逻辑代数的基本运算

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逻辑代数的基本定律和规则

逻辑代数的基本定律和规则一、逻辑代数的基本公式（一）、逻辑常量运算公式（二）、逻辑变量、常量运算公式变量A的取值只能为0或为1，分别代入验证。

二、逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。

这些定律和普通代数相似，有其独特性。

（一）、与普通代数相似的定律交换律、结合律、分配律（二）、吸收律与学生一同验证以上四式。

第④式的推广：由表4可知，利用吸收律化简逻辑函数时，某些项或因子在化简中被吸收掉，使逻辑函数式变得更简单。

（三）、摩根定律三、逻辑代数的三个重要规则（一）、代入规则对于任一个含有变量A的逻辑等式，可以将等式两边的所有变量A用同一个逻辑函数替代，替代后等式仍然成立。

这个规则称为代入规则。

代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的。

例题：（二）、（三）、若两函数相等，其对偶式也相等。

（可用于变换推导公式）。

讨论三个规则的正确性。

逻辑涵数的公式化简法一、化简的意义与标准1、化简逻辑函数的意义根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。

这对于节省元器件，优化生产工艺，降低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。

2、逻辑函数式的几种常见形式和变换3、逻辑函数的最简与-或式对与或式而言：最简：二、逻辑函数的代数化简法1、并项法三、代数化简法举例在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简与-或式.四、作业：。

