北师版九年级上册数学各阶段精品试题《1.3 第1课时 正方形的性质2》
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-3正方形的性质与判定》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．四个角都是直角C．对角线互相垂直D．两组对边分别平行2．下列说法正确的是（）A．正方形既是矩形，又是菱形B．有一个内角是直角的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形4．在正方形ABCD中，BF平分∠DBC交CD于F点，则∠DBF的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°5．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（）A．AF＝BE B．AF⊥BEC．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF6．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半7．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（）A．3.0B．2.5C．2.0D．1.58．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（）A．1B．2C．3D．49．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，4），A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB的距离是（）A．4B．3C．2.5D．210．如图四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二．填空题11．如图，已知阴影部分是一个正方形，AB＝4，∠B＝45°，则此正方形的面积为．12．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是．13．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）14．边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．15．如图，正方形ABCD内部有一个等边△ABE，则∠DAE＝°．16．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是（2，3），则点B的坐标是．17．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．其中正确的有．（填序号）三．解答题18．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AB＝4，CF＝1．（1）求AE，EF，AF的长；（2）求证：∠AEF＝90°．19．如图，在正方形ABCD中，PD＝QC，求证：PB＝AQ，BP⊥AQ．20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长．参考答案一．选择题1．解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，故选：C．2．解：A．正方形既是矩形，又是菱形，正确，符合题意；B．有一个内角是直角的四边形是矩形，错误，不符合题意；C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，不符合题意；D．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意．故选：A．3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：C．4．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠DBC＝45°．∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠DBC＝22.5°．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∵BF＝CE，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∠BAG＝∠CBE，∴选项A不符合题意；∵∠ABG+∠CBE＝∠ABC＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AF⊥BE，∴选项B不符合题意；∵△ABF≌△BCE，∴S△ABF＝S△BCE，∴S△ABF﹣S△BFG＝S△BCE﹣S△BFG，∴S△ABG＝S四边形CEGF，∴选项D不符合题意；∵无法证明AG＝GE，∴选项C符合题意；故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，则EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，故D选项不一定正确，符合题意．故选：D．7．解：∵由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1，∴该细铁丝的长度为4．∴AC+BC+AB＝4，∴AC+BC＝4﹣AB．∵AC+BC＞AB，∴4﹣AB＞AB，∴AB＜2．∴AB的长可能为1.5，故选：D．8．解：如图，连接PC，①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠PDC＝∠DBC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠PEB＝∠PFC＝∠PFD＝90°＝∠BCD，∴∠DPF＝∠PDF＝∠BPE＝∠DBC＝45°，∴PF＝DF，PE＝BE，即△PDF和△BPE均为等腰直角三角形，∴PD＝PF，∵∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴CE＝PF＝DF，PE＝FC，∴PD＝CE，故①正确；②由①知：PE＝BE，且四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，故③正确；④由③得：EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；故④错误；综上，①②③正确．故选：C．9．解：方法一：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，设OB＝a，OA＝b，AB＝c，P到直线AB的距离是h，∵△ABO的周长是8，∴a+b+c＝8，∴a+b＝8﹣c，∴a2+2ab+b2＝64﹣16c+c2根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∴ab＝32﹣8c，∵S△P AB＝4×4﹣ab﹣4（4﹣b）﹣4（4﹣a）＝2（a+b）﹣ab＝2（8﹣c）﹣（32﹣8c）＝16﹣2c﹣16+4c＝2c，∵S△P AB＝×c•h，∴2c＝×c•h，∴h＝4．∴P到直线AB的距离为4．方法二：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，∵P（4，4），∴四边形CODP是边长为4的正方形，∴PC＝PD＝OC＝OD＝4，∵A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，∴将△P A′D沿P A′折叠得到△P A′E，延长A′E交y轴于点B，∴∠P A′D＝∠P A′E，PE＝PD，A′D＝A′E，∠PDA′＝∠PEA′＝90°，∴PE＝PC，在Rt△PEB和Rt△PCB中，，∴Rt△PEB≌Rt△PCB（HL），∴BE＝BC，∵△A′BO的周长是8，∴A′O+BO+A′B＝A′O+BO+BE+A′E＝A′O+BO+BC+A′D＝CO+DO＝8，∴△A′BO符合题意中的△ABO，∴P到直线AB的距离PE＝4，故选：A．10．解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，所以这个小孩走的路线所围成的图形是正方形．故选：D．二．填空题11．解：∵阴影部分是一个正方形，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝＝＝2，∴正方形的面积为（2）2＝8，故答案为：8．12．解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．13．解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°或AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．14．解：过C作CD⊥AB交AB延长线与D，如图：∵∠CBD＝180﹣90°﹣60°＝30°，∠D＝90°，∴CD＝BC＝×4＝2，∴△ABC的面积为AB•CD＝×4×2＝4，故答案为：4．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵△ABE是等边三角形，∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．16．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∵点D的坐标是（2，3），∴AD＝CD＝BC＝3，OC＝2，∴OB＝1，∴点B的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．17．解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC的中位线，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确；②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故正确．故答案为：①②④．三．解答题18．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E为AB的中点，∴BE＝CE＝2，∴AE＝＝＝2，EF＝＝＝，AF＝＝＝5；（2）证明：∵AE2+EF2＝20+5＝25，AF2＝52＝25，∴AE2+EF2＝AF2，∴∠AEF＝90°．19．证明：由题意可得：AD＝AB＝BC＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，∵PD＝QC，∴AP＝DQ，在△ADQ和△BAP中，，∴△ADQ≌△BAP（SAS），∴BP＝AQ，∠APB＝∠AQD，∵∠DAQ+∠AQD＝90°，∴∠DAQ+∠APB＝90°，∴BP⊥AQ，∴BP＝AQ，BP⊥AQ．20．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，AB＝2，∴AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝4﹣2＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴CG＝CE＝2．。
