4.3 周期信号的频谱及特点
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《机械工程测试技术基础》期末试题及答案
第一章 信号及其描述（一）填空题1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是 信号 ，其中目前应用最广泛的是电信号。
2、 信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 为独立变量。
3、 周期信号的频谱具有三个特点： 离散性 ， 谐波性 ， 收敛性 。
4、 非周期信号包括 准周期 信号和 瞬变周期 信号。
5、 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。
6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 关于Y 轴 （偶） 对称，虚频谱（相频谱）总是 关于原点（奇） 对称。
（二）判断对错题（用√或×表示）1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。
（ √ ）2、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（ √ ）3、 非周期信号的频谱一定是连续的。
（ × ）4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
（ × ）5、 随机信号的频域描述为功率谱。
（ √ ）（三）简答和计算题1、 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。
2、 求正弦信号)sin()(0ϕω+=t x t x 的均值x μ，均方值2x ψ，和概率密度函数p(x)。
3、 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。
4、 求被截断的余弦函数⎩⎨⎧≥<=T t T t t t x ||0||cos )(0ω的傅立叶变换。
5、 求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x at ω的频谱。
第二章 测试装置的基本特性（一）填空题1、 某一阶系统的频率响应函数为121)(+=ωωj j H ，输入信号2sin )(t t x =，则输出信号)(t y 的频率为=ω ，幅值=y ，相位=φ 。
2、 试求传递函数分别为5.05.35.1+s 和2224.141n n ns s ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度。
§4.3 周期信号的频谱共15页PPT资料
1cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
14cos3t
2
3
是f(t)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
o
12
6
4
3
ω
(a)
P111211237 22 24 32
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2其 ) 最大n 值 0处 在， 。 为
(3)离散谱（谐波性）
当ωnΩ时 取
值（令 4)第 n 2一个 零 点坐n 标＝ 2π2 ： π
T
（5）Fn是复函数（此 函数 处） 为， 实幅度/相
F n0 ，相 0 ， F 位 n0 ,相 为 位 π。 为 ▲
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
▲
■
第 2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~ 或 Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
O 3
相位频谱
n
n ~曲线
■
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
4.3 周期信号的频谱及特点
A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
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信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
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, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
第13讲 周期信号的频谱及其特点
号的调制与解调等等。
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2
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
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3
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
0 0 20 30 40 50
0.15
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14
周期信号的单边频谱
已知周期信号 f(t)11c o ts2 1s in t
2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f(t) 1 1 c o t s2 1 c o t s 2 4 3 4 3 62
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13
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f(t) 1 si0 n t 2 co 0 t sco 20 ts ( 4 )
f(t) 1 5 co 0 ts 0 .( 1) 5 c o 20 s t 4
Ak 5
k
0.25
1
1
0
0
20 30 40 50
相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。
根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分 为单边频谱图和双边频谱图。
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8
周期信号的单边频谱
周期信号 f ( t ) 的三角函数形式的傅里叶级数展开式为
f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
4-2周期信号的频谱
1.单边谱 幅度谱： n 和ω的关系表示在一张图里称为幅度谱； Ａ 相位谱： n和ω的关系表示在一张图里，称为相位谱。
An
A1
A2
A3
实际工程应用
n
0 Ω
ω
ω
-2π
由三角Ｆourier级数得的谱图为单边谱。
2.双边谱 幅度谱：
f t
n
Fe
n
jn t
|Fn|和ω的关系表示在一张图里称为幅度谱； 相位谱：
n
Fn e j n t 可以求周期信号的有效值
1 P T
2
T 2 T 2
f (t )dt
2
2
F0 2 Fn
n 1
n
2
Fn
时域功率等于频域功率 Parserval恒等式
例1 计算信号频谱第一个零点以内各分量的功 率所占总功率的百分比。
f (t )
n
f t T ;
n
Fn e jnt
1 Fn T
T 2 T 2
f t e jnt dt
Fn 0.