逻辑代数的基本概念与基本运算

逻辑代数的基本概念与基本运算1. 引言逻辑代数是数学中的一个分支，它主要研究逻辑关系、逻辑运算和逻辑函数等内容。

逻辑代数作为数理逻辑的一个重要工具，不仅在数学、计算机科学等领域具有重要的应用，同时也在现实生活中扮演着重要的角色。

本文将介绍逻辑代数的基本概念与基本运算，帮助读者更好地理解逻辑代数的基本原理和运算规则。

2. 逻辑代数的基本概念逻辑代数是一种用于描述逻辑运算的代数体系，它主要包括逻辑变量、逻辑常量、逻辑运算和逻辑函数等基本概念。

2.1 逻辑变量逻辑变量是逻辑代数中的基本元素，通常用字母表示，表示逻辑命题的真假值。

在逻辑代数中，逻辑变量通常只能取两个值，即真和假，分别用1和0表示。

2.2 逻辑常量逻辑常量是逻辑代数中表示常量真假值的符号，通常用T表示真，用F 表示假。

逻辑常量在逻辑运算中扮演着重要的角色。

2.3 逻辑运算逻辑运算是逻辑代数中的基本运算，包括与、或、非、异或等运算。

逻辑运算主要用于描述不同命题之间的逻辑关系，帮助我们进行逻辑推理和逻辑计算。

2.4 逻辑函数逻辑函数是逻辑代数中的一种特殊函数，它描述了不同逻辑变量之间的逻辑关系。

逻辑函数在逻辑代数中具有重要的地位，它可以通过逻辑运算表达逻辑命题之间的关系，是描述逻辑代数系统的重要工具。

3. 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算包括与运算、或运算、非运算、异或运算等。

这些基本运算在逻辑代数中有着严格的规则和性质，对于理解逻辑代数的基本原理和进行逻辑推理具有重要的意义。

3.1 与运算与运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑与的关系。

与运算的运算规则如下：- 真与真为真，真与假为假，假与假为假。

与运算通常用符号“∧”表示，A∧B表示命题A与命题B的逻辑与关系。

3.2 或运算或运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑或的关系。

或运算的运算规则如下：- 真或真为真，真或假为真，假或假为假。

或运算通常用符号“∨”表示，A∨B表示命题A与命题B的逻辑或关系。

逻辑代数中的三种基本运算

1 1 0 0
+ + B A+ B A + B A+ B A⋅ B ⋅ 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0
相等
相等
五、若干常用公式
(1) AB+ AB = A( B + B) = A +
(2) A+ AB= A(1 + B) = A +
推广
A + A(
)= A
即 ⊙ A⊕ B = A⊙B ⊕ 同理可证 A⊙B = A⊕ B ⊙ ⊕
六、关于异或运算的一些公式异或 A ⊕ B = A B + AB 同或 A⊙B = AB + A B ⊙ (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 ⊙ A⊕ B = A⊙B ⊕ A⊙B = A⊕ B ⊙ ⊕
(5) 因果互换律
= AB + AC + ABC + ABC = AB+ A + C
推论
AB + A + BCD = AB + A C C
AB + AB = A B + AB
证明：公式 (5) 证明：
左 = A B ⋅ AB = ( A + B ) ( A + B ) = A ⋅ A + A B + AB + B ⋅ B = A B + AB
曾用符号 A B Y
美国符号 A B A B Y
≥1
Y = A+ B A
B =1 Y = A⊕ B A B
Y
Y
⊕
Y
A B
Y
1.3

第1章逻辑代数基础

5、三个重要运算规则
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳：
真值表：
开关 A 开关 B 断开断开闭合闭合断开闭合断开闭合
灯Y 灭灭灭亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系，这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数，并记为：
F f ( A, B, C , )
3
第1章逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑（与运算）
定义:仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A，B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起
来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC

[全]数字电路--逻辑代数的基本运算定律

数字电路--逻辑代数的基本运算定律
逻辑代数的基本定律可以用真值表证明：
分别列出等式两边的真值表，如果等式两边对于变量的可能取值所得的结果相符，就证明该公式是正确的。

如：证明
A +
B ·
C = (A + B) ·(A + C) 成立
逻辑代数中的基本公式只反映了变量之间的逻辑关系，而不是数量之间的关系。

在运算中不能把初等代数的其他运算规律套用到逻辑代数中。

例如，等式两边不允许移项，因为逻辑代数中没有减法和除法。

在进行逻辑运算时，按先算括号、再算乘积、最后算加法的顺序进行，与普通代数是一样的。

最简的与或表达式的条件：在不改变逻辑关系的情况下，首先乘积项的个数最少，在此前提下，其次是每一个乘积项中变量的个数最少。

逻辑函数的化简方法l代数化简法l卡诺图化简法
2．卡诺图化简法
卡诺图—将真值表按一定的规则转换成相应变量的方格图
最小项—在一个有n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。

（1）卡诺图的画法
由卡诺图可以看到，任何两个相邻小方格中的最小项仅有一个变量不同。

因而卡诺图边框的变量取值的填法，每次只改变一个变量的值以实现相邻的最小项只有一个变量不同。

2) 由逻辑表达式画卡诺图
与或式→每个乘积项所包含的最小项填“1”，其余的填“0”。

逻辑代数的基本运算法则

逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数是描述、分析和简化逻辑线路的有效的数学工具，它又称为开关代数或布尔代数。

逻辑代数的变量（简称逻辑变量）的取值范围只有“0”或“1”。

“0”与“1”不表示数量的多少，而是表示具体问题的两种可能。

例如，用“0”与“1”代表开关线路中开关的断开和接通，电压的低和高，晶体管的截止和导通，信号的无和有两种物理状态。

一个复杂的开关线路总是由若干个开关元件组成。

这种相互联系的关系反映到数学上就是几种逻辑运算。

逻辑加、逻辑乘和逻辑非。

这三种逻辑运算反映了实际中开关元件之间最基本的联系。

(1)逻辑加（“或”运算），或门对应的逻辑运算是“逻辑加”C=A+B。

(2)逻辑乘（“与”运算），与门对应的逻辑运算是“逻辑乘”C=A ×B。

(3)逻辑非（“非”运算），“逻辑非”运算和非门相对应，记为B=。

逻辑代数的基本定律和常用公式

逻辑代数的基本定律和常用公式1、基本定律逻辑代数是一门完整的科学。

与普通代数一样，也有一些用于运算的基本定律。

基本定律反映了逻辑运算的基本规律，是化简逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本方法。

（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）反演律（德·摩根定律）2、基本公式（1）常量与常量（2）常量与变量（3）变量与变量3、常用公式除上述基本公式外，还有一些常用公式，这些常用公式可以利用基本公式和基本定律推导出来，直接利用这些导出公式可以方便、有效地化简逻辑函数。

