§3.04 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换
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傅里叶变换与频谱分析
傅里叶变换与频谱分析傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它是基于法国数学家傅里叶的研究成果而得名的。
频谱分析是利用傅里叶变换将信号分解为不同频率成分的过程。
通过傅里叶变换和频谱分析，我们可以理解信号的频域特性，以及从频域的角度对信号进行处理和解释。
傅里叶变换的基本原理是将一个周期为T的连续函数f(t)分解为一组基函数的线性组合。
这组基函数是正弦和余弦函数，它们的频率是f(t)中的频率成分。
在数学表达上，傅里叶变换是通过将一个信号f(t)与一个复指数函数e^(jωt)相乘，再对整个信号进行积分来实现的。
傅里叶变换公式如下所示：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)是信号f(t)在频率ω处的振幅和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号从时间域转换到频率域。
在频率域中，我们可以分析信号的频率特性，包括信号的频率成分以及它们在整个信号中所占的比例。
这些信息对于了解信号的谐波分量、周期性、滤波等操作非常重要。
频谱分析是基于傅里叶变换得到的频域信息进行的。
它可以将一个信号在频谱上进行可视化，以便我们更好地理解信号的频域特性。
频谱分析通常呈现为频谱图，横轴表示频率，纵轴表示振幅或功率。
在频谱图中，我们可以观察到信号的频率成分，它们以峰值的形式显示在不同的频率点上。
峰值的强度代表了该频率在信号中的强度或重要性。
通过观察频谱图，我们可以推断信号的频率含量、周期性、峰值频率等信息。
除了用于频域分析的信号处理外，傅里叶变换还在其他领域有广泛应用，例如图像处理、通信等。
在图像处理中，我们可以将图像转换为频域，通过分析图像的频谱特性来实现图像增强、压缩等操作。
在通信领域，傅里叶变换在调制、解调、滤波等过程中被广泛使用。
在实际应用中，由于傅里叶变换涉及到复杂的数学操作和积分运算，计算复杂度较高。
因此，为了提高计算效率，人们发展出了快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过巧妙地利用信号的对称性质，将傅里叶变换的计算量从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
2
1
Re() = δ()
X ( ) sgn(t )e j tdt
laim0
0 eat e j
tdt
eat e
0
j
t
dt
1
laim0 a j
a
1
j
2
j
X( ) 2
(
)
2
2
0 0
13
7、阶跃信号的频谱
u(t) 1
X()
0
t
0
不满足绝对可积的条件。看成单边指数脉冲a 0的极限。
()和X()是奇函数。
16
2、线性性质
若 F [ x1(t) ] = X1() F [ x2(t) ] = X2() 则 F [ ax1(t) + bx2(t) ] = aX1() + bX2()
（1）若信号增大a倍，则频谱亦增大a倍; （2）两个相加信号的频谱等于各个单独信号频谱的相加
3、对偶性
2
X (n1 ) 1
T1 / 2 x(t )e jn1t dt
T1 / 2
T1 ，对等式两边求极限（1 0，n1 ）
§3.3非周期信号的频谱-傅立叶变换
0
F1 ( ) f1 (t)e-jt dt (-eat )e-jt dt eat e-jt dt
0
2 j = a2 2
因为
f
(t)
= Sgn(t)
lim a0
f1(t)
所以
F ( )
lim
a0
F1
()
lim
a0
2 j a2
2
2
j
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
符号函数很类似于直流信号，但符号函数的平均值为零，所以符 号函数不含直流成分。
() 0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
沿用单边指数信号频谱带宽的定义，即幅度谱下降到 0.1 倍最大值时 的宽度为信号的有效带宽，则双边指数信号的有效带宽是
B 3 a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比的。
f t
1
F () 2 a
0
t
a
3a
0
3a
b
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
t
f
(t)
A(1
)
0
t t
F()
f (t)e-jtdt
0
A (1
t )e-jtdt
A
(1
t )e-jtdt
0
令 t x
得
A
0
(1
t
)e-jt dt
0
A
(1
x
)e jxdx
A
(1
x
)e jxdx
