非周期信号与频谱-傅立叶变换
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2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
非周期信号的频谱分析第三节连续时间Fourier变换的课件.ppt
F( j)
πF (0)
()
若信号不存在直流分量即F(0)=0
则t
f
( )d
F
1
j
F( j)
18
例3 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
y(t)=p(t0.5) 1
t
0
1
t
0
1
解： f (t) = t p(t 0.5)dt = t y(t)dt
由于 p(t 0.5) F Y ( j) = Sa (0.5)e j0.5
F F1 ( j)
1 Sa (0.5)e j0.5 j
利用修正的微分特性，可得
F( j) = π( f () f ()) () F1 ( j) j
= 3π () 1 Sa (0.5)ej0.5 j
与例4结果 一致！ 24
23
10. 频域微分积分特性
若f (t) F( j)
则( jt)n f (t) F (n) ( j)
由上式利用时域微分特性，得
2
F[ f '(t)] = (j)F(j) = A 2jsin( )
2
因此有
F( j) = 2A sin( ) = ASa( )
2
2
21
20
例6 试利用微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 2 1
f '(t) 1
t
0
1
t
0
1
解： f '(t) = p(t 0.5) F Sa(0.5)e j0.5
f1(t) d n f (t
f )
2 (t) F F ( j)
1
2π n
[F1( j) F( j)
第七3章 非周期信号的傅里叶变换
则
G( ) g (t )e jt dt 2 Ee jt dt
2
13
7-5典型信号的傅立叶变换
E sin 2 E Sa ( ) 2 2
表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 n ( n 1, 2, ) Sa ( )0 。 当 时， 2 2 2 n 1 G ( ) 取 ， 的第一个零点的频率为 c ， 定义 0 ~ c （或者 0 ~ fc ）之间的频率范围称为信号宽度。
这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件， 因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函 数 ( ) 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。
12
7-5典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g (t )
g(t)
E
2
0
2
t
单个门函数
其幅度为E，宽度为
， F[ g (t )] G( )，
• 原来的离散量 n1 演变成连续量 。
• 离散求和 运算 变成连续积分
运算
，即
（ 1）
（2 ）
F ( )
1 f (t ) 2
f (t )e jt dt
F ( )e jt d
式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周 期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
2 ，用指数形式傅立 T 为周期，脉宽为 ，基频为 1 T 叶级数展开可得
1 T Fn 2T fT (t )e jn1t dt T 2
1 2 E jn1t Ee dt T 2 T
3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换
−1
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
非周期信号的频谱
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
非周期信号的傅里叶变换
0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t
k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]
j0t
2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2
k
c ( k
k
0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
x(t ) dt
1 2
X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0
1 x( t ) 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t
k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]
j0t
2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2
k
c ( k
k
0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
x(t ) dt
1 2
X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0
1 x( t ) 2
非周期信号的频谱——傅里叶变换
(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)
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( ) ~
幅度谱和相位谱都是频率 ω 的连续函数，在形状上与相应的周期信号 频谱包络线相同。 非周期信号的频谱有两个特点：密度谱、连续谱 。
信号与系统
傅立叶变换
由信号的频谱 因为
F ( ) 重建非周期信号 f (t ) 的表示式
F ( jn 0 ) jn 0t F ( jn 0 ) f T (t ) e 0 e jn 0t T 2 n n
2
t
0
1
0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
B 10a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比。
A
f ( t ) e at u ( t )
F ( )
( )
2
1/ a
0
2
0
a
t
10a
0
b
10a
c
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（3）双边指数信号
傅立变换为
f (t ) e
a t
,a0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
1 2 ( ) ，即直流信号的频谱是原 点的冲激函数是很直观的，因为直流信号只包含 0 的频率成分，而