为了更好的描述非周期信号的频谱特性， 引入新的量(频谱密度)。 d T TFn 2T f t e jnt dt 为有限量. n
dt T T Sa( 2 2 )
指数级数为： f (t )
n
Fn e jnt n jnt Sa( 2 )e n
E T
T 4
Fn
1 E 4
E n Fn Sa( ) T 2
0 Ω
n
信号与系统 §4.3 周期信号的频谱
理意义。为什么引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和
e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
▲
■
第3页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
(3)离散谱（谐波性）
（4)第一个零点坐标：2π T
当ω nΩ时取值 （5）Fn是复函数（此
处
令 n n＝ 2π
为实函2数），幅度/相位
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第5页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
T
t
▲
■
第4页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点
e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
▲
■
第3页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
(3)离散谱（谐波性）
（4)第一个零点坐标：2π T
当ω nΩ时取值 （5）Fn是复函数（此
处
令 n n＝ 2π
为实函2数），幅度/相位
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第5页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
T
t
▲
■
第4页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点
信号与系统 周期信号频谱特点
周期信号频谱的特点
第一、离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
第二、谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含 有非Ω的谐波分量。
第三、收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐 减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
Fn
E 5
＝2T
2
4
❖－脉τ2 冲o τ宽2 度相T同，频谱2T 包络t 线的零o 点 所在位置不变； (a)
❖周期增长，相邻谱线的间隔减小，谱线变密；
f(t)
Fn
❖周E期趋于无穷时，相邻谱线的间E 隔将趋＝于2T 零。
10
2
4
－τ o τ
T
t
o
22
不同 T
(b)
(a) T=5τ; (b) T=10τ
频谱分析表明：
• 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越 大，谱线越密。
• 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
• 各谱线的幅度按 Sa ( n ) 包络线变化。
• 过零点为 2m
T
• 主要能量在第一过零点内。带宽：
2 B (rad / s) 或
1
Bf
( Hz )
周期信号频谱的特点： 三性——离散性、谐波性、收敛性 一集中——能量集中于低频带。
脉冲宽度与频谱的关系
f(t) E
Fn
E 5
＝2T
2
－❖τ2 周o τ期2 相同，相邻谱T 线的t间隔宽度愈窄，包络线第一个零点的频率愈高；
❖E信f号(t) 的频带宽度与脉冲宽度成反Fn比。
第一、离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
第二、谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含 有非Ω的谐波分量。
第三、收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐 减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
Fn
E 5
＝2T
2
4
❖－脉τ2 冲o τ宽2 度相T同，频谱2T 包络t 线的零o 点 所在位置不变； (a)
❖周期增长，相邻谱线的间隔减小，谱线变密；
f(t)
Fn
❖周E期趋于无穷时，相邻谱线的间E 隔将趋＝于2T 零。
10
2
4
－τ o τ
T
t
o
22
不同 T
(b)
(a) T=5τ; (b) T=10τ
频谱分析表明：
• 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越 大，谱线越密。
• 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
• 各谱线的幅度按 Sa ( n ) 包络线变化。
• 过零点为 2m
T
• 主要能量在第一过零点内。带宽：
2 B (rad / s) 或
1
Bf
( Hz )
周期信号频谱的特点： 三性——离散性、谐波性、收敛性 一集中——能量集中于低频带。
脉冲宽度与频谱的关系
f(t) E
Fn
E 5
＝2T
2
－❖τ2 周o τ期2 相同，相邻谱T 线的t间隔宽度愈窄，包络线第一个零点的频率愈高；
❖E信f号(t) 的频带宽度与脉冲宽度成反Fn比。
§4.3 周期信号的频谱
n
Fn
2
2
P5n
F02
F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4
1 P T
T
2