（1）证明：上式说明当两个乘积项相加时，若其中一项（长项：A·B）以另一项（短项：A）为因子，则该项（长项）是多余项，可以删掉。

该公式可用一个口诀帮助记忆：“长中含短，留下短”。

（2）证明：上式说明当两个乘积项相加时，若他们分别包含互为逻辑反的因子（B和），而其他因子相同，则两项定能合并，可将互为逻辑反的两个因子（B和）消掉。

（3）证明：上式说明当两项相加时，若其中一项（长项：·B）包含另一项（短项：A）的逻辑反（）作为乘积因子，则可将该项（长项）中的该乘积因子（）消掉。

该公式可用一个口诀帮助记忆：“长中含反，去掉反”。

例如：（4）证明：上式说明当3项相加时，若其中两项（AB和C）含有互为逻辑反的因子（A和）,则该两项中去掉互为逻辑反的因子后剩余部分的乘积（BC）称为冗余因子。

若第三项中包含前两项的冗余因子，则可将第三项消掉，该项也称为前两项的冗余项。

该公式可用一个口诀帮助记忆：“正负相对，余（余项）全完”。

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一逻辑代数的三个基本运算

＝∑m (3,5,6,7)
最小项得简写形式
西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计
逻辑代数中的三个重要规则
代入规则
可以扩大基本定律的应用
任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的位置都 1、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或代之以一个函数F, 则等式仍然成立。 2 、不属于单变量上的非号应保留用于快速的求一个函数的反函数反演规则号,将“+”号变为“ ·、 ”号 ,常量“0”变为“1”,“1”变为性质： 1 F与 F*互为对偶函数 1 、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 “0” ,原变量变为反变量 ,反变量变为原变量,便可求得F的反演 2、任何函数均存在对偶函数 2、不属于单变量上的非号应保留式。 3、若F=G成立，则F*=G*成立用于逻辑关系的证明对偶规则
最小项
与项 :
ABC B C A C
三变量最小项（标准与项） : 与或表达式：
A B C
A B C A BC
F =AB + AC + ABC
最小项表达式： F AB C A B C A BC ABC 最小项通常用符号mi来表示。
西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计
三变量的最小项
（1）最小项最小项定义：
n个变量的最小项是含n个变量的“与项”，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。
1个变量最小项
A A
2个变量最小项 AB AB AB AB 3个变量最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
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冗余律
AB A C BC AB A C

逻辑代数基本运算规则和基本定律

逻辑代数基本运算规则和基本定律
逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。

虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。

这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。

逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。

这是它与普通代数的本质区别。

注意：在逻辑代数中，只有加、乘、非运算，没有减、除、移项运算。

1、逻辑代数基本运算规则
；；；
；；；；。

2、基本定律
交换律
结合律
分配律
―――――注意：普通代数不成立
反演律即摩根定理
可以推广到多变量
可以推广到多变量
吸收律。

逻辑代数的基本公式和运算规则

逻辑代数的基本公式和
运算规则
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
逻辑代数的基本公式和运算规则
一、基本公式
表1.3.1中若干常用公式的证明1．证明： 2. A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A1=A
3.
2
证明：
4.
证明：
推论：
二、运算规则1．代入定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。

利用代入规则，反演律能推广到n个变量，即:
2．反演定理对于任意一个逻辑函数式F，若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果为。

这个规则叫反演定理运用反演定理时注意两点：① 必须保持原函数的运算次序。

② 不属于单个变量上的非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。

例如：
其反函
数：
3．对偶定理对于任意一个逻辑函数F，若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到F的对偶式F′。

