9非周期信号的频谱分析第一节连续非周期信号的频谱、第二节常见连续信号的频谱分析
F来自1] lim F[1 e| t| ]
0
lim[ 2 ] 0 2 2
2πd ()
lim [
0
2 2
2
]
0
0 0
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
求面积
16
一、常见非周期信号的频谱
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t 的周期矩形脉冲的Fourier系数为
Cn
tA Sa( n0t
T
2
)
lim Cn T f 0
lim
T
TC
n
F(j)
3
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
Cn
1 T
T
2T
fT (t)e jn0t dt
2
lim
T
C
n
sgn(t)
1 t 0
F[sgn(t)e t ] 0 (1)et ejt dt 0 et ejt dt
e( j)t
j
0 t
e ( j)t
j
t 0
1
j
1
j
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
17
一、常见非周期信号的频谱
广义傅里叶变换：可构造一函数序列 fa (t) 逼近 f (t)
即
f
(t)
lim
a0
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt 1 1
0
a j a j
a
2a 2
2
幅度频谱为
F( j) 2a a2 2
相位频谱为
() 0
14
一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d
f
(t)
lim
T
fT
(t)
lim
T
n
=-
Cn
e jn0t
lim
F ( j)0 e jn0t
T n=-
2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,
f
(t)
1 2π
F( j)e
jt d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，
F( j) f (t)ejt dt 0 eat ejt dt
e (a j)t
1
(a j) 0 a j
幅度频谱为
F ( j) 1 a2 2
相位频谱为
() arctan( ) a
12
一、常见非周期信号的频谱
周期信号：f (t) 傅里叶级数Cn 离散谱
非周期信号：f (t) 傅里叶变换F( j) 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f (t)非 周周 期期统一的分析方法：傅里叶变换
22
二、常见周期信号的频谱密度
1. 虚指数信号 e j0t ( t )
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
T 0 T
t
0 0 0
28
例 周期信号如图，求其傅里叶变换
解：周期信号f(t)也可看作一时
f (t)
限非周期信号f0(t)的周期拓展。 即
f (t) dT (t) * f0 (t)
4
F ( j) 0 d ( n0 )F0 ( j) n
(t)]
f
(t )e jt
dt
d
(t )e jt
dt
1
取样性
d (t)
F ( j)
(1)
1
t 0
0
单位冲激信号及其频谱
15
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
方法求出其傅里叶变换。 0
1 (e j0t 2j
e j0t
) F jπ[d
(
0 )
d
(
0 )]
sin 0t 1
F ( j )
( )
(π)
t
0 0
π/2
(π)
0
0 0
0
π/2
正弦信号及其频谱函数 25
二、常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
fT (t)
a ,0
fa
(t)
而 fa (t) 满足绝对可积。并且 fa (t) 的傅里叶
变换所形成的序列 Fa ( j) 是极限收敛的，则可定义 f (t)
的傅里叶变换 F( j) 为
F
(
j)
lim
a ,0
Fa
(
j
)
18
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
1 t 0
A，
| t | t / 2
A
f
(t)
0，
| t | t / 2
由傅里叶正变换定义式，可得
t
t
t
2
2
F ( j)
t
F ( j)
f (t)e jt dt
2t
A e jt dt
tA
2
At Sa(t )
2
2π
2π
t
t
9
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
a
2
2
j
2
F[sgn(t)] lim 0
F[sgn(t)e t ]
lim
0
a
2
2
j
2
2
j
19
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
1 t 0
sgn(t)
1 t 0
F( j)
( )
π/2
0
0
2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得
3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。
5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。
即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用
的频带越宽。
2 T
f0 t e jtdt
2
Cn
1 T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
一个周期内 f0 (t) fT (t)
比较以上两式得Cn
1 T
F0
j |n0
30
lim 1 T T
T
2T
fT
(t)e jn0t dt
lim
T
1 T
f (t)e jt dt
2
傅里叶变换：
F( j)
lim
T
TCn
f
(t)e jt dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，
称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
23
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
cos0t
1 (e j0t 2
ej0t ) F π[d (
0 ) d (
0 )]
cos 0t
1
F( j)
(π)
(π)
t 0
0
0
余弦信号及其频谱函数
24
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
)
2π
n
1d
T
(
n0
)
0 d ( n0 )
n
27
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t nT ) n
