1.2 逻辑代数运算规则
逻辑代数的基本运算
❖ 还原律 ❖ 交换律 ❖ 结合律 ❖ 分配律 ❖ 反演律
A A
AB B A
AB BA
(A B) C A (B C) ( AB)C A(BC)
A(B C) AB AC
A BC (A B)(A C)
A B AB
AB A B
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
Y ABC ABC ABC
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 通过真值表也可以直接写出逻辑表达式，方法是将真值表中Y为1的输入 变量相与，取值为1的用原变量表示，为0的用反变量表示，将这些与项 相加，就得到逻辑表达式例如.对于异或逻辑关系，根据真值表可以直接 写出 Y AB AB。
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2.1 逻辑代数
❖ 在数字电路中，输入的信号是“条件”，输出的信号是“结果”，因此 输入、输出信号之间存在一定的因果关系，这种因果关系称为逻辑关系。 描述逻辑关系可以用语句、逻辑表达式、图形和表格等，描述逻辑关系 的表格又称为真值表。表示逻辑运算所用的规定的图形符号称为逻辑符 号。逻辑代数中有3种基本运算:“与”运算、“或”运算和“非”运算。 下面就分别讨论这3种基本逻辑运算。
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
(5) AB AC BC AB AC 证明：AB AC BC AB AC (A A)BC AB AC ABC ABC AB(1 C) AC(1 B) AB AC (6) AB AB AB AB 证明：AB AB AB AB (A B)(A B) AA AB AB BB AB AB
(2-9)
❖ 与、或、非是3种基本的逻辑运算，即3种基本的逻辑函数。但在实际
的逻辑问题中，往往是由3种基本逻辑运算组合起来，构成一种复杂的
逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数是描述、分析和简化逻辑线路的有效的数学工具，它又称为开关代数或布尔代数。
逻辑代数的变量（简称逻辑变量）的取值范围只有“0”或“1”。
“0”与“1”不表示数量的多少，而是表示具体问题的两种可能。
例如，用“0”与“1”代表开关线路中开关的断开和接通，电压的低和高，晶体管的截止和导通，信号的无和有两种物理状态。
一个复杂的开关线路总是由若干个开关元件组成。
这种相互联系的关系反映到数学上就是几种逻辑运算。
逻辑加、逻辑乘和逻辑非。
这三种逻辑运算反映了实际中开关元件之间最基本的联系。
(1)逻辑加（“或”运算），或门对应的逻辑运算是“逻辑加”C=A+B。
(2)逻辑乘（“与”运算），与门对应的逻辑运算是“逻辑乘”C=A×B。
(3)逻辑非（“非”运算），“逻辑非”运算和非门相对应，记为B=。
逻辑代数基本公式及定律.
证明： 左式 AB AC BC
AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加
添冗余因子
口诀： 正负相对, 余全完。 （消冗余项）
（8）
( AB ABC) ( AC ABC)
AB AC =右式
4. A · A· B=A · B
（12）
例1： F1 A B C D 0 注意 括号
F1 (A B) (C D) 1
注意括号
F1 AC BC AD BD
与或式
（13）
例 2： F2 A B C D E
反号不动
F2 A B C D E
A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
AA
（1）
二、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
三、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
四、分配律
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
证明：
A· A· B=A
A· A· B = A·(A+B) =A · B
(A+B)=A A· A· B= A· A· A· B= ?
A × A √ A· B A· B × ×
（9）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
逻辑代数的基本运算有哪三种-
逻辑代数的基本运算有哪三种?逻辑代数是按照一定的逻辑规则开展逻辑运算的代数，是分析数字电路的数学工具。
对应于逻辑与、逻辑或和逻辑非三种基本逻辑关系，逻辑代数的基本逻辑运算有三种：逻辑乘、逻辑加和逻辑非。
一、逻辑变量有什么特点逻辑代数中的变量，包括自变量（前因）和因变量（后果），都只有两个取值：“1”和“0”。
在逻辑代数中，“1”和“0”不表示具体的数量，而只是表示逻辑状态。
例如，电位的高与低、信号的有与无、电路的通与断、开关的闭合与断开、晶体管的截止与导通，等等。
二、逻辑乘反映逻辑与关系的逻辑运算叫做逻辑乘，其逻辑函数表达式为：Y=A·B（可简写为：Y=AB）式中，A和B是输入变量，Y是输出变量，“·”表示逻辑乘运算。
1.逻辑乘的意义逻辑乘的意义是：A和B都为“1”时，Y才为“1”；A 和B中只要有一个为“0”时，Y必为“0”。
例如，在上节提到的两个开关串联控制电灯的电路中（见图2-2），设开关闭合为“1”、断开为“0”，电灯亮为“1”、不亮为“0”，则很明显可以看出：只有当A(S1) = 1并且B(S2) = 1时，才有Y(EL) = 1；A和B中只要有一个为0时，则Y(EL) = 0。
由此可见，逻辑乘的运算规则为：0·0 = 00·1 = 01·0 = 01·1 = 1将以上运算规则列表，即为逻辑乘的逻辑函数真值表，如下表2-4所示。
2.逻辑乘的实现电路实现逻辑乘的数字电路是与门。
图2-5（a）所示为A、B两个输入端的与门，可实现A、B两个输入变量的逻辑乘运算。
逻辑乘的输入变量可以有两个以上，分别用A、B、C、D.表示，相应的逻辑函数表达式为：Y=ABCD.图2-5（b）所示为多输入端与门。
三、逻辑加反映逻辑或关系的逻辑运算叫做逻辑加，其逻辑函数表达式为：Y=A+B式中，A和B是输入变量，Y是输出变量，“+”表示逻辑加运算。
1.逻辑加的意义逻辑加的意义是：A和B中只要有一个或一个以上为“1”时，Y即为“1”；只有A和B都为“0”时，Y才为“0”。
逻辑代数基本定律规则及常用公式
逻辑代数基本定律规则及常⽤公式在四则运算中，我们知道有交换律、结合律以及分配律等。
那么在逻辑运算中，也有它⾃⼰的基本定律，下⾯将介绍逻辑代数运算中的基本定理。
逻辑代数基本定理1.0、1定律0、1定律描述的是单个变量A和0、1之间的运算规则。
其中有以下四条定律：（1）A·0=0，即A和0相与始终为0；（2）A·1=A，即A与1相与结果为A；（3）A+0=A，即A和0相或结果为A；（4）A+1=1，即A和1相或始终为1。
2.重叠律重叠率描述逻辑变量A和其⾃⾝的运算。
（1）A·A=A，即A和⾃⼰相与等于它本⾝；（2）A+A=A，即A和⾃⼰相或亦等于它本⾝。
3.互补律互补律描述A和⾃⾝的反变量¬A之间的关系。
（1）A·¬A=0，即A和⾃⾝反变量相与始终为0；（2）A+¬A=1，即A和⾃⾝反变量相或始终为1。
证明：由于A和¬A之间⾄少有⼀个为0，即⼆者不可能全为1，所以相与得0；同时，A和¬A之间⾄少有⼀个为1，满⾜或运算的“有1出1”，所以相或得0。
4.还原律A的反变量再取反，等于本⾝，即¬(¬A)=A。
5.交换律在此定律及之后的定律中，都将会涉及到两个及以上的逻辑变量。
交换律即两个逻辑变量运算时交换位置，结果不变。
（1）A·B=B·A，即A 与B等于B与A；（2）A+B=B+A，即A或B等于B或A。
6.结合律结合律指三个及以上变量相与或相或时，可以使任意两个变量先进⾏运算，再去和别的变量进⾏运算。
（1）(A·B)·C=A·(B·C)，即A与B后再与C，等于B与C后再与A。
（2）(A+B)+C=A+(B+C)，即A或B后再或C，等于B或C后再或A。
7.分配律逻辑代数的分配律和四则运算的分配律很类似，但是有⼀些不同。
（1）A·(B+C)=A·B+A·C，即A和B或C相与，等于A和B、C分别相与，然后进⾏或运算；（2）(A+B)·(A+C)=A+B·C，这⼀条定律显得有⼀些特殊，它的结果并不像四则运算中展开后有四项的形式，实际上，我们可以这样的得到：(A+B)·(A+C)=A·A+A·C+A·B+B·C=A+AC+AB+BC=A(1+B+C)+BC=A·1+BC=A+BC。
逻辑代数及运算
逻辑代数及运算一、逻辑运算1. “与”逻辑关系及运算决定结果成立的所有条件都具备时，结果才成立，这种条件与结果之间的关系称为“与”逻辑。
以二只串联开关控制一只电灯为例，只有当二只开关都闭合时，电灯才亮。
