信号的频谱分析

信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小， 能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。
§ 1-2 信号的时域及频域描述
幅值
时域分析
频域分析
• 信号不同的描述方法不能改变信号的性质，只是分 析问题的角度不同。
§ 1-2 信号的时域及频域描述
32
46
§ 1-2 信号的时域及频域描述
eg:右图是一个方波的一 种时域描述，而下式是 其时域描述的另一种形 式
数不随时间变化的信号。如直流量 通常把一些缓变信号近似地看成静态信号
§ 1-1 信号及其分类
• 确定性信号与随机信号 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。 随机（非确定性）信号：具有随机的特点，每次的 结果都不同，无法用精确地数学关系描述。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
§ 1-1 信号及其分类
– 被测参量具有三个特征：
• 物理特征：物理性质 • 量值特征：量值大小 • 时变特征：随时间变化的情况
– 信号：只涉及被测参量的量值特征和时变特征， 而不涉及其物理特征。
• 信号分析
运用数学工具对信号加以分析研究，提取有 用的信号，从中得到一些对工程有益的结论和方 法。
§ 1-1 信号及其分类 • 信号的分类与描述
§ 1-4 非周期信号的频谱分析 第四节 非周期信号的频谱分析
• 准周期信号的各谐波成分的频率比不是有理数， x例(t)如：sin1t sin 21t
三、指数形式的傅里叶级数。
• 三角傅里叶级数与指数傅里叶级数并不是两种不同
类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方
法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计
算。
数学上一种用旋转
•
根据欧拉公式
矢量表示正余弦的 方法
e jt cost j sint
cos n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
a0=0
（2）
x(t)
a0=A/2
A
T/2 T
t
§ 1-3 周期信号的频谱分析
将同频项合并，傅立叶级数展开还可以改写成：
f (t) A0 An cos(n1t n )
n 1
式中：
A0 a0
An a 2n b2n
tan n
bn an
An-，n-分别称为 幅值谱和相位谱，统
称为频谱。
§ 1-3 周期信号的频谱分析
§ 1-1 信号及其分类
复杂周期信号 x(t) A0sin(0t 0 ) A1sin(1t 1)
§ 1-1 信号及其分类
非周期信号：再不会重复出现的信号。
准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成 公倍数。如：x(t) = sin(t)+sin(√2.t)
瞬态信号:持续时间有限的信号， 如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)
x(t) a0 an cos n0t n1
an
2 T
T / 2
x
T / 2
t
cos n1tdt
bn
2 T
T / 2
x
T / 2
t
sin n1tdt
重点回顾
1 T /2
a0 T
x t dt
T / 2
▲三角形式的傅里叶级数
xt a0 (an cos n1t bn n1 ▲同频项合并
X(t)= sin(2πnft)
傅里叶 变换
0
t
0
f
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
§ 1-3 周期信号的频谱分析
• 周期信号
– 特点：一个周期内的就代表了信号的全部。
• 周期信号的频谱
– 三角形式傅里叶级数展开
• 定义：在数学上，凡满足狄里赫利条件的周期函数都 可以展成三角形式的傅里叶级数。
• 狄里赫利（Dirichlet）条件： 设f(x)是周期为T的周期函数，如果它满足 ⑴ 函数在任意有限区间连续，或只有有限个第 一类间断点 (2)在一周期内，函数有有限个极大值或极小值。 则f(x)的傅里叶级数收敛。且……
测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
§ 1-3 周期信号的频谱分析
对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2） 内的周期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅
思考题：若按照余弦函数对该方波信 号展开，其展开式有何变化？
§ 1-3 周期信号的频谱分析
x(t)
4A
[s
in(0t
2
)
1 3
sin(30t