2222来自 0.181而总功率 二者比值
0
f 2 (t )dt 0.2
P5 n 90.5% P
▲ ■ 第 13 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2π 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
2
2
T
t
1 Fn T
T 2 T 2
f (t ) e
2
jnt
1 e jnt T jn
2
n n sin( ) sin 2 2 2 T n T n
2
1 2 jnt dt e dt T 2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
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A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
π
3
ω
o
π
12
π
6
π
4
ω
(b)
(a)
第 第23 23-13 13页 页
■
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信号与系统 电子教案 电子教案 3、周期信号频谱的特点
•
Fn
•••
Hale Waihona Puke ••-8 Ω
•
-4 Ω 0
•
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
•••
ω
-12Ω
(1) 离散性：
谱线是离散的而不是连续的，谱线间隔为
Ω= 2π T
第 第23 23-11 11页 页
■
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信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
周期信号的频谱及特点
例：周期信号
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
π π⎞ 1 ⎛π 2π ⎞ 1 ⎛π f (t ) = 1 + cos⎜ t − + π ⎟ + cos⎜ t − − ⎟ 2 ⎝4 3 6 2⎠ ⎠ 4 ⎝3
4.3
周期信号的频谱及特点
是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；
1 ⎛π 2π ⎞ cos⎜ t − ⎟ 是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 4 ⎝3 3 ⎠
ϕn
1 2
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
A0 2
An
1
1 4
π
3
o
π
3
π
12
π
6
π
4
− 2π 3
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2 T 2
f (t ) e − jnΩt d t =
−
=
Ee T − jnΩ
− jnΩt
τ
2 −
τ
2
令
Sin ( x ) Sa ( x ) = x
nΩτ nΩτ sin sin( ) Eτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ 2
2
令
Sin ( x ) Sa ( x ) = x
(取样函数），则：
Eτ nΩτ Fn = Sa( ) , n = 0 ,±1，±2，… T 2
■
第 第23 23-9 9页 页
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B、画双边谱
双边振幅谱：
Fn 与nΩ关系曲线：
•••
4.3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = 12 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=
第 第23 23-12 12页 页
1⎛1⎞ 1⎛1⎞ 37 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2⎝2⎠ 2⎝4⎠ 32
■
2
2
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π⎞ 1 ⎛π cos⎜ t + ⎟ 2 3⎠ ⎝4
■
τ
见课本P132 页图4.3-5。
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4.3
周期信号的频谱及特点
2π 谱线间隔： Ω = T 如果周期T无限增长（这时就成为非周
期信号），那么，谱线间隔 Ω 将趋近于 零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期 信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋 近于无穷小。
n = 0 , 1 ,"
为nΩ的实函数，可将振 周期信号为偶函数时，A n 幅频谱图和相位频谱图画在同一个实平面坐标系中。
A0 =
E 2
An
An =
•
2 Eτ ⎛ nΩ τ ⎞ Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
A0 E = 2 4
5Ω 6 Ω 7 Ω 0
Ω
2 Ω 3Ω 4 Ω
" 8 Ω 9 Ω 10 Ω 11Ω 4π =
Eτ nΩτ Fn = Sa( ) , n = 0 ,±1，±2，… T 2 nΩ τ 2π = mπ ，所以 nΩ = m = ωm ，m为整数。 若Fn为零时： 2 τ τ 1 Fn为n的实函数，设 T = 4 ，画出合二为一频谱图。 2π T = m =4 Fn的第一个零点处：m = 1 , 此时： n=m Ωτ τ
周期到非周期 傅里叶级数与频谱
第 第23 23-18 18页 页