北师大版九年级数学上册 1.3正方形的性质与判定同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定同步练习题一、选择题1．下列说法正确的是(C)A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是正方形C ．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形D ．对角线相等的矩形是正方形2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是(D)A ．BC ＝ACB ．BD ＝DFC ．CF ⊥BFD ．AC ＝BF3．如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，则AC 的长是(B)A ．1 B. 2 C. 3 D ．24.如图，正方形ABCD 的边长是2，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，且OE ⊥OF ，则四边形AFOE 的面积是(C)A ．4B ．2C ．1 D.125.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为坐标原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，对角线AC 与BD 相交于点E ，P 为BC 上一点，点P 坐标为(a ，b)，则点P 绕点E 顺时针旋转90°得到的对应点P ′的坐标是(D)A ．(a －b ，a)B ．(b ，a)C ．(a －b ，0)D ．(b ，0)二、填空题 6.如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ABE ，则∠BFC ＝60°.7．如图，在正方形ABCD 中，E 是BD 上一点，BE ＝BA ，则∠ACE ＝22.5°．8．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是3和4，则正方形ABCD 的面积是25．9.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AC ＝1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC ，BC 相交，交点分别为D ，E ，则两个三角形重叠部分的面积为14．三、解答题10.如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．又∵在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°.∴∠BEC ＝90°，BE ＝CE.∴四边形BECF 是正方形．11.如图，点M ，N 分别是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 与BN 交于点P ，试探索AM 与BN 的关系．(1)数量关系AM ＝BN ，并证明；(2)位置关系AM ⊥BN ，并证明．解：(1)AM ＝BN.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠BCN ＝90°，AB ＝BC.在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN(SAS)．∴AM ＝BN.(2)AM ⊥BN.证明如下：∵△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM ＝∠NBC.∵∠NBC ＋∠ABN ＝∠ABC ＝90°，∴∠BAM ＋∠ABN ＝90°.∴∠APB ＝90°.∴AM ⊥BN.12.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°.求证：矩形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°.∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°.∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°.∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°－45°－60°＝75°.∴△AEB ≌△AFD(AAS)．∴AB ＝AD.∴矩形ABCD 是正方形．13.已知：如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别为垂足，求证：AP ＝EF.证明：连接PC.∵ABCD 是正方形，∴∠ABP ＝∠CBP ，∠BCD ＝90°.∵PE ⊥CD ，PF ⊥BC ，∴四边形PFCE 是矩形．∴EF ＝PC.在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP(SAS)．∴AP ＝CP.∴AP ＝EF.14.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 上一点，连接EB.过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F.求证：OE ＝OF.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE ＝∠AOF ＝90°，OB ＝OA.又∵AM ⊥BE ，∴∠BEO ＋∠MAE ＝∠AFO ＋∠MAE ＝90°.∴∠BEO ＝∠AFO.∴△BOE ≌△AOF(AAS)．∴OE ＝OF.15.已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ＝OF ＝OE ＝12BC ，OE ∥BC. 在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)可得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB.∴∠AEO ＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．16.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN.求证：OM ＝ON.证明：∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°，OA ＝OB.∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°.在△AOM 和△BON 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOM ＝∠BON ，OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBN ，∴△AOM ≌△BON(ASA)．∴OM ＝ON.17.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ，交CD 于点G.(1)求证：△ADG ≌△DCE ； (2)连接BF ，求证：AB ＝FB.证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝∠CDE ＋∠ADF ＝90°.∴∠DAG ＝∠CDE.∴△ADG ≌△DCE(ASA)．(2)延长DE 交AB 的延长线于点H ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ，∴△DCE ≌△HBE(ASA)．∴BH ＝DC ＝AB.∴B 是AH 的中点．又∵∠AFH ＝90°，∴在Rt △AFH 中，BF ＝12AH ＝AB. 18.如图1，▱ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E.(1)求证：△AOD ≌△EOC ；(2)如图2，连接AC ，DE ，当∠B ＝∠AEB ＝45°时，求证：四边形ACED 是正方形．图1 图2证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E.∵O 是CD 的中点，∴OC ＝OD.在△AOD 和△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E ，DO ＝CO ，∴△AOD≌△EOC(AAS)．(2)∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴四边形ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴四边形形ACED是正方形．19.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，连接BG，DE.(1)试判断BG与DE的关系； (2)当AB＝3，CE＝2时，求BE2＋DG2的值．解：(1)延长BG交DE于点H.∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形．∴DC＝BC，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°.∴Rt△BCG≌Rt△DCE(SAS)．∴BG＝DE，∠GBC＝∠EDC.∵∠BGC＋∠GBC＝90°，∠BGC＝∠DGH，∴∠DGH＋∠EDC＝90°.∴∠DHG＝90°.∴BG⊥DE.∴BG与DE的关系是BG＝DE且BG⊥DE.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝DC＝3.∴BE＝BC＋CE＝3＋2＝5.∵四边形CEFG是正方形，∴CG＝CE＝2.∴DG＝DC－CG＝3－2＝1.∴BE 2＋DG 2＝25＋1＝26.20.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任意一点，∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.证明：在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME.∵∠B ＝90°，CF 平分∠DCH ，∴∠BME ＝∠FCH ＝45°.∴∠AME ＝∠ECF ＝135°.∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∵∠AEB ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＝∠FEC.∵AB ＝BC ，BM ＝BE ，∴AM ＝EC.在△AME 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠CEF ，AM ＝EC ，∠AME ＝∠ECF ，∴△AME ≌△ECF(ASA)．∴AE ＝EF.21.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，E 是对角线AC 上一点，且EB ＝ED.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若DE ＝EC ＝26，AD ＝43，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AE ，ED ＝EB ，∴△ADE ≌△ABE(SSS)．∴∠AED ＝∠AEB ，∠DAC ＝∠BAC.在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC(SAS)．∴DC ＝BC.∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴∠ACB ＝∠BAC.∴AB ＝BC.∴AB ＝BC ＝CD ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵DE ＝EC ＝26，AD ＝43，∴DE 2＋EC 2＝AD 2＝CD 2.∴∠DEC ＝90°.∴∠DCE ＝∠EDC ＝45°.∵△ADC ≌△ABC ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°.∴∠DCB ＝90°.∵四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形．22.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若点G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.23．如图，在▱ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF.(1)求证：△AEH ≌△CGF ；(2)若∠EFG ＝90°，求证：四边形EFGH 是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C.在△AEH 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠A ＝∠C ，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF(SAS)．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D.∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，∴EB ＝DG ，HD ＝BF.∴△BEF ≌△DGH(SAS)．∴EF ＝HG.又∵△AEH ≌△CGF ，∴EH ＝GF.∴四边形EFGH 为平行四边形．∴EH ∥FG.∴∠HEG ＝∠FGE.∵EG 平分∠HEF ，∴∠HEG ＝∠FEG.∴∠FGE ＝∠FEG.∴EF ＝GF.又∵∠EFG ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．24.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上一点，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N.求证：MN 2＝BM 2＋DN 2.解：过点A 作GA ⊥AN ，使GA ＝NA ，连接GB ，GM.∵∠GAB ＋∠BAF ＝90°，∠NAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠GAB ＝∠NAD.在△GAB 和△NAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAB ＝∠NAD ，BA ＝DA ，∴△GAB ≌△NAD(SAS)．∴∠ABG ＝∠ADN ＝45°，BG ＝DN.∴∠GBM ＝90°.∵∠EAF ＝45°，∠GAN ＝90°，∴∠GAM ＝45°.在△GAM 和△NAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△GAM ≌△NAM(SAS)．∴GM ＝MN.在Rt △GBM 中，GM 2＝GB 2＋BM 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2.25.如图，四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F.(1)如图1，若点G 在线段BC 上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(2)若点G 在BC 延长线上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若点G 在CB 延长线上，直接写出AF ，BF ，EF 之间的数量关系．解：(1)AF ＝EF ＋BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF.(2)AF ＋EF ＝BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＋EF ＝AE ＝BF.(3)AF ＋BF ＝EF.。
北师大版九年级数学上1.3 第1课时 正方形及其性质 同步练习(含答案)
3 正方形的性质与判定第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2 C．8 2 D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE ，AC ，BE交于点F ，则∠BFC 的度数为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，Rt △FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N .若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A.23a 2B.14a 2C.59a 2D.49a 26.如图5，正方形ABCD 的边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，F A ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，则EF 的长为________．图57．如图6，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE ＝BF ，EF 与BC 相交于点G ，连接AE ，CF .(1)求证：AE ＝CF ；(2)若∠ABE ＝55°，求∠EGC 的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋ 6B.3＋1C.3＋ 2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA ＝BC ，AE ＝CM ，BE ＝BM ，∠ABE ＝∠CBM ，∠A ＝∠BCM .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∴F ，C ，M 三点共线，∠EBM ＝90°. ∵∠EBF ＝45°，∴∠FBM ＝45°.在△BEF 与△BMF 中，BE ＝BM ，∠EBF ＝∠MBF ，BF ＝BF ， ∴△BEF ≌△BMF ，∴EF ＝FM ＝FC ＋CM ＝FC ＋AE . (2)由(1)知EF ＝FC ＋AE ，∴△DEF 的周长＝DE ＋DF ＋EF ＝DE ＋DF ＋AE ＋CF ＝AD ＋CD ＝2AB ＝4. 12．解：(1)∠EAF 的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB ＝AH ，∠B ＝∠AHE ＝90°. 又∵AE ＝AE ，∴Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴∠BAE ＝∠HAE .同理，Rt △HAF ≌Rt △DAF ， ∴∠HAF ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝12∠BAH ＋12∠HAD ＝12(∠BAH ＋∠HAD )＝12∠BAD .又∵∠BAD ＝90°，∴∠EAF ＝45°， ∴∠EAF 的大小不发生变化．(2)△ECF 的周长不发生变化．理由如下： C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC .由(1)，得Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴EB ＝HE .同理，HF ＝DF .∴C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC ＝EB ＋DF ＋EC ＋FC ＝2BC ，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.。
北师大版初中数学九年级上册《1.3 正方形的性质与判定》同步练习卷(含答案解析
