的三角函数形式的傅里叶级数展开式为
f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
§4.3 周期信号的频谱
n
Fn
2
2
P5n
F02
F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4
1 P T
T
2
2222来自 0.181而总功率 二者比值
0
f 2 (t )dt 0.2
P5 n 90.5% P
▲ ■ 第 13 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2π 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
2
2
T
t
1 Fn T
T 2 T 2
f (t ) e
2
jnt
1 e jnt T jn
2
n n sin( ) sin 2 2 2 T n T n
2
1 2 jnt dt e dt T 2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
§4.3 周期信号的频谱
A0
A2
21
1
O 1 21
n
0.25π
1
O
2 1
0.15π
A0 1 2 A1 5 2.236 A2 1
0 0 1 0.15π 2 0.25π
■
第9页
双边频谱图
f (t) 1
1
e j1t e j1t
2 e j1t e j1t
1
2 e
j1t
π 4
2
e
jn1t
4
t
3
的周期T1
=
8
1 4
cos
3
2
3
的周期T2
=
6
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12
■
第6页
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
3
1 4
cos
3
t
2
3
1 cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
1 cos
4 3
t
2
3
是f(t)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
o
12
6
4
3
ω
(a)
P 1 1 1 2 1 1 2 37 2 2 2 4 32
o
ω
12 6 4
3
2 3
(b)
▲
■
第7页
例2
已知f
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2
0
Fn
E n Fn Sa( ) T1 T1
T
t
0
2
4
n
2 4
周期矩形脉冲的频谱分析表明
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大， 谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周 期成反比。 n 各谱线的幅度按 Sa( T ) 包络线变化。 1 过零点 2m 主要能量在第一过零点内。主带宽度为： B 2
1
周期矩形信号的频谱特点
（1）频谱包络按照取样函数变化
Sa( x ) sin x x
(2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性
(3) 不变，T 增大时，相邻谱线的间隔变小；同频率分 量的谱线幅度减小。
(4) 频带宽度：第一个零分量频率：
周期为6；
周期信号的单边频谱
解： 所以，f(t)的周期T=24，基波频率 =2/T = /12
0
1 cos t 2 4 3 1 2 cos t 4 3 3
是f(t)的3次谐波分量；
是f(t)的4次谐波分量。
周期信号的单边频谱
1 1 2 f ( t ) 1 cos t cos t 2 4 3 4 3 3
解：将f(t)改写为： f (t ) 1 cos t 1 2 4
2 1 cos t 3 6 2 4 3
显然，1为该信号的直流分量。
1 cos t 2 4 3
周期为8；
1 2 cos t 4 3 3
周期矩形信号的双边频谱
周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为
Fn
Fn
n 0 A Sa( ) T 2
2
0
(a)
2
4
n0
若把相位为零的分量的幅度看作 正值，而把相位为 的分量的幅 度看作负值，那么左图即可合二 为一，如下图所示 F
n
n
2
0
(b)
2
4
n0
E
f (t )
指数形式的傅里叶系数：
1 Fk T
T 2 T 2
f ( t )e
jk0t
E dt 2 e jk0t dt T 2
T
2 0 2
T
t
E 1 jk0t e T jk0 si n k 0 2E
T k 0 2
2
周期锯齿脉冲信号的频谱
f (t )
Ak
E
1 cos(2 0 t ) 2 2 2 1 1 cos(3 0 t ) cos(4 0 t ) ] 3 2 4 2 E [cos( 0 t )
0 2 0 3 0 4 0 50
振幅频谱
0
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
jk0T k 0 sin E 2 T k 0 2
2
E
(e
jk0
2
e
jk0
2
)
Fk
E k 0 Sa ( ) T 2
E k Sa ( ) T T
（ k = 0 ,±1，±2，…）
A k
E T
£ 2π
0
0 20 30 2 π
4π
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f ( t ) 1 sin 0 t 2 cos 0 t cos(2 0 t
f (t ) 1
Ak