例如：
3
其对偶
式：
对偶定理：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。

4。

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❖ 还原律 ❖ 交换律 ❖ 结合律 ❖ 分配律 ❖ 反演律
A A
AB B A
AB BA
(A B) C A (B C) ( AB)C A(BC)
A(B C) AB AC
A BC (A B)(A C)
A B AB
AB A B
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
Y ABC ABC ABC
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 通过真值表也可以直接写出逻辑表达式，方法是将真值表中Y为1的输入变量相与，取值为1的用原变量表示，为0的用反变量表示，将这些与项相加，就得到逻辑表达式例如.对于异或逻辑关系，根据真值表可以直接写出 Y AB AB。
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2.1 逻辑代数
❖ 在数字电路中，输入的信号是“条件”，输出的信号是“结果”，因此输入、输出信号之间存在一定的因果关系，这种因果关系称为逻辑关系。描述逻辑关系可以用语句、逻辑表达式、图形和表格等，描述逻辑关系的表格又称为真值表。表示逻辑运算所用的规定的图形符号称为逻辑符号。逻辑代数中有3种基本运算:“与”运算、“或”运算和“非”运算。下面就分别讨论这3种基本逻辑运算。
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
(5) AB AC BC AB AC 证明：AB AC BC AB AC (A A)BC AB AC ABC ABC AB(1 C) AC(1 B) AB AC (6) AB AB AB AB 证明：AB AB AB AB (A B)(A B) AA AB AB BB AB AB
(2-9)
❖ 与、或、非是3种基本的逻辑运算，即3种基本的逻辑函数。但在实际
的逻辑问题中，往往是由3种基本逻辑运算组合起来，构成一种复杂的
运算形式。
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 2.2.2 逻辑函数的表示方法
❖ 逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图等方法来表示。其中，逻辑图是用逻辑符号连接构成的图形下面说明各方法之间的转换。
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB
（2-4）
❖ 逻辑符号如图2-4所示。
❖ 真值表如表2-7所示
❖ 从表2-7中可以看出，只有A,B全为1时，Y才为0，与非逻辑和与逻辑正好相反，即“当一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才不发
生”。
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2.1 逻辑代数
❖ 2.或非运算
❖ 逻辑表达式为
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 2.3.1 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 常用的逻辑代数定律和恒等式如下。
❖ 自等律 ❖ 0-1律
A0 A A11
A1 A
A0 0
❖ 重叠律 ❖ 互补律
A A A AA A
A A 1 AA 0
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 2.3.2 逻辑代数的3个规则
❖ 1.代入规则 ❖ 在任何一个逻辑等式中，如果将某个变量用同一个函数式来代换，则等
式仍然成立。 ❖ 例2-4 已知等式A+AB=A，若令Y=C+D代替等式中的A，试证明新等式
(C+D)+(C+D)B=C+D成立。 ❖ 证明:(C+D)+(C+D)B=(C+D)(1+B)=(C+D) ·1=C+D
其逻辑关系如表2-5所示，同样也可写成真值表的形式，如表2-6所示，从真值表中可以看出，非逻辑的运算规律为:输入。则输出1;输入1则输出0,即“输入、输出始终相反”。非运算的逻辑表达式可写
❖
YA
(2-3)
❖ 式中，字母A上方的“-”表示非运算在某些文献里，也有用“~”或“﹁” 来表示非运算的。用非逻辑门电路实现非运算，其逻辑符号如图2-3(b) 所示。
2.1 逻辑代数
❖ 5.与或非运算
❖ 这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是与运算、或运算和非运算3种逻辑运算的组合。如图2-8所示是其逻辑符号，如图 2-9所示是其等效逻辑电路图
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB CD
(2-8)
❖ 真值表如表2-11所示。
❖ 根据实际需要，可以选用不同数量输入端的与或非逻辑电路。
❖
Y AB
(2-5)
❖ 逻辑符号如图2-5所示。
❖ 真值表如表2-8所示。
❖ 同样从表2-8中可以看出，或非逻辑与或逻辑也正好相反。它的逻辑关系读者可以自己整理一下。
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2.1 逻辑代数
❖ 3.异或运算
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB AB 或者 Y A B
(2-6)
❖ 逻辑符号如图2-6所示。
所示。
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 从表2-13可以直接看出反演率 A B AB和AB A B 是成立的。 ❖ 几个常用公式的证明如下。