北师大新版九年级上学期《1.3 正方形的性质与判定》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理，再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形﹣﹣矩形、菱形和正方形．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．转化B．分类讨论C．数形结合D．由一般到特殊3．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°4．若正方形的周长为12，则这个正方形的对角线长为（）A．6B．C．D．5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°6．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC 的延长线于点F，连结EF．若AE=1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．47．下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线是正方形的对称轴8．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，点E，点F分别在正方形ABCD的边上，连接AE，AF，若△AEF是等边三角形，则∠BAE的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形11．下列判断错误的是（）A．有一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形C．四个内角都相等的四边形是矩形D．四条边都相等的四边形是菱形12．如图，已知矩形ABCD中，下列件能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．AC=BD B．AB⊥BC C．AD=BC D．AC⊥BD 13．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组对边相等一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线垂直且相等的四边形是正方形D．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形14．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当∠ABC=90°时，它是矩形B．当AB=BC时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC=BD时，它是正方形15．给出下列判断：①四个角相等的四边形是正方形．②对角线相等的四边形是矩形．③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共15小题）16．正方形的对角线长为4，则它的边长为．17．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为．18．如图，将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时图中阴影部分的面积为cm2；19．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB=AG，∠AGB=70°，联结DG，那么∠BGD=度．20．若正方形的对角线长为，则该正方形的边长为．21．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，那么∠AFC的度数为．22．以正方形ABCD的边CD为边作等边△CDE，则∠AEB=°．23．正方形的一条对角线和一边所成的角是度．24．若正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积为．25．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是．（写出一种情况即可）26．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）27．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，请你添加一个条件，使四边形BECF是正方形．28．如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，要使ABCD是正方形，则需增加一个条件是（不加字母和辅助线）．29．当时，矩形ABCD变为正方形．（填一条件）30．对角线垂直平分且相等的四边形是什么图形？．三．解答题（共8小题）31．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP=∠ADP．32．已知：如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．（1）求证：△BEC≌△DFC；（2）如果BC+DF=9，CF=3，求正方形ABCD的面积．33．边长为4的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的四等分点，连结EF，FG，GH，HE．（1）求EH的长；（2）求证：∠EHG=90°；（3）正方形EFGH的面积．34．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．36．如图所示，在△ABC中，在△ACB=90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．37．如图所示，点E是矩形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC 的延长线于点F，DE=DF．求证：矩形ABCD是正方形．38．如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是正方形．北师大新版九年级上学期《1.3 正方形的性质与判定》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断．【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．2．我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理，再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形﹣﹣矩形、菱形和正方形．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．转化B．分类讨论C．数形结合D．由一般到特殊【分析】依据探究过程并结合选项可作出判断．【解答】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊．故选：D．【点评】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键．3．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°【分析】依据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可．【解答】解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角．故选：A．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．4．若正方形的周长为12，则这个正方形的对角线长为（）A．6B．C．D．【分析】利用正方形的性质先得到正方形的边长，然后根据正方形的对角线的长为边长的倍求解．【解答】解：∵正方形的周长为12，∴正方形的边长为3，∴这个正方形的对角线长为3．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠CBE=∠CDE=20°，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE=20°，∴∠BFC=70°，∴∠DEF的度数是：70°﹣20°=50°．故选：D．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE≌△DCE（SAS）是解题关键．6．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC 的延长线于点F，连结EF．若AE=1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．4【分析】根据题意可得AB=2，∠ADE=∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF=1，根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB=BC=CD，∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF=90°且∠ADE+∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDF且AD=CD，∠A=∠DCF=90°∴△ADE≌△CDF∴AE=CF=1∵E是AB中点∴AB=BC=2∴BF=3在Rt△BEF中，EF==故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．7．下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线是正方形的对称轴【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理判断即可．【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，A错误；矩形的对角线相等且互相平分，B正确；菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C错误；正方形的对角线所在的直线是正方形的对称轴，D错误；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．8．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤【分析】此题需要动手操作或画图，用两块完全相同的直角三角形可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形．【解答】解：根据题意，能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形．故选D．【点评】本题主要考查了学生的拼图能力、观察能力等．9．如图，点E，点F分别在正方形ABCD的边上，连接AE，AF，若△AEF是等边三角形，则∠BAE的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】想办法证明△ABE≌△ADF即可推出∠BAE=∠DAF=15°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴Rt△ABE≌△RtADF（HL），∴∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）=15°，故选：A．【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法即可判定．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，正确，符合题意；B、对角线相等的四边形一定是矩形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，表示平行四边形，不符合题意；C、对角线互相垂直的四边形一定是菱形，错误．