A
(1
t
)e jtdt
0
0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
非周期信号及其频谱
但若各正（余）弦信号的频率比不是有理数，例如 x(t)= sinω0t+sin2πω0t，各正（余）弦信号间找不到公共的周期，它们在合成 后不可能经过某一周期重复，所以合成后不可能是一个周期信号。但 是这样的一种信号在频域表达上却是离散频谱，这种信号称为准周期 信号。在工程技术领域内，不同的相互独立振源对某对象的激振而形 成的振动往往是属于这一类的信号。
1.2 傅里叶变换与非周期信号的频谱
在式
x(t)
x(t
)e
j2ft
dt
e
j2ft
df
括号里的积分中，t是积分变
量，因此积分的结果是一个以频率f为自变量的函数，记作
X ( f ) x(t)e j2ftdt
此式称为函数 x(t) 的傅里叶变换（FT）。傅里叶变换是把时域函数
x(t) 变换为频域函数 X(f)的桥梁，其功能与式
单乘积。
（3） δ 函数的频谱
将 δ 函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数，即
( f )
(t)e j2ftdt e0
(t)dt 1
可根见据，傅时里域叶的变脉换冲的信对号称具性有、无时限移宽性广和的频频移谱性，等而，且可各得频到率下上列的傅信里叶
号变强换度对都: 相等。在信号的检测中，一般爆发电火花的地方（如雷电、火
(t )
0
t0 t0
(t)dt
0 s (t)dt 1
s (t)
O t
(a)
(t)
(1)
Ot
(b)
在工程上，常将 δ 函数用一个高度等于1的有向线段来表示，如下 图所示，这个线段的高度表示 δ 函数的积分，亦称 δ 函数的强度（并非 幅度值）。用这种方法表示的 δ 函数称为单位脉冲函数。
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换
0
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。强度其为
10
d
2
2
d( 1 (
)
arctg (
)
2
) |
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶 X ( j ) 跃信号的傅里叶变换
( )
ℱ u ( t ) ( )
jk 1 t
dt
取T→∞的极限
T 2
lim
T Ak
T
lim
T
T 2
x (t )e
jk 1 t
dt
x (t )e
j t
dt X ( j )
应该是一确定的函数。
2
对应的傅里叶级数展开式
x (t )
k
Ak e
jk 1 t
0
t
t
u ( t )]
0
于是
X ( j ) lim
0
( )
2
2 j
2 2
j
2
0
2 j
18
2
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因
为 所以
x ( t ) sgn( t ) 2 u ( t ) 1
X ( j ) 2 [ ( )
e
jt
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )
信号分析3.02 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换
R ( )是的偶函数, X ( )是奇函数 R( ) ( ) arctan X( )
如果f(t)是实函数
F ( jw)
f (t )e jwt dt F ( jw)
F ( jw) F ( jw) F ( jw) 是w偶函数
F j F () ~ : 幅度频谱
提问:所有信号都可以由时域变换到频域分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
注意：
f t d t （有限值或收敛） 即f t 绝对可积
绝对可积 F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件） 2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必 1 (t ) (t ) 要条件）
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出
•傅里叶变换的物理意义
•傅里叶变换的存在条件
•常用非周期信号的频谱 •非周期信号的频谱的特点
一．傅里叶变换的提出
周期信号向非周期信号过渡 fT t f (t ) T1 时域过渡
2π T1 频域过渡: 谱线间隔 `1 d T1
3）所有能量信号均满足此条件。
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数）
单边指数信号
直流信号
单位阶跃信号 单位冲激信号
1．矩形脉冲信号－门函数
f (t ) Eg (t )
E
F ( j ) f (t )e j t d t Ee j t d t
E e .
