初三九年级数学正方形的性质

第1课时正方形的性质
基础题
知识点1 正方形的定义
1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是________．
知识点2 正方形的性质
3．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
4．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等 B．四边都相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
6．(吉林中考)如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC 于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )
A．1 B．2
C． 3 D．3 2
7．(凉山中考)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15
C．16 D．17
8．(来宾中考)正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 2
C．8 2 D．16
9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是________．
10．(泸州中考)如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE＝BF.
中档题
11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为( ) A．(3，1) B．(－1，3)
C．(－3，1) D．(－3，－1)
交FG于点P，则GT＝( )
A. 2
B．2 2
C．2
D．1
13．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．19
14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为________．
15．(宿迁中考)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．
16．(鄂州中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
综合题
17．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
(1)如图1，当P点在线段AB上时，PE＋PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明；
(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值．
参考答案
1.D
2.正方形
3.B
4.D
5.B
6.C
7.C
8.A
9.22.5° 10.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝90°. ∵AE ⊥BF ，
∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°. 又∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF.
∴△ABE ≌△BCF(ASA)． ∴AE ＝BF.
11.C 12.B 13.B 14.5 15. 5 16.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°. ∵三角形ADE 为正三角形，
∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°. ∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°.
在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，
∴△BAE ≌△CDE(SAS)．
∴BE ＝CE.
（2）∵AB ＝AD ，AD ＝AE ， ∴AB ＝AE.
∴∠ABE ＝∠AEB. 又∵∠BA E ＝150°， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°. 同理：∠CED ＝15°.
∴∠BEC ＝60°－15°×2＝30°. 17.(1)是定值．
∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD. ∵PF ⊥BD ， ∴PF ∥AC. 同理：PE ∥BD.
∴四边形PF OE 为矩形． ∴PE ＝OF.
又∵∠PBF ＝45°， ∴PF ＝FB.
∴PE ＋PF ＝OF ＋FB ＝OB ＝
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a. （2）∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD. ∵PF ⊥BD ， ∴PF ∥AC. 同理：PE ∥BD.
又∵∠PBF＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF.
∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝
2
2
a.。