不符合题意；D、对角线相等的四边形一定是正方形，错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．11．下列判断错误的是（）A．有一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形C．四个内角都相等的四边形是矩形D．四条边都相等的四边形是菱形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判断错误，故本选项正确；B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，判断正确，故本选项错误；C、四个内角都相等的四边形是矩形，判断正确，故本选项错误；D、四条边都相等的四边形是菱形，判断正确，故本选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．12．如图，已知矩形ABCD中，下列件能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．AC=BD B．AB⊥BC C．AD=BC D．AC⊥BD【分析】根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形进行判断即可．【解答】解：A、当AC=BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；C、矩形ABCD的对边AD=BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定．需要掌握矩形与正方形间的区别与联系．13．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组对边相等一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线垂直且相等的四边形是正方形D．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形【分析】分别根据矩形、平行四边形和正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故不一定是矩形，故A不正确；B、一组对边相等一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，故B不正确；C、对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可能是等腰梯形，故C不正确；D、由条件一组对边平行，一组对角相等，则可求得另一组对角也相等，故可判断其为平行四边形，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查特殊四边形的判定方法，注意判断结论不正确时可利用举反例的方法来判断．14．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当∠ABC=90°时，它是矩形B．当AB=BC时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据矩形的判定方法对A、D进行判定；根据菱形的判定方法对B、C 进行判定．【解答】解：A、当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，所以A选项的结论正确；B、当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，所以B选项的结论正确；C、当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，所以C选项的结论正确；D、当AC=BD时，平行四边形ABCD为矩形，所以D选项的结论不正确．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形的判定方法．15．给出下列判断：①四个角相等的四边形是正方形．②对角线相等的四边形是矩形．③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平行四边形、菱形和矩形、正方形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：①四个角相等的四边形是正方形，不正确，故此选项符合题意；②对角线相等的四边形是矩形，不正确，故此选项符合题意；③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形，不正确，故此选项符合题意；④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，此说法是正确的，不符合要求；故选：B．【点评】本题考查了正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．二．填空题（共15小题）16．正方形的对角线长为4，则它的边长为4．【分析】根据正方形的性质可以直接得到．【解答】解：设正方形的边长为a则a2+a2=（4）2∴a=4故答案为4【点评】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．17．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为2．【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积【解答】解：正方形面积==2故答案为2【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积=对角线积的一半解决问题．18．如图，将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时图中阴影部分的面积为6cm2；【分析】将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出．【解答】解：∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′∴平移的性质可得阴影部分是矩形∵根据题意得：阴影部分的宽为4﹣2=2cm，长为4﹣1=3cm=2×3=6∴S阴影部分故答案为6【点评】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义．19．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB=AG，∠AGB=70°，联结DG，那么∠BGD=135度．【分析】根据正方形的性质可得出AB=AD、∠BAD=90°，由AB=AG、∠AGB=70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数，由∠DAG=90°﹣∠BAG可求出∠DAG的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数，再由∠BGD=∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵AB=AG，∠AGB=70°，∴∠BAG=180°﹣70°﹣70°=40°，∴∠DAG=90°﹣∠BAG=50°，∴∠AGD=（180°﹣∠DAG）=65°，∴∠BGD=∠AGB+∠AGD=135°．故答案为：135．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键．20．若正方形的对角线长为，则该正方形的边长为1．【分析】利用正方形的性质，可得AD=CD，∠D=90°，再利用勾股定理求正方形的边长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°设AD=CD=x，在Rt△ADC中，∵AD2+CD2=AC2即x2+x2=2解得：x=1，（x=﹣1舍去）所以该正方形的边长为1故答案为：1【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理．通过正方形的性质设出未知数，利用勾股定理得方程是解决本题的关键．21．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，那么∠AFC的度数为112.5°．【分析】根据正方形的性质就有∠ACD=∠ACB=45°=∠CAE+∠AEC，根据CE=AC 就可以求出∠CAE=22.5°，在△AFC中由三角形的内角和就可以得出∠AFC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=∠ACB=45°．∵∠ACB=∠CAE+∠AEC，∴∠CAE+∠AEC=45°．∵CE=AC，∴∠CAE=∠AEC，∴∠CAE=22.5°．∵∠CAE+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠AFC=112.5°．故答案为：112.5°．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用．22．以正方形ABCD的边CD为边作等边△CDE，则∠AEB=30或150°．【分析】解答本题时要考虑两种情况，E点在正方形内和外两种情况，即∠AEB 为锐角和钝角两种情况．【解答】解：当点E在正方形ABCD外侧时，∵等边△CDE，∴∠CDE=60°，∴∠ADE=150°，∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=15°，同理可知∠CEB=15°，故∠AEB=30°；当点E在正方形ABCD内侧时，∵AD=DE=EC=DC=BC，∵∠DEC=∠EDC=60°，∠ADE=∠BCE=30°，∴∠DAE=∠DEA=75°，∴∠EAB=15°，同理可得∠EBA=15°，∴∠AEB=150°．故∠AEB=30°或150°．故答案为30或150【点评】本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质，本题要分两种情况，这是解题的关键．23．正方形的一条对角线和一边所成的角是45度．【分析】正方形的对角线和其中的两边长构成等腰直角三角形，故正方形的一条对角线和一边所成的角为45度．【解答】解：∵正方形的对角线和正方形的其中两条边构成等腰直角三角形∴正方形的一条对角线和一边所成的角是45°故答案为【点评】本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质．24．若正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积为8．【分析】由正方形的对角线互相垂直可得：正方形的面积=两条对角线乘积的一半，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD=4，∴正方形ABCD的面积=AC•BD=×4×4=8；故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质和正方形面积的计算方法；熟练掌握正方形的性质，得出正方形的面积=两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．