非周期信号频谱分析---三
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实验四非周期信号频域分析
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
03第1章_瞬变非周期信号与连续频谱
其中： j ( f ) X( f ) X( f )e
X ( f ) Re2 [ X ( f )] Im2 [ X ( f )] 幅值谱 ( amplitude spectrum )
Im[ X ( f )] ( f ) arctg 相位谱 Re[ X ( f )] ( phase spectrum )
T
T
n
x(t )
2 2 2 0
n 0 (n 1) 0 0
Cn
t
T
2 d 0 T
非周期信号的频谱分析
2, Fourier 变换
Fourier 变换的推导 ( 1 ) 由以上思路推导公式
x(t ) lim xT (t )
( x(t )e j 2ft dt)e j 2ft df
令为 X( f )
非周期信号的频谱分析
非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般 为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为 有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换 （Fourier transform）。 傅立叶变换的定义
非周期信号的频谱分析
对比:方波谱
非周期信号的频谱分析
例：矩形脉冲信号(rectangular pulse signal) G(t ) （窗函数(window function)）
E, t T / 2 G(t ) 0, t T / 2
矩形脉冲信号的 Fourier 变换为
a
m 1
k
m m
x (t ) am X m ( f )
m 1
k
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
信号分析基础非周期信号频域分析
浙江工业大学
矩形脉冲函数的表达式：
x(t)
?
??1, t
? ??
0
,
t
?? ??
x(t)
1
t ?? 0 ?
矩形脉冲信号可视为一个周期 T趋近于无穷大的
方波信号 .
由于： T ? ? ，? w ? dw ， ? ? ? 所以：
非周期信号的频谱
浙江工业大学
?
? x(t) ?
Cne jn? 0t ,(n ? 0,? 1,? 2,...)
?T0 / 2
当T0→∞时， ①积分区间由[- T0/2,T0/2]变为(-∞,∞)；
② ω0=2π/T0 →0， →离散频率nω0→连续变量ω。
? lim
T0 ? ?
Cn
?T0
?
? x(t)e? j? t dt
??
浙江工业大学
? 非周期信号： ? 周期T0 →∞的周期信号 ? 周期信号 x(t)，周期为 T0，则其频谱是离散谱，而相邻谐波之间的
非周期信号的频谱
浙江工业大学
与周期信号相似，非周期信号也可以分解为 许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于 非周期信号的周期 T?∞，基频 f?df，它包含了
从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅 值为 X(f)df ，这是无穷小量，所以频谱不能再用 幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。
另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱
? ? 3? 0 ? 2? 0 ? ? 0 0
? 0 2? 0 3? 0 ? ?
非周期信号的频谱
浙江工业大学
? lim
T0 ? ?
Cn
?T0
?
? x(t)e? j? t dt
非周期信号的频谱分析第三节连续时间Fourier变换的课件.ppt
F( j)
πF (0)
()
若信号不存在直流分量即F(0)=0
则t
f
( )d
F
1
j
F( j)
18
例3 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
y(t)=p(t0.5) 1
t
0
1
t
0
1
解： f (t) = t p(t 0.5)dt = t y(t)dt
由于 p(t 0.5) F Y ( j) = Sa (0.5)e j0.5
F F1 ( j)
1 Sa (0.5)e j0.5 j
利用修正的微分特性，可得
F( j) = π( f () f ()) () F1 ( j) j
= 3π () 1 Sa (0.5)ej0.5 j