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信号与系统 电子教案 电子教案 4）、信号的带宽
2π π τ 1 Ω= = , = , T 2 T 4
•
4.3
周期信号的频谱及特点
第 第23 23-4 4页 页
■
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A、计算An和ϕn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 τ τ − 频谱。 2 2 T τ 2 2 2 E 2 − jnΩt An = ∫− T f (t ) e− jnΩt d t = dt τ e ∫ − T 2 T 2 nΩτ nΩτ sin( ) − jnΩt τ sin 2E e 4E 2 Eτ 2 2 2 = = = τ nΩτ T − jnΩ − 2 T nΩ T
。
(2) 谐波性：
谱线位置是基频Ω的整数倍。
(3)收敛性：
随谐波次数的增高，各谐波振幅（即谱线高度） 变化的总趋势是减小的。
第 第23 23-14 14页 页
■
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4.3
周期信号的频谱及特点
4、谱线的结构与波形参数的关系
1）、周期矩形脉冲的频谱
周期信号的频谱及特点
Fn = Eτ nΩτ Sa( ) T 2 （n = 0 ,±1，±2，…）
以纵轴对称
Ω=
2π π τ 1 = , = , T 2 T 4
•
Fn
•
•
-8 Ω
•
-4 Ω 0
•
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
•••
ω
-12Ω
双边相位谱： θ n 与 n Ω 关系曲线
•••
θn
以原点对称
θ n = −θ − n
第 第23 23-2 2页 页
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∞
4.3
周期信号的频谱及特点
= A e jϕn A n n 2 T = ∫ 2T f (t )e− jnΩt d t , T −2 ( n = 0 , 1 , ")
周期信号三角形式(谐波形式):
f (t ) = A0 + ∑ An Cos ( nΩ t + ϕ n ) 2 n =1
•••
π
• • • •
0
-12Ω
•
-8 Ω
•
-4 Ω
• • • •
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
w
−π
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3）、特殊情况 若Fn为实函数，也可直接画Fn ，用正负来表示 相位为0或π，这时可把幅度谱和相位谱画在同一张 图上。（参看图4.3-3 ）
1 E 4
ω1 =
2π
τ
= 4Ω
−
第 第23 23-16 16页 页
2π
2Ω
Ω
Ω 2Ω 3Ω
2π
4π
τ
■
τ
τ
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4.3
周期信号的频谱及特点
3）、波形参数与频谱的关系
2π 谱线间隔： Ω = T
(a) T一定，τ变小，此时Ω（谱线间隔）不变。两 零点之间的谱线数目：
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
b)、相位谱
π
ϕn
τ
τ
"
0
Ω
2 Ω 3Ω 4 Ω 5Ω 6 Ω 7 Ω 8 Ω 9 Ω 10 Ω 11Ω
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
π
3
ω
o
π
12
π
6
π
4
ω
(b)
(a)
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信号与系统 电子教案 电子教案 3、周期信号频谱的特点
•
Fn
•••
Hale Waihona Puke ••-8 Ω
•
-4 Ω 0
•
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
•••
ω
-12Ω
(1) 离散性：
谱线是离散的而不是连续的，谱线间隔为
Ω= 2π T
第 第23 23-11 11页 页
■
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4.3
周期信号的频谱及特点
例：周期信号
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
π π⎞ 1 ⎛π 2π ⎞ 1 ⎛π f (t ) = 1 + cos⎜ t − + π ⎟ + cos⎜ t − − ⎟ 2 ⎝4 3 6 2⎠ ⎠ 4 ⎝3
4.3
周期信号的频谱及特点
是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；
1 ⎛π 2π ⎞ cos⎜ t − ⎟ 是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 4 ⎝3 3 ⎠
ϕn
1 2
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
A0 2
An
1
1 4
π
3
o
π
3
π
12
π
6
π
4
− 2π 3
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2 T 2
f (t ) e − jnΩt d t =
−
=
Ee T − jnΩ
− jnΩt
τ
2 −
τ
2
令
Sin ( x ) Sa ( x ) = x
nΩτ nΩτ sin sin( ) Eτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ 2
2
令
Sin ( x ) Sa ( x ) = x
(取样函数），则：
Eτ nΩτ Fn = Sa( ) , n = 0 ,±1，±2，… T 2