25．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是AC=BD或∠ABC=90°（答案不唯一）．（写出一种情况即可）【分析】知道四边形ABCD是菱形和菱形的对角线，要在菱形的对角线的性质的基础上加上合适的条件使菱形成为正方形，再结合正方形的对角线的性质就可以得出需要添加的条件．【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC=90°；故添加的条件为：AC=BD或∠ABC=90°．故答案为AC=BD或∠ABC=90°．【点评】本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用，正方形的性质的运用，解答时熟悉正方形的判定方法是关键．26．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是∠ABC=90°或AC=BD（只需添加一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．【解答】解：条件为∠ABC=90°或AC=BD，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°或AC=BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识点，能熟记正方形的判定是解此题的关键．27．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，请你添加一个条件AC=BC，使四边形BECF是正方形．【分析】根据有一个角等于90°的菱形是正方形即可判断．【解答】解：添加条件：AC=BC．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故答案为AC=BC．【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．28．如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，要使ABCD是正方形，则需增加一个条件是AC=BD（不加字母和辅助线）．【分析】根据菱形的判定定理得出四边形ABCD是菱形，再根据正方形的判定定理即可得出答案．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD；故答案为：AC=BD．【点评】此题考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．29．当AB=AD或AC⊥BD（答案不唯一）时，矩形ABCD变为正方形．（填一条件）【分析】根据矩形的性质及正方形的判定进行填空．【解答】解：∵有一组邻边相等的矩形为正方形；对角线互相垂直的矩形为正方形；∴满足的条件为：对角线互相垂直或有一组邻边相等．即AB=AD或AC⊥BD（答案不唯一）．故答案可以是：AB=AD或AC⊥BD（答案不唯一）．【点评】本题考查了正方形、矩形的性质．注意正方形与矩形的性质的区别与联系．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．30．对角线垂直平分且相等的四边形是什么图形？正方形．【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，一个四边形既是菱形，又是矩形，则它是正方形．【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴该四边形是平行四边形，又∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴该四边形既是菱形，又是矩形，∴该四边形是正方形．故答案为正方形．【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，方法有两种：①先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；②先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角．三．解答题（共8小题）31．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP=∠ADP．【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB=AD，∠BAP=∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP=∠ADP．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，∴在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP=∠ADP．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．32．已知：如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．（1）求证：△BEC≌△DFC；（2）如果BC+DF=9，CF=3，求正方形ABCD的面积．【分析】（1）由题意可得BC=CD，∠BCD=∠DCF，且CE=CF可证结论（2）由BC+DF=9可得CD=9﹣DF，在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF 2，可得CD=4，即可求正方形ABCD的面积．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°且CE=CF∴△BCE≌△DCF（2）∵BC+DF=9∴CD+DF=9在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF 2∴（9﹣CD）2=CD2+CF2∴CD=4=16∴S正方形ABCD【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键是通过。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册正方形的性质习题含答案
北师版九年级数学上册1.3.1正方形的性质一、选择题（共10小题，3*10=30）1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( )A．15° B．35° C．45° D．55°4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．175．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE ＋PF 的值为( )A ．4B ．2 2C ． 2D ．28．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC′D′.若∠D′AB ＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是( )A ．1B ．12C ．22D ．329．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB.EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )A ．1B ．12C ．13D ．1410．如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D.在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积( )A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变 二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，AE 的延长线交CD 于点F ，连接CE.若∠BAE ＝56°，则∠CEF ＝________．12. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有_______个13．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为_______．14．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是_______.15．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝.16．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝__________.17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为______.18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__ __．三．解答题（共6小题，46分）19．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF.20．(7分) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE 交于点G.求证：AG＝CG.21．(7分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．22．(8分) 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：△BAE≌△CDE；(2)求∠AEB的度数．23．(8分) 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．24．(10分) 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．参考答案1-5 DCCCB 6-10CCBBD11. 22° 12. 8 13. 213 14. 22.5° 15. 45° 16. 2 －1 17. 135° 18. 13 219. 解：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∵CE ＝DF ，∴BE ＝CF ，在△AEB 和△BFC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，BE ＝CF ，∴△AEB ≌△BFC(SAS)，∴AE ＝BF 20. 