与例4结果 一致！ 24
23
10. 频域微分积分特性
若f (t) F( j)
则( jt)n f (t) F (n) ( j)
由上式利用时域微分特性，得
2
F[ f '(t)] = (j)F(j) = A 2jsin( )
2
因此有
F( j) = 2A sin( ) = ASa( )
2
2
21
20
例6 试利用微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 2 1
f '(t) 1
t
0
1
t
0
1
解： f '(t) = p(t 0.5) F Sa(0.5)e j0.5
f1(t) d n f (t
f )
2 (t) F F ( j)
1
2π n
[F1( j) F( j)
§305 典型非周期信号的频谱
lim E
e j e j
j
E
lim
2
sin
2E
lim
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin
2E
F
2E
O
E 2E
时域无限宽，频带无限窄
lim
Sa
( )
X
四．符号函数
不满足绝对
e te j t dt
0
1
j
1
j
2
j2 2
F
lim
0
F1
lim
0
2
j2
2
2
j
X
频谱图
sgnt
2
j 2
2
j
e2
j
F
2
2
2
F 是偶函数
信号与系统
§3.5 典型非周期信号的频谱
X
主要内容
本节将讨论如下信号的频谱密度函数 矩形脉冲 单边指数信号 直流信号 符号函数
重点 矩形脉冲的频谱密度函数 难点 不满足绝对可积条件信号的频谱
X
一．矩形脉冲信号
f t
E 2 0 2
F
2 2
Ee
j
t
dt
E
f
(t
)
第三节瞬变非周期信号与连续频谱
δ（t）。 δ函数也称为单位脉冲函数。
从函数值极限的角度看：
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积（通常也称其为δ函数的强度）的角度看：
(t )dt lim S (t )dt 1
0
（2）δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱
将δ（t）进行傅立叶变换：
( ) (t )e
jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数， 根据欧拉公式可知：
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg
a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)
2
ω
2
例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解： 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt
从函数值极限的角度看：
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积（通常也称其为δ函数的强度）的角度看：
(t )dt lim S (t )dt 1
0
（2）δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱
将δ（t）进行傅立叶变换：
( ) (t )e
jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数， 根据欧拉公式可知：
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg
a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)
2
ω
2
例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解： 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt
2.4典型非周期信号的频谱
π −2 τ
O 2 τ π
4 τ π
ω
幅度 频谱
E τ
F(ω)
F(ω) = E Sa ωτ τ
ω
(
2
)
π −2 τ O
2 τ π
4 τ π
相位 频谱
ϕ(ω) π π −2 τ
0
2 τ4 τ π π
频宽： 频宽： 2 π 1 B ≈ 或f ≈ B ω τ τ
ω
X
−π
第
二．单边指数信号
E −α t t >0 α >0 e f ( t) = 0 t <0
E ↔2 E (ω) π δ
E
f (t)
不满足绝对可积 条件， 条件，不能直接 用定义求 F(ω)
t
0
τ →∞
f1(t) E