■
第 第23 23-9 9页 页
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B、画双边谱
双边振幅谱：
Fn 与nΩ关系曲线：
•••
4.3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = 12 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=
第 第23 23-12 12页 页
1⎛1⎞ 1⎛1⎞ 37 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2⎝2⎠ 2⎝4⎠ 32
■
2
2
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π⎞ 1 ⎛π cos⎜ t + ⎟ 2 3⎠ ⎝4
■
τ
见课本P132 页图4.3-5。
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4.3
周期信号的频谱及特点
2π 谱线间隔： Ω = T 如果周期T无限增长（这时就成为非周
期信号），那么，谱线间隔 Ω 将趋近于 零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期 信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋 近于无穷小。
n = 0 , 1 ,"
为nΩ的实函数，可将振 周期信号为偶函数时，A n 幅频谱图和相位频谱图画在同一个实平面坐标系中。
A0 =
E 2
An
An =
•
2 Eτ ⎛ nΩ τ ⎞ Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
A0 E = 2 4
5Ω 6 Ω 7 Ω 0
Ω
2 Ω 3Ω 4 Ω
" 8 Ω 9 Ω 10 Ω 11Ω 4π =
Eτ nΩτ Fn = Sa( ) , n = 0 ,±1，±2，… T 2 nΩ τ 2π = mπ ，所以 nΩ = m = ωm ，m为整数。 若Fn为零时： 2 τ τ 1 Fn为n的实函数，设 T = 4 ，画出合二为一频谱图。 2π T = m =4 Fn的第一个零点处：m = 1 , 此时： n=m Ωτ τ
周期到非周期 傅里叶级数与频谱
第 第23 23-18 18页 页
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信号与系统 电子教案 电子教案 4）、信号的带宽
2π π τ 1 Ω= = , = , T 2 T 4
•
4.3
周期信号的频谱及特点
第 第23 23-4 4页 页
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A、计算An和ϕn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 τ τ − 频谱。 2 2 T τ 2 2 2 E 2 − jnΩt An = ∫− T f (t ) e− jnΩt d t = dt τ e ∫ − T 2 T 2 nΩτ nΩτ sin( ) − jnΩt τ sin 2E e 4E 2 Eτ 2 2 2 = = = τ nΩτ T − jnΩ − 2 T nΩ T
。
(2) 谐波性：
谱线位置是基频Ω的整数倍。
(3)收敛性：
随谐波次数的增高，各谐波振幅（即谱线高度） 变化的总趋势是减小的。
第 第23 23-14 14页 页
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4.3
周期信号的频谱及特点
4、谱线的结构与波形参数的关系
1）、周期矩形脉冲的频谱
周期信号的频谱及特点
Fn = Eτ nΩτ Sa( ) T 2 （n = 0 ,±1，±2，…）
以纵轴对称
Ω=
2π π τ 1 = , = , T 2 T 4
•
Fn
•
•
-8 Ω
•
-4 Ω 0
•
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
•••
ω
-12Ω
双边相位谱： θ n 与 n Ω 关系曲线
•••
θn
以原点对称
θ n = −θ − n
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∞
4.3
周期信号的频谱及特点
= A e jϕn A n n 2 T = ∫ 2T f (t )e− jnΩt d t , T −2 ( n = 0 , 1 , ")
周期信号三角形式(谐波形式):
f (t ) = A0 + ∑ An Cos ( nΩ t + ϕ n ) 2 n =1
•••
π
• • • •
0
-12Ω
•
-8 Ω
•
-4 Ω
• • • •
4Ω
•
8Ω
•
12 Ω
w
−π
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3）、特殊情况 若Fn为实函数，也可直接画Fn ，用正负来表示 相位为0或π，这时可把幅度谱和相位谱画在同一张 图上。（参看图4.3-3 ）
1 E 4
ω1 =
2π
τ
= 4Ω
−
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2π
2Ω
Ω
Ω 2Ω 3Ω
2π
4π
τ
■
τ
τ
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4.3
周期信号的频谱及特点
3）、波形参数与频谱的关系
2π 谱线间隔： Ω = T
(a) T一定，τ变小，此时Ω（谱线间隔）不变。两 零点之间的谱线数目：
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
b)、相位谱
π
ϕn
τ
τ
"
0
Ω
2 Ω 3Ω 4 Ω 5Ω 6 Ω 7 Ω 8 Ω 9 Ω 10 Ω 11Ω