简写
记做：
f t F j
F f (t ) F ( j )
F
1
F ( j )
如果f(t)是实函数
F ( jw)
f (t )e jwt dt F ( jw)
F ( jw) F ( jw) F ( jw) 是w偶函数
F j F () ~ : 幅度频谱
提问:所有信号都可以由时域变换到频域分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
注意：
f t d t （有限值或收敛） 即f t 绝对可积
绝对可积 F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件） 2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必 1 (t ) (t ) 要条件）
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出
•傅里叶变换的物理意义
•傅里叶变换的存在条件
•常用非周期信号的频谱 •非周期信号的频谱的特点
一．傅里叶变换的提出
周期信号向非周期信号过渡 fT t f (t ) T1 时域过渡
2π T1 频域过渡: 谱线间隔 `1 d T1
3）所有能量信号均满足此条件。
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数）
单边指数信号
直流信号
单位阶跃信号 单位冲激信号
1．矩形脉冲信号－门函数
f (t ) Eg (t )
E
F ( j ) f (t )e j t d t Ee j t d t
E e .
简写
记做：
f t F j
F f (t ) F ( j )
F
1
F ( j )
非周期信号的傅里叶变换-
①充分条件：绝对可积，即
f
t dt
②但是，奇异函数的存在，使许多不满足
绝对可积条件的信号也存在傅立叶变换
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
二、典型非周期信号的傅立叶变换 f(t)
1．单边指数衰减信号
1
① f (t) eatu(t), (a 0)
②
F
n1
1 T1
T1
f 2
T1 2
t e jn1t dt
F
n1
T1
2
F n1 1
T1
f 2
T1 2
t e jn1t dt
T1 , 1 0, n1 n1 n 11 1 d, n1
F
lim
T1
F
n1
T1
lim
1 0
2
F n1
1
f (t)e jtdt
f
信号与系统—signals and systems
3.2非周期信号的傅立叶变换
一、傅立叶变换
1．问题的引出
① T1 : 周期信号 1 0 : 离散谱
非周期信号 连续谱
F(n1) 0 : 谱线长度趋于0
总能量不变，频谱 仍然存在，无限多 个无穷小量之和仍 然可能为有限值。
F (n1) : 表示单位频带的频谱值—频谱密度的概念 1
0
1
0
1 2t
1
te jt 1 ( 1 )2 e jt 1
1
te jt
2
(
1
)2 e jt
2
2
e jt
j
0 j
0 j
1 j
1 j
信号分析基础(非周期信号频域分析)
1 jwt x x ( t) ( t) e dt ejwt dw 2
频谱函数（相当于原来的Cn）为：
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt
x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt
R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数； b.若x(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即 X(jƒ)= ReX(jƒ)； c.若x(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即 X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)； d.若x(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数； e.若x(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图： Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 ＝ 1
lim S t) ( t) (
频谱函数（相当于原来的Cn）为：
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt
x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt
R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数； b.若x(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即 X(jƒ)= ReX(jƒ)； c.若x(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即 X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)； d.若x(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数； e.若x(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图： Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 ＝ 1
