福建2020-2021年九年级上册数学第五单元专练：正方形及特殊平行四边形【含答案】

福建2020九年级上册数学第五单元专练：正方形及特殊平行四边形

|夯实基础|

1.下列说法错误的是()

A.平行四边形的对边相等

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形

2.下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是()

A.∠ABC=90°且AB=AD

B.AB=BC且AC⊥BD

C.AC⊥BD且AC=BD

D.AC=BD且AB=BC

3.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了()

A.1次

B.2次

C.3次

D.4次

4.如图K30-1,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()

图K30-1

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

5.如图K30-2,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为()

图K30-2

A.60°

B.67.5°

C.75°

D.54°

6.如图K30-3,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是()

A.

B.

C.-1

D.

7.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图K30-4),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD= .(结果保留根号)

图K30-4

8.如图K30-5,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是.

图K30-5

9.以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.

10.如图K30-6,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是.

图K30-6

11.如图K30-7,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM 与BD相交于点F.求证:OE=OF.

12.如图K30-8,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AG⊥ED交DE于点F,交CD于点G.

(1)求证:△ADG≌△DCE;

(2)连接BF,求证:AB=FB.

图K30-8

|能力提升|

13.如图K30-9,在正方形ABCD中,AB=4.若以CD为底边向其形外作等腰直角三角形DCE,连接BE,则BE的长为

()

图K30-9

A.4

B.2

C.2

D.2

14.如图K30-10,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N 分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN= .

图K30-10

|思维拓展|

15.如图K30-11,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值为.

图K30-11

16.已知动点P在边长为1的正方形ABCD的内部,点P到边AD,AB的距离分别为m,n.

(1)以A为原点,以边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图K30-12①所示,当点P在对角线AC上,且m=时,求点P的坐标.

(2)如图②,当m,n满足什么条件时,点P在△DAB的内部?请说明理由.

图K30-12

参考答案

1.B

2.B[解析]A.▱ABCD中,若∠ABC=90°,则▱ABCD是矩形,再由AB=AD可得是正方形,故此选项错误;

B.▱ABCD中,若AB=BC,则▱ABCD是菱形,再由AC⊥BD仍可得是菱形,不能判定为正方形,故此选项正确;

C.▱ABCD中,若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形,再由AC=BD可得是正方形,故此选项错误;

D.▱ABCD中,若AC=BD,则▱ABCD是矩形,再由AB=BC可得是正方形,故此选项错误.故选B.

3.B

4.C[解析]∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,

∴EF=GH=AB,EH=FG=CD,∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形,故选C.

5.A[解析]连接BF,

∵E为AB中点,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE,

∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF为等边三角形,∴∠FBA=60°,BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°,

∵四边形ABCD为正方形,

∴∠DBC=45°,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.

6.C[解析]连接EF.∵AE=AF,∠EAF=60°,∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF.

∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠D=∠C=90°,AB=AD,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF,∴EC=CF.

设CF=x,则EC=x,AE=EF==x,BE=1-x.

在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,∴1+(1-x)2=(x)2,解得x=-1(舍负).故选C.

7.-1[解析]∵四边形ABCD为正方形,

∴CD=1,∠CDA=90°,

∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置,使得点D落在对角线CF上, ∴CF=,∠CFE=45°,∴△DFH为等腰直角三角形,∴DH=DF=CF-CD=-1.

故答案为-1.

8.8[解析]∵四边形ACDF是正方形,