令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为逻辑“0”时，有如表所示的真值表。
该“与”逻辑关系也可写成逻辑表达式形式：。
从逻辑运算上，是逻辑乘关系，0×0=0，0 ×1=0，1 ×0=0，1 ×1=1，“与”逻辑关系用“与”门逻辑符号表示：2. “或”逻辑关系及运算决定结果成立的所有条件只要有一个具备时，结果就成立，这种条件与结果之间的关系称为“或”逻辑。
这种关系在日常生活中也是非常普遍的。
以二只并联开关控制一只电灯为例，当其中一只开关闭合时，电灯就亮。
令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为逻辑“0”时，有如表所示的真值表。
逻辑关系式为：。
逻辑运算为逻辑加0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，逻辑符号如下：真值表：3. “非”逻辑关系及运算条件具备时，结果不成立，条件不具备时结果成立，这种条件与结果之间的关系称为“非”逻辑。
逻辑式为：，是求反运算。
逻辑符号如下：4.复杂和复合逻辑关系(1) 异或逻辑关系二个条件相同时，结果不成立，二个条件相异时，结果成立。
函数式：。
逻辑符号：(2) 同或逻辑关系二个条件相同时，结果成立，二个条件相异时，结果不成立。
函数式：。
逻辑符号：(3)复合逻辑关系它由“与”、“或”、“非”三种基本逻辑关系组合而成。
二、逻辑运算中的运算定律，常用公式，运算规则逻辑运算中只有逻辑加、逻辑乘和求反三种运算。
1 . 运算定律0-1律：重叠律：互补律：否定之否定律：交换律：结合律：分配律：荻魔根定律：，其中后四个定律可以用前四个进行证明成立，也可用真值表证明等式成立。
2 .常用公式，，，，，3 .运算规则对偶规则：“0” →“1”、“1” →“0”、“” →“+”、“+” →“”变换前后两式为对偶式，并成立。
逻辑代数的公式与基本定理
被吸收
2.反变量的吸收：
证明： A AB A AB AB
长中含反， 去掉反。
A B(A A) A B
例如： A ABC DC A BC DC 被吸收
3.混合变量的吸收：
证明： AB AC BC
1
AB AC ( A A)BC
数字电子技术及应用
逻辑代数的公式与基本定理
逻辑代数又称布尔代数，是分析和设计逻辑 电路不可缺少的数学工具。
它的变量取值只能是1和0，而且这里的1和0 并不表示数值的大小，而是代表两种相反的逻 辑状态，如开关的闭合和断开，灯的亮和灭等。
逻辑代数中只有逻辑乘、逻辑加和逻辑非三 种基本运算。
1.1 基本公式和常用公式
2
A AB A B
3
AB AB A
4
A(A+B)= A
AB AC BC AB AC
5
AB AC BCD AB AC
6
AAB AB ； AAB A
规律 吸收律 吸收律
吸收律
1.原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+A=BA(1+B=)A•1=A
长中含短，留下短。
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
序号
公式
序号
公式
规律
1
A·0=0
10
A+1=1
0-1律
2
A·1=A
11
A+0=A
0-1律
3
0 1； 1 0
12
4
A·A= A
13
A A
A+A=A
还原律 重叠律
5
A A 0
逻辑代数的基本公式和常用公式
逻辑代数的基本公式和常用公式一．基本定义与运算代数是以字母代替数，称因变量为自变量的函数，函数有定义域和值域。
——这些都是大家耳熟能详的概念。
如或；当自变量的取值（定义域)只有0和1（非0即1）函数的取值也只有0和1（非0即1)两个数——这种代数就是逻辑代数，这种变量就是逻辑变量，这种函数就是逻辑函数.逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治布尔（George Boole）于1849年创立的.在当时,这种代数纯粹是一种数学游戏,自然没有物理意义,也没有现实意义。
在其诞生100多年后才发现其应用和价值.其规定:1．所有可能出现的数只有0和1两个.2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。