证明：易证△ADF ≌△CDE(SAS)，∴∠DAF ＝∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CGF(AAS)，∴AG ＝CG21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°.又∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)(2)由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝ 2 AE ＝5 222. 解：(1)∵△ADE 为等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，∴∠EAB ＝∠EDC ＝150°，在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠EAB ＝∠EDC ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS) (2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠EAB ＝150°，∴∠AEB ＝12 (180°－150°)＝15°23. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90°.在△ABF 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE(SAS) (2)由已知可得S 正方形ABCD ＝16，S △ABF ＝S △CBE ＝12×4×1＝2.所以S 四边形BEDF ＝16－2×2＝1224. 解：(1)连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，又∵BD ⊥EF ，∴▱BEDF 为菱形(2)∵正方形边长为4，∴BD ＝AC ＝42，∵AE ＝CF ＝2，∴EF ＝AC －22＝22，∴S 菱形BEDF＝12BD·EF ＝12×42×22＝8。
北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》 同步练习试题
1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．对角线相等的菱形是正方形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．9．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．10．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为度．12．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝．15．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）当∠ACB＝度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．17．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．20．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．21．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？参考答案一．选择题1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；矩形的对角线相等，故选项B正确；对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：A．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形直尺的宽度相等，∴DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，∴这个四边形一定是轴对称图形，故选：C．4．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．∵CE＝DF，∴AF＝DE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴AE＝BF，故（1）正确．∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠AED．∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFB+∠DAE＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△ADE．∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．∵HE＞OE，GE＞HE，∴GE＞OE．∴AD＞OE，故（3）错误．故选：B．二．填空题6．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．7．解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，同理可得HE＝1，在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．8．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故答案为：．10．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，∴∠CBE＝150°，∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形∴∠BEC＝15°，∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，∴∠BFE＝60°，在△CBF和△ABF中，，∴△CBF≌△ABF（SAS），∴∠BAF＝∠BCE＝15°，又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，∴∠AFD＝∠ABF+∠F AB＝15°+45°＝60°．故答案为60．11．解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵△ABE是等边三角形∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°∴AD＝AE，∠DAE＝150°∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°故答案为：45．12．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∴∠EAB＝＝75°．故答案为75°．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．14．解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，在Rt△COE和Rt△CFE中，∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），∴CO＝FC，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴CO＝AC＝，∴CF＝CO＝，∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，∴DE＝＝﹣1，另法：因为四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠CBE＝45°，∴∠BEC＝67.5°，∴BE＝BC，∵正方形ABCD的边长为1，∴BC＝1，∴BE＝1，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴DE＝﹣1，故答案为：﹣1．15．解：如图作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴BC＝OB＝2+．故答案为2+．三．解答题16．证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O∵BE＝BC，BD平分∠ABC∴EO＝CO，BD⊥CE∴EF＝FC，DE＝CD，∵CF∥DE∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE ∴△DOE≌△FOC（AAS）∴DE＝CF∴EF＝FC＝CD＝DE∴四边形EFCD是菱形（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，理由如下：∵∠ACB＝120°，BC＝AC∴∠ABC＝∠BAC＝30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC∴∠BCO＝75°∴∠ACE＝45°，∵四边形EFCD是菱形∴∠FCD＝2∠ACE＝90°∴四边形CDEF是正方形，∴∠ADE＝90°如图，过点C作CP⊥AB于点P，∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6∵∠A＝30°，∠ADE＝90°∴DE＝AE＝3﹣317．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．18．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．19．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO＝90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO＝60°，∴∠AEB＝30°∵∠AEB＝2∠EAB，∴∠EAB＝15°，∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD＝2∠BAO＝90°∴四边形ABCD是正方形．21．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。
北师大版九年级上册数学 1.3 正方形的 性质与判定 同步优秀练习 试题