从频谱的角度理解傅立叶变换对
不含其它频率成分，同时，因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱，
所以直流信号在
0
f t
处的谱密度是无穷大。
F
信号与系统
3.3 非周期信号的频谱－ 傅立叶变换
信号与系统
一、从傅立叶级数到傅立叶变换
对周期信号 f T (t ) ，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的 间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号，即当 T 时，有
f T t
A
T
lim f T (t ) f (t )
上式称为非周期信号的能量公式或帕什瓦尔公式，该式说明在 时域中求得的信号能量和在频域中求得的信号能量相等。
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（1）矩形脉冲信号
A f (t ) 0
t t
2 2
2
或
G (t ) A t t 2 2
f (t )
1
F ( )
( )
2
0
1
t
a
0
0
2
b
c
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（5）单位冲激信号
(t )
F ( )
根据定义，单位冲激信号的频谱为
上述结果也可由矩形脉冲取极限得到。若 τ→0 ，且 Aτ＝1 ，这 时矩形脉冲就变成 (t了，其对应频谱必为常数 1。 ) 单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均为1。
3. 同时，三角函数振幅 F ( j ) d 0 ，故用频谱不能直接画出，必须用 它的密度函数作出。 4. 最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。 即
f (t ) dt 绝对可积，但是是充分条件，而非必要条件。
信号与系统
二、非周期信号的能量谱
一般来说，非周期信号的能量是有限的，而平均功率等于零，所以 它只有能量频谱而无功率频谱，对非周期信号，有
0
F ( )
0
f (t )e-jt dt
e
a t
e-jt dt
at -jt at -jt e e d t e e dt 0
( a -j ) t ( a j ) t e d t e dt 0
1 1 2a = 2 a j a j a 2
在ω处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅立叶变换的物理含义。对 信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分析具有同样含义，所谓求信号 的频谱和求信号的傅立叶变换是一回事。
信号与系统
傅立叶变换
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F ( ) F ( ) e j ( )
F ( ) ~
曲线称为非周期信号的幅度频谱 曲线称为非周期信号的相位频谱
T
0
T
f T t
A
T
A
0
T
f t
T
当 T 增加时，基波频率变小、离 t 散谱线变密，频谱幅度变小，但 频谱的形状保持不变。 在极限情况下，周期T为无穷大， 其谱线间隔与幅度将会趋于无穷 小。这样，原来由许多谱线组成 t 的周期信号的离散频谱就会联成 一片，形成非周期信号的连续频 谱。
T→∞ 时，有
F ( jn0 ) f (t ) lim fT (t ) lim 0 e jn0t T T 2 n
1 1 jn0t lim F ( ) e 2 T n 2
F ( ) e j t d
这就是傅立叶反变换的公式。
信号与系统
傅立叶变换
一般用符号
F 表示取傅立叶变换 ，这样有
F ( ) F f t
f (t ) e jt dt
j t F ( ) e d
傅立叶正变换
1 -1 f (t ) F F ( ) 2
傅立叶反变换
f1 (t ) e
F1 ( )
因为
所以
a t
Sgn(t ) eat u(t ) e at u(t ), a 0
at -jt at -jt (-e )e d t e e dt = 0 0
f 1 (t )e -jt dt
2 j a2 2
ASa( ASa(
2 2
)0 )0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
由矩形脉冲信号波形和频谱图可知矩形脉冲的频谱是抽样函数，其大部 分能量集中在低频段。一般认为抽样脉冲形状的频谱的有效带宽是原点 到第一个零点的宽度，即矩形脉冲信号的有效带宽是
B
2
或 Bf
1
即矩形脉冲的脉宽和有效带宽是成反比的。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
F ( ) A
根据极限关系
sin(
2
)
2
( ) lim
k
sin k
sin(
2
所以有 即
lim F ( ) lim A
)
1 2 ( )
2
2A lim
2
sin(
2
)
2A ( )
G t
F ( )
A
A
2
0
2
t
4
2
a
0
2
4 6
b
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（2）单边指数信号
f (t ) e at (t ), a 0
傅立叶变换为
F ( )
f (t )e-jt dt
at -jt e u ( t )e dt -(a+j ) t
相位谱
幅度谱
F ( )
2a a2 2
( ) 0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
沿用单边指数信号频谱带宽的定义，即幅度谱下降到 0.1 倍最大值时 的宽度为信号的有效带宽，则双边指数信号的有效带宽是
B 3 a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比的。
f t
1
2 a
1 j 2
F ( j ) sin t ( ) d
奇函数积分为零
1 F ( j ) cos t ( ) d 2 1 F ( j ) cos t ( ) d
0
信号与系统
T T
T
fT (t )e jn0t dt
或者是
2Fn Fn F ( ) lim TFn lim lim T 0 f 0 f
T 2
f (t )e j t dt
信号与系统
傅立叶变换
2Fn Fn F ( ) lim TFn lim lim T 0 f 0 f 可以看出，F ( ) 实际上表示了频率为 n 0分量的复振幅 Fn 与频率增 量 ∆f 的比值，因此可以理解为是一种密度频谱。即 F ( )表达了信号
上两式称为傅立叶变换对，其中第一式称为傅立叶正变换，简 称傅氏变换。而第二式称为傅立叶反变换，简称傅氏反变换。 并采用下列记号：
f (t ) F ( )
信号与系统
傅立叶变换
1 f (t ) 2 1 f (t ) 2 1 2
F ( j )e jt d 的三角函数形式 F ( j ) e j[(t ( )]d F ( j ) cos t ( ) d
sin(
F ( )
2
2
Ae-jt Ae dt j
-jt
2
A j 2 -j 2 (e -e ) A j
2
)
2
A Sa(