1
5 cos( 0 t 0.15 ) cos 20 t 4
k
0.25
f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图： k Ak
A0
周期信号的双边频谱
周期信号 f (t ) 展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
Fe
n
jn1t
Fn Fn e jn
幅度 Fn 与 n 1 相位 的关系称为双边幅度频谱 的关系称为双边相位频谱
n
与
n1
周期矩形信号的频谱
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
4
)
5
1
0
0
2 0 3 0 4 0 5 0
0
0 2 0 3 0 4 0 50
0.15
周期信号的单边频谱
已知周期信号
1 2 1 f (t ) 1 cos t sin t 2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
2
0
2
4
n0
周期信号的频谱的特点
(1) 离散性：谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱。单边谱中
一条谱线代表了一个谐波分量，而双边谱中左右对称的两条谱线代表了 一个谐波分量。离散频谱中每个频率分量在频谱图中都是用一根线来表 示，所以有时又称为线谱。 (2) 谐波性：谱线所在频率轴上的位置只能是基频的整数倍，其实谐波性 已经说明了离散性。 (3) 收敛性：谱线幅度随 n 而衰减到零。
2
2
Ee jn1t d t
E (e jn1 / 2 e jn1 / 2 ) T 1 ( jn1 ) n n1 Sa( ) sin ( ) E T 2 1 T n1 1 2
E -T
2 1 T1
x(t)
E F0 , T1
(3) 因 不变，第一个零分量频率
Fn
0
2
T 8
t
2
不变，即有效频谱宽度不变
周期矩形脉冲信号的频谱
E f1 (t ) 0 (t (t
2 2
)
)
f(t)
E -T
2
0
2
T
t
f (t )
Fn 1 T 1
n
F e
n
jn1t
E 1 1 1 sin( 0 t ) sin( 20 t ) sin( 30 t ) sin( 40 t ) 2 3 4
E 1 1 1 cos ( 0 t ) cos ( 2 0 t ) cos ( 3 0 t ) cos ( 4 0 t ) 2 2 2 3 2 4 2
2
0
k
0
3 0
相位频谱
2
2 0
4 0
5 0
周期信号的单边频谱
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f (t ) A A 1 1 1 [cos(1t ) cos(21t ) cos(31t ) cos(41t ) ] 2 2 2 2 3 2 4 2
频谱的有效宽度-频带宽度
Fn
在右图中，连接各谱线顶点的曲线 称为谱线包络线，它反映了各分量的幅 度变化规律。如果把按抽样函数规律变 化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰 和山谷，其中最高峰称为主峰。
A
2
0
2
4
n
上图的主峰高度 F0 T ，包络主峰两侧第一个零点为 通常把包含信号主要频谱分量的 0 ~ 2 这段频率范围，称为矩形脉冲信号 的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
n
E n Sa( ) T T
1 1
f (t )
2E 1 1 cos1t cos31t cos51t .... 3 5
对称方波的频谱变化规律
x(t )
n
T/4
0
3 1
0
71
-T/4
an
3 1
0
an
T 奇次谐波
3 1 51
1
51
B 2
2
或
Bf
1
周期矩形脉冲的频谱随脉宽的变化而变化的关系
Fn
保持周期矩形信号的周期 T 不变
T 2
t
0
2
Fn
0
2
T 4
t
2 不变 T 频谱中的第一个过零点频率 2
则此时谱线间隔
而改变脉冲宽度
1
因 的减小而增大，
Fn
2
0
Fn
E n Fn Sa( ) T1 T1
T
t
0
2
4
n
2 4
周期矩形脉冲的频谱分析表明
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大， 谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周 期成反比。 n 各谱线的幅度按 Sa( T ) 包络线变化。 1 过零点 2m 主要能量在第一过零点内。主带宽度为： B 2
1
周期矩形信号的频谱特点
（1）频谱包络按照取样函数变化
Sa( x ) sin x x
(2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性
(3) 不变，T 增大时，相邻谱线的间隔变小；同频率分 量的谱线幅度减小。
(4) 频带宽度：第一个零分量频率：
周期为6；
周期信号的单边频谱
解： 所以，f(t)的周期T=24，基波频率 =2/T = /12
0
1 cos t 2 4 3 1 2 cos t 4 3 3
是f(t)的3次谐波分量；
是f(t)的4次谐波分量。
周期信号的单边频谱
1 1 2 f ( t ) 1 cos t cos t 2 4 3 4 3 3
解：将f(t)改写为： f (t ) 1 cos t 1 2 4
2 1 cos t 3 6 2 4 3
显然，1为该信号的直流分量。
1 cos t 2 4 3
周期为8；
1 2 cos t 4 3 3
周期矩形信号的双边频谱
