§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
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周期函数的傅里叶级数
t
A：脉冲幅度
2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
T 2 T 2
bn=0
a
0
2 T
2 2 2 A f (t ) dt 2 Adt T T
2 T an T 2T 2
n sin 2A n 2 A T 2 A Sa( n ) f (t ) cos n1tdt sin n n T T T T T
设 f (t ) 是周期为T的函数
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
f ( t )dt
2 a0 T
2 an T 2 bn T
t1
t 1 T
t1
t 1 T
f ( t ) cos n 1 tdt f ( t ) sin n 1 tdt
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
An an bn
2 2
a0 An cos(n1t n ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t an bn An cos n1t An sin n1t An An An cos(n1t n )
T 2 0
§ 周期信号的傅立叶级数
An
E
11
31
51
4E 25 2
4 T 2E 2 2 an t cos n1tdt (1 ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin n1t 0 sin 1tdt] 0 n T n1 1
傅里叶级数及频谱
三角形式的傅里叶级数 周期信号可表示为
x(t ) = x(t + mT )(m = 0,±1,±2,L)
任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下， 数线性组合的无穷级数。 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数” 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
∫
T0 2 T − 0 2
x (t )d t
2 an = T0
bn 2 = T0
∫
∫
T0 2 T − 0 2
x ( t ) c o s n ω 0 td t
x (t ) s in nω 0td t
T0 2 T − 0 2
T0 T0 ~ 以上各式中的积分限一般取： 以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T0 或 − 2 2 三角形式的傅里叶级数也可表示成： 三角形式的傅里叶级数也可表示成：
( n = 2 , 4 ,6 L ) ( n = 1,3,5 L )
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
（4）偶谐函数 ）
T1 f (t ± ) = f (t ) 2 f (t )
L
T1 T1 − − 2 4 T1 4 T1 2
L
0t
这就是傅立叶级数的指数形式
0
1 ∞ x (t ) = ∑ An e jϕ n e jn ω 0 t = 2 n = −∞
n = −∞
∑ X (nω
∞
)e
jn ω 0 t
1 X (nω 0 ) = An e jϕn 2
2 an = T0 ∫ 可求得如下
321周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数精品PPT课件
15
幅频特性和相频特性
幅频特性
F(n1)1 2
an 2bn 2
1 2cn
相频特性
n
tg1
bn an
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实取际正值） 关于 的奇函数（n实取际正值） 关于 的偶函数 关于的奇函数
16
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
cn c1
c0
c3
离散谱，谱线
a0
T1
2 T1
2
T1
tdt
0
T1 2
f t
A
T1
2
t
2
anT1
2
bn
T1
T T2T 2T 112211T T A A11ttcsionn n s11ttd dtt0nA (11 )n12T1
n1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
ft0 A sin 1t2 A si2 n1t
直流
O 1 3 1
相位频谱
n
n ~曲线
O 1 3 1
17
例2
已 f(t知 ) 1 si1 n t2 c o1 ts c o 2 s 1 t 4 ，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f(t) 1 5 co 1 ts 0 .(1) 5 c o 2 1 s t 4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
利用欧拉公式
1T
1T
T0f(t)c o sn1 td t jT0f(t)s in n1 td t
1 2
an
jbn
1T
1T
F ( n 1 ) T 0f( t) cn o 1 td t s j T 0f( t) sn i1 n td t
(完整版)周期信号傅里叶级数
C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
第三章周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt
周期信号的傅里叶级数
[例7]：对称方波
②
③
ii)
变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部
解：
①
i) 项数越多，误差越小，
④
P99
3.吉布斯现象
N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去
②
≈9%
t
0
①项数越多， 中出现
①
3．
与
的关系
②
i)
ii)
iii)
4．幅度谱：
，相位谱：
实 傅立叶级数的特点：
ii)
为奇函数
为偶函数
i)
为实数时， 的正负表示 的0和π，幅度谱和相位谱画到一张图上
5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。
每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。
而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
引言
第三章 傅立叶变换
02
01
频域分析
本章主要内容
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
含直流、基波和奇次谐波
A
0
[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次谐波
01
f(t)
02
偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量
03
t
04
0
0 [例5]：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。
②
③
ii)
变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部
解：
①
i) 项数越多，误差越小，
④
P99
3.吉布斯现象
N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去
②
≈9%
t
0
①项数越多， 中出现
①
3．
与
的关系
②
i)
ii)
iii)
4．幅度谱：
，相位谱：
实 傅立叶级数的特点：
ii)
为奇函数
为偶函数
i)
为实数时， 的正负表示 的0和π，幅度谱和相位谱画到一张图上
5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。
每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。
而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
引言
第三章 傅立叶变换
02
01
频域分析
本章主要内容
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
含直流、基波和奇次谐波
A
0
[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次谐波
01
f(t)
02
偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量
03
t
04
0
0 [例5]：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。
信号与系统 第三章 周期信号的傅里叶级数展开
1 T
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
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T 2 T 2 T 2 T 2
cos n1t sin m1t 0
mn mn
mn mn
X
第 第
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
变换对。
T1
X
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 F ( n 1 ) T
第 第
10 10 页 页
T
0
f ( t )e j n1t d t
利用欧拉公式
1 T 1 T f ( t ) cosn 1t d t j f ( t ) sinn 1t d t T 0 T 0 1 an jbn an Fn Fn 2 1 T 1 T F ( n 1 ) f ( t ) cosn 1t d t j f ( t ) sinn 1t d t T 0 T 0 1 an j bn 2
X
第 第
谱线
F0 F (0) 1 F1 F ( 1 ) 1.12 F1 F ( 1 ) 1.12 F2 F ( 21 ) 0.5 F 2 F ( 21 ) 0.5
15 15 页 页
0 0
1 0.15 π
1 0.15 π
傅里叶级数中无余弦分 量，F (n1 )为虚函数。
X
第 第
3．奇谐函数
若波形沿时间轴平移半个周 f (t ) 期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化： O T T T f (t ) f t 2 2 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即 a0 0 n 2,4,6时 an bn 0 T 4 2 n 1,3,5时 an f ( t ) cosn 1t d t T 0 4 T bn 2 f ( t ) sinn 1t d t T 0
T1 2
f t
A/2
O
T1 2
t
A t cosn 1t d t 0 T
2 A A bn t sinn 1t d t ( 1)n1 T T nπ 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 A A f t 0 sin 1t sin 2 1t π 2π
18 18 页 页
= c0 cn cos(n 1 t n )
n 1
n 1
指数形式
f (t )
n
F ( n )
1
e
j n 1 t
X
第 第
(2)两种频谱图的关系
● 三角函数形式： cn ~ ， n ~
19 19 页 页
单边频谱 双边频谱
F0 c0 a0
an bn F ( n 1 ) 关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
11 11 页 页
n 1
X
第 第
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
O 1
3 1
12 12 页 页
cn
c1
离散谱，谱线
c0 c3
相位频谱
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
北京邮电大学电子工程学院 2008.10
主要内容
第 第 2 2 页 页
X
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集 cosn1t , sinn1t
由积分可知 是一个完备的正交函数集集
第 第 3 3 页 页
t在一个周期内，n=0,1,...
T , cosn1t cosm1t 2 0, T T , 2 T2 sinn1t sinm1t 2 0,
X
第 第
例3-2-1
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
1 a0 T
2 an T
A f (t ) t T1
T1 2 T 1 1 2 1 T1 2 T 1 1 2 1 T1 2 T 1 1 2 1
5 5 页 页
A tdt 0 T
T1 T1 t 2 2
直流 基波 谐波
2π 1 T1
n 1,2,3
X
第 第
其他形式
余弦形式
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
6 6 页 页
2
c0 a0 an cn cos n
正弦形式
cn a b
2 n
2 n
bn cn sin n
n 1
4 4 页 页
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数 1 t T 直流分量 a0 f (t ) d t
0
T t0 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
1 1 1 1 1
n
j n 1 t F ( n ) e 1
4
0
也可写为 Fn
1 T1
T1
f (t )e
0
-jn1t
dt
(5)
X
说明
f (t )
n
第 第 9 9 页 页
F (n ) e
1
j n 1 t
4
1 F ( n1 ) f (t )e-jn1t dt (5) T1 0 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n1t 的线性组合。 如给出F ( n 1 )，则f t 惟一确定， (4)、 (5)式是一对
21 21 页 页
注：指交流分量
X
第 第
1．偶函数
信号波形相对于纵轴是对称的 f (t ) f ( t )
f (t )
22 22 页 页
E
bn 0
4 an T
T
O
T 2 0
T
t
f ( t ) cosn 1t d t 0
1 1 F n F ( n 1 ) an jbn an n 0 2 2 傅里叶级数中不含正弦 项，只含直流项和余弦 项。
bn j( Fn Fn )
F n1 F (n1 ) e j n
X
F (n1 ), F ( n1 )是复数
第 第
幅频特性和相频特性
1 2 1 2 a n bn c n 幅频特性 F ( n 1 ) 2 2
bn 相频特性 n arctan a n
cn c 1 c0
1
2.24
第 第
16 16 页 页
0.25 π
c2
1
O
1
2 1
1
O
指数形式的频谱图
F n 1
2 1
0.15 π
n
0.5
2 1
0.5
1.12
1
1.12
0.15 π
2 1
1
0.25 π
1
O
0.15 π
2 1 1
O
1
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 e j n1t
8 8 页 页
n 0,1,2
2．级数形式
f (t )
3．系数 利用复变函数的正交特性 T j n t f ( t ) e dt F ( n 1 ) 0T j n t j n t e e dt
X
第 第
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
7 7 页 页
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性(谐波性)、收敛性、惟一性。
X
第 第
cn c 1 c0
1
2.24
c0 1
0.25π
0 0
n
c2
c1 5 2.236 1 0.15 π
1
O
1
2 1
1
O
c2 1
2 1
2 0.25 π
X X
0.15π
化为指数形式
1 j1t f (t ) 1 e e j1t 2j
n
n ~ 曲线
O
1
3 1
X
例3-2-2
π 已知f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos 2 1t ， 4 请画出其幅度谱和相位谱。
第 第 13 13 13 页 页
化为余弦形式 π f ( t ) 1 5 cos( 1t 0.15π ) cos 2 1t 4 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 三角函数形式的频谱图
n 2
指数形式的傅里叶级数的系数
1 j0.15π 1 1 . 12 e F (0) 1 F 1 2 j 1 j0.15π F 1 1 1 . 12 e 2 j
1 jπ F 2 1 e 4 2 1 jπ F 2 1 e 4 2
2 1
0.25 π
X
第 第
四．总结
）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （ 1）
（ 2） ）两种频谱图的关系 （ 3） ）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （ 4） ）引入负频率