第四章 周期信号的频谱分析
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
第四章_周期信号的频谱分析
第四章 周期信号的频域分析1. 内容提要本章介绍连续周期信号的傅立叶级数及其基本性质；连续周期信号频谱的概念，相位谱的作用。
对离散周期信号傅立叶级数和其基本性质做简单了解。
2. 学习目标通过本章的学习，应达到以下要求：（1）掌握周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。
（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。
（3）熟悉频域分析法。
（4）了解离散傅立叶级数的概念3. 重点难点（1） 信号的对称性和傅立叶系数的关系（2） 连续信号的频谱分析，包括周期信号频谱的概念，相位谱和功率谱。
4. 应用周期信号频域分析的MATLAB 实现5. 教案内容4.1 连续时间信号的傅立叶变换周期信号的定义周期信号是定义在001/f T =(,)-∞∞区间，每隔一定的时间间隔0T ，按相同规律重复变化的信号。
即对t R ∀∈，存在一个大于零的0T ，使得0()(),f t T f t t R+=∀∈其中0T 为基波周期，002/T ωπ=为基波角频率，001/f T =为基波频率傅立叶级数的实质就是将复杂信号分解成为更容易处理的信号形式。
4.1.1 指数形式的傅里叶级数连续时间信号的傅立叶级数表示为0()jnw tn n f t C e∞=-∞=∑称C 为周期信号()f t 的傅立叶系数。
傅立叶系数的计算公式为00001()t T jn tt C n f t edtT ω+-=⎰4.1.2 三角形式的傅立叶级数若函数()f t 满足狄里赫利条件，周期信号f(t) 展开成傅里叶级数。
01111212111()cos sin cos 2sin 2cos sin n n f t a a t b t a t b ta n tb n t ωωωωωω=++++++++0111(cos sin )nn n a an t b n t ωω∞==++∑式中，n 为正整数；系数0,,n n a a b 称为傅里叶系数，考虑到三角函数集是一组完备的正交函数集，因此，可得一个周期1(0,)T 的傅里叶系数：11120011211()()T T T a f t dt f t dtT T -==⎰⎰11012()cos T n a f t n tdt T ω=⎰11012()sin T n b f t n tdtT ω=⎰4.1.3 信号的对称性和Fourier 系数的关系4.2 连续时间傅立叶级数的基本性质1、线性若11()()f t F ω↔，22()()f t F ω↔，则对于任意常数a 1和a 2，有：11221122()()()()a f t a f t a F a F ωω+↔+2、时移特性若()()f t F ω↔，则0()()j t f t t F eωω±±↔式中，0t 为常数。
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
§4.3 周期信号的频谱共15页PPT资料
1cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
14cos3t
2
3
是f(t)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
o
12
6
4
3
ω
(a)
P111211237 22 24 32
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2其 ) 最大n 值 0处 在， 。 为
(3)离散谱（谐波性）
当ωnΩ时 取
值（令 4)第 n 2一个 零 点坐n 标＝ 2π2 ： π
T
（5）Fn是复函数（此 函数 处） 为， 实幅度/相
F n0 ，相 0 ， F 位 n0 ,相 为 位 π。 为 ▲
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
▲
■
第 2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~ 或 Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
O 3
相位频谱
n
n ~曲线
■
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
周期信号频谱分析
实验名称：周期信号的频谱分析教材名称：电工电子实验技术（下册）页码：P142 实验目的：1、了解和掌握周期信号频谱分析的基本概念；2、掌握Multisim软件用于频谱分析的基本方法；3、加深理解周期信号时域参数变化对其谐波分量的影响及变化趋势。
实验任务：1、根据9－1给定的波形和参数测量各谐波分量的幅度值。
2、根据所测数据绘制每一波形的谱线图。
设计提示：实验电路图：图一、分析用电路及信号发生器调整窗口实验结果：表9－1数据：周期信号的频谱分析（Multisim）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 矩形波10％－4.023 1.923 1.833 1.689 1.499 1.273 1.024 0.763 0.506 0.263 0.047 矩形波30％－2.023 5.123 3.040 0.699 0.897 1.271 0.659 0.236 0.739 0.595 0.046 矩形波50％－0.022 6.366 0.045 2.121 0.045 1.271 0.045 0.906 0.045 0.703 0.045 正弦波0 4.999 0 0 0 0 0 0 0 0 0三角波50％0 4.053 0 0.451 0 0.162 0 0.083 0 0.050 0三角波70％0 3.903 1.147 0.166 0.177 0.193 0.079 0.030 0.072 0.048 0三角波90％0 3.479 1.654 1.012 0.669 0.450 0.298 0.186 0.103 0.043 0N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 注：谱线数取10＋直流。
矩形波10％：矩形波30％：矩形波50％：正弦波50％：三角波50％：三角波70％：三角波90％：实验中注意事项：1、仿真过程中要在Simulate/Fourier Analysis/Output Variables中添加要进行分析的节点。
信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
第四章(2)周期信号的频谱
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : 1、各谱线的幅度按包络线 T 、
ωτ
= m π ( m = ±1, ± 2,...)