lim S t) ( t) (
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0
)
X
第
四 傅里叶变换的性质
1 6. 调制： f (t ) cos w0t ⇒ ( F ( w + w0 ) + F ( w − w0 )) 调制： f (t ) ⊗ f (t ) ⇒ F 2w) ⋅ F ( w) (
7 页
7. 卷积：1 卷积：
2
1
2
8. 对偶： F (t ) ⇒ 2π f (− w) 对偶： 1 w 9. 尺度： f (at ) ⇒ F ( ) 尺度：
∗ ∗
f 2 (t ) ⇒ F2 ( w)
a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) ⇒ a1 F1 ( w) + a2 F2 ( w)
3. 复共轭 复共轭: f (t ) ⇒ F ( w) ± jwt0 4. 时移 时移: f (t ± t0 ) ⇒ e F ( w) 5. 频移 频移: e ± jw0t f (t ) ⇒ F ( w ∓ w
3 页
X
第
3．傅里叶变换对
F(ω) = ∫ f (t )e−jω t dt = F[ f (t )]
∞ −∞
4 页
1 ∞ f (t ) = F(ω)ejω t dω = F−1[F(ω)] 2π ∫−∞
简写
f (t ) ↔ F(ω)
X
第
三．求取频谱密度的几种方法
(1)根 定 求 据 义 ； (2)根 周 信 的 谱 n， 据 期 号 频 C 即 (ω) = lim T Cn 因 0 →∞， f0 → f） F n 0 （ T
9 页
X
第
六 频谱密度和频谱的区别
能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的 能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的 S(f) 频谱Cn的区别： Cn的区别 频谱Cn的区别： S(f)是连续频谱 Cn是离散频谱 是连续频谱， 是离散频谱； 1，S(f)是连续频谱，Cn是离散频谱； S(f)的单位是 的单位是V/HZ Cn的单位是伏 的单位是伏（ 2，S(f)的单位是V/HZ , 而Cn的单位是伏（V）； ∞ s (t ) = ∫ S ( f ) e j 2π ft df 的物理意义是能量信号 3， 式 −∞ 可以分解为无数个频率为f 复振幅为S(f)df S(f)df的 可以分解为无数个频率为f，复振幅为S(f)df的 j 2π ft 的线性组合。 指数信号 e ∞ 的线性组合。 而 s ( t ) = ∑ C n e j 2 π nt / T 的物理意义是周期信号
T →∞ 0
5 页
(3)借 典 信 的 谱 傅 叶 换 性 。 助 型 号 频 和 里 变 的 质 （ 加 用 有 ） 更 常 和 效
X
第
四 傅里叶变换的性质
6 页
f (t ) ⇔ F ( w)
1. 放大 放大: 2. 叠加: 叠加
kf (t ) ⇒ kF ( w)
f1 (t ) ⇒ F1 ( w)
f(t)
11 页
-T
-τ /2 τ /2 1题图
TLeabharlann tXa a
1 f1 (t ) ⋅ f 2 (t ) ⇒ F1 ( w) ⊗ F2 ( w) 2π
X
第
五 常用信号的傅里叶变换表
8 页
X
第
五 傅里叶变换的物理意义
1，频域分析中重要的数学工具。在信号分析 ，频域分析中重要的数学工具。 中，既可以用来描述非周期信号的频谱密 度，引入冲激函数后，也可以描述周期信 引入冲激函数后， 号的频谱。 号的频谱。从而把各种信号的分析方法统 一起来。 一起来。 2，傅里叶变换的性质，揭示了时域信号在传 ，傅里叶变换的性质， 输和处理过程中经过某种运算和变换（如 输和处理过程中经过某种运算和变换（ 时移、尺度变换、卷积等） 时移、尺度变换、卷积等）后，对应的频 谱在频域的变化情况。是核心内容。 谱在频域的变化情况。是核心内容。
0
10 页
可以分解为谐波频率为 f n 0 的线性组合。 信号j 2π nf0t 的线性组合。 e
n = −∞
复振幅为Cn的指数 复振幅为Cn的指数 Cn
X
第
作业：
1，求周期矩形脉冲信号的频谱以及频谱密度。 求周期矩形脉冲信号的频谱以及频谱密度。 求正弦信号s(t)=Asinw 的傅里叶变换。 2，求正弦信号s(t)=Asinw0t 的傅里叶变换。 求余弦信号s(t)=Acosw 的傅里叶变换。 3，求余弦信号s(t)=Acosw0t 的傅里叶变换。
§3.4 非周期信号的频谱分析 ─ 傅里叶变换
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
第
一 频谱密度函数的表示
F(ω) = ∫ f (t )e−jω t d t = F[ f (t )]
∞ −∞
2 页
由 (t)求 (ω) 称 傅 叶 换 定 为 (t)的 谱 度 f F 为 里 变 ， 义 f 频 密 。
F(ω)一般为复信号故可表示为 ,
F(ω) =| F(ω) | ejϕ (ω )
F(ω) ~ ω : 幅度频谱
ϕ(ω) ~ ω : 相位频谱
X
第
2．反变换 f (t)应是 (ω)的反变换？ F 的反变换？
1 ∞ f (t) = F (ω)ejω t dω 2π ∫−∞ F (ω)的傅里叶反 变换就是原信 号。