F[d T
(t)]
2π
n
1d
T
(
n0
)
0
d (
n
n0 )
dT (t)
非周期信号的频域分析
连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析
1
连续非周期信号的频谱
从傅里叶级数到傅里叶变换 周期和非周期信号频谱函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
2
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
20
一、常见非周期信号的频谱
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 1 sgn(t) 22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
0
lim[ 2 ] 0 2 2
2πd ()
lim [
0
2 2
2
]
0
0 0
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
求面积
16
一、常见非周期信号的频谱
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t 的周期矩形脉冲的Fourier系数为
Cn
tA Sa( n0t
T
2
)
lim Cn T f 0
lim
T
TC
n
F(j)
3
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
Cn
1 T
T
2T
fT (t)e jn0t dt
2
lim
T
C
n
sgn(t)
1 t 0
F[sgn(t)e t ] 0 (1)et ejt dt 0 et ejt dt
e( j)t
j
0 t
e ( j)t
j
t 0
1
j
1
j
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
17
一、常见非周期信号的频谱
广义傅里叶变换：可构造一函数序列 fa (t) 逼近 f (t)
即
f
(t)
lim
a0
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt 1 1
0
a j a j
a
2a 2
2
幅度频谱为
F( j) 2a a2 2
相位频谱为
() 0
14
一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d
f
(t)
lim
T
fT
(t)
lim
T
n
=-
Cn
e jn0t
lim
F ( j)0 e jn0t
T n=-
2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,
f
(t)
1 2π
F( j)e
jt d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，
F( j) f (t)ejt dt 0 eat ejt dt
e (a j)t
1
(a j) 0 a j
幅度频谱为
F ( j) 1 a2 2
相位频谱为
() arctan( ) a
12
一、常见非周期信号的频谱
周期信号：f (t) 傅里叶级数Cn 离散谱
非周期信号：f (t) 傅里叶变换F( j) 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f (t)非 周周 期期统一的分析方法：傅里叶变换
22
二、常见周期信号的频谱密度
1. 虚指数信号 e j0t ( t )
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
T 0 T
t
0 0 0
28
例 周期信号如图，求其傅里叶变换
解：周期信号f(t)也可看作一时
f (t)
限非周期信号f0(t)的周期拓展。 即
f (t) dT (t) * f0 (t)
4
F ( j) 0 d ( n0 )F0 ( j) n
(t)]
f
(t )e jt
dt
d
(t )e jt
dt
1
取样性
d (t)
F ( j)
(1)
1
t 0
0
单位冲激信号及其频谱
15
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
方法求出其傅里叶变换。 0
1 (e j0t 2j
e j0t
) F jπ[d
(
0 )
d
(
0 )]
sin 0t 1
F ( j )
( )
(π)
t
0 0
π/2
(π)
0
0 0
0
π/2
正弦信号及其频谱函数 25
二、常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
fT (t)
a ,0
fa
(t)
而 fa (t) 满足绝对可积。并且 fa (t) 的傅里叶
变换所形成的序列 Fa ( j) 是极限收敛的，则可定义 f (t)
的傅里叶变换 F( j) 为
F
(
j)
lim
a ,0
Fa
(
j
)
18
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
1 t 0
A，
| t | t / 2
A
f
(t)
0，
| t | t / 2
由傅里叶正变换定义式，可得
t
t
t
2
2
F ( j)
t
F ( j)
f (t)e jt dt
2t
A e jt dt
tA
2
At Sa(t )
2
2π
2π
t
t
9
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
a
2
2
j
2
F[sgn(t)] lim 0
F[sgn(t)e t ]
lim
0
a
2
2
j
2
2
j
19
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
1 t 0
sgn(t)
1 t 0
F( j)
( )
π/2
0
0
2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得
3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。
5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。
即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用
的频带越宽。
2 T
f0 t e jtdt
2
Cn
1 T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
一个周期内 f0 (t) fT (t)
比较以上两式得Cn
1 T
F0
j |n0
30
lim 1 T T
T
2T
fT
(t)e jn0t dt
lim
T
1 T
f (t)e jt dt
2
傅里叶变换：
F( j)
lim
T
TCn
f
(t)e jt dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，