❖ (1)A AB A
❖ 证明
A AB A(1 B) A1 A (2) AB AB A 证明：AB AB A(B B) A1 A (3)A(A B) A 证明：A( A B) AA AB A AB A (4) A AB A AB AA AB (A A)(A B) 1 (A B) A B
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 2.2.1 逻辑函数
❖ 一般地，函数是由自变量、因变量和对应法则构成的，自变量A,B,C,… 的取值确定以后，因变量Y的值也就唯一确定了。Y称为A,B,C,…的函数。逻辑函数也是如此，但其变量取值只有0和1逻辑函数的一般表达式可写为
❖
Y=F(A，B，C，…)
❖ 真值表如表2-9所示。
❖ 异或逻辑的特点是:输入相同时，输出为0;输入相异时，输出为1。
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2.1 逻辑代数
❖ 4.同或运算 ❖ 逻辑表达式为 ❖ Y AB AB 或者 Y Ae B ❖ 逻辑符号如图2-7所示。 ❖ 真值表如表2-10所示。
(2-7)
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 3.对偶规则 ❖ 对于函数Y，若把其表达式中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换
成“1”换成“0”，就可得到一个新的逻辑函数Y',Y'就是Y的对偶式。
例如：Z A(B C),则Z , A BC; Z A BC,则Z , A(B C ); Z AB AC,则Z , ( A B)( A C); Z A1.3 非运算
❖ 另外一种基本的逻辑运算就是非运算，即“一件事情(灯泡)的发生是以其相反的条件为依据”。这种逻辑关系称为非逻辑，其逻辑电路如图23(a)所示。图中E是电源，R是限流电阻。开关A闭合时，灯泡Y不亮;开关A断开时，灯泡Y则亮。
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2.1 逻辑代数
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
例2 - 5 Y AB CD应写成Y ( A B)(C D)。证明：Y AB CD AB CD (A B)(C D)
❖ ②不是一个变量上的“非”号应保持不变例如：Y ABC D,则Y A B CD
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12所示。 ❖ ③根据真值表画出的波形图如图2-11所示。
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2.2 逻辑函数及其表示方法
❖ 例2-2 已知函数Y的逻辑图如图2-12所示，写出函数Y的逻辑表达式。 ❖ 解:根据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下:
Y1 ABC Y2 ABC Y3 ABC ❖ 最后得到函数Y的表达式为
❖ 反演律公式或以推广到多个变量(摩尔根定律)
A B C ABC
❖ 吸收率 A AB A
A AB A B
❖ 其他常用恒等式有：
ABC A B C
A( A B) A ( A B)( A C) A BC
AB AC BC AB AC AB AC BCD AB AC
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 这些基本定律可以直接利用真值表证明，如果等式两边的真值表相同，则等式成立。
❖ 例2-3 证明反演率 A B AB; AB A B. ❖ 证明:列举A,B的所有取值，并计算出 A B, AB, AB, A B. 。其真值表如表2-13
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2.1 逻辑代数
❖ 仿照前面的方法，用0和1表示的或逻辑真值表如表2-4所示，用逻辑表达式描述可写为
❖
Y=A+B
(2-2)
❖ 式中的符号“+”表示A,B的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用
符号∨, ∪表示或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图2-
2(b)所示。
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2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
❖ 2.反演规则 ❖ 对于任意一个逻辑函数Y，如果要求其反函数Y，只要将Y表达式中的所
有“·”换成“+”，“+”换成“·”, “0”换成“1” , “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，即可求出函数Y的反函数。 ❖ 注意: ❖ ①要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。
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2.1 逻辑代数
❖ 2.1.1 与运算
❖ 首先，我们来看一个具体的电路试验，电路如图2-1所示，电源E通过 A,B两个串联的开关给电灯Y供电。
❖ 从图2-1(a)可以看出，只有开关A,B同时闭合，灯泡Y才会亮，A,B中有一个或两个断开，灯泡Y就不亮。其逻辑关系如表2-1所示，当开关的闭合用1表示、断开用0表示，灯泡的亮用1表示、不亮用0表示时，表2-1 的逻辑关系就可以写成表2-2的形式，表2-2就是该逻辑的真值表。以上试验说明了这样一种逻辑关系:“只有当一个事件的几个条件全部具备之后，这个事件才会发生。”这种逻辑关系称为与逻辑与逻辑的表达式可以用下式来描述: