逻辑代数中的三种基本运算分解
逻辑代数的三个基本运算
逻辑代数的三个基本运算逻辑代数是一种数学分支，研究命题和命题之间的逻辑关系。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑两个部分。
在逻辑代数中，有三个基本运算，即合取、析取和否定。
接下来，我将一步一步回答有关逻辑代数的这三个基本运算的问题。
一、合取运算（AND）合取运算，也称为与运算，用∧（圆圈上有一个小竖杠）表示。
在逻辑代数中，合取运算指的是将两个或多个命题连接起来，当且仅当这些命题都为真时，合取命题才为真。
1. 合取命题的真值表首先，我们可以通过真值表来表示合取命题。
假设有两个命题P和Q，可以通过以下真值表来表示合取命题：P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上表可以看出，当且仅当P和Q的值均为真时，合取命题才为真。
2. 合取的代数表达式除了使用真值表，我们还可以使用代数表达式来表示合取命题。
例如，我们可以用“P ∧Q”来表示“P和Q的合取”。
在逻辑代数中，合取的代数表达式遵循以下规则：- 合取满足交换律：P ∧Q = Q ∧P- 合取满足结合律：(P ∧Q) ∧R = P ∧(Q ∧R)- 合取满足吸收律：P ∧(P ∨Q) = P二、析取运算（OR）析取运算，也称为或运算，用∨（有一个小竖杠在圆圈顶部）表示。
在逻辑代数中，析取运算是将两个或多个命题连接起来，当且仅当这些命题中至少有一个为真时，析取命题才为真。
1. 析取命题的真值表与合取运算类似，我们可以使用真值表来表示析取命题。
假设有两个命题P和Q，可以通过以下真值表来表示析取命题：P Q P∨QT T TT F TF T TF F F从上表可以看出，只有当P和Q的值至少有一个为真时，析取命题才为真。
2. 析取的代数表达式类似于合取运算，我们可以使用代数表达式来表示析取命题。
例如，我们可以用“P ∨Q”来表示“P或Q的析取”。
在逻辑代数中，析取的代数表达式遵循以下规则：- 析取满足交换律：P ∨Q = Q ∨P- 析取满足结合律：(P ∨Q) ∨R = P ∨(Q ∨R)- 析取满足分配律：P ∨(Q ∧R) = (P ∨Q) ∧(P ∨R)三、否定运算（NOT）否定运算，也称为非运算，用¬表示。
第1章 逻辑代数基础
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳：
真值表：
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 灭 灭 亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系，这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数， 并记为：
F f ( A, B, C , )
3
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑（与运算）
定义:仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足 时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A，B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不 同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起
来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC
2.3-2.5 逻辑代数的公式、定理、表示方法
0 1 2 3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ① 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ 任意两个最小项的乘积为0。 ② 全体最小项和为1。 并成一项并消去一对因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
相 邻
A' B ' C ' A' B ' C A' BC ' A' BC AB' C ' AB' C ABC' ABC
相 邻
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外
一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成 立。
例如，已知 ( A B) A B (反演律)，若用B+C代替 等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
第二章 逻辑代数基础
A B A B
______
A (B C) A (B C) A B C
__________ _____
A ( B C ) A B C A B C
________
3.反演定理
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“•”换成 “＋”， “＋”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量 __ 换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y
2、非逻辑真值表 A 0 1 Y
3 、非逻辑函数式
Y=A 或： Y A
1
0
4、 非逻辑符号
A
1
Y
或： 5 、 非逻辑运算 0=1 1=0
四、 几种最常见的复合逻辑运算
1 、 与非 Y=A B A B & Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 1 1 0
3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B A B Y
（还原律）
证明： A B A B A ( B B ) A 1 A
4.
A ( A B) A
（吸收律）
证明： A ( A B) A A A B A A B A (1 B) A 1 A
5. A B A C B C A B A C
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数是描述、分析和简化逻辑线路的有效的数学工具，它又称为开关代数或布尔代数。
逻辑代数的变量（简称逻辑变量）的取值范围只有“0”或“1”。
“0”与“1”不表示数量的多少，而是表示具体问题的两种可能。
例如，用“0”与“1”代表开关线路中开关的断开和接通，电压的低和高，晶体管的截止和导通，信号的无和有两种物理状态。
一个复杂的开关线路总是由若干个开关元件组成。
这种相互联系的关系反映到数学上就是几种逻辑运算。
逻辑加、逻辑乘和逻辑非。
这三种逻辑运算反映了实际中开关元件之间最基本的联系。
(1)逻辑加（“或”运算），或门对应的逻辑运算是“逻辑加”C=A+B。
(2)逻辑乘（“与”运算），与门对应的逻辑运算是“逻辑乘”C=A ×B。
(3)逻辑非（“非”运算），“逻辑非”运算和非门相对应，记为B=。
第2章 逻辑代数基础(完整版)
2
A BC ( A B)( A C )
方法二：真值表法
[解]
方法一：公式法
右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C
A AC AB BC A(1 C B) BC
A BC 左式
A (B C) A B A C 分配律： C ( A B) ( A C ) A B 缓一缓 ( A B)' A'B' ( A B)' A' B' 反演律(摩根定理）：
( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C ' ( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C '
互补律： A A' 1
A 1 1 A 0 0
A A' 0
等幂律： A A A
A A A
双重否定律: ( A' )' A
20
CopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
2
3）基本运算规则
A B B A 交换律： A B B A ( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
A E 电路图 B Y
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合 功能表