3
2
)
1 5
sin(50t
5
2
)
]
式中
0＝
2
T0
2f0
关于频率术语的思考： 频率ω=2π/秒的含义？和工程频率f（Hz）的关系；
§ 1-3 周期信号的频谱分析 • 周期信号的奇偶性与傅里叶系数的关系
– 信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的， 在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念
– 信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历 程称为信号的波形。
波形
§ 1-1 信号及其分类
为深入了解信号的物理实质，将其进行 分类研究是非常必要的，从不同角度观察信 号，可分为： 1、从信号描述上分
– --确定性信号与非确定性信号；
Cn
1 2
1 2
0 o 0
n
2
0 o
0
2
§ 1-3 周期信号的频谱分析
• 复杂周期信号的频谱具有以下三个共同特点：
– 频谱是一根根离散的谱线组成的； – 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，不存在
非整数的频率分量； – 各谐波分量的幅值随谐波次数或频率的增高而减
小。
• 概括：离散性、谐波性和收敛性
j sin
n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
§ 1-3 周期信号的频谱分析
e jt cost j sint
将上式代入傅立叶级数展开式，则有:
cos n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
x(t) a0 (an cosn1t bn sin n1t)
j sin
n1t
1 2
思考题： 一个复杂周期信号 的基本形状一般由什么成分决 定？方波的尖角理论上由什么 成分构成？
若该周期方波应用傅立叶级数展开，即得：
x(t)
4A
(sin
0t
1 3
sin
30t
1 5
sin
50t
Байду номын сангаас
)
式中
0＝
2
T0
2f0
近似方波的叠加演示—复频信号发生器.exe
§ 1-2 信号的时域及频域描述
周 期 方 波 的 描 述
e e jn1t
jn1t
n1
a0
1 n1 [ 2 (an
jbn )e jnw1t
1 2 (an
jbn )e jnw1t ]
令
Xn
1 2
(an
jbn )
1
x(t) X0 [ X ne jnw1t X ne jnw1t ] n1
X n 2 (an jbn )
X 0 a0
§ 1-3 周期信号的频谱分析
2
§ 1-3 周期信号的频谱分析
在一般情
况下
，X
是
n
复数
，可以写成：
X n X nR jX nI X n e jn
式中 Xn
X
2 nR
X
2 nI
n
arctg
X nI X nR
X
n与X
共
n
轭，即X
n
X n；n
n
把周期函数x(t)展开为傅利叶级数的复指数函数
形式后，可分别以X n 和n 作幅频谱和相
b6 0...
b3
4A
3
b5
4A
5
b7
4 A ...
7
§ 1-3 周期信号的频谱分析
a0是频率为零的直流分量，式中系数值为
a0
1 T
T /2
x t dt
T / 2
2
an T
T /2
xt
T / 2
c os n1tdt
bn
2 T
T /2
xt
T / 2
sin n1tdt
一个周期内面积的均值
周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 x ( t )=x ( t + nT ) n=1,2,3……
周期信号又可分为简谐信号(单一频率)和复杂周期 信号(多个频率）。
按正弦或余弦规律变化的信号，工程称为简谐信号；复杂周期信 号波形可看成是由若干个频率比为有理数的正弦信号叠加而成。
简谐信号（简单周期信号） x(t) A0sin(t 0 )
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
§ 1-2 信号的时域及频域描述
为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值、相 位关系，应对信号进行频谱分析，把信号的时域描述 通过适当方法变成信号的频域描述，以频率为独立变 量来表示信号。 频域描述：以频率为横坐标描述信号的频率结构和 频率成分的幅值、相位关系。 频谱分析：对复杂时变信号按谐波进行展开研究其 频率构成的过程。
– 若周期信号为一奇函数，即x(t)=-x(-t)，则 x(t)cosnω0t也是奇函数，有a0=0，an=0，x(t)的傅 里叶级数三角函数形式变为：
x(t) bn sin n0t n1
– 若周期信号为一偶函数，即x(t)=x(-t) ，则
x(t)sinω0t将是奇函数，有bn=0， x(t)的傅里叶级 数三角函数形式变为：