典型非周期信号的频谱
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信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
常见连续时间信号的频谱PPT(46张)
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 {u(t) u(-t)} 1 {u(t) - u(-t)} 1 1 sgn(t)
2
2
22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
t 0
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 -π/2
2022/3/22
阶跃信号及其频谱
10
二、常见周期信号的频谱密度
2
]
0
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
2022/3/22
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2022/3/22
傅里叶级数：
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
-
n0
)
2022/3/22
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
§4.3 周期信号的频谱§4.4 非周期信号的频谱
T
1 傅里叶反变换式 j t f (t ) F (j ) e d 2 F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为
f(t) ←→F(jω)
或F(jω) =ℱ [f(t)] f(t) = ℱ-1[F(jω)] F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω) 说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可 证明，函数f(t)傅里叶变换存在的充分条件: f (t ) d t
Fn
0.15 π 2 1
0.25 π
1
1
O
0 .15 π
▲
0 .5
1.12
1
1.12
0 .5
2 1
2 1
2 1 1
O
1
0.25 π
■
第 8页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示。求频谱。
1 f(t) 0 …
▲ ■ 第 11 页
三．频带宽度
1.问题提出
T
Fn
2π
O
2
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
▲ ■ 第 12 页
周期矩形脉冲信号的功率
1 P T
0
T
f (t )dt
2
1 1 以τ s,T s为 例 ， 取 前5 次 谐 波 20 4 2 2 2 2 2 2 2 2 P5n F0 F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4
1 傅里叶反变换式 j t f (t ) F (j ) e d 2 F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为
f(t) ←→F(jω)
或F(jω) =ℱ [f(t)] f(t) = ℱ-1[F(jω)] F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω) 说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可 证明，函数f(t)傅里叶变换存在的充分条件: f (t ) d t
Fn
0.15 π 2 1
0.25 π
1
1
O
0 .15 π
▲
0 .5
1.12
1
1.12
0 .5
2 1
2 1
2 1 1
O
1
0.25 π
■
第 8页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示。求频谱。
1 f(t) 0 …
▲ ■ 第 11 页
三．频带宽度
1.问题提出
T
Fn
2π
O
2
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
▲ ■ 第 12 页
周期矩形脉冲信号的功率
1 P T
0
T
f (t )dt
2
1 1 以τ s,T s为 例 ， 取 前5 次 谐 波 20 4 2 2 2 2 2 2 2 2 P5n F0 F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4
第三节瞬变非周期信号与连续频谱
δ（t）。 δ函数也称为单位脉冲函数。
从函数值极限的角度看：
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积（通常也称其为δ函数的强度）的角度看：
(t )dt lim S (t )dt 1
0
（2）δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱
将δ（t）进行傅立叶变换：
( ) (t )e
jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数， 根据欧拉公式可知：
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg
a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)
2
ω
2
例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解： 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt
从函数值极限的角度看：
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积（通常也称其为δ函数的强度）的角度看：
(t )dt lim S (t )dt 1
0
（2）δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱
将δ（t）进行傅立叶变换：
( ) (t )e
jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数， 根据欧拉公式可知：
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg
a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)
2
ω
2
例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解： 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt
常见连续时间信号的频谱
19
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2020/2/29
20
3
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0
余弦信号及其频谱函数
2020/2/29
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e-j0t ) F - jπ[d (
- 0 ) - d (
0 )]
sin 0t 1
2020/2/29
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
n-
-
n0 )