与运算(逻辑与、逻辑乘）定义为（为与运算符，后用代替）00＝0 01＝0 10＝0 11＝1 或00＝0 01＝0 10＝0 11＝1或运算（逻辑或、逻辑加)定义为(为或运算符，后用＋代替)00＝0 01＝1 10＝1 11＝1 或0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1非运算(取反）定义为:至此布尔代数宣告诞生。
二、基本公式如果用字母来代替数（字母的取值非0即1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式：A A＝A A+A=AA0＝0 A+0=AA1＝A A+1=1=+=上述公式的证明可用穷举法。
如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公式即告成立。
现以=+为例进行证明。
对A、B两个逻辑变量，其所有可能的取值为00、01、10、11四种（不可能有第五种情况）列表如下：由此可知：=+成立.用上述方法读者很容易证明:三、常用公式1．左边＝＝右边2．左边＝＝右边例题：将下列函数化为最简与或表达式.(公式1：) = (公式2：)（）练习题：3．异或运算和同或运算(放到最小项卡诺图中讲）四、逻辑函数1．定义：如果有若干个逻辑变量(如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起,得到一个表达式L。
逻辑代数基本运算
逻辑代数基本运算逻辑代数是一门研究命题逻辑中命题间的逻辑关系的数学分支学科。
在逻辑代数中，有一些基本的运算规则和定理，通过这些运算规则可以简化逻辑表达式、证明命题的等价关系等。
本文将介绍逻辑代数中的基本运算，包括逻辑与、逻辑或、逻辑非、异或、同或等运算。
首先，逻辑与运算是逻辑代数中最基本的运算之一。
逻辑与运算表示为“∧”，当且仅当所有参与运算的命题均为真时，逻辑与运算的结果才为真。
例如，命题P∧Q的真值表如下：P | Q | P∧Q---|---|---T | T | TT | F | FF | T | FF | F | F其次，逻辑或运算也是逻辑代数中的重要运算。
逻辑或运算表示为“∨”，当参与运算的命题中至少有一个为真时，逻辑或运算的结果为真。
例如，命题P∨Q的真值表如下：P | Q | P∨Q---|---|---T | T | TT | F | TF | T | T逻辑非运算是一元运算，表示为“¬”，其作用是对命题的真值取反。
例如，对于命题P，逻辑非运算的结果为非P。
真值表如下：P | ¬P---|---T | FF | T逻辑异或运算表示为“⊕”，当参与运算的命题真值不相同时，逻辑异或运算的结果为真。
例如，命题P⊕Q的真值表如下：P | Q | P⊕Q---|---|---T | T | FT | F | TF | T | TF | F | F最后，逻辑同或运算表示为“⊻”，当参与运算的命题真值相同时，逻辑同或运算的结果为真。
例如，命题P⊻Q的真值表如下：P | Q | P⊻Q---|---|---T | T | TT | F | FF | T | F逻辑代数中的基本运算对于逻辑推理和命题等价的判断具有重要的作用。
通过熟练运用逻辑代数的基本运算规则，可以简化逻辑表达式、证明逻辑关系等，提高逻辑思维能力和解题效率。
逻辑代数的基本运算规则是逻辑推理和逻辑思维的基础，对于逻辑学习和应用都具有重要的意义。
逻辑代数--公式与法则
例1-22：证明等式：=ҧ +
ത
A B
解：可利用真值表唯一性证明逻辑等
0
式。
0
2变量有4种取值组合；
左边是与非运算，可直接填写真值表； 0
1
ത
右边先算出两个ҧ 、，
1
0
1
1
左=
ҧ ത
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
ҧ ത
右=+
18
（4）逻辑代数的特殊定律
反演律
（8）=ҧ + ത
逻辑代数的公式和运算规则
问（Q)：
复习
➢ 逻辑函数有哪几种表示方法？
答（A):
➢ 1.真值表，具有唯一性，可直接转换成最小项表达式。
➢ 2.表达式，有一般表达式（不唯一）和最小项表达式
（具有唯一性。）
➢ 3.逻辑图，可与表达式直接转换。
➢ 4.波形图，可与真值表直接转换。
➢ 5.卡诺图，可用于化简。
= AB +ҧ C + ABC + ҧBC
与互补变量A相
与的B、C是第
三项（冗余项）
= AB(1+C) +ҧ C(1+B)
= AB +ҧ C
推论： AB +ҧ C + BCDE = AB +ҧ C
与或表达式有三个与项，第一项含原变量（比如A），第二项含反
ҧ
变量（比如），而这两个与项的其它因子是第三个与项的因子，则
表1-32 用真值表证明公式
ABC
000
001
010
011
100