τ
Sa (
ωτ
2
) 的规律变化。 的规律变化。
各处， 的各处， 在 2 各处，即 的各处， τ 包络为零，其相应的谱线， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。 于零。 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。 它可分解为无限多个频率分量。 通常把频率范围 0 ≤ f ≤ τ (0 ≤ ω ≤ τ ) 称为周期矩形脉冲 带宽， 表示， 信号的带宽 信号的带宽，用符号 ∆F 表示，即周期矩形脉冲信 1 号的频带宽度为 ∆F = 。 τ
Fn F ( jω ) = lim = lim FnT T →∞ 1 / T T →∞
为频谱密度函数。 称 F ( jω )为频谱密度函数。
Fn lim = lim FnT 如何求频谱密度函数？ 如何求频谱密度函数？ F ( jω ) = T →∞ 1 / T T →∞
由式 f ( t ) =
n = −∞
T 2T f (t) T=8τ
0
3T
4T t
0 1/ 8
T f (t) T=16τ
0
2T
t
0 1/16
0
T
t
0
f (t) T→∞ τ/T
0 t 0
图4.3-5 周期与频谱的关系
思考： 思考：
1 1 1 f (t ) = [sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + .... + sin(nΩt ) + ...] 3 5 n π 4
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第四章 周期信号的频域分析
1. 内容提要
本章介绍连续周期信号的傅立叶级数及其基本性质；连续周期信号频谱的概念，相位谱的作用。
对离散周期信号傅立叶级数和其基本性质做简单了解。
2. 学习目标
通过本章的学习，应达到以下要求：
（1）掌握周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。
（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。
（3）熟悉频域分析法。
（4）了解离散傅立叶级数的概念
3. 重点难点
（1） 信号的对称性和傅立叶系数的关系
（2） 连续信号的频谱分析，包括周期信号频谱的概念，相位谱和功率谱。
4. 应用
周期信号频域分析的MATLAB 实现
5. 教案内容
4.1 连续时间信号的傅立叶变换
周期信号的定义
周期信号是定义在001/f T =(,)-∞∞区间，每隔一定的时间间隔0T ，按相同规律重复变化的信号。
即对t R ∀∈，存在一个大于零的0T ，使得
0()(),f t T f t t R +=∀∈
其中0T 为基波周期，002/T ωπ=为基波角频率，001/f T =为基波频率
傅立叶级数的实质
就是将复杂信号分解成为更容易处理的信号形式。
4.1.1 指数形式的傅里叶级数
连续时间信号的傅立叶级数表示为
0()jnw t n n f t C e ∞
=-∞
=
∑
称n C 为周期信号()f t 的傅立叶系数。
傅立叶系数的计算公式为
00
00
1()t T jn t t Cn f t e dt T ω+-=
⎰
4.1.2 三角形式的傅立叶级数
若函数()f t 满足狄里赫利条件，周期信号f(t) 展开成傅里叶级数。
01111212111()cos sin cos 2sin 2cos sin n n f t a a t b t a t b t
a n t
b n t ωωωωωω=++++++++L L
0111
(cos sin )n n n a a n t b n t ωω∞
==++∑
式中，n 为正整数；系数0,,n n a a b 称为傅里叶系数，考虑到三角函数集是一组完备的正交函数集，因此，可得一个周期1(0,)T 的傅里叶系数：
1
11200112
11()()T
T T a f t dt f t dt T T -==⎰⎰
1
10
12()cos T n a f t n tdt T ω=⎰
1
10
12()sin T n b f t n tdt T ω=⎰
4.1.3 信号的对称性和Fourier 系数的关系
4.2 连续时间傅立叶级数的基本性质
1、线性
