第三节瞬变非周期信号与连续频谱

1 j0t j 0 t cos 0 t (e e ) 2
因此：
x(t ) w(t ) z (t ) 1 j0t j0t w(t ) (e e ) 2 1 j 0 t 1 j0t e w(t ) e w(t ) 2 2
X ( ) f[ x(t )] 1 j 0 t 1 j 0 t f[ e w(t )] f[ e w(t )] 2 2 1 1 W ( 0 ) W ( 0 ) 2 2 T sin c[( 0 )T ] T sin c[( 0 )T ]
2、变换公式
正变换：
X ( )
逆变换：




x(t )e
jt
dt
1 x(t ) 2


X ( )e
jt
d
在数学上，x（t）和X（ω ）互称为傅立叶变换 对，可记为：
x(t ) X ( )
FT
x(t ) X ( )
IFT
X（ω ）一般为复数，可表示为：
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号两 种，其频谱各有独自的特点。准周期信号具有离散的 频谱，但各谐波成分的频率比不是有理数，例如：
x(t ) sin t sin 2t
通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号， 这种信号的频谱是连续谱。
一、傅立叶变换（Fourior Transform）
jt0
X () e
j ( ) t0
5、频移特性
若：
x(t ) X ( )
FT
则：
x(t )e
j0t
X ( 0 )
FT
6、时间尺度变换特性
若：
x(t ) X ( )
FT
则：
1 x(at ) X ( )( a 0) a a
求下式所示信号的频谱：
e (t 0) x(t ) (a 0) 0(t 0)
at
x(t) 1
0
t
解： 根据公式可得：
X ( ) x(t )e


j t
dt
e at e jt dt
0

1 a j a 2 j ( 2 ) 2 2 a a
n
9、积分特性
若：
x(t ) X ( )
FT
则：
1 x( )d X (0) ( ) X ( ) j X ( ) X ( 0 ) 0 j
t FT
三、几种典型信号的频谱
1、δ函数及其频谱 （1）定义
在ε时间内激发一个矩形脉冲Sε（t）（或三角形 脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为1。 当ε→0时， Sε（t）的极限就称为δ函数，记作
dt e
0


(t )dt 1
δ(t)
Δ(ω) 1 t 0
1
0
ω
由此可见， δ函数具有无限宽广的频谱，而 且在所有的频段上都是等强度的，这种频谱常称 为“均匀谱”或“白色谱”。
2、矩形脉冲信号的频谱
矩形脉冲信号w（t）又称为矩形窗函数，时域 内该函数的定义为：
T 1 (t 2) w(t ) 0( t T ) 2
（2）傅立叶变换存在的条件是狄里赫利条件 和信号在无限区间内绝对可积，即：



x(t ) dt
二、傅立叶变换的性质 一个信号的时域描述和频域描述依靠傅立叶 变换来确立彼此一一对应的关系。熟悉傅立叶变 换的主要性质，有助于了解信号在某个域中的变 化和运算将在另一域中产生何种相应的变化和运 算关系，最终有助于对复杂工程问题的分析和简 化计算工作。
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg

a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)

2
ω

2

例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解： 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
FT
7、卷积特性
两个函数x（t）和y（t）的卷积定义为：
x(t ) y(t ) x( ) y(t )d


在很多情况下，卷积积分用直接积分的方法来 计算是很困难的，但它可以利用变换的方法来解决， 从而使信号分析工作大为简化。
若：
x(t ) X ( )
FT
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数， 根据欧拉公式可知：
四、常用的傅立叶变换对
根据傅立叶变换的对称性和时、频移特性， 可以得到下列傅立叶变换对：
五、正、余弦函数的频谱密度函数 由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，因 此不能直接进行傅立叶变换，而需要在傅立叶变 换时引入δ函数。
根据欧拉公式，正、余弦函数可以写成：
1 jt jt cos t (e e ) 2 j jt jt sin t (e e ) 2
X ( ) X ( ) e
j ( )
X ( ) ：幅度频谱
( )：相位频谱
3、注意 （1）尽管非周期信号的幅度谱|X(ω)|和周期信号 的幅度谱|cn|很相似，但是两者是有差别的。其差 别突出表现在|cn|的量纲与信号幅值的量纲一样， 而| X(ω)|的量纲则与信号幅值的量纲不一样，它 是单位频宽上的幅值，所以更确切的说| X(ω)|是 频谱密度函数。
1、基本原理
周期为T0的信号x（t）其频谱是离散的，当
x（t）的周期T0趋于无穷大时，则该信号就成为非周 期信号了。周期信号频谱谱线的频率间隔为：
2 0 T0
当周期T0趋于无穷大时，其频率间隔Δω趋于 无穷小，谱线无限靠近，变量ω连续取值以致离散 谱线的顶点最后演变成一条连续曲线。所以非周期 信号的频谱是连续的。可以将非周期信号理解为无 限多个、频率无限接近的频率成分所组成。
T
2
)
2n 1 2n 0( T T ) ( ) ( 2n 1 2(n 1) ) T T
一般可认为矩形窗函数的能量集中于频谱 的第一个零点以内（称为主瓣）的各频率分量 上，因此矩形窗函数的带宽定义为：
2 WB T
例1-2
作业二
1、教材P27习题1-6、1-7
2、已知f(t)的傅立叶变换为F(ω)，求下列函 数的傅立叶变换
(1) f1 (t ) f (at b)(a, b为常数）
(2) f 2 (t ) f (2 t )
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt


பைடு நூலகம்
e jwt dt 1 (e 2 e j 2 T sin( ) 2 T T sin c( ) 2
j
T 2 T 2
T
j
T
2
)
其中函数sinc（θ）的定义为：
sin c( )
x(t ) (t t 0 ) x(t 0 ) (t t 0 )
其中x（0）δ（t）是一个强度为x（0）的δ函数， 也就是说，从函数值来看，该乘积趋于无限大，从 面积（强度）来看，则为x（0）。
B、积分特性



x(t ) (t )dt x(0)



x(t ) (t t 0 )dt x(t 0 )
y(t ) Y ( )
FT
则：
x(t ) y(t ) X ( )Y ( )
FT
1 x(t ) y (t ) X ( ) Y ( ) 2
FT
8、微分特性
若：
x(t ) X ( )
FT
则：
dx(t ) FT jX ( ) dt
d x(t ) FT n ( j ) X ( ) n dt
根据已经得到的傅立叶变换对，可认为正、 余弦函数是把频域中的两个δ函数向不同方向 频移后之差或和的傅立叶逆变换，因而可求得 正、余弦函数的傅立叶变换如下：
1 cos t [ ( 0 ) ( 0 )] 2
j sin t [ ( 0 ) ( 0 )] 2
1、奇偶虚实性
对一般的实函数x（t），X（ω）为具有实部 和虚部的复函数，且实部为偶函数，虚部为奇函数。 x(t) 实偶函数 实奇函数 X(ω) 实偶函数 虚奇函数
虚偶函数
虚奇函数
虚偶函数
实奇函数
2、对称性
若：
x(t ) X ( )
则：
X (t ) x( )
3、线性叠加特性
sin

函数sinc（θ）称为抽样函数，是偶函数，当θ 的取值为nπ（n=±1，±2，…）时，函数取值为0。 抽样函数的函数值有专门的数学表可查得，它以 2π为周期并随θ的增加而做衰减振荡。该函数在信 号分析中十分有用。
矩形窗函数w（t）的幅度频谱为：
W ( ) T sin c(
相位频谱为：
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