称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
23
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
cos0t
1 (e j0t 2
ej0t ) F π[d (
0 ) d (
0 )]
cos 0t
1
F( j)
(π)
(π)
t 0
0
0
余弦信号及其频谱函数
24
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
)
2π
n
1d
T
(
n0
)
0 d ( n0 )
n
27
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t nT ) n
F[d T
(t)]
2π
n
1d
T
(
n0
)
0
d (
n
n0 )
dT (t)
非周期信号的频域分析
连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析
1
连续非周期信号的频谱
从傅里叶级数到傅里叶变换 周期和非周期信号频谱函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
2
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
20
一、常见非周期信号的频谱
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 1 sgn(t) 22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
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常见连续时间信号的频谱PPT(46张)
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 {u(t) u(-t)} 1 {u(t) - u(-t)} 1 1 sgn(t)
2
2
22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
t 0
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 -π/2
2022/3/22
阶跃信号及其频谱
10
二、常见周期信号的频谱密度
2
]
0
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
2022/3/22
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2022/3/22
傅里叶级数：
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
-
n0
)
2022/3/22
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
02-连续非周期信号的频谱分析(课件)
X a ( j)
X (e j )
X N (e j )
DFT X N (k) X N (e j ) 2k / N
利用DFT计算连续信号的频谱
（1）混迭 对连续信号xa(t)进行数字处理前，要进行采
样
xa (nT ) x(t) (t nT ) n
采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓 ，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理 ，fs<2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱 对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一 步的数字处理失去依据。
就是一个冲击函数。
我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，
加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的
卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直
延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲激函数的卷积才
是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。
7dft形式下的parseval定理32dft利用dft计算连续信号的频谱采样321连续非周期信号的频谱分析采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓周期为fs如采样率过低不满足采样定理fs2f则导致频谱混迭使一个周期内的谱对原信号谱产生失真无法恢复原信号进一步的数字处理失去依据
变量
、f
k
周期
2
s、f s N
分辨率
2
N
fs N
w
k N
是z平面单位圆上幅角为
上的单位圆N等分后的第k点。
2
N
k
的点，即将z平面
结论：
1）X(k)也就是z变换序列傅氏变换X(ejω)的采样，采样 间隔为： ωN=2π/N。 即
X (k) X e jkN
采样定律告诉我们，一个频带有限的信号， 可以对它进行时域采样而不丢失任何信息；
信号分析基础非周期信号频域分析
浙江工业大学
矩形脉冲函数的表达式：
x(t)
?
??1, t
? ??
0
,
t
?? ??
x(t)
1
t ?? 0 ?
矩形脉冲信号可视为一个周期 T趋近于无穷大的
方波信号 .
由于： T ? ? ，? w ? dw ， ? ? ? 所以：
非周期信号的频谱
浙江工业大学
?
? x(t) ?
Cne jn? 0t ,(n ? 0,? 1,? 2,...)
?T0 / 2
当T0→∞时， ①积分区间由[- T0/2,T0/2]变为(-∞,∞)；
② ω0=2π/T0 →0， →离散频率nω0→连续变量ω。
? lim
T0 ? ?
Cn
?T0
?
? x(t)e? j? t dt
??
浙江工业大学
? 非周期信号： ? 周期T0 →∞的周期信号 ? 周期信号 x(t)，周期为 T0，则其频谱是离散谱，而相邻谐波之间的
非周期信号的频谱
浙江工业大学
与周期信号相似，非周期信号也可以分解为 许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于 非周期信号的周期 T?∞，基频 f?df，它包含了
从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅 值为 X(f)df ，这是无穷小量，所以频谱不能再用 幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。
另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱
? ? 3? 0 ? 2? 0 ? ? 0 0
? 0 2? 0 3? 0 ? ?