若11()()f t F ω↔，22()()f t F ω↔，则对于任意常数a 1和a 2，有：
11221122()()()()a f t a f t a F a F ωω+↔+
2、时移特性
若()()f t F ω↔，则
00()()j t f t t F e ωω±±↔
式中，0t 为常数。
3、卷积特性
若11()()f t F ω↔，22()()f t F ω↔，则
1212()()()()f t f t F F ωω*↔⋅
图4-1 时域卷积运算
图4-2 频域相乘运算
4、微分特性
设()f t 是以0T 为周期的周期信号，其傅立叶系数为
()n f t C ↔
则()f t 导数'()f t 的傅立叶系数为
'0()n f t jn C ω↔
若'()f t 的傅立叶系数为n D ，则()f t 的傅立叶系数为
0/,0n n C D jn n ω=≠
4.3 连续周期信号的频谱分析
4.3.1 周期信号频谱的概念
周期信号()f t 的指数形式傅立叶系数n C 一般为复函数，可表示为
0n
j n n C C e n ϕω=
n C 随频率变化的特性，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。
n ϕ随频率变化的特性称为信号的相位频谱，简称相位谱。
2
-
2
t
2
-2
t
=
*
τ
τ-⨯
=
注：若()f t 为实信号，则()f t 的幅度频谱为偶对称，相位频谱为奇对称。
周期信号频谱的特性：
1、离散频谱特性
所有周期信号的频谱都是由间隔为0ω的谱线组成，即离散频谱。
2、幅度衰减特性
周期信号的幅度频谱随着谐波0n ω增大时，幅度频谱n C 逐渐衰减，并最终趋于零。
4.3.2 相位谱的作用
谐波的相位使得各个谐波分量的幅度在不连续点前几乎都取相同的符号，在不连续点后各谐波分量的幅度取相反的符号。
4.3.3 信号的有效带宽
通常将包含主要谐波分量的0~2/πτ这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度（简称有效带宽），以符号或B f 表示，即有
2/B ωπτ=，1/B f τ=
4.3.4 周期信号的功率谱
1、Parseval 功率守恒定理
2n
n P C
∞
=-∞
=
∑
式中，n C 函数()f t 的傅立叶系数。
2、功率谱
上式中2
n C 随0n ω分布的特性称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。
6. 例题
【例4-1】填空：
1、设()f t 为实信号，则()f t 的幅度频谱为（ ）对称，相位频谱为（ ）对称。
2、对t R ∀∈，存在一个大于零的0T ，有0()(),f t T f t t R +=∀∈，则信号()
f t
的基波周期为（ ），基波角频率为（ ），基波频率为（ ）。
3、就离散性和连续性来讲。
所有周期信号的频谱都是（ ）频谱。
4、设存在一个周期为T ，脉冲宽度为2τ周期矩形脉冲，该脉冲频谱的有效带宽为（ ）。
【答案】 1、偶、奇
2、0T 、02/T π、01/T
3、离散
4、/πτ或1/2τ
【例4-2】利用傅立叶级数的性质求解信号的傅立叶变换。
()(1)2t
f t u =-求函数的付里叶变换。
(给定（1()()j at F a a ω↔
F 、1[()]()u t j πδωω
=+F ） 【 解 】由时移特性知：
0[()]()j t
f t t F e ωω--=F
0[()]()j t f t t F e ωω+=F
由1()()j at F a a
ω
↔
F ，得 0
01[()]()t j a f at t F e a a
ωω--=F
将
01/2,
1
a t ==代入，得
21
[(1)]2[(2)]22j t u e j ωπδωω
-∴-=+⋅F
（注F 为傅立叶变换的符号）
7. 习题解答
8. 本章小结
（1）任意连续的周期信号在满足狄里赫利条件下，都可以展开为傅里叶级数。
（2）傅里叶变换的性质更进一步地揭示了信号在产生、传输及处理的过程中，时域特性与频域特性的内在关系，从而奠定了信号与系统的理论基础。
（3）频域分析法把系统的激励和响应关系应用傅里叶变换从时域变换到频域。
9. 重点习题
1、例题4-1，例题4-2
2、习题3（教案中），习题8（4）和（6）（教案中）。