−τ
O
τ
t
X
第
推导
F(ω) =lim E −jωt dt ∫ e
τ→ ∞
−τ
6 页
τ
F(ω)
e−jωt τ = Elim − jω − ∞ τ→ τ
(2πE)
E
F(ω) = ∫ f ( t)e−jωt dt
−∞
∞
E 2
−τ
E π t −jωt =∫ 1+cos τ e dt τ − 2
τ
−
τ O
2
τ
2
τ
t
E τ −jωt E τ jπ t −jωt E τ −jπ t −jωt = ∫ e dt + ∫ e τ e dt + ∫ e τ e dt 2 −τ 4 −τ 4 −τ τ π E τ π E = E Sa(ω ) + Saω− τ + Saω+ τ τ τ 2 τ 2 τ
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即在时域乘以因子
e
j0t
导致频谱产生平移。
⊙卷积特性
F[ x(t )] X ( j )
F[ x(t ) y(t )]
，F [
y( t )] Y ( j )
X ( j ) Y ( j )
证明： 令
z (t ) x(t ) y (t )
x( ) y (t )d
主瓣将变“矮”变胖，若
变成近似水平的带宽。
0，则主瓣
Aτ
π
-4π
τ
-2π
τ
0 2π
τ
4π
τ
-6π -4π
τ
τ
-2π
τ
0 2π
τ
4π
τ
6π
τ
2）将周期矩形脉冲的频谱
An
2A n A sa ( ) sa (n0 ) n T0 T0 2
A 与单个脉冲频谱 X ( j ) 2作比较： sa( )
dt
1 x(kt )e k 1 j X( ) k k
j
kt k
dkt
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是 信号分析中最常用的一种手段。
案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析， 确定最大频率分量，然后根据 机床转速和传动链，找出故障 齿轮。
j ( )
X ( j ) Re（ω）、Im(ω）分别为 的实部和虚部。 为幅值。 X ( j) . ( ) Re（ω） -ω为实频函数（实频曲线） Im(ω）-- ω为虚频函数（虚频曲线）
X ( j ) Re ( ) I m ( )
2 2
( ) arctg
T 2
T 2
x(t )e jn 0 t d t
0 d T0 , 时，有n0 求和运算变成积分运算
该式积分后将是频率的函数，且一般为复数
记为
X ( j ) lim
2π
0 0
0
X ( n0 ) lim X ( n0 )T
T
将 称之为随机过程 X（t ) 状态。
i
时刻的
X（t )在t t i
2、随机过程的分类 1）均值（数学期望） (t ) lim X (t ) E X t 随机变量的 集合特性，指集合的平均。 2）自相关函数 Rx (ti , ti )
N x i N 1 N k 1 k i i
[ x( )e
j
d ] [ y( t )e j ( t )d ( t )]
X ( j ) Y ( j )
⊙尺度变换证明
x(t ) X ( j )
F [ x(kt )] x(kt )e
jt
■从能量角度上看： 周期信号用功率谱表示； 时限信号用能量谱表示。 ■周期信号幅值谱纵坐标表示相应的谐波 分量的幅值； 时限信号幅值谱纵坐标表示幅值谱密度； ■周期信号采用傅立叶级数（FS）分析； 时限信号采用傅立叶积分分析。
2.4.5傅里叶变换的主要性质
⊙延时性：若
f (t )
证明：
F ( )
即
（3）乘积（抽样）特性 若函数 在 处连续，则有
（4）卷积特性 两个信号 与 卷积的定义： 即定义 为信号 与 的卷积，记 作 ，写成
对于时延单位脉冲
，有
3.
信号的频谱
单位脉冲信号的频谱为常数，说明信号 包含了 所有频率成分，且任一 频率的频谱密度函数相等。这种频谱为“均 匀频谱”，或“白色谱”。
随机过程 所有样本函数的集合,是依赖于时间t上的 一簇随机变量或以时间t作为参量的随机函数.
x1 (t ) x (t ) 用X (t ) 2 表示 x3 (t ) 或X(t) x k (t) (k 1, 2,3.....N)
很显然，信号在时域平移，相当于信号中各个频率成分产生 了相移，所以频谱中应反映出相移的大小。
例： sin[0 (t t0 ) ] sin(0t 0t0 ) 延迟时间t0导致产生相移ω0t0。
⊙频移性：若
f (t )
F ( )
j0t f ( t ) e F ( 0 ) 则：
x(t )
1 2Leabharlann x(t ) e jt dt e jt d
jt x(t ) 1 x ( j ) e d 2 有 jt x( j ) x(t ) e d