非周期信号的频谱
浙江工业大学
? lim
T0 ? ?
Cn
?T0
?
? x(t)e? j? t dt
非周期信号及其频谱
但若各正（余）弦信号的频率比不是有理数，例如 x(t)= sinω0t+sin2πω0t，各正（余）弦信号间找不到公共的周期，它们在合成 后不可能经过某一周期重复，所以合成后不可能是一个周期信号。但 是这样的一种信号在频域表达上却是离散频谱，这种信号称为准周期 信号。在工程技术领域内，不同的相互独立振源对某对象的激振而形 成的振动往往是属于这一类的信号。
1.2 傅里叶变换与非周期信号的频谱
在式
x(t)
x(t
)e
j2ft
dt
e
j2ft
df
括号里的积分中，t是积分变
量，因此积分的结果是一个以频率f为自变量的函数，记作
X ( f ) x(t)e j2ftdt
此式称为函数 x(t) 的傅里叶变换（FT）。傅里叶变换是把时域函数
x(t) 变换为频域函数 X(f)的桥梁，其功能与式
单乘积。
（3） δ 函数的频谱
将 δ 函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数，即
( f )
(t)e j2ftdt e0
(t)dt 1
可根见据，傅时里域叶的变脉换冲的信对号称具性有、无时限移宽性广和的频频移谱性，等而，且可各得频到率下上列的傅信里叶
号变强换度对都: 相等。在信号的检测中，一般爆发电火花的地方（如雷电、火
(t )
0
t0 t0
(t)dt
0 s (t)dt 1
s (t)
O t
(a)
(t)
(1)
Ot
(b)
在工程上，常将 δ 函数用一个高度等于1的有向线段来表示，如下 图所示，这个线段的高度表示 δ 函数的积分，亦称 δ 函数的强度（并非 幅度值）。用这种方法表示的 δ 函数称为单位脉冲函数。
常见连续时间信号的频谱
19
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2020/2/29
20
3
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0
余弦信号及其频谱函数
2020/2/29
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e-j0t ) F - jπ[d (
- 0 ) - d (
0 )]
sin 0t 1
2020/2/29
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
n-
-
n0 )
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
2020/2/29 - T 0 T
t
-0 0 0
16
4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
9非周期信号的频谱分析第一节连续非周期信号的频谱、第二节常见连续信号的频谱分析
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t 的周期矩形脉冲的Fourier系数为
Cn
tA Sa( n0t
T
2
)
lim Cn T f 0
lim
T
TC
n
F(j)
3
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
Cn
1 T
T
2T
fT (t)e jn0t dt
2
lim
T
C
n
(பைடு நூலகம்)]
f
(t )e jt
dt
d
(t )e jt
dt
1
取样性
d (t)
F ( j)
(1)
1
t 0
0
单位冲激信号及其频谱
15
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
方法求出其傅里叶变换。 0
sgn(t)
1 t 0
F[sgn(t)e t ] 0 (1)et ejt dt 0 et ejt dt
e( j)t
j
0 t
e ( j)t
j
t 0
1
j
1
j
1. 单边指数信号
F ( j) 1 a2 2
f (t) e at u(t)，a 0，
() arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)
非周期信号的频谱ppt课件
0
(a) 振幅频谱
0
- / 2
(b) 相位频谱
图 3.4-3 单边指数函数 e t t 0 15
例 3.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。
f1 (t)
1
et
e-t
0
t
解：上图所示的信号可表示为：
f(t)et , 0 1
et, t 0
或者写为 f1(t)et ,
t 0
16
将 f (t) 代入到式 1
f 1
(t
)
的频谱函数为：
F1(
j)222
当 趋近于零时
2 0 , 0 l i0 m 22 , 0
lim d lim d 2
0 2 2
2 0 1 2
lim 2a 0
rc t) an2(
所以
即
l i0m 22 2 2()
ℱ
[1]2() 25
f1 (t)
4 3 2 1
e-t
0
t
-et
-1
解: 上图所示的信号可写为 ：
et, f2(t)et,
t0
（其中 0)
t0
19
F(j 2
) f(t)ejtdt
0 ete d jt t e e dt t jt
0