1.3正方形的性质与判定1、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BDB. AB∥CD，AC＝BDC. AD∥BC，∠A＝∠CD. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC2、在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A. 12+122B. 12+62C. 12+2D. 24+623、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD•于点F，•则∠AFC的度数是（）．（A）150°（B）125°（C）135°（D）112．5°4、已知正方形的面积为4，则正方形的边长为________，对角线长为________．5、如左下图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AED＝______，∠AEB＝______．6、如右上图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，求∠AEB的度数.7、已知：如左下图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，•BF与AD交于点F，求证：AE＝BF．8、如图，正方形ABCD，AB＝a，M为AB的中点，ED＝3AE，（1）求ME的长；（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？9、如左下图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊的四边形，你是如何判断的？10、如右上图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE ＝FG ．11、以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF.（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由。
（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角。
北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》 同步练习
1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形5．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°7．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连接AE交CD于点F，则∠AFC的度数是（）A．150°B．125°C．135°D．112.5°8．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6二．解答题10．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．11．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．13．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别为AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM（1）求证：EF＝FM；（2）当AE＝2时，求△DEF的面积．三．填空题（共3小题）14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．15．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝3，点C，D在第一象限．则O、D两点的距离＝．参考答案一．选择题1．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选：C．2．解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．3．解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B．4．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；故选：D．5．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形直尺的宽度相等，∴DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，∴这个四边形一定是轴对称图形，故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是正方形，CE＝CA ∴∠ACE＝45°+90°＝135°∠E＝22.5°∴∠AFC＝90°+22.5°＝112.5°．故选D．8．解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x易证△ABC∽△FEC∴＝＝＝解得x＝∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝故选：A．9．解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，∵BE：EC＝2：1，BC＝9，∴CE＝BC＝3，∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，即（9﹣x）2＝32+x2，解得：x＝4，即CH＝4．故选：B．二．解答题10．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．12．证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形．13．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）设FC＝x，则BF＝6﹣x，EF＝x+2．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2．∴42+（6﹣x）2＝（x+2）2 ，解这个方程得：x＝3，∴FM＝5，∴△DEF的面积＝△DFM的面积＝FM•CD＝5×6÷2＝15．三．填空题（共3小题）14．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．15．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．16．解：如图，过点D作DF⊥OA于点F，∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠DAB＝90°∴∠DAF+∠BAO＝90°，且∠BAO+∠ABO＝90°∴∠DAF＝∠ABO，且AD＝AB，∠DF A＝∠AOB＝90°∴△DF A≌△AOB（AAS）∴DF＝AO＝4，OB＝AF＝3∴OF＝OA+AF＝7∴OD＝＝故答案为：。
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1.3正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质
一、填空题
1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°.
2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E
，使CE=CB
，则∠
AEC ＝
°.
3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E=
22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个.
4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.
5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.
6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，
与△AED重合，则θ值为°
第6题图第7题图第8题图第9题图
7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC
上的点F处，则F、C两点的距离为___________.
8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点
P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 .
9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应
点为A'，且C
B'=3，则CN= ；AM的长是 .
10、正方形的面积是
3
1，则其对角线长是________.
11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
第1题图第2题图第3题图第4题
12、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n
个这样的正方形重叠部分的面积和为 .
13、边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”
（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是 .
14、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形
AB ′C ′D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长是 .
15、如右图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．
将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．
下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．
其中正确的结论是 .（填序号）
16、如右图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形
外作等边△ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则= 。
二、解答题
17、如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AD 、AB 、BC 上的点，且AE=FB=GC.
试判断△EFG 的形状，并说明理由.
18、E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数.
O 2O 1
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
19、如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD.。