记为：X ( j ) x(t ) x (t ) F 1 X ( j)
F
x( j ) x( t ) e jt d
x( t )
1 2
x( j ) e jt d
X ( j ) 意义：1） 称为信号的傅立叶积分变换，为 x(t ) 的频谱密度函数。 x(t ) X ( j ) 2） 称为 的傅立叶积分逆变换 3） 构成一对傅立叶变换对。 x(t ) X ( j ) 4） 能被分解为连续的无限个频率为ω的， 并且有无限个小幅值的频率分量组成。 x(t )
2
2 当 n=1， 0 时，在周期脉冲的基波圆频率下， T0
2 A A1 sa ( ) T0
2 T0 AT0 2 2A X(j ) sa ( ) sa ( ) 2 T0 2 T0 T0
2 AT0 2 2 A1 sa( ) X( j ) 有： T0 T0 T0 T0
2.5.1 冲激函数及其谱分析
1. 冲激函数 定义1 （1）图中的矩形脉冲G(t)，宽为 ，高 为 ，其面积为1。保持脉冲面积不变，逐渐 减小 ，则脉冲幅度逐渐增大，当 时，矩形脉冲的极限称为单位冲激函数，记 为 ，即 函数，表达式为
表示只在 点有“冲激”；在 点 以外各处，函数值均为0，其冲激强度 （脉 冲面积）是1。一个强度为E倍单位值的函数. 用 来表示。
I m ( ) Re( )
称为 x(t) X ( j ) 的幅值谱密度函数 θ（ω）-- ω为x(t)相位谱密度函数
--ω为 X ( jx(t) ) 幅值谱密度曲线
讨论： ●瞬态量的频谱是连续的，它的形状为周期量的离 散谱的包络线是相似的，有一个主瓣和一些副瓣 组成。 1） 主瓣将变“高”变瘦；
(a)
(b)
（2）狄拉克（Diract）定义 狄拉克给出的冲激函数定义为
对于在任意点 示为
处出现的冲激，可表
2. 冲激函数的性质 （1）积分筛选特性 当单位冲激函数 与一个在 处连续且有 界的信号 相乘时，其积的积分只有在 处得到 ，其余各点之乘积及积分均为零， 从而有
类似地，对于
当连续时间函数 与单位冲激信号 或 者 相乘，并在 时间内积分，可得 到 在点 的函数值 或者点 的函数 值 ，即筛选出 或者 。 （2）冲激函数是偶函数
条件①是充分但不是必要条件； 条件②、③则是必要而不是充分条件。 因此对于许多不满足条件①，即不满足 绝对可积的函数，如周期函数，但满足 条件②、③的也能进行傅里叶变换。
3、时限信号的几点说明： X ( j ) 是一个复数，可写成
X ( j ) Re( ) jI m ( ) X ( j ) e
2、傅立叶变换存在的条件 不是所有的时限信号都可进行傅里叶变换， 时限信号是否存在傅里叶变换同样需要 满足下述狄里赫利条件： ①信号 绝对可积，即： x(t ) x(t ) dt x(t ) ②在任意有限区间内，信号 只有有限 个最大值和最小值； x(t ) ③在任意有限区间内，信号 仅有有限 个不连续点，而且在这些点的跃变都必 须是有限值。
案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。
工程信号及其可测性分析
在选择测量仪器时，测量仪器的工作频率范
围必须大于被测信号的频宽。
2.5典型激励信号描述
激励信号在测试信号的分析中起着重要的作用。 工程测试中常通过施加激励信号来求取系统的 冲激响应或阶跃响应等，以获得系统的动态特 性参数或传感器的灵敏度等。
Rx (ti , ti ) lim
N
1 N
x (t )x (t )
2.6 随机信号 2.6.1 随机信号的分类 1、几个基本概念
对随机信号在有限时间内的观测结果称之为样 本，所有可能样本的集合称之为总体。总体描述 了一个随机过程。比如：对每日气温的观测，地 球上温度的变化，只能以天为单位，或以年为单 位来进行分析。每天的观测构成一个样本函数。
x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )
f (t t0 ) e jt0 F ()
jt
F[ f (t t0 )]
f (t t0 )e
dt
f (t t0 )e j (t t0 ) e jt0 d (t t0）
jt0 ＋ e
f (u )e ju du e jt0 F[ f (t )]
z( j ) z( t ) e jt dt
[ x( t ) y( t )e jt ]dt
x( )y( t )dte jt d
x( )[ y( t )e j ( t )d ( t )e j ] d
2.4.1 瞬态量的频谱
由周期量的幅值谱可知，相邻两条谱线间的 T0 2 圆频率间隔为 ，随着 T T的增大， 即周期量的周期愈长，则谱线间隔愈小，相 邻两谱线则愈靠近，愈密集。 当 T0 时，则有 0 离散谱线则变成了连续谱。 瞬态信号可以是周期 为无限大的量 T0 可见瞬态量的频谱是连续谱。