1 1
j j
2
j
2 2
f2 (t)
1
e-t
0
t
-et
-1
20
f2 (t)
1
e-t
其频谱图如下图所示：
ℱ
[
1 2
]
ℱ
[
1 2
s gn(t )]
ℱ[(t) ]( )j1 ( ) j( 1 ) 30
信号分析3.02 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换
R ( )是的偶函数, X ( )是奇函数 R( ) ( ) arctan X( )
如果f(t)是实函数
F ( jw)
f (t )e jwt dt F ( jw)
F ( jw) F ( jw) F ( jw) 是w偶函数
F j F () ~ : 幅度频谱
提问:所有信号都可以由时域变换到频域分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
注意：
f t d t （有限值或收敛） 即f t 绝对可积
绝对可积 F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件） 2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必 1 (t ) (t ) 要条件）
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出
•傅里叶变换的物理意义
•傅里叶变换的存在条件
•常用非周期信号的频谱 •非周期信号的频谱的特点
一．傅里叶变换的提出
周期信号向非周期信号过渡 fT t f (t ) T1 时域过渡
2π T1 频域过渡: 谱线间隔 `1 d T1
3）所有能量信号均满足此条件。
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数）
单边指数信号
直流信号
单位阶跃信号 单位冲激信号
1．矩形脉冲信号－门函数
f (t ) Eg (t )
E
F ( j ) f (t )e j t d t Ee j t d t
E e .
简写
记做：
f t F j
F f (t ) F ( j )
F
1
F ( j )
如果f(t)是实函数
F ( jw)
f (t )e jwt dt F ( jw)
F ( jw) F ( jw) F ( jw) 是w偶函数
F j F () ~ : 幅度频谱
提问:所有信号都可以由时域变换到频域分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
注意：
f t d t （有限值或收敛） 即f t 绝对可积
绝对可积 F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件） 2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必 1 (t ) (t ) 要条件）
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出
•傅里叶变换的物理意义
•傅里叶变换的存在条件
•常用非周期信号的频谱 •非周期信号的频谱的特点
一．傅里叶变换的提出
周期信号向非周期信号过渡 fT t f (t ) T1 时域过渡
2π T1 频域过渡: 谱线间隔 `1 d T1
3）所有能量信号均满足此条件。
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数）
单边指数信号
直流信号
单位阶跃信号 单位冲激信号
1．矩形脉冲信号－门函数
f (t ) Eg (t )
E
F ( j ) f (t )e j t d t Ee j t d t
E e .
简写
记做：
f t F j
F f (t ) F ( j )
F
1
F ( j )
非周期信号的频谱
F(j)称为 f(t) 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱；
f(t) 称为F(j) 的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为： F ( j )
f (t)
f (t)
1 F ( j)
或者： f (t ) F ( j )
频谱密度函数
F ( j ) 一般为复函数，可写为
F ( j) F ( j) ej () F ( ) e j ()
0,
2
A e j tdt
2
A e j t 2
j
2A sin 2
A Sa( )
2
2
t
2
t
2
8.矩形脉冲信号的频谱
f (t ) A
2π
F( j)
A
t 2 0 2
0 2π 4π
Ag (t)
A
Sa( )
2
傅里叶变换对 F ( j ) f ( t ) e j t d t
T
Fn
2Fn 1
Fn f1
T
2 T
f ( t ) e j n 1t d t
2
其中， Fn 或 Fn 表示单位频带上的频谱值，即频谱密度。
1
f1
对上式取极限 T ，各变量将相应改为 T
虽然 记作
Fn 0
F ( j)
，但
T
F
n 趋于一有限函数
1
2
T
d
n 1 n
F ( j )
et t 0
f (t) e t t 0
为 0的实数
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt j
2
0
2 a2
F (j) 2 2 a2