灯Y 灭 灭 灭 亮
5
L=ABCopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
一逻辑代数的三个基本运算
＝∑m (3,5,6,7)
最小项得简写形式
西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计
逻辑代数中的三个重要规则
代入规则
可以扩大基本定律的应用
任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的 位置都 1、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 代之以一个函数F, 则等式仍然成立。 2 、不属于单变量上的非号应保留 用于快速的求一个函数的反函数 反演规则 号,将“+”号变为“ ·、 ”号 ,常量“0”变为“1”,“1”变为 性质： 1 F与 F*互为对偶函数 1 、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 “0” ,原变量变为反变量 ,反变量变为原变量,便可求得F的反演 2、任何函数均存在对偶函数 2、不属于单变量上的非号应保留 式。 3、若F=G成立，则F*=G*成立 用于逻辑关系的证明 对偶规则
最小项
与项 :
ABC B C A C
三变量最小项（标准与项） : 与或表达式：
A B C
A B C A BC
F =AB + AC + ABC
最小项表达式： F AB C A B C A BC ABC 最小项通常用符号mi来表示。
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三变量的最小项
（1）最小项 最小项定义：
n个变量的最小项是含n个变量的“与项”，其中每 个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。
1个变量 最小项
A A
2个变量 最小项 AB AB AB AB 3个变量 最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
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冗余律
AB A C BC AB A C
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A B
&
Y
与
A B
Y
A B
≥1
Y
或
A1 Y
非
A B
YA
Y
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8
2020/10/10
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
四、最常见的复合逻辑运算
1.与非
与非逻辑表达式：
与非逻辑真值表
AB
Y
00
1
01
1
10
1
11
0
Y ( AB)
图形符号：
A B
&
Y
A B
Y
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9
2020/10/10
2. 或非
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
或非逻辑表达式：
或非逻辑真值表
AB
Y
00
1
01
0
10
0
11
0
Y (A B)
图形符号：
A B
≥1
Y
A B
Y
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10
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3.与或非 图形符号：
A B
&
≥1
C D
&
A B
C D
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
A & ≥1
B
C
Y
Y
D
闭合 断开 灯亮
闭合 闭合 灯亮
仿真
或逻辑表达式 Y = A+B
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5
2020/10/10
三、逻辑非
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
定义：只要条件具备了，结果就不会发生； 而条件不具备时，结果一定发生， 这种逻辑关系叫逻辑非，也叫逻辑求反。
非逻辑功能表
A
Y
断开 灯亮
闭合 不亮
E
A
Y
条件：开关闭合
E
Y
断开 闭合 灯亮 闭合 断开 灯亮
条件：开关闭合
闭合 闭合 灯亮
结果：灯亮
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4
2020/10/10
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
真值表
1 表示开关闭合，灯亮。
0 表示开关断开，灯不亮。
或逻辑真值表
AB
Y
00
0
01
1
10
1
11
1
动画
或逻辑功能表
AB
Y
断开 断开 不亮
断开 闭合 灯亮
A E
B Y
与逻辑功能表
AB
Y
断开 断开 不亮
条件：开关闭合
断开 闭合 不亮 闭合 断开 不亮
结果：灯亮
闭合 闭合 灯亮
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2
2020/10/10
真值 表
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
1 表示开关闭合，灯亮。
动画
0 表示开关断开，灯不亮。
与逻辑真值表
AB
Y
00
0
01
0
10
0
11
1
与逻 辑表达式 Y = A·B
2020/10/10
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
❖ 逻辑与 ❖ 逻辑或 ❖ 逻辑非 ❖ 常见的复合逻辑运算
1
推出 下页 总目录
2020/10/10
一、逻辑与
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
定义：只有决定事物结果的全部条件同时具备时，
结果才发生。
这种因果关系叫逻辑与，或叫逻辑相乘。
12
仿真 上页 下页 返回
Hale Waihona Puke 2020/10/105. 同或
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
两输入变量A、B相同时，输出Y为 1。
而A、B不同时，输出Y为 0。
同或逻辑真值表
AB
Y
00
1
01
0
10
0
11
1
同或逻辑表达式：
图形符号：
A B=Y
A B
Y
Y AB AB
或Y=A⊙B
13
上页 返回
与或非逻辑表达式：
Y
Y ( AB CD)
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11
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4.异或
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
两输入变量A、B不同时，输出Y为 1。
而A、B相同时，输出Y为 0。
异或逻辑真值表
AB
Y
图形符号：
00
0
01
1
A B =1 Y
10
1
11
0
A B
Y
异或逻辑表达式：
Y A B AB AB
结果：灯亮
上页 下页 返回
6
2020/10/10
真值表
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
动画
1 表示开关闭合，灯亮。 0 表示开关断开，灯不亮。
非逻辑真值表
A
Y
0
1
1
0
非逻辑功能表
A
Y
断开 灯亮
闭合 不亮
非逻辑表达式 Y = A'
仿真
上页 下页 返回
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2020/10/10
图形符号
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
3
与逻辑功能表
AB
Y
断开 断开 不亮
断开 闭合 不亮
闭合 断开 不亮
闭合 闭合 灯亮
仿真
上页 下页 返回
2020/10/10
二、逻辑或
第二节 逻辑代数中的三种基本运算
定义：决定事物结果的诸条件中只要有任何一个条件
满足， 结果就会发生，
这种逻辑关系叫逻辑或，也叫逻辑相加。
或逻辑功能表
A
AB
Y
B
断开 断开 不亮