周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为
Fn
Fn
n 0 A Sa( ) T 2
2
0
(a)
2
4
n0
若把相位为零的分量的幅度看作 正值，而把相位为 的分量的幅 度看作负值，那么左图即可合二 为一，如下图所示 F
n
n
2
0
(b)
2
4
n0
E
f (t )
指数形式的傅里叶系数：
1 Fk T
T 2 T 2
f ( t )e
jk0t
E dt 2 e jk0t dt T 2
T
2 0 2
T
t
E 1 jk0t e T jk0 si n k 0 2E
T k 0 2
2
周期锯齿脉冲信号的频谱
f (t )
Ak
E
1 cos(2 0 t ) 2 2 2 1 1 cos(3 0 t ) cos(4 0 t ) ] 3 2 4 2 E [cos( 0 t )
0 2 0 3 0 4 0 50
振幅频谱
0
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
jk0T k 0 sin E 2 T k 0 2
2
E
(e
jk0
2
e
jk0
2
)
Fk
E k 0 Sa ( ) T 2
E k Sa ( ) T T
（ k = 0 ,±1，±2，…）
A k
E T
£ 2π
0
0 20 30 2 π
4π
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f ( t ) 1 sin 0 t 2 cos 0 t cos(2 0 t
f (t ) 1
Ak
1
5 cos( 0 t 0.15 ) cos 20 t 4
k
0.25
f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图： k Ak
A0
周期信号的双边频谱
周期信号 f (t ) 展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
Fe
n
jn1t
Fn Fn e jn
幅度 Fn 与 n 1 相位 的关系称为双边幅度频谱 的关系称为双边相位频谱
n
与
n1
周期矩形信号的频谱
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
4
)
5
1
0
0
2 0 3 0 4 0 5 0
0
0 2 0 3 0 4 0 50
0.15
周期信号的单边频谱
已知周期信号
1 2 1 f (t ) 1 cos t sin t 2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
2
0
2
4
n0
周期信号的频谱的特点
(1) 离散性：谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱。单边谱中
一条谱线代表了一个谐波分量，而双边谱中左右对称的两条谱线代表了 一个谐波分量。离散频谱中每个频率分量在频谱图中都是用一根线来表 示，所以有时又称为线谱。 (2) 谐波性：谱线所在频率轴上的位置只能是基频的整数倍，其实谐波性 已经说明了离散性。 (3) 收敛性：谱线幅度随 n 而衰减到零。
2
2
Ee jn1t d t
E (e jn1 / 2 e jn1 / 2 ) T 1 ( jn1 ) n n1 Sa( ) sin ( ) E T 2 1 T n1 1 2
E -T
2 1 T1
x(t)
E F0 , T1
(3) 因 不变，第一个零分量频率
Fn
0
2
T 8
t
2
不变，即有效频谱宽度不变
周期矩形脉冲信号的频谱
E f1 (t ) 0 (t (t
2 2
)
)
f(t)
E -T
2
0
2
T
t
f (t )
Fn 1 T 1
n
F e
n
jn1t
E 1 1 1 sin( 0 t ) sin( 20 t ) sin( 30 t ) sin( 40 t ) 2 3 4
E 1 1 1 cos ( 0 t ) cos ( 2 0 t ) cos ( 3 0 t ) cos ( 4 0 t ) 2 2 2 3 2 4 2
2
0
k
0
3 0
相位频谱
2
2 0
4 0
5 0
周期信号的单边频谱
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f (t ) A A 1 1 1 [cos(1t ) cos(21t ) cos(31t ) cos(41t ) ] 2 2 2 2 3 2 4 2
频谱的有效宽度-频带宽度
Fn
在右图中，连接各谱线顶点的曲线 称为谱线包络线，它反映了各分量的幅 度变化规律。如果把按抽样函数规律变 化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰 和山谷，其中最高峰称为主峰。
A
2
0
2
4
n
上图的主峰高度 F0 T ，包络主峰两侧第一个零点为 通常把包含信号主要频谱分量的 0 ~ 2 这段频率范围，称为矩形脉冲信号 的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
n
E n Sa( ) T T
1 1
f (t )
2E 1 1 cos1t cos31t cos51t .... 3 5
对称方波的频谱变化规律
x(t )
n
T/4
0
3 1
0
71
-T/4
an
3 1
0
an
T 奇次谐波
3 1 51
1
51
B 2
2
或
Bf
1
周期矩形脉冲的频谱随脉宽的变化而变化的关系
Fn
保持周期矩形信号的周期 T 不变
T 2
t
0
2
Fn
0
2
T 4
t
2 不变 T 频谱中的第一个过零点频率 2
则此时谱线间隔
而改变脉冲宽度
1
因 的减小而增大，
Fn