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
2020/2/29 - T 0 T
t
-0 0 0
16
4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
非周期信号的频谱
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换
0
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。强度其为
10
d
2
2
d( 1 (
)
arctg (
)
2
) |
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶 X ( j ) 跃信号的傅里叶变换
( )
ℱ u ( t ) ( )
jk 1 t
dt
取T→∞的极限
T 2
lim
T Ak
T
lim
T
T 2
x (t )e
jk 1 t
dt
x (t )e
j t
dt X ( j )
应该是一确定的函数。
2
对应的傅里叶级数展开式
x (t )
k
Ak e
jk 1 t
0
t
t
u ( t )]
0
于是
X ( j ) lim
0
( )
2
2 j
2 2
j
2
0
2 j
18
2
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因
为 所以
x ( t ) sgn( t ) 2 u ( t ) 1
X ( j ) 2 [ ( )
e
jt
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )
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1.无穷期指数函数e j0t的傅立叶变换
F (j)
jI
t
R
0 0
e j0t 2 ( 0 )
用反证法:
F 1[ ( 0
FF 1[ (
] 1
2
0
( 0 )e jt d
)]
1
F[e j0t ]
2
F ( )
f0 (t)
E A
E
FT
t
周 期
0
22
重
f (t)
复E
FS
t FT
T1
T1
2
2
Fn Fn E
n
2
2
F ( )
F ( )
E A
2
2
5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
Fn
1 T1
T1
2 T1 2
f (t ).e jn1t dt
交换积分顺序
(t)
1
e jt d
2
1
e j (t )d (t )
2
f1(t)
1
2
[ e j (t ) d ] f 2 ( )d
(t ) f2 ( )d f2 (t)
sin 1t
1 (e jt1 2j
e j1t )
sin1t j[ ( 1) ( 1)]
f (t)
F ()
0
0
0 j
0
0
25
3.一般周期信号的傅立叶变换
f (t)
Fn e jn1t
n
e j1t
2
则 f1(t) f2 (t) 反之,由
F 1[F1( j )] F 1[F2 ( j)] f (t)
则 F1() F2 ()
给出简短证明如下：
f1(t)
1
2
F(
j )e jt d
1
2
[ f2 (t)e j d ]e jt d
F ( j) () 1 j
P168.3-30
u(t)
t
1 sgn( t) 2
t
1 2
t
方法二:利用单边指数函数取极限
u(t ) lim eat (t 0) a0
eatu(t )
1
a j
Fe ( j)
1
a j
a2
a
2
j
a2
2
A() jB()
A() lim A() 0 ( 0) a0
A() lim A() ( 0)
a0
lim lim
A( )d
d a d
a0
a0 1 2
a
lim
0
1 Fn T1
1 0 1 21
21 1 0 1 21
(p148,例题3-11)
F0
(
j)
ESa(
) 2
单个矩形脉冲的变换
Fn
1 T1
F0 ( j ) n1
E
T
Sa( n1 )
2
f (t) E
Sa( n1 )e jt
0
a2
j2 2
F ( j) 2
F ( j) lim F2 ( j) a0
.... 0
lim
j2 2
a0 a 2 2 j
2
( j ) .... 0 2
F ()
f (t) 1 2 e jt d 1 sin t d
3a
0
t
()
2
2
双边指数信号的频谱
f (t) e t ( t )
F
(
)
2 2
2
() 0
一.冲激函数的频谱
F[ (t)] (t)e jt dt e j0 1
(t)
F ( j )
1
0
t
j
0
? (t)
f1(t), f2 (t) 在积分意义上相等。
傅立叶变换的唯一性表明了信 号及其频谱的唯一对应关系。
证明p17 1-35
f1 (t )
EG
(t )
E [ sa (
2
)];1
2
( )
以及
lim
G
(t
)
1和傅立叶变换的唯一性，有
lim E[sa( )] 2E[ ()]
T1 n 2
FT
F
( )
E 1
n
Sa
n1
2
1
(
n1)
6.小结:单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
• 单脉冲的频谱 F0 () 是连续谱，它的大小
是有限值；
• 周期信号的谱 F() 是离散谱，含谱密度
概念，它的大小用冲激表示；
• F0 ()
FT[ (t)] 1
(t)
1 2
e j t d
d (t)
dt
12 ( j )e源自j t dFT
d dt
(t)
j
FT
dn dt n
(t
)
(
j
)n
FT
(t n )
2
(
j)n
dn
d n
( )
Fn .e jn1t
n
1
e jnt
T1 n
FT [
f
(t )]
2
1 T1
n
(
n1 )
F () FT[T (t)] 1 ( n1) n
(t)
(1)
F0 ( )
1
0
T (t)
T1
FT
t
FS
t
F () 1
1
1.e jt d
1
cos t d
2
2
P80-81黎曼－勒贝格2-99和2－100
lim cost 0
(t) 1
(t t0 )
(t t0 ) e jt0
F ( j )
t0
( j)
t0
二.冲激偶的傅立叶变换
(
1 )
F[ f (t)] Fn F[e jn1t ] 2 Fn( n1)
n
n
Cn ( 1 ) n
Fn
1 T1
F0 ( j ) n1
P147.例3－10
•周期单位冲激序列的FS
T (t)
118面 E
F ( )
EA E 2
－ 2
升
t
2
余
E [1 cos(2t )] t
弦 f(t) 2
2
0
t
2
f(t)、df 连续 dt
d2 f 不连续 dt 2
2
24 6
F()
E 2
Sa( ) 2
1 ()2
2
F ()与3大致成反比
2
f2(t) (t) lim K E[sa( Kt )]
K 2
2
(t) lim [ k sa(Kt)] K
波形
p380, 附录三
f (t )
A E
矩
t
2
2
形
f
(t)
E，
0，
| t | / 2 | t | / 2
f(t)不连续
f(t)
.FS和FT表示举例
f(t) 级数系数 频谱密度函数 F()
直流E F0 E
2E()
Ecos0t
E Fn Fn 2
E[( 0 ) ( 0 )]
Esin 0t
E Fn Fn 2
jE[( 0 ) ( 0 )]
*四种时频对应关系 1.基本性质。 2.与抽样定理有关的性质。 周期信号的频谱:周期性-抽样性 抽样信号的频谱:抽样性-周期性 3.与单边特性有关的性质。 (希尔泊特交换）解析信号-单频谱 4.与功率谱有关的性质。 相关函数-功率谱
F( j) 2 Fn ( n1)
T1 n
2
n
E1
Sa( n1)(
n
2
n1 )
令: 1 秒 20
T
1s 4
1
2
T1
2
0.25
8
F ( j)
1
5
8
40
40
n 0
周期信号的频谱 密度 F( j)
4.周期矩形脉冲的FS和FT
单边指数信号的频谱